Какие программные средства могут быть использованы для реализации компьютерной математической
По мере усложнения исследуемых систем моделирование все чаще проводится с помощью современных компьютерных технологий.
Компьютерная модель – представление информации о моделируемом объекте, системе, процессе или явлении средствами компьютера. Компьютерная модель описывает функционирование отдельных частей системы и правила взаимодействия между ними.
Компьютерное моделирование (КМ) – процесс создания и исследования компьютерной модели. Компьютерное моделирование целесообразно проводить когда отсутствуют или неприемлемы аналитические методы решения задачи, при необходимости проведения большого количества вычислений, при визуализации и т.п.
Компьютерное моделирование, возникшее как одно из направлений математического моделирования с развитием информационных компьютерных технологий стало самостоятельной и важной областью применения компьютеров. В настоящее время компьютерное моделирование в научных и практических исследованиях является одним из основных методов познания. Без компьютерного моделирования сейчас невозможно решение крупных научных и экономических задач. Выработана технология исследования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью вычислительной техники математической модели изучаемого объекта. Такой метод исследования называется вычислительным экспериментом. Вычислительный эксперимент применяется практически во всех отраслях науки - в физике, химии, астрономии, биологии, экологии, даже в таких сугубо гуманитарных науках как психология, лингвистика и филология, кроме научных областей вычислительные эксперименты широко применяются в экономике, в социологии, в промышленности, в управлении.
Проведение вычислительного эксперимента имеет ряд преимуществ перед так называемым натурным экспериментом:
- для вычислительного эксперимента не требуется сложного лабораторного оборудования;
- существенное сокращение временных затрат на эксперимент;
- возможность свободного управления параметрами, произвольного их изменения, вплоть до придания им значений, выходящих за рамки эксперимента;
- возможность проведения вычислительного эксперимента там, где натурный эксперимент невозможен из-за удаленности исследуемого явления в пространстве (астрономия) либо из-за его значительной растянутости во времени (биология, экономика, планирование), либо из-за возможности внесения необратимых изменений в изучаемый процесс (экология);
- богатые возможности визуального представления явлений и процессов.
В технологии КМ можно выделить несколько этапов:
- подготовительный этап (постановка и системный анализ задачи, определение целей моделирования, построение информационной модели);
- формализация (в частности – разработка математической модели);
- выбор программного обеспечения, построение компьютерной модели, ее тестирование и отладка;
- исследование модели и анализ результатов.
I этап – моделирование начинается с анализа и изучения объекта исследования. Формируются законы, управляющие исследованием, происходит отделение информации от реального объекта, формируется существенная информация, отбрасывается несущественная, происходит первый шаг абстракции. Преобразование информации определяется решаемой задачей. Информация, существенная для одной задачи, может оказаться несущественной для другой. Потеря существенной информации приводит к неверному решению или не позволяет вообще получить решение. Учет несущественной информации вызывает излишние сложности, а иногда создает непреодолимые препятствия на пути к решению. Переход от реального объекта к информации о нем осмыслен только тогда, когда поставлена задача. В тоже время постановка задачи уточняется по мере изучения объекта. Т.о. на 1 этапе параллельно идут процессы целенаправленного изучения объекта и уточнения задачи.
Определяются цели моделирования:
- Понимание. Модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром.
- Управление. Модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом); определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях; выработать концепцию управления объектом.
- Прогнозирование. Модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект. Прогнозирование последствий тех или иных воздействий на объект может быть как относительно простым делом в несложных физических системах, так и чрезвычайно сложным – на грани выполнимости – в системах биолого-экономических, социальных. Если относительно легко ответить на вопрос об изменении режима распространения тепла в тонком стержне при изменениях в составляющем его сплаве, то несравненно труднее проследить (предсказать) экологические и климатические последствия строительства крупной ГЭС или социальные последствия изменений налогового законодательства. Возможно, и здесь методы математического моделирования будут оказывать в будущем более значительною помощь.
II этап –строится так называемая формальная (в частности, математическая) модель явления, которая содержит:
- набор постоянных величин, констант, которые характеризуют моделируемый объект в целом и его составные части (постоянные параметры модели);
- набор переменных величин, меняя значение которых можно управлять поведением модели (динамические или управляющие параметры);
- формулы и алгоритмы, связывающие величины в каждом из состояний моделируемого объекта;
- формулы и алгоритмы, описывающие процесс смены состояний моделируемого объекта.
Многие решаемые прикладные задачи стандартизованы и формализация производится в расчете на известную математическую модель и алгоритм ее решения.
III этап –выбираются подходящие программные средства для реализации формальной модели на компьютере, выполняется построение компьютерной модели (в частности, разработка алгоритма и программы), которая затем тестируется на специально подготовленных тестовых моделях.
Тестирование - это процесс исполнения компьютерной модели с целью выявления ошибок. Подбор тестовой модели - это своего рода искусство, хотя для этого разработаны и успешно применяются некоторые основные принципы тестирования.
Тестирование - это процесс деструктивный, поэтому считается, что тест удачный, если обнаружена ошибка. Проверить компьютерную модель на соответствие оригиналу, проверить насколько хорошо или плохо отражает модель основные свойства объекта, часто удается с помощью простых модельных примеров, когда результат моделирования известен заранее.
IV этап – осуществляется вычислительный эксперимент с моделью. Например, определяется поведение модель при тех или иных наборах динамических параметров, выполняется прогнозирование или оптимизация в зависимости от поставленной задачи.
Результатом компьютерного эксперимента будет являться информационная модель явления, представленная в виде графиков, зависимостей одних параметров от других, диаграмм, таблиц, демонстрации явления в реальном или виртуальном времени и т.п.
V этап.Выполняется исследование модели в зависимости от поставленной задачи. Например, оптимизационные модели можно исследовать на чувствительность. Анализ модели на чувствительность – это процесс, реализуемый после получения оптимального решения. В рамках такого анализа выявляется чувствительность оптимального решения к изменениям исходной модели. Результаты компьютерного моделирования можно представить в виде графиков, диаграмм, таблиц, демонстрации явления в реальном или виртуальном времени и т.п. В заключении экспериментов с моделью можно выработать рекомендации по повышению эффективности существующей или проектируемой системы.
Т.о., решение любой прикладной задачи на компьютере описывается следующей технологической цепочкой: «реальный объект – модель – программная реализация – результаты – реальный объект». Из этой цепочки видно, что моделирование выступает как метод решения прикладных задач.
Рисунок 2 -Общая схема процесса компьютерного математического моделирования
В качестве программного средства моделирования может быть использована любая из существующих программных сред, однако принято использовать специфические программы, специально предназначенные для компьютерного моделирования.
Наиболее известные и применяемые программы численного моделирования.
MATLAB (сокращение от англ. «Matrix Laboratory») — пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений, а также к используемый в этом пакете язык программирования. Работает на Windows, Linux и Mac OS. Язык MATLAB является высокоуровневым интерпретируемым языком программирования, включающим основанные на матрицах структуры данных, широкий спектр функций, интегрированную среду разработки, объектно-ориентированные возможности и интерфейсы к программам, написанным на других языках программирования.
Имеет прекрасный аппарат представления результатов (графики самых разных типов, средства подготовки печатных документов и Web-страниц).
Simulink- интерактивный инструмент для моделирования, имитации и анализа динамических систем. Он дает возможность строить графические блок-диаграммы, имитировать динамические системы, исследовать работоспособность систем и совершенствовать проекты. Simulink полностью интегрирован с MATLAB, обеспечивая немедленным доступом к широкому спектру инструментов анализа и проектирования. Simulink также интегрируется с Stateflow для моделирования поведения, вызванного событиями. Эти преимущества делают Simulink наиболее популярным инструментом для проектирования систем управления и коммуникации, цифровой обработки и других приложений моделирования. В состав Simulink входят наборы Toolbox иBlockset содержащие готовые модели и специальные инструменты для моделирования, интегрирования и имитации различных систем.
MATHCAD – математический редактор, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. Основным его достоинством является простота применения, наглядность математических действий, обширная библиотека встроенных функций и численных методов, возможность символьных вычислений, а также аппарат представления результатов (графики самых разных типов, средства подготовки печатных документов и Web-страниц),
Mathcad, в отличие от большинства других современных математических приложений, построен в соответствии с принципом WYSIWYG ("What You See Is What You Get" — "что Вы видите, то и получите"). Поэтому он очень прост в использовании, в частности, из-за отсутствия необходимости сначала писать программу, реализующую те или иные математические расчеты, а потом запускать ее на исполнение. Вместо этого достаточно просто вводить математические выражения с помощью встроенного редактора формул, причем в виде, максимально приближенном к общепринятому, и тут же получать результат.
VisSim — это универсальная система блочного имитационного визуально-ориентированного математического моделирования и одновременно – это визуальный язык программирования, предназначенный для моделирования динамических систем, а также проектирования, базирующегося на моделях, для встроенных микропроцессоров. Язык разработан американской компанией Visual Solutions. В настоящее время полностью интегрирован с MATHCAD.
SCILAB — пакет прикладных математических программ, предоставляющий открытое окружение для инженерных (технических) и научных расчётов. Был спроектирован как открытая система, и пользователи могут добавлять в него свои типы данных и операции. Scilab имеет схожий с MATLAB язык программирования. В состав пакета входит утилита, позволяющая конвертировать документы Matlab в Scilab. Программа доступна для Linux и Windows.
В состав пакета также входит инструмент для редактирования блочных диаграмм и симуляции Scicos (Scilab Connected Object Simulator) что обеспечивает возможность визуального моделирования динамических систем. Scicos является аналогом Simulink в пакете MATLAB.
Существует возможность совместной работы Scilab с программой LabVIEW.
LabView –программа моделирования систем и анализа данных National Instruments будет рассмотрена детально в последующих лекциях.
Контрольные вопросы к разделу 3
1. Методы моделирования систем, их достоинства и недостатки.
2. Какой метод исследования систем является наиболее точным?
3. Какой метод исследования систем является наиболее универсальным?
4. Какой метод позволяет выполнять исследование систем на моделях любой степени детализации?
5. Какие методы моделирования относятся к компьютерному моделированию?
6. Объясните термин «компьютерная модель».
7. В чем состоит разница между математической и структурно-функциональной моделью?
8. Какие модели называются имитационными?
9. В чем разница между количественными и качественными результатами моделирования?
В данном видеоуроке рассматриваются компьютерные математические модели и инструменты их реализации. Рассказывается о различных компьютерных математических моделях, их применении при решении задач, а также рассматриваются методы имитационного моделирования.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Список вопросов теста
Вопрос 1
Какая информационная модель называется математической?
- Записанные только на одном из формальных языков
- Построенная с использованием математических понятий и формул
- Любая описательная модель
- Любая знаковая модель
Вопрос 2
Какие математические модели называются компьютерными?
- Результат выполнения которых можно рассчитать только с помощью компьютера
- Реализованные на компьютере с помощью различных программных средств
- Имитирующие работу сложных систем
- Случайным образом генерирующие новые элементы системы
Вопрос 3
Какая математическая модель называется логической.
- Записанная на языке алгебры
- Записанная на языке геометрии
- Записанная на языке алгебры логики
- Построенная на основании описания
Вопрос 4
Какие программные средства из перечисленных, могут быть использованы для реализации компьютерной математической модели?
- Электронные таблицы
- Калькулятор
- Языки программирования
- Графические редакторы
- Математические пакеты
Вопрос 5
Какие требования учитываются при построении математической модели?
- Универсальность
- Адекватность
- Полнота
- Краткость
- Точность
- Экономичность
Вопрос 6
Какие компьютерные модели называют имитационными?
- Моделирующие работу систем с учетов всех их свойств
- Реализованные с использованием языка программирования
- Описывающие работу систем, параметры которых могут принимать случайные значения в определенных пределах.
- Реализованные с использованием средств визуализации
Вопрос 7
В чем заключается главное преимущество компьютерных математических моделей перед обычными?
- Их можно быстро задать
- Они всегда верны
- Скорость расчета при различных параметрах
- Они короче
Вопрос 8
Какое действие алгебры логики изображено на данной схеме?
Вопрос 9
Какие зависимости можно формализовать используя язык алгебры?
Вопрос 10
Какому из требований не соответствует математическая модель, если её результат имеет слишком большую погрешность?
Внимание! Все тесты в этом разделе разработаны пользователями сайта для собственного использования. Администрация сайта не проверяет возможные ошибки, которые могут встретиться в тестах.
Конспект урока "Знаковые модели. Компьютерные математические модели"
· Определение компьютерной математической модели.
· Использование компьютерной математических моделей.
· Применение при решении задач.
Самые разные математические модели широко использовались и используются при изучении многих научных областей и дисциплин. Так, на пример, учёные астрономы используют математические модели, чтобы предсказать движение небесных тел. Как мы уже знаем, при составлении любых информационных моделей учитываются существенные свойства объекта или явления. Но что делать, если этих свойств очень много или они очень сложны для расчёта? Ведь человеку понадобится немало времени для реализации такой математической модели.
Реализация – это расчёт состояния объекта или системы, по формулам из математической модели, которые связывают значения его исходных и результирующих параметров.
Это одна из важнейших областей применения компьютеров. Ведь компьютер способен выполнять миллионы математических операций в секунду.
Математические модели, реализованные на компьютере с помощью тех или иных программных средств, называются компьютерными математическими моделями.
Для реализации математических моделей на компьютере могут использоваться:
· различные языки программирования,
· различные математические пакеты.
При использовании некоторых средств визуализации можно наглядно представить результаты и процесс работы той или иной системы.
Компьютерные математические модели широко используются в различных областях науки. На пример, используя средства визуализации табличного процессора Microsoft Excel (его вы будете изучать позже) можно отобразить в виде линии траекторию полёта снаряда, который выпущен из пушки, расположенной на земле. Снаряд был выпущен с известной начальной скоростью, под определённым углом к горизонту.
Реализация математической модели в Microsoft Excel
После того, как математическая модель была задана достаточно нескольких нажатий клавиш, чтобы изменить исходные данные системы. И мы тут же получили результирующие данные для системы с другими параметрами.
Особую роль среди компьютерных математических моделей занимают модели систем, параметры которых могут принимать случайные значения в определённых пределах. Часто для того, чтобы оптимизировать работу такой системы, моделируют её работу при различных параметрах и находят их оптимальные значения. Такая математическая модель называется имитационной.
Имитационные модели применяются во многих сферах жизни человека. Например, моделирование системы обслуживания покупателей в магазине, чтобы выяснить, какое количество продавцов необходимо для нормальной его работы. Ведь мы не можем точно предсказать количество покупателей, пришедших в магазин за единицу времени или точное время обслуживания продавцом каждого из них.
Подобные модели могут применяться во многих областях науки. Рассмотрим пример из теории вероятности. Хорошо известно, что вероятность выпадения герба или цифры при подбрасывании монеты равна 50%, но как это проверить? Можно много раз подбросить монету, записывая результат. При этом очевидно, что чем большее число подбрасываний мы совершим, тем результат будет точнее. Некоторые математики проделывали этот опыт. Результаты некоторые результаты представлены в таблице.
Список вопросов теста
Вопрос 1
Какая информационная модель называется математической?
- Записанные только на одном из формальных языков
- Построенная с использованием математических понятий и формул
- Любая описательная модель
- Любая знаковая модель
Вопрос 2
Какие математические модели называются компьютерными?
- Результат выполнения которых можно рассчитать только с помощью компьютера
- Реализованные на компьютере с помощью различных программных средств
- Имитирующие работу сложных систем
- Случайным образом генерирующие новые элементы системы
Вопрос 3
Какая математическая модель называется логической.
- Записанная на языке алгебры
- Записанная на языке геометрии
- Записанная на языке алгебры логики
- Построенная на основании описания
Вопрос 4
Какие программные средства из перечисленных, могут быть использованы для реализации компьютерной математической модели?
- Электронные таблицы
- Калькулятор
- Языки программирования
- Графические редакторы
- Математические пакеты
Вопрос 5
Какие требования учитываются при построении математической модели?
- Универсальность
- Адекватность
- Полнота
- Краткость
- Точность
- Экономичность
Вопрос 6
Какие компьютерные модели называют имитационными?
- Моделирующие работу систем с учетов всех их свойств
- Реализованные с использованием языка программирования
- Описывающие работу систем, параметры которых могут принимать случайные значения в определенных пределах.
- Реализованные с использованием средств визуализации
Вопрос 7
В чем заключается главное преимущество компьютерных математических моделей перед обычными?
- Их можно быстро задать
- Они всегда верны
- Скорость расчета при различных параметрах
- Они короче
Вопрос 8
Какое действие алгебры логики изображено на данной схеме?
Вопрос 9
Какие зависимости можно формализовать используя язык алгебры?
Вопрос 10
Какому из требований не соответствует математическая модель, если её результат имеет слишком большую погрешность?
Читайте также: