Матрица якоби замены координат
Пусть функции осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области P плоскости на область S плоскости . Тогда существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение , области S на область P, если якобиан преобразования
Величины U и V можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области P и в то же время как Криволинейные координаты точек области S. Точки плоскости Oxy, для которых одна из координат U и V сохраняет постоянное значение, образуют Координатную линию. Всего будет два семейства таких линий.
Теорема 14.3. Пусть есть дифференцируемое преобразование области P из плоскости на область S Из плоскости . Тогда справедливо равенство
Замечание. Равенство (2.5) сохраняет справедливость, когда условие взаимно однозначного соответствия между областями S и P нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий.
Переход в двойном интеграле к полярным координатам
Преобразуют полярные координаты точки в декартовы координаты этой точки и переводят область (или область ) на всю плоскость Oxy.
Обратное преобразование декартовых координат в полярные осуществляется по формулам:
Фиксируя в последних формулах И, получим координатные линии из разных семейств: окружность с центром в точке И луч, исходящий из точки .
И формула (2.5) принимает вид:
Рекомендация. К полярным координатам целесообразно переходить, когда в подынтегральное выражение или в уравнения границы области интегрирования входит комбинация .
В некоторых случаях при вычислении двойного интеграла удобно перейти от декартовых координат к Эллиптическим полярным Координатам по формулам
Пример 6. Записать в полярной системе координат область S , заданную в декартовой системе координат неравенством (круг радиуса R с центром в точке ).
Ñ Перейдем от декартовых координат X, Y к полярным по формулам , . Подставим X и Y в исходное неравенство, получим: или . На координату j дополнительных ограничений не накладывается, поэтому (или ).
Пример 7. Записать в полярной системе координат область S - часть круга, ограниченную линиями , , (), - постоянные, .
Ñ Изобразим область S (рис. 14.9). Запишем заданные линии в полярных координатах, которые связаны с декартовыми формулами , : 1)Þ ;
Область переходит в область
Пример 8. Вычислить двойной интеграл , S - множество точек, удовлетворяющих неравенству .
Ñ Границей области является линия или - окружность радиуса 2 с центром в точке ( Рис. 14.10).
Наличие в уравнении границы комбинации наводит на мысль, что для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам по формулам , , . Уравнение границы переходит в уравнение или . Отсюда r=0 (соответствует полюсу O) и - уравнение окружности. Так как всегда (по смыслу r), то из следует , отсюда получаем (этот же результат можно усмотреть из рисунка). Итак, в полярных координатах область интегрирования есть . Тогда по формуле (2.7)
Пример 9. Вычислить , где .
Ñ Область D ограничена линиями: – эллипс с полуосями A и B, – эллипс с полуосями и , Y=0 – прямая (ось Ox), – прямая (рис. 14.11).
Анализ границы области указывает на целесообразность перехода к Эллиптическим полярным координатам по формулам (2.8), (2.9): , . Уравнения границы области в координатах будут: 1), 2) , 3) ,
4) . Итак, область интегрирования в координатах есть
Задачи для самостоятельного решения
Перейти в двойном интеграле к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в порядке: внешнее – по j, внутреннее - по r:
27. D – область, ограниченная окружностями , и прямыми , .
28. D - область, являющаяся общей частью двух кругов и .
29. D - меньший из двух сегментов, на которые прямая рассекает круг .
30. D - внутренняя часть правой петли лемнискаты Бернулли .
32. D: .Указание. Перейти к эллиптическим полярным координатам.
33. D - область, ограниченная линией . Указание. Перейти к эллиптическим полярным координатам.
Читая отзывы к своим статьям, понял, что я излишне перегрузил читателя теоретическими вводными. Прошу за это прощения, признаться честно, я сам далек от формальной математики.
Однако, тензорное исчисление пестрит понятиями, многие из которых требуется вводить формально. Поэтому третья статься цикла тоже будет посвящена сухой теории. Тем не менее, я обещаю, что в следующей работе приступлю к тому, к чему сам давно хотел — к описанию практической ценности тензорного подхода. На примете имеется интересная задача, большая часть которой в моей голове уже разобрана. Тензорное исчисление для меня не праздный интерес, а способ обработать некоторые из своих теоретических и практических соображений в области механики. Так что практика по полной программе ещё предстоит.
Переход к сферической системе координат
Пусть в пространстве заданы прямоугольная система координат и соответствующая ей сферическая система координат , для которых
Найдем матрицу Якоби
Вычислим якобиан преобразования
При и при или якобиан отличен от нуля. Следовательно, все точки оси аппликат (и только они) являются особыми точками преобразования (2.35). Коэффициент искажения объема равен и применяется при вычислении тройных интегралов.
В векторное исчисление, то Матрица якобиана ( / dʒ ə ˈ k oʊ б я ə п / , [1] [2] [3] / dʒ ɪ -, j ɪ -/ ) из вектор-функция в нескольких переменных матрица всего первого порядка частные производные. Когда эта матрица квадрат, то есть, когда функция принимает в качестве входных данных то же количество переменных, что и количество компоненты вектора его продукции, его детерминант называется Определитель якобиана. И матрицу, и (если применимо) определитель часто называют просто Якобиан в литературе. [4]
Предполагать ж : ℝ п → ℝ м - функция, каждая из ее частных производных первого порядка существует на ℝ п . Эта функция принимает точку Икс ∈ ℝ п в качестве входных данных и производит вектор ж(Икс) ∈ ℝ м как выход. Тогда матрица Якоби ж определяется как м×п матрица, обозначаемая J , чей (я,j) -я запись J я j = ∂ ж я ∂ Икс j < displaystyle mathbf _ = < frac < partial f_ > < partial x_ >>> , или явно
Матрица Якоби представляет собой то дифференциал из ж в каждой точке, где ж дифференцируема. Подробно, если час это вектор смещения представлен матрица столбцов, то матричный продукт J(Икс) ⋅ час - еще один вектор смещения, который является наилучшим линейным приближением изменения ж в район из Икс , если ж(Икс) является дифференцируемый в Икс . [а] Это означает, что функция, отображающая у к ж(Икс) + J(Икс) ⋅ (у – Икс) лучший линейное приближение из ж(у) по всем пунктам у рядом с Икс . Этот линейная функция известен как производная или дифференциал из ж в Икс .
Когда м = п , матрица Якоби квадратная, поэтому ее детерминант является четко определенной функцией от Икс , известный как Определитель якобиана из ж . Он несет важную информацию о локальном поведении ж . В частности, функция ж имеет локально в окрестности точки Икс ан обратная функция которая дифференцируема тогда и только тогда, когда определитель Якоби отличен от нуля в Икс (увидеть Гипотеза о якобиане). Определитель Якобиана также появляется при замене переменных в кратные интегралы (увидеть правило замены для нескольких переменных).
Когда м = 1 , вот когда ж : ℝ п → ℝ это скалярная функцияматрица Якоби сводится к вектор строки. Этот вектор-строка всех частных производных первого порядка от ж это транспонировать из градиент из ж , т.е. J ж = ( ∇ ж ) ⊺ < displaystyle mathbf _ = ( nabla f) ^ < intercal>> . Здесь мы принимаем соглашение, согласно которому вектор градиента ∇ ж < displaystyle nabla f>вектор-столбец. Специализируясь далее, когда м = п = 1 , вот когда ж : ℝ → ℝ это скалярная функция одной переменной матрица Якоби имеет единственный элемент. Эта запись является производной функции ж .
Эти концепции названы в честь математик Карл Густав Джейкоб Якоби (1804–1851).
Нелинейные дифференцируемые преобразования координат
Пусть в пространстве заданы две системы координат, т.е. каждой точке поставлены в соответствие два упорядоченных набора действительных чисел (старые координаты) и (новые координаты), причем известны выражения старых координат через новые:
где — непрерывно дифференцируемые функции; — столбец заданных функций; и — координатные столбцы радиус-векторов точки в старой и новой системах координат.
Обозначим через матрицу частных производных первого порядка заданных функций (матрицу Якоби преобразования (2.29)). Определитель матрицы Якоби называется якобианом преобразования координат .
Точки, где якобиан преобразования равен нулю или не существует, называются особыми , а остальные точки называются неособыми .
По теореме об обратном преобразовании: если задано преобразование координат (2.29): , выражающее старые координаты произвольной точки через новые , причем для некоторой фиксированной точки , и якобиан преобразования в этой точке (при ) отличен от нуля, то в достаточно малой окрестности точки можно выразить новые координаты через старые:
причем . Матрица Якоби обратного преобразования будет обратной для матрицы .
Поясним это утверждение. Пусть — координатные столбцы радиус- векторов точки в старой и новой системах координат, причем якобиан преобразования в этой точке отличен от нуля. Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки , оставляя члены только первого порядка. Получим выражение приращения старых координат через приращение новых координат:
или в координатной форме
Формула (2.31) представляет собой локальное преобразование координат в окрестности точки с учетом членов только первого порядка. Сравнивая (2.31) с формулами (2.28), делаем вывод: в окрестности точки старые локальные координаты и новые локальные координаты вектора преобразуются так же, как при аффинном преобразовании (2.28) с матрицей матрицей Якоби, вычисленной в точке (при ).
Другими словами, преобразование координат (2.29) в окрестности неособой точки можно рассматривать как переход от одной аффинной системы координат к другой, т.е. локальное преобразование координат является невырожденным линейным преобразованием координат (2.28). Аффинное преобразование координат, как известно, обратимо и матрица обратного перехода является обратной для (см. свойства матрицы перехода от одного базиса к другому). При этом модуль якобиана равен коэффициенту искажения объемов (в окрестности рассматриваемой точки ) . В отличие от аффинных преобразований коэффициент искажения объемов при нелинейных преобразованиях, вообще говоря, меняется в зависимости от точки .
Пример 2.15. На плоскости в прямоугольной системе координат отмечена точка и введена система координат, в которой положение произвольной точки задается двумя углами . Оба угла отсчитываются от оси абсцисс в положительном направлении (против движения часовой стрелки) до вектора и вектора соответственно (рис.2.39,а), причем диапазоны изменения углов выбираются как в полярной системе координат: и (допустимые значения углов изображены на рис.2.39,б (два заштрихованных треугольника), где учтены очевидные неравенства для точек, принадлежащих I и II четвертям, и для точек в III и IV четвертях). Требуется:
а) вывести формулы (2.29) преобразования координат;
б) вывести формулы (2.31) локального преобразования координат;
в) указать особые точки полученного преобразования координат.
а) Найдем полярный радиус точки . По теореме синусов для треугольника :
так как (внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним) и, следовательно, . Теперь, используя связь (2.17) прямоугольных и полярных координат, получаем
б) Найдем матрицу Якоби
Следовательно, локальное преобразование координат (2.31) в окрестности точки имеет вид
в) Находим якобиан преобразования:
Он равен нулю или не имеет смысла для точек, принадлежащих оси абсцисс, т.е. при , и . Остальные точки плоскости являются неособыми.
2. Взаимный базис
Введем векторы , получаемые из векторов исходного базиса путем поднятия индекса
Теперь возьмем и умножим (11) скалярно на вектор
но, мы знаем, что — метрический тензор, поэтому, приходим к уравнению
Если мы возьмем, например, вектор , то в силу (12) он перпендикулярен векторам и (его скалярное произведение с ними равно нулю), а скалярное произведение этого вектора на — равно единице
Дальше возьмем и умножим (11) скалярно на
и в силу (12) это дает контравариантный метрический тензор
Система векторов тоже образует базис, который называют взаимным или сопряженным с базисом .
Снова рассмотрим вектор . Из соотношений (10) и (11) следует цепочка преобразований
Умножим (13) скалярно на
приходим к заключению, что любой вектор может быть разложен как по базису — тогда его компоненты будут контравариантные, так и по базису — компоненты будут ковариантными
При этом, ковариантные компоненты — это скалярные произведение вектора на векторы базиса , а контравариантные компоненты — скалярные произведения вектора на векторы базиса
что ещё раз иллюстрирует взаимность этих базисов.
Тут надо отметить, что векторы базиса получаются естественным путем — они касательны соответствующим координатным линиям и им можно приписать геометрический смысл. Что касается базиса , то его векторы не направлены по касательной координатным линиям, а перпендикулярны парам векторов касательного базиса. Такой базис иногда принято называть неголономным
Содержание
Заключение
Первичные теоретические основы разобраны. Со следующей статьи мы уйдем в практику использования тензорного исчисления для решения конкретных задач. Спасибо Вам за оказанное мне внимание и доверие.
Пусть в пространстве заданы две аффинные системы координат, т.е. каждой точке поставлены в соответствие два упорядоченных набора действительных чисел (старые координаты) и (новые координаты). Выражения старых координат через новые имеют вид линейных невырожденных преобразований координат :
где — невырожденная матрица (матрица перехода от базиса старой системы координат к базису новой системы координат ), a — вектор переноса начала координат; — координатные столбцы радиус-векторов одной и той же точки и в соответствующих системах координат. Координаты вектора , или , в старом базисе выражаются через координаты этого же вектора в новом базисе по формуле (см. Преобразование координат вектора при замене базиса):
Аналогично случаю аффинного преобразования координат "обычного" пространства определитель матрицы равен отношению n-мерных ориентированных объемов параллелепипедов, построенных на базисных векторах новой и старой систем координат, а модуль определителя равен коэффициенту искажения объемов при аффинном преобразовании (см. свойства 3 и 4 аффинных преобразований пространства). Коэффициент искажения объема
Переход к полярной системе координат
Пусть на плоскости заданы прямоугольная система координат и соответствующая ей полярная система координат , для которых
Найдем матрицу Якоби . Якобиан преобразования отличен от нуля всюду , за исключением начала координат , где . Следовательно, точка — единственная особая точка преобразования (2.32).
Вычислим коэффициент искажения площади в окрестности произвольной неособой точки . Пусть точка имеет прямоугольные координаты и полярные координаты , причем . В окрестности точки введем две аффинные системы координат и (см. рис.2.40,а), связанные локальным преобразованием координат (2.31):
Аффинное преобразование (2.33), описываемое матрицей Якоби, можно представить в виде композиции двух преобразований: поворота на угол и сжатия к оси с коэффициентом (см. разд.2.2.4):
Базисные векторы системы координат совпадают со стандартным базисом прямоугольной системы координат , а базисные векторы системы координат связаны с ними соотношениями
Ортогональность базисных векторов при такой композиции преобразований естественно сохраняется: . Поэтому квадрат, построенный на базисных векторах (изображен на рис.2.40,а штриховой линией), единичной площади преобразуется в прямоугольник (изображен на рис.2.40,а сплошной линией) площади . Таким образом, в окрестности неособой точки коэффициент искажения площади равен модулю якобиана преобразования (2.32):
Коэффициент искажения площади равен и применяется при вычислении двойных интегралов.
Сравним теперь полное искажение площади в результате преобразования (2.32) и при локальным преобразовании (2.33). Рассмотрим множество точек, полярные координаты которых удовлетворяют условиям
Это множество представляет собой криволинейный четырехугольник (заштрихованный на рис.2.40,б), ограниченный дугами окружностей , и отрезками лучей , . Найдем площадь 5 этой фигуры:
В аффинной системе координат множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям
представляет собой прямоугольник (изображен сплошными линиями на рис.2.36,6) площади . Искомая разность площадей
Так как относительная ошибка
стремится к нулю при , то при вычислении искажения площадей можно использовать локальное преобразование координат (2.33) вместо преобразования (2.32).
3. Преобразование криволинейных координат. Формальное определение ковариантных и контравариантных компонент
Допустим, что мы работаем в криволинейной система координат, определенной вектором . Перейдем к другой системе координат, положение точек которой определяется вектором , таким, что преобразование от старой системы координат к новой определяется уравнениями
Будем считать преобразование (16) обратимым, то есть допустим существование функции
Для этого требуется, чтобы определитель матрицы Якоби
был отличен от нуля
Тогда существует матрица , обратная матрице (18), такая, что
Матрица является матрицей Якоби для преобразования (17). Тогда можно вычислить векторы нового базиса
Получаем связь между старым базисом и новым
Разложим вектор в новом базисе
и используя соотношение (19), напишем
С учетом того, что векторы базиса линейно независимы, приравниваем коэффициенты при них в (21)
Теперь умножим обе части (21) на
То есть, получаем формулу обратного преобразования контравариантных компонент
Контравариантные компоненты вектора преобразуются оператором, обратным оператору преобразования базиса
Действительно, чтобы получить векторы нового базиса, мы использовали матрицу по формуле (19). Чтобы получить контравариантные компоненты заданного в новом базисе вектора мы используем матрицу
А теперь посмотрим, как преобразуется вектор, заданный своими ковариантными компонентами
Ковариантные компоненты вектора преобразуются тем же оператором, которым осуществляется преобразование базиса
Формулы (19), (22) и (23) и сформулированные определения, вынесенные в цитатный блок дают формальное определение контравариантных и и ковариантных координат и иллюстрируют разницу между ними. Можно сформулировать утверждение
Тензор ранга (1,0) преобразуется оператором обратным, используемому при преобразовании базиса, а тензор ранга (0,1) преобразуется тем же самым оператором, что используется при преобразовании базиса.
Матрица якобиана
Якобиан векторнозначной функции многих переменных обобщает градиент из скаляр-значная функция нескольких переменных, которая, в свою очередь, обобщает производную скалярной функции одной переменной. Другими словами, матрица Якоби скалярнозначного функция от нескольких переменных является (транспонированием) его градиента, а градиент скалярной функции одной переменной является ее производной.
В каждой точке, где функция является дифференцируемой, ее матрицу Якоби также можно рассматривать как описывающую величину «растяжения», «поворота» или «преобразования», которое функция накладывает локально около этой точки. Например, если (Икс′, у′) = ж(Икс, у) используется для плавного преобразования изображения, матрица Якоби Jж(Икс, у) , описывает, как изображение в окрестности (Икс, у) трансформируется.
Если функция дифференцируема в точке, ее дифференциал задается в координатах матрицей Якоби. Однако функция не должна быть дифференцируемой для определения ее матрицы Якоби, поскольку только ее первый порядок частные производные должны существовать.
Если ж является дифференцируемый в какой-то момент п в ℝ п , то его дифференциал представлен Jж(п) . В этом случае линейное преобразование представлена Jж(п) лучший линейное приближение из ж рядом с точкой п , в том смысле, что
где о(‖Икс − п‖) это количество который приближается к нулю намного быстрее, чем расстояние между Икс и п делает как Икс подходы п . Это приближение специализируется на приближении скалярной функции одной переменной ее Многочлен Тейлора первой степени, а именно
ж ( Икс ) − ж ( п ) = ж ′ ( п ) ( Икс − п ) + о ( Икс − п ) ( так как Икс → п ) < Displaystyle f (x) -f (p) = f '(p) (x-p) + o (x-p) quad (< text > x to p)> .
В этом смысле якобиан можно рассматривать как своего рода "производная первого порядка"векторной функции нескольких переменных. В частности, это означает, что градиент скалярной функции многих переменных также можно рассматривать как ее «производную первого порядка».
Составные дифференцируемые функции ж : ℝ п → ℝ м и грамм : ℝ м → ℝ k удовлетворить Правило цепи, а именно J грамм ∘ ж ( Икс ) = J грамм ( ж ( Икс ) ) J ж ( Икс ) < displaystyle mathbf _ < mathbf circ mathbf > ( mathbf ) = mathbf _ < mathbf > ( mathbf ( mathbf )) mathbf _ < mathbf > ( mathbf )> за Икс в ℝ п .
Якобиан градиента скалярной функции многих переменных имеет специальное название: Матрица Гессе, что в некотором смысле является "вторая производная"рассматриваемой функции.
Теорема. Пусть - функция, заданная в области , - биективное (осуществляющее взаимно однозначное соответствие) дифференцируемое отображение,
.
Где - модуль якобиана (определителя матрицы Якоби, или, что то же самое, производной матрицы ).
Доказательство. Пусть . Тогда взаимно однозначное дифференцируемое отображение в можно записать в виде . Разобьём область на части прямыми параллельными координатным осям. Этому разбиению соответствует разбиение области кривыми . При этом прямоугольник с вершинами перейдёт в криволинейный четырёхугольник , ограниченный линиями .
Пусть - точка прямоугольника , , . Рассмотрим интегральную сумму
Для вычисления интеграла от функции по области , в которой - площадь четырёхугольника . Из геометрического смысла производной , следует, что вектор является касательным к кривой в точке, а вектор будет касательным вектором кривой в той же точке. Далее,
, где и - бесконечно малые более высокого порядка малости, чем и . Можно показать, что площади криволинейного четырёхугольника и параллелограмма построенного на векторах , отличаются на бесконечно малую более высокого порядка малости, чем . Заметим, что если - линейное преобразование координат, то четырёхугольник совпадает с параллелограммом, построенным на векторах , . Поэтому заменим четырёхугольник указанным параллелограммом.. Его площадь равна . Вычисляя , получаем
.
Переходя в последней сумме к пределу при увеличении числа разбиений, получаем вывод о справедливости теоремы в случае . Для доказательство аналогично, если заменить объём соответствующей элементарной области объёмом параллелепипеда, построенным на векторах
,,
,
Который равен или, что то же самое, модулю определителя матрицы Якоби (модулю якобиана) вектор-функции, отображающей в , умноженной на объём . В общем случае требуется замена меры Мерной элементарной области на меру Мерного параллелепипеда, которая равна модулю определителя матрицы Якоби (модулю определителя производной матрицы), умноженной на объём элементарной области в новых переменных. Теорема доказана.
Заметим, что для ортогональной системы координат на плоскости , где и - коэффициенты Ламе. Аналогично, в
Для полярной системы координат на плоскости матрица Якоби равна
.
Определитель этой матрицы равен , поэтому модуль Якобиана тоже равен и формула перехода к полярным координатам в двойном интеграле приобретает вид
Переход к цилиндрической системе координат
Пусть в пространстве заданы прямоугольная система координат и соответствующая ей цилиндрическая система координат) , для которых
Найдем матрицу Якоби . Якобиан преобразования отличен от нуля всюду , за исключением оси , где . Следовательно, все точки оси аппликат (и только они) являются особыми точками преобразования (2.34). Коэффициент искажения объема равен и применяется при вычислении тройных интегралов.
1. Матрица Якоби и локальная метрика. «Жонглирование» индексами
Те системы координат, что мы рассматривали до сих пор были косоугольными. Но их оси были прямыми линиями. Однако, крайне часто приходится работать в пространстве, координатные линии которого — кривые. Такая система координат называется криволинейной.
Простейший жизненный пример криволинейной системы координат — географические координаты — широта, долгота и высота над уровнем моря, по которой определяется положение объектов вблизи поверхности Земли. Криволинейные координаты широко применяются в астрономии. В механике примером таких координат могут служить обобщенные координаты механической системы, однозначно определяющие её положение в пространстве с учетом геометрии наложенных на систему связей. На этом и строится аналитическая механика.
Рис. 1. Криволинейные координаты в трехмерном пространстве
Рассмотрим криволинейные координаты, заданные в трехмерном евклидовом пространстве (рисунок 1). Пусть положение точки задается в этих координатах вектором
и декартовы координаты точки связаны с (1) соотношением
или, в компонентной форме
Рассмотрим частную производную . Результат такого дифференцирования — это вектор, направленный по касательной к координатной линии . Дифференцируя (2) по всем криволинейным координатам получим тройку векторов
Эти векторы задают базис так называемого касательного пространства. И в отличие от базиса в косоугольной системе координат, модуль и направление этих векторов будут изменятся при переходе от одной точки к другой. Мы получаем переменный базис, зависящий от положения в пространстве, заданного вектором (1). Такой базис называется локальным
Векторы (4) собирают в матрицу
которая называется матрицей Якоби, и по сути определяется как производная от одного вектора по другому вектору. В нашем случае
Легко догадаться, что если функция (2) линейна относительно компонент вектора , то её можно выразить матричным соотношением
то мы рассматриваем косоугольную систему координат, и матрица Якоби будет равна матрице преобразования от косоугольных координат к декартовым
Теперь, любой вектор, заданный в пространстве (тензор ранга (1, 0)) можно представить через его контравариантные компоненты в криволинейной системе координат
Однако, компоненты вектора, из-за переменного базиса, будут зависеть от положения в пространстве точки приложения вектора. Кроме того, для того чтобы представление (6) существовало, надо чтобы векторы, составляющие базис были не компланарны. Из курса векторной алгебры нам известно, что векторы некомпланарны, если их смешанное произведение отлично от нуля. Отсюда возникает условие, которому должен удовлетворять определитель матрицы Якоби
Данный определитель как раз определяет смешанное произведение векторов базиса.
Теперь вычислим ковариантные компоненты вектора . Для этого, в самой первой статье цикла, мы умножали вектор скалярно на соответствующий вектор базиса
В той же, первой статье, мы определили, что ковариантные компоненты вектора связаны с контравариантными через метрический тензор
Сравнивая два последних выражения мы получаем определение метрического тензора в криволинейных координатах
которое можно представить в матричной форме
Эту связь можно представить и в тензорной форме, но для этого придется ввести явно метрику для декартовых координат
Тогда, преобразование декартовой метрики в криволинейную будет выглядеть так
Выражение (8) вводит метрический тензор для криволинейных координат. Этот тензор зависит от положения точки в пространстве, поэтому говорят что он задан локально или определяет локальную метрику
Определившись с метрикой, мы можем записать правила преобразования контравариантных координат в ковариантные
и ковариантных координат в контравариантные
В тензорном исчислении операции опускания (9) и поднятия (10) индексов называют «жонглированием» индексами.
Выписав соотношения (9) и (10) мы подразумевали, что матрицы и взаимно обратимы. Это возможно лишь в том случае, если
Данное условие выполняется для криволинейных координат, если матрица Якоби не вырождена, и это непосредственно следует из (8), так как
то есть условие (7) выполняемое для всех точек пространства — достаточное условие невырожденности локальной метрики.
Рассмотрение вырожденнных метрик, это отдельный и сложный вопрос, поэтому мы ограничимся метриками, в которых матрица метрического тензора обратима, то есть выполняется условие
- единичный тензор, называемый дельтой Кронекера. Видно, что его компоненты представлены единичной матрицей с размерностью, соответствующей размерности пространства.
4. Ковариантная производная. Символы Кристоффеля 2-го рода
Предположим, что мы хотим продифференцировать вектор, заданный произвольными координатам по какой-то из координат. Что мы должны сделать? Давайте попробуем выполнить эту операцию
На каком основании мы выписали производную от базисного вектора? А на том основании, что базис в криволинейных координатах зависит от них, а значит его производная от координаты отлична от нуля. Ну и ладно, эта производная тоже будет вектором, а значит её можно разложить по локальному базису, например вот так
Найдем коэффициенты разложения в (25). Для этого, возьмем ковариантный метрический тензор и продифференцируем его по указанной координате
Подставим (25) в (26)
Здесь очевидно присутствие компонент метрического тензора, поэтому выполняем замену
Прежде чем начать работать с (27), скажем, что искомые коэффициенты разложения симметричны относительно нижних индексов, так как проведя прямое дифференцирования базисного вектора приходим к выражению
откуда, в силу непрерывности рассматриваемых функций, заключаем, что
Теперь, в (27) переставим индексы i и k
А теперь, переставим в (27) индексы j и k
Теперь сложим (29) и (30) учтя при этом симметричность (28)
Вычитаем (27) из (31), снова учитывая (28)
Умножаем (32) на , и получаем окончательно
Выражение (33) определяет так называемый символ Кристоффеля 2-го рода. Тогда
Выражение, стоящее в скобках в (34) называется ковариантной производной контравариантных компонент вектора
Исходя из (35) мы должны понимать, что пытаясь дифференцировать по криволинейной координате, мы обязаны учитывать зависимость базиса от координат. Если метрика не зависит от положения точки приложения вектора в пространстве, то (35) превращается в частную частную производную, ибо все символы Кристоффеля равны будут нулю, из-за того что метрический тензор не зависит от координат. В любой косоугольной системе координат, и в их частном случае — декартовых координатах, символы Кристоффеля, согласно (33) равны нулю. А значит, согласно (35) ковариантрая производная от вектора по координате будет совпадать с его частной производной по этой координате, к чему мы приучены вобщем-то давно. Но если бы (33) был тензором, то он, будучи равен нулю, остался бы нулевым в любой другой системе координат. Но в криволинейных координатах (33) нулю не равны. А значит символы Кристоффеля не являются тензором. При преобразовании системы координат меняются компоненты, но не сущность тензора. Нулевой тензор должен быть таковым в любой системе координат.
Читайте также: