Какие формы записи применяются в компьютерной технике для кодирования целых чисел со знаком
Способы кодирования и допустимые над ними действия различны для следующих числовых множеств:
· целые положительные числа (целые числа без знака);
· целые числа со знаком;
· вещественные нормализованные числа.
Для записи числа в устройствах компьютера выделяется фиксированное количество двоичных разрядов.
Память компьютера имеет байтовую структуру, однако, размер одной адресуемой ячейки обычно составляет несколько байт.
Например, ячейка памяти объединяет 2 байта (16 двоичных разрядов) — такая комбинация связанных соседних ячеек, обрабатываемая совместно, называется машинным словом.
Для представления числа в регистре арифметико-логического устройства процессора, где формируется результат операции, имеется еще один дополнительный одноразрядный регистр, который называется регистром переноса и который можно рассматривать в качестве продолжения (т.е. 17-го бита) регистра результата.
Назначение этого бита выяснится чуть позже.
Конечный размер разрядной сетки порождает понятие "наибольшее целое число", которого в обычном (немашинном) представлении чисел просто не существует.
Если количество разрядов k и основание системы счисления p=2, то (Z2)max = 2 k — 1 .
В частности, при k=16 (Z2)max = 2 16 — 1 = 111 1111 1111 11112 =6553510.
Таким образом, целого числа, например 65636 и более в компьютере просто не может существовать и, следовательно, появление в ходе вычислений чисел, превышающих (Z2)max, должно интерпретироваться как ошибка.
Минимальным целым числом в беззнаковом представлении является (Z2)min = 000 0000 0000 00002 = 010.
В языке программирования PASCAL целые числа без знака, для записи которых отводится 2 байта, определены как тип Word.
Тип числа устанавливает способ кодирования этого числа, то есть количество отводимых для записи ячеек памяти (т.е. разрядность числа), а также перечень допустимых операций при обработке.
Выход за границу 65535 возможен только путем увеличения количества разрядов для записи числа, но это порождает новый тип со своим Zmax; например, тип Longint ("целое число со знаком") с максимальным значением 214748364710, числа которого занимают 4 байта.
С беззнаковыми числами выполняются арифметические операции, не меняющие типа числа; к которым относятся сложение и умножение.
Сложение
Сложение производится согласно таблице сложения, которая для двоичных чисел имеет вид:
В последнем случае в том разряде, где находились слагаемые, оказывается 0, а 1 переносится в старший разряд и называется битом переноса..
Пример 1. Найти сумму 159410 + 1756310 при беззнаковой двоичной кодировке и 16-битном машинном слове.
После перевода слагаемых в двоичную систему счисления и выполнения сложения получим (для удобства восприятия 16-ти разрядное число разобьем на группы по четыре разряда):
0010 0110 1001 0100
0011 0000 0011 1001
0101 0110 1100 1101
Пример 2. Найти сумму 6553410 + 310
1111 1111 1111 1110 —Переносы
0000 0000 0000 0011
1 0000 0000 0000 0001
В последнем примере в результате сложения получилось число, превышающее максимально возможное, то есть результат ошибочен, о чем свидетельствует появление 1 в регистре переполнения.
В программах, предназначенных для обработки числовой информации (например, Excel, MathCAD или Calc), при переполнении разрядной сетки производится автоматическое преобразование целого числа в вещественный тип.
Таким образом, регистр переполнения в данном случае служит индикатором корректности процесса вычислений.
Умножение
Умножение производится согласно таблице умножения, которая для двоичных чисел имеет следующий вид:
0 · 0 = 0
0 · 1 = 0
1 · 0 = 0
1 · 1 = 1
Пример 1. Найти произведение 1310 × 510 . После перевода сомножителей в двоичную систему счисления получим
Таким образом, умножение двоичных чисел сводится к операциям сдвига на один двоичный разряд влево и повторения первого сомножителя в тех разрядах, где второй сомножитель содержит 1, и сдвига без повторения в разрядах с 0.
Сдвиг всегда чередуется со сложением из-за ограниченности числа регистров, которые имеются в процессоре для размещения операндов. Другими словами, реализации отдельной операции умножения в процессоре не требуется.
Как и в операции сложения, при умножении чисел с ограниченной разрядной сеткой может возникнуть переполнение. Решается проблема рассмотренными выше способами.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9987 — | 7776 — или читать все.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Десятичное и двоичное представление чисел
Для работы с числовой информацией мы пользуемся системой счисления, содержащей десять цифр: от $0$ до $9$. Эта система называется десятичной.
Кроме цифр, в десятичной системе большое значение имеют разряды. Подсчитывая количество чего-нибудь и дойдя до самой большой из доступных нам цифр (до $9$), мы вводим второй разряд и дальше каждое последующее число формируем из двух цифр. Дойдя до $99$, мы вынуждены вводить третий разряд. В пределах трех разрядов мы можем досчитать уже до $999$ и т.д.
Таким образом, используя всего десять цифр и вводя дополнительные разряды, мы можем записывать и проводить математические операции с любыми, даже самыми большими числами.
Компьютер ведет подсчет аналогичным образом, но имеет в своем распоряжении всего две цифры — логический ноль (отсутствие у бита какого-то свойства) и логическую единицу (наличие у бита этого свойства).
Система счисления, использующая только две цифры, называется двоичной. При подсчете в двоичной системе добавлять каждый следующий разряд приходится гораздо чаще, чем в десятичной.
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
Вот таблица первых десяти чисел в каждой из этих систем счисления:
Как видите, в десятичной системе счисления для отображения любой из первых десяти цифр достаточно $1$ разряда. В двоичной системе для тех же целей потребуется уже $4$ разряда.
Соответственно, для кодирования этой же информации в виде двоичного кода нужен носитель емкостью как минимум $4$ бита ($0,5$ байта). Человеческий мозг, привыкший к десятичной системе счисления, плохо воспринимает систему двоичную. Хотя обе они построены на одинаковых принципах и отличаются лишь количеством используемых цифр. В двоичной системе точно так же можно осуществлять любые арифметические операции с любыми числами. Главный ее минус — необходимость иметь дело с большим количеством разрядов.
Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!
Так, самое большое десятичное число, которое можно отобразить в 8 разрядах двоичной системы — $255$, в $16$ разрядах – $65535$, в $24$ разрядах – $16777215$.
Кодирование и обработка в компьютере целых чисел без знака
Будем исходить из того, что для записи числа в устройствах компьютера выделяется фиксированное количество двоичных разрядов. Память компьютера имеет байтовую структуру, однако, размер одной адресуемой ячейки обычно составляет несколько байт. Например, в компьютерах IBM ячейка памяти объединяет 2 байта (16 двоичных разрядов) - такая комбинация связанных соседних ячеек, обрабатываемая совместно, называется машинным словом. Для представления числа в регистре арифметико-логического устройства процессора, где формируется результат операции, имеется еще один дополнительный одноразрядный регистр, который называется регистром переноса и который можно рассматривать в качестве продолжения (т.е. 17-го бита) регистра результата. Назначение этого бита выяснится чуть позже.
Конечный размер разрядной сетки порождает понятие «наибольшее целое число», которого в обычном (немашинном) представлении чисел просто не существует. Если количество разрядов %%k%% и %%p = 2%%, то, согласно (4.8), %%(Z_2)^ = 2^k - 1%%. В частности, при %%k = 16%%
$$(Z_2)^ = 2^ - 1 = 111111111111111_2 = 65535_$$
Другими словами, целого числа, скажем, 65636 и более в компьютере просто не может существовать и, следовательно, появление в ходе вычислений чисел, превышающих %%(Z_2)^%%, должно интерпретироваться как ошибка. Минимальным целым числом в беззнаковом представлении, очевидно, является %%(Z_2)^ = 000000000000000_2 = 0_%%.
Longint является типом целого числа со знаком.
В языках программирования целые числа без знака, для записи которых отводится, как правило, 2 байта, определены как некоторый тип данных. Тип устанавливает способ кодирования числа, количество отводимых для записи ячеек памяти (т.е. разрядность числа), а также перечень допустимых операций при обработке. Выход за границу 65535 возможен только путем увеличения количества разрядов для записи числа, но это порождает новый тип со своим %%Z_%%; например, тип longint (Java) с максимальным значением 214748364710, числа которого занимают 4 байта.
Рассмотрим, как с беззнаковыми числами выполняются арифметические операции, не меняющие типа числа; очевидно, к ним относятся сложение и умножение.
Сложение производится согласно таблице сложения, которая для двоичных чисел имеет вид:
В последнем случае в том разряде, где находились слагаемые, оказывается 0, а 1 переносится в старший разряд. Место, где сохраняется переносимая в старший разряд 1 до того, как она будет использована в операции, называется битом переноса.
Пример. Найти сумму %%9876_ + 12345_%% при беззнаковой двоичной кодировке и 16-битном машинном слове. После перевода слагаемых в двоичную систему счисления и выполнения сложения получим (для удобства восприятия 16-ти разрядное число разобьем на группы по четыре разряда):
Пример. Найти сумму %%65534_ + 3_%%
Умножение производится согласно таблице умножения, которая для двоичных чисел имеет предельно простой вид:
Пример. Найти произведение %%13_ \times 5_%%.Операции выполнить в двоичной системе счисления.
Таким образом, умножение двоичных чисел сводится к операциям сдвига на один двоичный разряд влево и повторения первого сомножителя в тех разрядах, где второй сомножитель содержит 1, и сдвига без повторения в разрядах с 0. Сдвиг всегда чередуется со сложением из-за ограниченности числа регистров, которые имеются в процессоре для размещения операндов. Другими словами, реализации отдельной операции умножения в процессоре не требуется.
Как и в операции сложения, при умножении чисел с ограниченной разрядной сеткой может возникнуть переполнение. Решается проблема рассмотренными выше способами.
Формат с плавающей точкой
использует представление вещественного числа R в виде произведения мантиссы m на основание системы счисления n в некоторой целой степени p (основание системы счисления), которую называют порядком: R = m * n p. Представление числа в форме с плавающей точкой неоднозначно.
Пример 4. Справедливы следующие равенства:
52.345 = 0.0052345 x 10 4 = 5234.5 x 10 -2 = 0.52345 x 10 2
В ЭВМ используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в таком представлении должна удовлетворять условию: 0.1 p Выбор читателей
Целые числа со знаком, как и беззнаковые, обычно занимают в памяти компьютера 1, 2 или 4 байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак «+» кодируется нулем, а «-» – единицей. Таким образом, под само число отводится семь разрядов: с нулевого до шестого.
Диапазоны значений целых чисел со знаком для одно-, двух- и четырехбайтового форматов приведены в табл. 4.2.
Таблица 4.2. Диапазоны значений целых чисел со знаком
Формат целого числа со знаком, байт | Диапазон |
Запись с порядком | В обычной записи |
-2 7 . 2 7 -1 | -128 . 127 |
-2 15 . 2 15 -1 | -32768 . 32767 |
-2 31 . 2 31 -1 | -2147483648 . 2147483647 |
В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код,дополнительный код. Последние две формы применяются особенно широко, так как позволяют упростить конструкцию арифметико-логического устройства компьютера путем замены разнообразных арифметических операций операцией сложения.
Рассмотрим перечисленные форматы на примере однобайтового представления.
Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково – двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде.
Пример 4.2. Число 4510 = 1011012. Так как число положительное, то в старшем разряде стоит 0. Число 45 в прямом, обратном и дополнительном кодах выглядит одинаково:
Биты числа |
Номер разряда |
Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.
Прямой код. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа – двоичный код его абсолютной величины.
Пример 4.3. Число -4510 = -1011012. Так как число отрицательное, то в старшем разряде стоит 1:
Биты числа |
Номер разряда |
Обратный код получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа: нули заменяются единицами, а единицы — нулями. В знаковом разряде ставится 1.
Пример 4.3 (продолжение 1). Абсолютная величина: 0101101, после инвертирования: 1010010. Получаем обратный код числа:
Биты числа |
Номер разряда |
Дополнительный код получается из обратного кода путем прибавления единицы к его младшему разряду.
Пример 4.3 (продолжение 2). Мы уже имеем обратный код, прибавим к нему 1, получим дополнительный код числа -4510:
Биты числа |
Номер разряда |
Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся и обрабатываются. При выводе таких чисел из внутреннего представления машины во внешнее происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.
Кодирование целых чисел, имеющих знак, можно осуществить двумя способами.
В первом варианте один (старший) разряд машинном слове отводится для записи знака числа;
При этом условились кодировать знак "+" нулем, знак "–" - единицей.
Под запись самого числа, очевидно, остается 15 двоичных разрядов, что обеспечивает наибольшее значение числа Zmax = 2 15 - 1 = 3276710.
Такое представление чисел называется прямым кодом.
Однако его применение усложняет порядок обработки чисел;
Например, операция сложения двух чисел с разными знаками должна быть заменена операцией вычитания меньшего из большего с последующим присвоением результату знака большего по модулю числа.
Другими словами, операция сопровождается большим количеством проверок условий и выработкой признаков, в соответствии с которыми выбирается то или иное действие.
Альтернативным вариантом является представление чисел со знаком в дополнительном коде.
Идея построения дополнительного кода заключается в следующем:
· на оси целых положительных чисел, помещающихся в машинное слово (0÷65535), сместим положение "0" на середину интервала;
положительные 0 отрицательные
0 32767,32768 65535
· числа, попадающие в первую половину (0÷32767) будем считать положительными, а числа из второй половины (32768÷65535) - отрицательными.
В этом случае судить о знаке числа можно будет по его величине и в явном виде выделение знака не потребуется.
Например, число 100 0000 0000 00012 = 3276910 является кодом отрицательного числа,
А число 000 0000 0000 00012 = 110 - кодом положительного.
Принадлежность к интервалу кодов положительных или отрицательных чисел видна по состоянию старшего бита кодов:
· у положительных чисел его значение "0",
· у отрицательных - "1".
Это напоминает представление со знаком, но не является таковым, поскольку используется другой принцип кодирования. Его применение позволяет заменить вычитание чисел их суммированием в дополнительном коде.
Дополнением (D) k-разрядного целого числа Z в системе счисления p называется величина
Данную формулу можно представить в ином виде:
Число p k - 1, состоит из k наибольших в данной системе счисления цифр (p - 1), например, 999910, FFFF16 или 11112.
Поэтому (p k - 1) - Z можно получить путем дополнения до p-1 каждой цифры числа Z и последующим прибавлением к последнему разряду 1.
Пример 1. Построить дополнение числа 27810. В данном случае p = 10, k = 3.
Важным свойством дополнения является то, что его сумма с исходным числом в заданной разрядной сетке будет равна 0.
В рассмотренном примере:
В разряде тысяч 1 должна быть отброшена, поскольку она выходит за отведенную разрядную сетку.
Так как в двоичной системе счисления дополнением 1 является 0, а дополнением 0 является 1, построение D(Z2, k) сводится к инверсии данного числа, т.е. замена нулей единицами и единиц нулями, и прибавлением 1 к последнему разряду.
Другими словами, дополнение двоичного числа формируется в два этапа:
1. Строится инвертированное представление исходного числа;
2. К инвертированному представлению прибавляется 1 по правилам двоичной арифметики.
Дополнительный код (DK) двоичных целых чисел строится по следующим правилам:
для Z20 дополнительный код совпадает с самим числом (DK = Z2);
Пример 14. Построить дополнительные двоичные коды чисел
(a) Так как Z>0, DK: 0000 0000 0000 0011.
(1) Модуль числа | 0000 0000 0000 0011 |
(2) Инверсия числа | 1111 1111 1111 1100 |
(3) DK | 1111 1111 1111 1101 |
Вновь убеждаемся, что
Видно, что общее количество кодов совпадает и, следовательно, одинаковым будет количество кодируемых чисел в обоих способах.
Дополнительных кодов оказывается на один больше, чем прямых, и интервал целых чисел со знаком при их размещении в 2-байтном машинном слове составляет [–32768; 32767] - именно такими являются граничные значения целых чисел типа Integer в языке PASCAL, что свидетельствует об использовании дополнительного кодирования в представлении чисел.
Перевод в дополнительный код происходит автоматически при вводе чисел; в таком виде числа хранятся в ОЗУ и затем участвуют в арифметических операциях.
При этом, как уже было сказано, операция вычитания двух чисел как самостоятельная отсутствует – она заменяется сложением первого числа с дополнительным кодом второго, т.е. просто сложением содержимого двух ячеек памяти. Убедимся в правомочности этого.
Пример 15. Найти значение (27 – 3)10 в двоичной кодировке.
В данном случае появление 1 в регистре переполнения не интерпретируется как ошибка вычислений, поскольку на ее отсутствие указывают знаки чисел и результата.
Порядок проверок и анализа корректности операций сложения-вычитания
можно представить в виде таблицы:
Таблица 3. Проверка и анализ корректности результатов | ||
Старший бит | Рег. переп. | Комментарий |
Z(1) | Z(2) | Z |
Сложение двух положительных чисел без переполнения. Результат корректен | ||
Переполнение при сложении двух положительных чисел. Результат некорректен | ||
Сложение двух отрицательных чисел без переполнения. Результат корректен | ||
Переполнение при сложении двух положительных чисел. Результат некорректен | ||
Сложение чисел с разными знаками; Z(1)>|Z(2)|. Результат корректен | ||
Сложение чисел с разными знаками; Z(1) <|Z(2)|. Результат корректен |
Необходимо уточнить, что при выполнении вычитания отрицательного числа оно из дополнительного кода переводится в прямой, и вновь вместо вычитания производится сложение.
Подобным же образом число из дополнительного кода переводится в прямой при выполнении операции умножения;
Перемножаются всегда положительные числа по рассмотренным выше правилам; знаковый бит результата, очевидно, будет содержать 0, если знаки чисел одинаковы, и 1 при противоположных знаках.
Над множеством целых чисел со знаком операция деления не определена, поскольку в общем случае ее результатом будет вещественное число.
Однако допустимыми являются операции целочисленного деления и нахождения остатка от целочисленного деления
Точнее, значения обеих величин находятся одновременно в одной процедуре, которая в конечном счете сводится к последовательности вычитаний или, еще точнее, сложений с дополнительным кодом делителя.
· L – результат целочисленного деления Z (1) на Z (2) ;
· R – остаток от целочисленного деления Z(1) на Z (2) .
Эти величины связаны между собой соотношением:
из которого следует алгоритм нахождения значений L и R для заданных Z (1) и Z (2) ; его блок-схема для положительных Z (1) на Z (2) представлена на рисунке 1.
Рис.1. Алгоритм выполнения целочисленного деления
Таким образом, операции div и mod, как, впрочем, и операция умножения, реализуются программно, т.е. сводятся к последовательности небольшого числа более простых действий.
При этом уровень программной реализации может быть различным.
Если реализация выполнена на уровне команд центрального процессора, то эти операции оказываются доступны из любого приложения (любой прикладной программы).
Если же в системе команд процессора эти микропрограммы отсутствуют, их приходится описывать в виде процедур в самих приложениях и, следовательно, они будут доступны только в этих приложениях.
Кодирование целых чисел, имеющих знак, можно осуществить двумя способами. В первом варианте один (старший) разряд в машинном слове отводится для записи знака числа; при этом условились кодировать знак «+» нулем, знак «-» - единицей. Под запись самого числа, очевидно, остается 15 двоичных разрядов, что обеспечивает наибольшее значение числа %%Z^ = 2^ - 1 = 32767_%%. Такое представление чисел называется прямым кодом. Однако его применение усложняет порядок обработки чисел; например, операция сложения двух чисел с разными знаками должна быть заменена операцией вычитания меньшего из большего с последующим присвоением результату знака большего по модулю числа. Другими словами, операция сопровождается большим количеством проверок условий и выработкой признаков, в соответствии с которыми выбирается то или иное действие.
Альтернативным вариантом является представление чисел со знаком в дополнительном коде. Идея построения дополнительного кода достаточно проста: на оси целых положительных чисел, помещающихся в машинное слово (%%0 ÷ 65535%%), сместим положение «0» на середину интервала; числа, попадающие в первую половину (%%0 ÷ 32767%%) будем считать положительными, а числа из второй половины (%%32768 ÷ 65535%%) - отрицательными. В этом случае судить о знаке числа можно будет по его величине и в явном виде выделение знака не потребуется. Например, %%100000000000001_2 = 32769_%% является кодом отрицательного числа, а %%000000000000001_2 = 1_%% - кодом положительного. Принадлежность к интервалу кодов положительных или отрицательных чисел видна по состоянию старшего бита - у кодов положительных чисел его значение «0», отрицательных - «1». Это напоминает представление со знаком, но не является таковым, поскольку используется другой принцип кодирования. Его применение позволяет заменить вычитание чисел их суммированием в дополнительном коде. Убедимся в этом чуть позднее после того, как обсудим способ построения дополнительного кода целых чисел.
Дополнением (D) k-разрядного целого числа %%Z%% в системе счисления %%p%% называется величина %%D(Z_P, k) = p^k - Z.%%
Данную формулу можно представить в ином виде: %%D(Z_P, k) = ((p^k - 1) - Z) + 1%%. Число %%p^k - 1%% состоит из k наибольших в данной системе счисления цифр %%(p - 1)%%, например, %%9999_%%, %%FFF_%% или %%1111111_2%%. Поэтому %%(p^k - 1) - Z%% можно получить путем дополнения до %%р-1%% каждой цифры числа %%Z%% и последующим прибавлением к последнему разряду 1.
Пример. Построить дополнение числа %%278_%%. В данном случае %%р = 10%%, %%k = 3%%.
Важным свойством дополнения является то, что его сумма с исходным числом в заданной разрядной сетке будет равна 0. В рассмотренном примере:
722+278=1000
В разряде тысяч 1 должна быть отброшена, поскольку она выходит за отведенную разрядную сетку.
Так как в двоичной системе счисления дополнением 1 является 0, а дополнением 0 является 1, построение %%D(Z_2, k)%% сводится к инверсии данного числа, т.е. замена нулей единицами и единиц нулями, и прибавлением 1 к последнему разряду. Другими словами, дополнение двоичного числа формируется в два этапа:
- строится инвертированное представление исходного числа;
- к инвертированному представлению прибавляется 1 по правилам двоичной арифметики.
Дополнительный код (DK) двоичных целых чисел строится по следующим правилам:
Пример. Построить дополнительные двоичные коды чисел (а) %%3_%% и (b) %%-3_%%.
(a) Так как %%Z>0%% - DK = 0000 0000 0000 0011
- Модуль числа 0000 0000 0000 0011
- Инверсия числа 1111 1111 1111 1100
- DK=1111 1111 1111 1101
Убеждаемся, что %%DK(Z)+DK(-Z)=0%%
Сопоставление прямых и дополнительных кодов представлено в виде таблицы:
Прямой десятичный код | Прямой двоичный код с 16 разрядами | Дополнительный двоичный код с 16 разрядами |
---|---|---|
-32769 | - | - |
-32768 | - | 1000 0000 0000 0000 |
-32767 | 1111 1111 1111 1111 | 1000 0000 0000 0001 |
-32766 | 1111 1111 1111 1110 | 1000 0000 0000 0010 |
. | . | . |
-3 | 1000 0000 0000 0011 | 1111 1111 1111 1101 |
-2 | 1000 0000 0000 0010 | 1111 1111 1111 1110 |
-1 | 1000 0000 0000 0001 | 1111 1111 1111 1111 |
0 | 0000 0000 0000 0000 | 0000 0000 0000 0000 |
1 | 0000 0000 0000 0001 | 0000 0000 0000 0001 |
2 | 0000 0000 0000 0010 | 0000 0000 0000 0010 |
. | . | . |
32766 | 0111 1111 1111 1110 | 0111 1111 1111 1110 |
Видно, что общее количество кодов совпадает и, следовательно, одинаковым будет количество кодируемых чисел в обоих способах. Точнее, дополнительных кодов оказывается на один больше, чем прямых, и интервал целых чисел со знаком при их размещении в 2-байтном машинном слове составляет [-32768; 32767] - именно такими являются граничные значения целых чисел типа Integer в языке java, что свидетельствует об использовании дополнительного кодирования в представлении чисел. Перевод в дополнительный код происходит автоматически при вводе чисел; в таком виде числа хранятся в ОЗУ и затем участвуют в арифметических операциях. При этом, как уже было сказано, операция вычитания двух чисел как самостоятельная отсутствует - она заменяется сложением первого числа с дополнительным кодом второго, т.е. просто сложением содержимого двух ячеек памяти.
Над множеством целых чисел со знаком операция деления не определена, поскольку в общем случае ее результатом будет вещественное число. Однако допустимыми являются операции целочисленного деления и нахождения остатка от целочисленного деления (те, что немного ранее было обозначено div и mod ). Точнее, значения обеих величин находятся одновременно в одной процедуре, которая в конечном счете сводится к последовательности вычитаний или, еще точнее, сложений с дополнительным кодом делителя. Примем обозначения: %%Z^%% - делимое; %%Z^%% -делитель; L - результат целочисленного деления %%Z^%% на %%Z^%%; R - остаток от целочисленного деления %%Z^%% на %%Z^%%. Эти величины связаны между собой довольно очевидным соотношением:
из которого следует алгоритм нахождения значений %%L%% и %%R%% для заданных %%Z^%% и %%Z^%%; его блок-схема для положительных %%Z^%% на %%Z^%% представлена на рисунке:
Таким образом, операции div и mod , как, впрочем, и операция умножения, реализуются программно, т.е. сводятся к последовательности небольшого числа более простых действий. При этом уровень программной реализации может быть различным. Если реализация выполнена на уровне команд центрального процессора, то эти операции оказываются доступны из любого приложения (любой прикладной программы). Если же в системе команд процессора эти микропрограммы отсутствуют, их приходится описывать в виде процедур в самих приложениях и, следовательно, они будут доступны только в этих приложениях.
В предыдущем разделе обсуждалась возможность представления чисел в двоичной системе счисления. Результатом этого обсуждения могло бы стать следующее резюме: двоичное представление возможно; имеется однозначное соответствие между двоичным и любым другим (в частности, десятичным) позиционным представлением; представление возможно как в форме с фиксированной, так и в форме с плавающей запятой; имеются алгоритмы преобразования чисел между системами счисления при различных формах их представления.
Как указывалось в ранее, второй важной специфической особенностью представления чисел в регистрах и в памяти компьютера является то, что, в отличие от записи числа на бумаге, компьютерные ячейки имеют ограниченный размер и, следовательно, вынуждают использовать при записи чисел и действиях с ними конечное количество разрядов. Это приводит к тому, что бесконечное множество вещественных чисел заменяется конечным множеством их представлений, которые называются кодами чисел, а обычные арифметические операции с числами заменяются операциями с кодами.
Способы кодирования и допустимые над ними действия оказываются различными для следующих числовых множеств:
- целые положительные числа (целые числа без знака);
- целые числа со знаком;
- вещественные нормализованные числа.
Рассмотрим подробнее перечисленные группы.
Алгоритмы кодирования чисел в двоичной системе счисления
Компьютер, кодируя числа в двоичный код, основывается на двоичной системе счисления. Но, в зависимости от особенностей чисел, может использовать разные алгоритмы:
Небольшие целые числа без знака.
Для сохранения каждого такого числа на запоминающем устройстве, как правило, выделяется $1$ байт ($8$ битов). Запись осуществляется в полной аналогии с двоичной системой счисления.
Целые десятичные числа без знака, сохраненные на носителе в двоичном коде, будут выглядеть примерно так:
Большие целые числа и числа со знаком.
Для записи каждого такого числа на запоминающем устройстве, как правило, отводится $2$-байтний блок ($16$ битов).
Старший бит блока (тот, что крайний слева) отводится под запись знака числа и в кодировании самого числа не участвует. Если число со знаком "плюс", этот бит остается пустым, если со знаком "минус" – в него записывается логическая единица. Число же кодируется в оставшихся 15 битах. Например, алгоритм кодирования числа $+2676$ будет следующим:
- Перевести число $2676$ из десятичной системы счисления в двоичную. В итоге получится $101001110100$;
- Записать полученное двоичное число в первые $15$ бит $16$-битного блока (начиная с правого края). Последний, $16$-й бит, должен остаться пустым, поскольку кодируемое число имеет знак $+$.
В итоге $+2676$ в двоичном коде на запоминающем устройстве будет выглядеть так:
Примечательно, что в двоичном коде присвоение числу отрицательного значения предусматривает не только изменение старшего бита. Осуществляется также инвертирование всех остальных его битов.
Чтобы было понятно, рассмотрим алгоритм кодирования числа $-2676$:
- Перевести число $2676$ из десятичной системы счисления в двоичную. Получим все тоже двоичное число $101001110100$;
- Записать полученное двоичное число в первые $15$ бит $16$-битного блока. Затем инвертировать, то есть, изменить на противоположное, значение каждого из $15$ битов;
- Записать в $16$-й бит логическую единицу, поскольку кодируемое число имеет отрицательное значение.
В итоге $-2676$ на запоминающем устройстве в двоичном коде будет иметь следующий вид:
Запись отрицательных чисел в инвертированной форме позволяет заменить все операции вычитания, в которых они участвуют, операциями сложения. Это необходимо для нормальной работы компьютерного процессора.
Максимальным десятичным числом, которое можно закодировать в $15$ битах запоминающего устройства, является $32767$. Иногда для записи чисел по этому алгоритму выделяются $4$-байтные блоки. В таком случае для кодирования каждого числа будет использоваться $31$ бит плюс $1$ бит для кодирования знака числа. Тогда максимальным десятичным числом, сохраняемым в каждую ячейку, будет $2147483647$ (со знаком плюс или минус).
Дробные числа со знаком.
Дробные числа на запоминающем устройстве в двоичном коде кодируются в виде так называемых чисел с плавающей запятой (точкой). Алгоритм их кодирования сложнее, чем рассмотренные выше. Тем не менее, попытаемся разобраться.
Для записи каждого числа с плавающей запятой компьютер чаще всего выделяет $4$-байтную ячейку ($32$ бита):
- в старшем бите этой ячейки (тот, что крайний слева) записывается знак числа. Если число отрицательное, в этот бит записывается логическая единица, если оно со знаком "плюс" – бит остается пустым.
- во втором слева бите аналогичным образом записывается знак порядка (что такое порядок поймете позже);
- в следующих за ним $7$ битах записывается значение порядка.
- в оставшихся $23$ битах записывается так называемая мантисса числа.
Чтобы стало понятно, что такое порядок, мантисса и зачем они нужны, переведем в двоичный код десятичное число $6,25$.
Порядок кодирования будет примерно следующим:
- Перевести десятичное число в двоичное (десятичное $6,25$ равно двоичному $110,01$);
- Определить мантиссу числа. Для этого в числе необходимо передвинуть запятую в нужном направлении, чтобы слева от нее не осталось ни одной единицы. В нашем случае запятую придется передвинуть на три знака влево. В итоге, получим мантиссу, $11001$;
- Определить значение и знак порядка. Значение порядка – это количество символов, на которое была сдвинута запятая для получения мантиссы. В нашем случае оно равно $3$ (или $11$ в двоичной форме);
Знак порядка – это направление, в котором пришлось двигать запятую: влево – "плюс", вправо – "минус". В нашем примере запятая двигалась влево, поэтому знак порядка – "плюс".
Таким образом, порядок двоичного числа $110,01$ будет равен $+11$, а его мантисса, $11001$. В результате в двоичном коде на запоминающем устройстве это число будет записано следующим образом
Обратите внимание, что мантисса в двоичном коде записывается, начиная с первого после запятой знака, а сама запятая упускается. Числа с плавающей запятой, кодируемые в $32$ битах, называю числами одинарной точности. Когда для записи числа $32$-битной ячейки недостаточно, компьютер может использовать ячейку из $64$ битов. Число с плавающей запятой, закодированное в такой ячейке, называется числом двойной точности.
Так и не нашли ответ
на свой вопрос?
Просто напиши с чем тебе
нужна помощь
Особенность представления чисел в памяти компьютера – ячейки имеют ограниченный размер, а это вынуждает использовать при записи чисел и действиях с ними конечное число разрядов. В зависимости от типа числа определяется способ кодирования, количество отводимых под число ячеек памяти (разрядность числа) и перечень допустимых операций при обработке. Способы кодирования чисел и допустимые над ними действия различны для следующих числовых множеств:
целые положительные числа (без знака)
целые со знаком
вещественные нормализованные числа. (иррац (бесконечные непериодические дроби, Пи, корень из двух..) и рацион (m/n или бесконечные периодические дроби))
Целые числа без знака.
Память в компьютере имеет байтовую структуру. Целые без знака обычно занимают один, два или более байт. В однобайтовом формате они могут принимать значения в диапазоне от 0 до 255, в двухбайтовом от 0 до 65535. Здесь попытка представить в байтовом формате число 258 будет интерпретироваться как ошибка.
Представляются целые числа без знака в своем двоичном виде.
в байтовом формате:
Над целыми числами определены операции сложения (по правилам двоичного сложения) и умножения (по правилам двоичного умножения). Определены именно эти операции, так как они не меняют тип результата. Вычитание и деление не определены.
Целые числа со знаком
Используются три формы записи целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код.
При кодировании прямым n-разрядным двоичным кодом один разряд (как правило самый старший) отводится для знака числа. Остальные n-1 разрядов – для значащих цифр. Значение знакового разряда равно 0 для положительных чисел, 1 – для отрицательных.
Пример: 1 = 0000 0001, -1 = 1000 0001
Он получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа.
код модуля: 00000001
обратный код: 11111110
Отрицательные числа в компьютерах представляются в ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ КОДЕ . Для получения дополнительного кода двоичного числа необходимо инвертировать это число (заменить все 0 на 1, а 1 на 0) , т.е получить обратный код числа, а затем прибавить в младшем разряде 1.
Например: Используется 6 разрядное представление двоичных чисел. 7 = 000111; -7 = 111001 – это дополнительный код.
Дополнительный код получен так:
1) инверсия 000111 равна 111000:
111001 – это представление числа -7 в дополнительном коде.
При таком представлении чисел вычитание двух чисел А – В выполняется как сложение А + (-В).
Например: 001100 = 12
111001 = -7 в дополнительном коде
единица переноса в старший разряд при выполнении операции
Таким образом, отпадает необходимость в отдельном устройстве для операции вычитания.
Пример: Для числа -1101:
Замечание: для положительных чисел представление числа в прямом, обратном и дополнительном кодах совпадают. Т. образом – положительные числа всегда изображаются одинаково – двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде.
над целыми без знака определены сложение, вычитание (сводится к сложению с дополнительным кодом), умножение, целочисленное деление и нахождение остатака от деления.
Сдвиг числа на один разряд влево увеличивает число в 2 раза; сдвиг на один разряд вправо – уменьшает его в 2 раза:
В компьютерах числа представляются в двоичной форме с определенным количеством разрядов. Обычно разрядность компьютеров равна одному из следующих значений: 8, 16, 32, 64.
Ограниченная разрядность приводит к ограничению диапазона используемых чисел. Если разрядность компьютера равна n, то количество различных чисел, которые можно представить с помощью n-разрядных двоичных последовательностей будет равна
Например, если разрядность компьютера равна 16, то количество различных двоичных последовательностей будет равно
2 16 = 2 6+10 = 64 * 1024 = 65536.
Для кодирования чисел в компьютере существуют два основных формата: для кодирования целых чисел и для задания действительных чисел — представление числа в формате с плавающей точкой. Рассмотрим кодирование целых чисел.
Для каждого числа в памяти компьютера отводится К ячеек (8, 18, 24, 32). В К-разрядной ячейке может храниться 2 k различных значений целых чисел .
В 8 разрядной ячейке может храниться число в диапазоне от 0 до 255 или от ‑128 до 127 (всего 256=2 8 чисел).
Для того, чтобы получить целое положительного числа N, хранящееся в к‑разрядной ячейке памяти компьютера, необходимо:
1) перевести число N в двоичную систему счисления;
2) полученный результат дополнить слева незначащими нулями до К разрядов.
Для записи целого отрицательного числа (-N) необходимо:
1) получить внутреннее представление положительного числа N; или прямой код числа
2) обратный код этого числа заменой 0 на 1 и 1 на 0;
3) полученному числу прибавить 1 (дополнительный код числа).
Запишем отрицательное число –126 в 8 битном формате.
Прямой код числа 126=0111 1110,
обратный код числа 1000 0001, после прибавления 1 получим дополнительный код -126=1000 0010
Запишем отрицательное число – 7в 8 битном формате.
Прямой код числа 7=0000 0111,
обратный код числа 1111 1000, после прибавления 1 получим дополнительный код -7=1111 1001
Читайте также: