Пользователь компьютера забыл пароль и перебирает наудачу 4 возможных
Пусть пространство элементарных исходов конечно, т. е. , и исходы равновозможны. Тогда вероятность каждого исхода постоянна, и в сумме они дают единицу. Если событию А соответствует M частных случаев из полной группы в N равновозможных событий, то Вероятностью события А называют величину . Вероятность события есть отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.
Решение. Обозначим событие А = . Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов = 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию А только один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность: .
Пример 2. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры разные, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
Решение. Обозначим В = . Сколько можно набрать различных цифр? Сколько может быть составлено размещений из 10 цифр по 2: . Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию В только один исход. Искомая вероятность: .
Пример 3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4 (событие А).
Решение. Общее число равновозможных исходов испытания равно , т. к. каждое число, выпавшее на одном кубике, может сочетаться со всеми числами на другом. Событию А благоприятствуют 3 исхода: , , . Искомая вероятность: .
Пример 4. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных.
Решение. Общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10: . Определим число исходов, благоприятствующих событию А = . 4 стандартные детали из 7 можно взять способами. При этом остальные 2 детали должны быть нестандартными. Взять 2 нестандартные детали из 3 можно способами. Число благоприятных исходов равно . Искомая вероятность: .
Здравствуйте! Подскажите пожалуйста с кратким пояснением (если можно), голову сломал, не могу сообразить как найти ряд распределения, остальное не надо, сам решу. Кто поможет, тому искренняя благодарность. Задача. Пользователь компьютера забыл пароль и перебирает наудачу 5 возможных. После четырех неудачных попыток компьютер блокируется. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа попыток. Построить график функции распределения.
задан 21 Май '19 14:31
Успех. Неудача и Успех. Неудача, Неудача и Успех. Неудача, Неудача и Неудача.
@Михаил Стрел. число попыток может принимать значения от 1 до 4. Для каждого из них надо найти вероятность. Это и называется рядом распределения, а сами вероятности находятся элементарно.
all_exist, Успех. Неудача и Успех. Неудача, Неудача и Успех. Неудача, Неудача и Неудача. и далее 4) Неудача, Неудача, Неудача и Неудача - это понятно, должно по идее по формуле Бернулли решаться, второй день мучаюсь, не идёт и всё, может в цифрах подскажете? И вообще, Р1 1/5 или 4/5, и чему равны Р2, Р3, Р4? Спасибо за ответ!
falcao, про четыре попытки сразу было ясно. Вот именно какие вероятности для этих попыток и не могу разобраться. Первая - или 1/5 или 4/5, вторая возможно 4/25 (если не ошибаюсь), а потом всё - провал, единица в сумме никак не получается. Если для Вас это элементарно, не могли бы Вы помочь с решением и кратко объяснить. Собственно, изначально в этом вопрос и состоял.
@Михаил Стрел. никакой формулы Бернулли тут нет -- всё намного проще. Вероятность открыть с первого раза равна 1/5 ввиду равноправия ключей. Две попытки потребуются, если сначала был неуспех (1-1/5=4/5), а потом успех (1/4). Перемножая, имеем 1/5, что следует и из общих соображений. Для успеха с третьего раза будет по тому же принципу (4/5)(3/4)(1/3)=1/5, то есть три числа мы нашли. Четвёртое число (что попыток будет 4 -- независимо от удачи) равно 2/5, чтобы сумма вероятностей равнялась 1. Это и есть ряд распределения.
Изначально показал преподу такое решение, он сказал, что не может быть одинаковая вероятность во всех трёх попытках и сказал применить преобразованную ф-лу Бернулли. Поэтому я и ломаю голову как найти ряд распределения.
@Михаил Стрел. вероятности здесь одинаковы, что ясно из общих соображений. Понятно, что уже опробованные неудачные пароли не повторяются, что следует из здравого смысла. Допустим, я решил перебирать их в порядке A,B,C,D,E. Попыток при такой схеме будет ровно столько, каков номер правильного пароля, а все такие случаи равновероятны. Поэтому, если после 4-х попыток нет блокировки, то все пять вероятностей равны 1/5, что очевидно безо всяких подсчётов. Здесь отличие лишь в том, что два последних числа суммируются (пять попыток считается за четыре).
1
Вариант 1
1. Из чисел от 1 до 100 наугад выбраны два разных числа. События A и B соответственно означают, что выбрано хотя бы одно нечетное число и хотя бы одно четное число. Что означают события AB и A
B?
2. Из корзины с пятью красными яблоками и четырьмя зелеными берутся (без возвращения) наудачу три яблока. С какой вероятностью среди этих трех яблок: а) ровно два зеленых, б) хотя бы одно красное?
3. Молодой человек договорился встретиться с девушкой между 9 и 10 часами и обещал ждать ее до 10
часов. Девушка обещала ждать его 10 минут, если придет раньше. Найти вероятность того, что они встретятся. Предполагается, что моменты их прихода равновероятны в течение часа.
4. В тире имеется 6 одинаковых на вид ружей. Вероятность попадания в мишень для двух из них по 0,9, для трех по 0,8 и для одного 0,3. Какова вероятность того, что стрелок попадет в мишень, если он выбирает ружье наудачу? Какова вероятность того, что было выбрано ружье, для которого вероятность попадания
0,3, при условии, что стрелок попал в мишень?
5. При передаче текста в среднем 10 % букв искажается и принимается неверно. Передано слово из 6 букв.
Какова вероятность того, что все буквы слова будут приняты правильно? Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга.
6. Вероятность успеха в схеме Бернулли в 3 раза больше вероятности неудачи. Для каждого целого k найти вероятность того, что в 4 испытаниях будет k успехов.
7. Вероятность попадания в мишень равна 0,6 при каждом выстреле. Стрельба ведется одиночными выстрелами до первого попадания, пока не будет израсходован боезапас. 1) Найти ряд распределения X –
числа произведенных выстрелов, если боезапас составляет 3 единицы. Построить график функции распределения X.
2)
Найти таблицу распределения случайной величины
2 3 / 2
Y
X
,
математическое ожидание и стандартное отклонение X.
8. Случайная величина X задана функцией плотности
( )
f x
cx
при
1 2
x
и
( )
0
f x
при
1; 2
x
Найти: 1) коэффициент с, функцию распределения, 2) D[X], Р(X 1 2 3
— 4 %. Деталь, изготовленная автоматом, оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом автомате?
6. Вероятность отказа сервера при каждом из независимых подключений с помощью модема равна 0,2. Попытки подключения производятся до установления связи. Найти ряд распределения,
193
математическое ожидание и дисперсию числа произведенных попыток подключения, если число попыток ограничено пятью. Построить график функции распределения.
7. Закон Эрланга с плотностью распределения f (x) =
Ax
2
e
−
α
x при x ≥ 0;
0
при x 0 по первому моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) =
1
θ
2
e
−x/
θ
2
при x > 0;
0
при x ≤ 0.
11.
Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)
отклонению, и график оценки плотности распределения.
5,38 -1,10 13,11 10,84 9,45 8,56 7,87 7,34 -4,06 3,48 4,70 7,13 -1,08 4,53 13,56 2,66 7,29 9,41 11,86 9,54 10,86 2,50 -2,84 11,21 8,93 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том,
принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия
0,01; на уровне доверия 0,001.
194
1,23 0,49 1,12 1,98 0,25 1,52 0,52 0,03 1,10 1,59 0,27 1,30 1,79 1,93 0,23 1,84 1,04
Вариант 16 1. Случайная точка A наудачу выбирается в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. Описать событие, означающее, что расстояние от A до каждой стороны прямоугольника не превосходит 1/2.
2. На полке в случайном порядке расставлены 8 книг, в том числе двухтомник Мандельштама. Найти вероятность того, что один из томов
Мандельштама окажется у правого края полки, а другой — у левого.
3. На отрезке единичной длины наудачу поставлены две точки, в результате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части.
Определить вероятность того, что сумма длин последних двух частей не превосходит длины первой части.
4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. По мишени стреляют одиночными выстрелами до первого попадания, после чего стрельбу прекращают. Найти вероятность того, что будет сделано более трех выстрелов.
5. Студент выучил к экзамену только 30 вопросов из 40. Для сдачи экзамена достаточно ответить на два из четырех разных вопросов. Какова вероятность того, что экзамен будет сдан? Какова вероятность того, что студент ответил на все четыре вопроса, если известно, что он сдал экзамен?
6. Пользователь компьютера забыл пароль и перебирает наудачу
6 возможных. После трех неудачных попыток компьютер блокируется.
Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа попыток. Построить график функции распределения.
7. Время достижения стандартным броуновским движением уровня a имеет плотность распределения f (t) =
At
−3/2
e
−a
2
/(2t)
при t ≥ 0;
0
при t 0 по третьему моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) =
3
√
x
2
θ
2
e
−x
√
x/
θ
2
при x > 0;
0
при x ≤ 0.
11.
Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)
отклонению, и график оценки плотности распределения.
4,61 6,70 2,88 9,09 -2,06 6,25 6,46 4,25 16,16 7,07 1,35 13,58 7,96 14,64
-2,14 10,81 2,50 2,24 -1,04 5,31 11,93 16,20 7,49 -5,21 5,90 5,63 7,26 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том,
принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия
0,01; на уровне доверия 0,001.
1,64 0,79 0,64 1,06 0,42 0,69 1,65 0,45 0,43 1,48 0,44 0,97 1,49 0,46 1,29 0,37 0,45
Вариант 17 1. Случайная точка A наудачу выбирается в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. Описать событие, означающее, что расстояние от A до ближайшей стороны прямоугольника не превосходит 1/2.
196
2. Из колоды карт в 36 листов вынимаются три карты. Найти вероятность того, что среди них окажутся хотя бы две красные карты.
3. На отрезке AB наудачу выбираются две точки M и N . Какова вероятность того, что точка M окажется по крайней мере втрое ближе к точке N , чем к точке A?
4. Электрическая цепь состоит из элементов A
k
, соединенных по следующей схеме:
-
A
1
A
2
A
3
-
Вероятность выхода из строя элемента A
1
равна 0,1, остальных элементов A
k
— по 0,04. Предполагается, что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь будет пропускать ток.
5. Прибор состоит из трех независимо работающих блоков, вероятности отказа которых за смену равны соответственно 0,01, 0,05 и 0,08.
Вероятность выхода из строя прибора при отказе одного из блоков равна
0,5; при отказе двух блоков — 0,8, при отказе всех трех блоков —
1. Определить вероятность выхода прибора из строя за смену. Найти вероятность того, что отказали все три блока, если известно, что прибор вышел из строя.
6. При игре с автоматом игрок получает 50 рублей с вероятностью
0,1, 10 рублей с вероятностью 0,3. Найти сумму x рублей, которую игрок бросает в автомат и теряет в случае проигрыша, если математическое ожидание выигрыша равно минус 2 рублям. (В случае проигрыша сумма выигрыша считается отрицательным числом, равным сумме проигрыша,
взятой со знаком «минус».) Найти ряд распределения и дисперсию суммы выигрыша. Построить график функции распределения.
7. Плотность распределения вероятностей случайной величины
ξ
имеет вид f (x) =
A
1 +
x
θ
2
при |x| ≤
θ
;
0
при |x| >
θ
(усеченное распределение Коши). Найти коэффициент A, вычислить математическое ожидание и стандартное отклонение. Найти вероятность того, что случайная величина
ξ
примет значение, большее
θ
/
√
3.
197
8. В двух из четырех аудиторий по 20 студентов и уровень шума
60 децибелл, в третьей 10 студентов и уровень шума 50 децибелл, а в четвертой аудитории нет студентов и уровень шума 20 децибелл.
Найти совместное распределение числа студентов и уровня шума в выбранной наудачу аудитории. Найти коэффициент корреляции между числом студентов и уровнем шума.
9. Количество 10-копеечных монет, необходимое для выдачи каждой сдачи в кассе, принимает значения от 0 до 4 с равными вероятностями.
Найти, с какой вероятностью на 100 выдач сдачи будет достаточно 220 10-копеечных монет .
10. Для выборки (X
1
, X
2
, . . . , X
n
) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра 1 1;
0
при x ≤ 1.
11.
Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)
отклонению, и график оценки плотности распределения.
2,92 12,70 10,80 -10,19 4,32 12,02 13,68 3,75 -0,90 2,94 15,07 2,08 16,22 13,42 1,55 -6,05 15,70 12,35 13,94 -0,56 24,10 7,45 3,60 -0,24 16,84 6,13
-5,28 3,00 10,04 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том,
принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия
0,01; на уровне доверия 0,001.
1,82 1,13 1,78 0,65 0,55 1,02 0,88 0,76 0,57 1,71 0,62 1,69 0,15 0,23 1,99 1,53 1,91 1,57
Вариант 18 1. Брошены три игральные кости. Описать событие, означающее, что хотя бы на одной кости появилась единица, и не более чем на двух выпали
198
2. Номер лотерейного билета состоит из 6 цифр. Какова вероятность того, что хотя бы две цифры взятого наудачу билета совпадают?
3. Стержень единичной длины AB разломан в двух наудачу выбранных точках X и Y . С какой вероятностью расстояние между этими точками не превзойдет максимального из двух отрезков AX или AY ?
4. По мишени по одному разу стреляют 4 стрелка. Вероятность попадания для первого равна 0,5, для второго — 0,6, для третьего — 0,7,
для четвертого — 0,9. Найти вероятность ровно двух попаданий.
5. В семи урнах содержится по 3 белых и 2 черных шара, а в трех урнах по 7 белых и 3 черных шара. Какова вероятность, что из урны, взятой наудачу, будет извлечен белый шар? Найти вероятность, что шар извлечен из урны с 7 белыми и 3 черными шарами, если он оказался белым.
6. Прибор состоит из трех малонадежных элементов. Отказы элементов за некоторый период времени независимы, а их вероятности равны соответственно 0,2; 0,3; 0,4. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа отказавших элементов. Построить график функции распределения.
7. Точка M движется по оси Ox по закону x = vt − at
2
. В
случайный момент времени, равномерно распределенный на отрезке [0; T ],
наблюдается координата
ξ
точки M . Найти математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины
ξ
. При v = 10 м/с, a = 10
м/с
2
, T = 3 c найти вероятность того, что
ξ
> 0.
8. Четыре автобуса, уходящие с интервалом в 5 минут, увезли по 20 пассажиров. Два автобуса, уходящие с интервалом в 10 минут,
увезли по 30 пассажиров. Два автобуса, уходящие с интервалом в 15
минут, увезли по 35 пассажиров. Найти совместное распределение числа пассажиров и интервала движения для выбранного наудачу автобуса.
Найти коэффициент корреляции.
9. Количество бракованных изделий в коробке имеет распределение
Пуассона с параметром 2. Найти вероятность того, что в 16 коробках более
40 бракованных изделий.
10. Для выборки (X
1
, X
2
, . . . , X
n
) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра
θ
> 2 по второму моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) =
θ
x
−(
θ
+1)
при x > 1;
0 при x
≤ 1.
199
11.
Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)
отклонению, и график оценки плотности распределения.
13,29 7,48 2,82 22,84 7,49 8,98 13,84 14,17 7,07 9,69 -8,35 12,77 14,93 5,81 8,62 11,22 3,85 2,86 9,52 15,93 9,43 19,48 19,19 12,20 19,40 12,09 8,47 6,79 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том,
принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия
0,01; на уровне доверия 0,001.
0,19 0,91 0,30 1,34 0,61 1,12 1,00 0,53 1,58 0,62 0,41 0,89 1,20 1,51 0,78 1,44 0,46 0,69 1,33
Вариант 19 1. Некто написал n адресатам письма, в каждый конверт вложил по одному письму, и затем наудачу написал на каждом конверте один из n адресов. Пусть событие A
i состоит в том, что i-е письмо попало в свой конверт. Описать событие, заключающееся в том, что ровно одно письмо попало в свой конверт.
2. В бригаде 4 рабочих. Какова вероятность того, что по крайней мере трое из них родились в один и тот же день недели? Считать, что вероятности родиться в каждый из дней одинаковы.
3. Стержень единичной длины AB разломан в двух наудачу выбранных точках X и Y . С какой вероятностью расстояние между этими точками не превзойдет длины отрезка AX?
4. Электрическая цепь состоит из элементов A
k
, соединенных по следующей схеме:
-
A
1
A
2
A
3
-
A
4
Вероятность выхода из строя элемента A
2
равна 0,01, остальных элементов A
k
— по 0,1. Предполагается, что элементы выходят из строя
200
11.
Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)
отклонению, и график оценки плотности распределения.
23,95 -2,61 11,87 1,37 5,92 -5,10 5,38 14,71 7,55 3,91 1,23 8,50 -5,58
-1,97 17,93 9,42 11,99 9,39 4,78 5,43 9,40 8,68 2,20 7,15 14,78 14,77
-15,16 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том,
принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия
0,01; на уровне доверия 0,001.
2,94 1,96 0,64 0,76 0,01 0,82 0,23 0,82 1,96 1,28 1,49 1,07 1,92 0,17 1,68 1,01 0,48
Вариант 20 1. Некто написал n адресатам письма, в каждый конверт вложил по одному письму и затем наудачу написал на каждом конверте один из n адресов. Пусть событие A
i состоит в том, что i-е письмо попало в свой конверт. Описать событие, заключающееся в том, что ровно два письма попали в свои конверты.
2. Некто написал трем адресатам письма, в каждый конверт вложил по одному письму, и затем наудачу написал на каждом конверте один из трех адресов. Найти вероятность, что хотя бы одно письмо попало по назначению.
3. На линейке наудачу поставлены 2 точки. Какова вероятность того,
что расстояние между ними окажется больше четверти длины линейки?
4. Три стрелка поочередно стреляют по одной и той же мишени.
У каждого стрелка 2 патрона. При первом попадании стрельба прекращается. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка 0,3, для второго — 0,4, для третьего — 0,6. Найти вероятность того, что все стрелки израсходуют весь свой боезапас.
5. Первое орудие 3-орудийной батареи пристреляно так, что вероятность попадания для него равна 3/11. Для второго и третьего орудия
202
она равна 1/5. Батарея дала залп по цели. Найти вероятность того, что цель поражена. Найти вероятность того, что первое орудие попало в цель,
если известно, что цель была поражена. Для поражения цели достаточно одного попадания.
6. Вероятность приема отдельного сигнала равна 0,05. Радиосигнал передается 5 раз. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа принятых сигналов. Построить график функции распределения. Найти вероятность того, что принятых сигналов будет не меньше 2, но не больше 3.
7. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника является случайной величиной, равномерно распределенной на отрезке [0;1].
Найти плотность распределения, функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию площади треугольника. Найти вероятность того, что площадь превосходит 1/8. Начертить графики плотности распределения и функции распределения.
8. В отделе работает один сотрудник с двумя высшими образованиями возрастом 30 лет, два сотрудника с высшим образованием возрастом по 50
лет и два сотрудника без высшего образования возрастом по 20 лет. Для выбранного наудачу сотрудника найти совместное распределение возраста и количества высших образований. Вычислить коэффициент корреляции между ними.
9. Время ожидания автобуса пассажиром имеет показательное распределение со средним значением 8 минут. Найти количество поездок,
за которое суммарное время, затраченное на ожидание автобуса, не превысит 5 часов с вероятностью 0,9.
10. Для выборки (X
1
, X
2
, . . . , X
n
) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра
θ
> 0 по первому моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) =
x
2 2
θ
6
e
−x/
θ
2
при x > 0;
0 при x
≤ 0.
11.
Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)
отклонению, и график оценки плотности распределения.
203
Классической схемой, или схемой случаев, называется испытание, при котором число элементарных исходов конечно и все из них равновозможны.
Элементарное событие (исход) ω называется благоприятствующим событию А, если его появление влечет наступление события А (т. е. ω входит в число элементов, составляющих А).
Классической вероятностью события А называется отношение числа M элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу N всех элементарных событий этой схемы
Из определения вероятности следует, что Р (Ø) = 0, и .
Пример 2.7. В магазин поступило 40 новых цветных телевизоров, среди которых 7 имеют скрытые дефекты. Наудачу отбирается один телевизор для проверки. Какова вероятность, что он не имеет скрытых дефектов?
Решение. Число телевизоров, не имеющих скрытых дефектов, равно . Число всех элементарных исходов всех поступивших телевизоров равно . Следовательно, по классическому определению вероятности вероятность того, что отобранный телевизор не имеет скрытых дефектов (событие А), равна
Ответ: Р(А) = 0,825.
Пример 2.8. 1 сентября на первом курсе одного из факультетов запланированы по расписанию три лекции из 10 различных предметов. Студент, не успевший ознакомиться с расписанием, пытается его угадать. Какова вероятность успеха в данном эксперименте, если считать, что любое расписание из трех предметов равновозможно.
Решение. Студенту необходимо из 10 лекций, которые могут быть поставлены в расписание, причем в определенном порядке, выбрать три. Следовательно, число всех возможных исходов испытания равно числу размещений из 10 по 3, т. е.
Благоприятный же случай только один, т. е. M = 1. Искомая вероятность будет равна
Пример 2.9. В подъезде дома установили замок с кодом. Дверь автоматически отпирается, если в определенной последовательности набрать три цифры из возможных десяти. Некто вошел в подъезд и, не зная кода, стал наудачу пробовать различные комбинации из трех цифр. На каждую попытку он тратит 15 секунд. Какова вероятность события А = ?
Решение. Так как цифры, входящие в набираемый номер, могут повторяться и порядок их набора играет существенную роль, то мы приходим к схеме размещений с повторениями. Число возможных вариантов набора трех цифр из 10 возможных равно За один час, тратя на набор комбинации 15 секунд, можно набрать 240 различных комбинаций, т. е. M = 240. Искомая вероятность
Пример 2.10. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы года.
Решение. Так как каждый из 12 человек может родиться в любом из 12 месяцев года, то число всех возможных вариантов можно посчитать по формуле размещений с повторениями
Число благоприятных случаев получим, переставляя месяцы рождения у этих 12 человек, т. е.
Тогда искомая вероятность будет равна
Пример 2.11. На полке стоят 15 книг, 5 из них в переплете. Берут наудачу три книги. Какова вероятность того, что все три книги в переплете?
Решение. Опыт состоит в том, что из 15 книг отбирают 3, причем в каком порядке они отобраны, роли не играет. Следовательно, число возможных способов выбора будет равно числу сочетаний из 15 по 3, т. е.
Число благоприятных случаев будет равно числу сочетаний из 5 по 3, т. е.
Пример 2.12. В кондитерской имеются 6 видов пирожных. Очередной покупатель выбил чек на 3 пирожных. Считая, что любой заказываемый набор пирожных равновероятен, вычислить вероятность того, что покупатель заказал пирожные разных видов.
Решение. Число всех возможных видов заказов 3 пирожных будет равно числу сочетаний с повторениями из 6 элементов по 3, т. е.
Число благоприятных случаев будет равно числу сочетаний из 6 по 3, т. е.
Пример 2.13. Десять приезжих мужчин, среди которых Петров и Иванов, размещаются в гостинице в двух трехместных и одном четырехместном номерах. Какова вероятность события А, состоящего в том, что Петров и Иванов попадут в четырехместный номер?
Решение. Число всех возможных размещений 10 человек в двух трехместных и одном четырехместном номере равно числу перестановок из десяти элементов, среди которых 3 одного вида, 3 другого и 4 третьего, т. е.
После того как Иванов и Петров будут размещены в четырехместном номере, остальные 8 человек должны быть размещены в двух трехместных и на оставшиеся два свободных места в четырехместном номере, это можно будет сделать следующим образом:
Читайте также: