Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса
Выясним, как преобразуется матрица линейного оператора при переходе от одного базиса к другому.
Теоремa 13.1. Пусть u 1 , u 2 ,…, u n и v 1 , v 2 ,…, v n – два базиса в R n , а Т – матрица перехода от старого базиса к новому. Если А – матрица линейного оператора A в базисе u 1 , u 2 ,…, u n , то матрицей В этого оператора в новом базисе v 1 , v 2 ,…, v n является матрица
В = Т – 1 AT. (13.7)
Доказательство. Пусть y = Аx, " x Î R n , где векторы x и y рассматриваются в базисе u 1 , u 2 ,…, u n . Если v 1 , v 2 ,…, v n – новый базис и Т – матрица перехода, то в силу равенства (13.5) x = Тx¢ и y = Тy', где x¢ и y' – векторы x и y в новом базисе v 1 , v 2 , …, v n . Подставив x и y в равенство y = Аx, получим равенство
Тy' = АТx' Û y' = Т – 1 (АТx') Û y' = (Т – 1 АТ)x¢,
справедливое в новом базисе v 1 , v 2 ,…, v n . Отсюда и следует, что матрица линейного оператора в новом базисе v 1 , v 2 ,…, v n находится по формуле (13.7).¨
Следствие. Определитель матрицы линейного оператора не зависит от базиса пространства.
Доказательство. В самом деле, согласно свойствам определителей, имеем
Определение 13.3. Матрицы А и В = Т – 1 АТ называются подобными.
Из теоремы 13.1 следует, что подобные матрицы являются матрицами одного и того же линейного оператора A: R n ®R n , но рассматриваемого в разных базисах с матрицей перехода Т.
Пример 2. В базисе u 1 , u 2 оператор A имеет матрицу
Найти матрицу этого оператора в базисе v 1 = u 1 +2u 2 , v 2 = 2u 1 +3u 2 .
Решение. Определяем матрицу перехода и обратную ей матрицу:
Тогда искомая матрица, согласно формуле (13.7), имеет вид
Справедлива следующая теорема.
Теоремa 13.2. Собственные значения подобных матриц совпадают.
Доказательство. В самом деле, характеристический многочлен матрицы В равен характеристическому многочлену матрицы А:
Пусть линейный оператор Выберем в два произвольных базиса и . Пусть – матрица линейного оператора в базисе , а – матрица линейного оператора в базисе , – матрица перехода от базиса к базису . Имеет место следующая
Теорема. Матрицы и линейного оператора связаны между собой соотношением
. (7)
Доказательство. Запишем разложения и в обоих базисах:
Или в матричной форме по формуле (6) связи между координатами образа и прообраза:
(8)
Где
По формуле (4) связи между координатами вектора в двух разных базисах имеем:
(9)
Где – матрица перехода от базиса к базису
Из (8) с учётом (9) имеем:
А из (9) с учётом (8)
,
Тогда , следовательно, .
Замечание. Линейный оператор, матрицей которого является матрица называется Преобразованием подобия; матрицы и при этом называются Подобными.
Пример 13. Линейный оператор задан в базисе матрицей . Найти матрицу этого оператора в базисе , если
Решение. По формуле (7) где – матрица перехода от базиса к базису .
Найдём : , а . Тогда
Ответ:
(1) Оператор
1. Сложение
2. Умножение на числа
3. Умножение операторов
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Свойства 1-8 соответствуют аксиомам линейного пространства, следовательно множество линейных операторов образует линейное пространство.
(2) Матрица линейного оператора и её преобразование.
(преобразование)
- разложение по базису.
Определим:
Всякому линейному оператору в некотором базисе соответствует матрица .
(матричное представление линейного оператора)
Пусть в заданы 2 базиса:
- старый базис.
- новый базис.
или
- матрица перехода от старого базиса к новому.
Рассмотрим
:
Теорема 17: матрицы и связаны соотношением . - матрица перехода от базиса к .
Доказательство: рассмотрим
(3) Для каждого оператора существуют понятия, как:
Ядро: - Это подпространства в и .
Образ: -
Определение: множество тех векторов , для которых называется ядром линейного оператора.
, если .
Свойство 1: ядро линейного оператора образует линейное пространство в .
Пусть , то есть .
Тогда , поскольку
Однородная система уравнений.
Пусть - векторы фундаментальной системы решений.
Фундаментальная система решений есть базис ядра .
Свойство 3: если
То у существует
Решение тривиальное, когда или .
Тогда существует
Свойство 4: Рассмотрим и
Пример:
[e] = (e1,…,en) – базис 1; – базис 2;
Т –матрица перехода от [e] к = (e1, …, en) T; A ϵ L(Vn).
[e]: A ↔ Ae; A(e1, …, en) = (e1, …, en)Ae
; (e1, …, en) ∙ Ae ∙ T = (e1, …, en)T ⇔ AeT = T ∙ ;
Т.к. det T ≠ 0, то ∃
Определение:Квадратные матрицы B и D порядка n называются подобными, если D = Q -1 BQ, Q – некоторая невырожденная матрица порядка n.
Следствие 1: Подобные матрицы и только они задают один и тот же линейный оператор в различных базисах пространства Vn.
1) Пусть [e] – базис, A ϵ L(Vn), Ae – матрица А в базисе [e]. Если - другой базис Vn, то – матрица оператора А в .
, где Т – матрица перехода от [e] к . Т.е. Ae и подобны.
2) Пусть подобна Ae, т.е. ∃Q – матрица, det Q ≠ 0, такая, что .
Рассмотрим векторы = (e1, …, en)Q. В этом случае - линейно независимы и образуют базис, причем Q – матрица перехода от [e] к , – матрица оператора А в .
Следствие 2: Определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса.
Доказательство: [e]: A ↔ Ae; : A ↔ ; ;
.
24. Характеристический многочлен матрицы. Характеристический многочлен линейного оператора, его инвариантность.
; λ – произвольная переменная, E = En.
Матрица A – λE называется характеристической матрицей матрицы А.
+
Определение: Многочлен det(A – λE) называется характеристическим многочленом матрицы А степени равной n. Коэффициент при λ n равен (-1) n .
Теорема: Характеристический многочлен у подобных матриц совпадает.
Доказательство: Пусть матрицы B и D подобны, т.е. ∃ T (det T ≠ 0) такая, что D=T -1 BT; det(D-λE) = det(T -1 BT – λT -1 ET) = det(T -1 (B-λE)T) = det T -1 ∙ det(B-λE) ∙ det T = det(B-λE), ч.т.д.
Определение: Характеристическим многочленом оператора А называется характ. многочлен матрицы этого оператора в некотором базисе V.
Следствие: Характ. многочлен лин. оператора Vn не зависит от выбора базиса.
Доказательство: [e]: A ↔ Ae; ; (det T ≠ 0)
ч.т.д.
Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Примеры. Теорема о собственных значениях линейного оператора в конечномерном пространстве. Нахождение собственных значений и координат собственных векторов.
V – линейное пространство (действительное или комплексное);
А – линейный оператор пространства V, A ϵ L(V)
Определение: Число называется собственным значением линейного оператора А, если в пространстве V существует ненулевой вектор x такой, что выполняется Ax = λx,
Любой вектор называется собственным вектором оператора А, соответствующим (отвечающим, принадлежащим) собственному значению λ.
Пример:
1) V3 – пространство геометрических векторов в пространстве.
А – оператор проектирования на XOY
①
λ = 1 – собственное значение оператора
– собственный вектор, отвечающий данному собственному значению.
②
, λ = 0 – собственное значение
– собственный вектор
2) Тождественный оператор x = x = 1 ∙ x, λ = 1.
3) O – нулевой оператор Ox = Θ = 0*x, λ = 0 - собственный вектор
Теорема В действительном линейном пространстве Vn действительные корни характеристического многочлена оператора А и только они являются собственными значениями оператора А.
В комплексном линейном пространстве Vn все корни характеристического многочлена оператора А и только они являются собственными значениями оператора А.
Vn – n-мерное линейное пространство (ℝ или ℂ);
[e]: A ↔ Ae – матрица оператора А в базисе [e].
Доказательство: det(A-λE) – характеристический многочлен; E = En;
λ0 – собственное значение А, если ∃ x ≠ 0, x ϵ Vn, такой, что Ax = λ0x;
; ;
; ; ;
является решением однородной СЛАУ.
(2)
Т.к. и матрица Аe – λ0E – квадратная порядка n, то система (2) имеет ненулевое решение ⇔ det(Ae-λ0E) = 0, т.е. λ0 – решение характеристического уравнения (корень характеристического многочлена).
Характеристический многочлен det(A – λE):
а) в действительном случае рассматривает только действительные корни характеристического многочлена
б) в комплексном случае - характеристический многочлен имеет n корней, они являются собственными значениями.
Следствие: В комплексном линейном пространстве всякий линейный оператор имеет собственное значение и собственный вектор.
В действительном линейном пространстве, если линейная размерность четная, то линейный оператор может не иметь собственных векторов.
Нахождение собственных значений и координат собственных векторов.
Vn – линейное пространство (ℝ или ℂ); A ϵ L(Vn);
[e]: A ↔ Ae – матрица линейного оператора А.
2° Ae – λE – характеристическая матрица матрицы Ae ;
Составленное характеристическое уравнение det(Ae – λE) = 0;
Решаем характеристическое уравнение и находим корни λ1, …, λn.
3° Последовательно берем λi(I = 1, …, n), подставляем вместо λ в характеристическую матрицу и составляем однородную СЛАУ:
(2)
Собственные векторы, отвечающие за λi – все ненулевые решения полученной системы.
Билет 26. Свойства собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению линейного оператора. Теорема о линейной независимости собственных векторов, отвечающих попарно различным собственным значениям.
Пусть V-линейное пространство V’ Î V.
Определение 14. Линейное подпространство V’ Î V называется инвариантным относительно A, если ∀x Î V: Ax Î V’.
Теорема 9. Все собственные векторы линейного оператора A, соответствующие собственному значению λ0 вместе с θ образуют линейное подпространство V’, инвариантное относительно A.
1) V’ – линейное подпространство ∀x1, x2 Î V’
Докажем инвариантность V’ относительно A. ∀x Î V’: т.к. V’ – линейное подпространство, следовательно V’ инвариантно относительно A.
Теорема 10. Если λ1, …, λk – различные собственные значения оператора A (т. е. λi ≠ λj, при i ≠ j ), то собственные вектора f1…, fk, отвечающие данным собственным значениям, являются линейно независимыми.
Док-во: По условию: Afi = λifi i=1, …, k.
Ведём индукцию по k - числу векторов.
1) k = 1 – основание индукции. λ1 собственный вектор f1 ≠ θ => f1 – линейно независим.
2) Предположим, что любые(k -1) собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.
Равенство (3) умножаем на λk и вычтем из (4).
По индуктивному предположению f1, …, fk-1 – линейно независимы .
Пурть в пространстве R имеются два базиса: старый el, e2. en и новый e l * , e2 * . en * . Любой вектор нового базиса можно представить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:
Переход от старого базиса к новому можно задать матрицей перехода
Отметим, что коэффициенты размножения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы, а не строки этой матрицы.
Матрица А - неособенная, так как в противном случае ее столбцы (а следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимыми. Следовательно, она имеет обратную матрицу А -1 .
Подставим в это уравнение значения el * , e2 * . en * из предыдущей системы:
В силу линейной независимости векторов el, e2. en все коэффициенты при них в последнем уравнении должны равняться нулю. Отсюда:
или в матричной форме
Умножим обе части на А -1 , получим:
Например, пусть в базисе el, e2, e3 заданы вектора а1 = (1, 1, 0),
а2 = (1, -1, 1), а3 = (-3, 5, -6) и b = (4; -4; 5). Показать, что вектора аl, а2, а3 тоже образуют базис и выразить в этом базисе вектор b.
Покажем, что вектора аl, а2, а3 линейно независимы. Для этого убедимся в том, что ранг составленной из них матрицы равен трем:
Отметим, что исходная матрица представляет собой не что иное, как матрицу перехода А. В самом деле, связь между базисами el, e2, e3 и аl, а2, а3 можно выразить системой:
= 6 + 0 - 3 – 0 – 5 + 6 = 4
Линейные операторы
Линейным оператором (преобразованием, отображением) n-мерного векторного пространства называется правило Y = f(X), по которому каждому вектору Х ставится в соответствие единственный вектор Y, причем сохраняются линейные операции над векторами, т.е. имеют место свойства:
1) f(X + Z) = f(X) + f(Z) - свойство аддитивности оператора;
2) f(lX) = lf(X) - свойство однородности оператора.
Можно доказать, что каждому линейному оператору соответствует квадратная матрица в данном базисе. Справедливо и обратное: всякой матрице n-го порядка соответствует линейный оператор n-мерного пространства.
Поэтому линейное преобразование можно определить по-другому: линейным оператором n-мерного векторного пространства, заданным квадратной матрицей А, называется преобразование, которое любому вектору X, записанному в виде матрицы-столбца , ставит в соответствие вектор А(Х) = А*Х = .
Матрицу А называют матрицей оператора в данном базисе, а ранг этой матрицы - рангом оператора.
Например, если линейный оператор задан матрицей , то отображение Y вектора X = (4, -3, 1) будет равно
.
Отметим, что единичная матрица задает тождественное преобразование (тождественный оператор), поскольку, умножая ее на вектор, мы получаем тот же самый вектор.
Нулевая матрица определяется, как нулевой оператор, переводящий все векторы пространства в нулевые векторы.
Легко убедиться, что диагональная матрица, на диагонали которой стоит одно и то же число, задает оператор умножения вектора на это число.
Теорема. Матрицы А и А * одного и того же линейного оператора в базисах el, e2. en и el * , e2 * . en * связаны соотношением А * = С -1 АС, где С - матрица перехода от старого базиса к новому.
Доказательство. Обозначим Y отображение вектора X в базисe
el, e2. en, а те же вектора в базисе el * , e2 * . en * обозначим Х * и Y * . Так как С - матрица перехода, можно записать:
Умножим слева обе части первого равенства на матрицу А:
Так как АX = Y, получим Y = АСХ * , т.е. CY * = АСХ * . Домножив обе части последнего равенства на С -1 , получим:
С -1 CY * = С -1 АСХ *
Так как Y * = А * X * , А * = С -1 АС, что и требовалось доказать.
Например, пусть в базисе el, e2 матрица оператора А = . Найти матрицу этого оператора в базисе el * = el -2e2, e2 * = 2el + e2.
Для этого построим матрицу перехода С = и обратную ей матрицу С -1 . |C| = 5, , . Тогда
Читайте также: