Какая логика управляет действиями компьютера
Логика в информатике – это те отрасли знания и направления исследований, в которых логика применяется в информатике и искусственном интеллекте. В информатике логика оказалась гораздо более эффективной, чем это было в математике.
§ 7. Логические основы ЭВМ. Базовые логические элементы………………………………..………………………….21
Содержание
Функциональные схемы
Сигнал, который вырабатывает один логический элемент, можно подать на вход другого элемента. Это даст возможность образовать цепочку из отдельных логических элементов – функциональную схему.
Функциональная (логическая) схема – это схема, которая выполняет определённую функцию и состоит из базовых логических элементов. Проанализировав фунциональную схему, можно понять, как работает логическое устройство, то есть ответить на вопрос, какую же функцию она выполняет. А чтобы описать функциональную схему, нужна структурная формула.
Как по заданной функциональной схеме записать структурную формулу?
Элемент И осуществляет конъюнкцию $\bar$ и $Y$, над результатом в элементе НЕ выполняется операция отрицания, то есть вычисляется значение выражения
Записали, что структурной формулой данной функциональной схемы является формула
Для функциональной схемы нужно составить таблицу значений сигналов на входах и выходах схемы, по которой можно понять, какую функцию выполняет данная схема, – таблицу истинности.
Составим таблицу истинности для вышеприведённой схемы. Количество столбцов таблицы равно суммарному количеству входов и выходов нужной схемы. Итого $5$ столбцов. Количество строк таблицы равно $2^n$, где $n$ – количество входов (здесь два), строк $4$.
Обработка любой информации на компьютере − выполнение процессором различных арифметических и логических операций. Для этого в составе процессора есть арифметико-логическое устройство (АЛУ), которое состоит из ряда устройств, построенных на логических элементах, рассмотренных выше. Главными устройствами являются триггеры, полусумматоры, сумматоры, шифраторы, дешифраторы, счетчики, регистры.
Конструируется логическое устройство по следующему алгоритму:
Из транзисторов состоят логические элементы. Из логических элементов создают триггеры, сумматоры, логические блоки, счетчики. Комбинируя все это правильным образом можно создать свой собственный компьютер (или ЕОМ).
Логические элементы, их виды
- Элемент НЕ (инвертор). На выходе будет «1» тогда и только тогда, когда на входе будет «0»;
- Элемент И (конъюнкция). На выходе будет «1» тогда и только тогда, когда на всех входах будет «1»;
- Элемент ИЛИ (дизъюнкция). На выходе будет «1», когда хотя бы на одном входе будет «1»;
- Элемент сложения по модулю 2 (исключающее ИЛИ). На выходе будет «1» тогда и только тогда, когда на входе будет нечётное количество «1»;
- Повторитель;
- Управляющий повторитель. Используется для соединения нескольких выходов в один выход
Технологии построения электронных схем или строим логические элементы на транзисторах
Подключил к схеме источник питания на 5 вольт, подключил генератор на вход и осциллограф на выход. Начал тестирование на частоте 1 МГц, но схема не заработала. Потом понизил до 20 кГц — вуаля, схема заработала правильным образом. Манипулируя напряжением питания смог повысить рабочуюю частоту до 40 кГц…
Увы, но схема моих ожиданий не оправдала. К тому же только один Т-триггер заработал правильно на частоте до 40 кГц, а все остальные не могли переходить из высокого состояния в низкий, хотя внутринние RS-триггеры работали правильно.
Я провел еще некоторые эксперименты по построению логических элементов, только уже на полевых транзисторах. Результаты получились удовлетворительными, но появились некоторые проблемы:
- Высокая стоимость проекта (около 1000$ только на транзисторы);
- Проблема достать полевые SMD транзисторы в Украине;
- Проблема запаять 15 — 20 тысяч транзисторов на КМОП логике, вместо 7 — 10 тысяч на РТЛ.
Законы де Моргана или как можно уменьшить количество вентилей
Законы де Моргана — это правила, которые связывают логические операторы (дизъюнкцию и конъюнкцию) с помощью логического отрицания. В формальной логике их можно записать так:
Рассмотрим пример использования этих правил в действии. Пусть мы имеем такую схему:
Используя законы де Моргана схему можно переделать на такую:
Как можно заметить по таблицам истинности, логика этих схем идентичная.
Теперь маленький постулат: для логических элементов (кроме логического НЕ) на КМОП логике с инверсным выходом (например, логическое 2И-НЕ) нужно на два транзистора менше, чем для логических элементов с не инверсным выходом (например, логическое 2И).
Тогда, для первой схемы нужно будет 18 транзисторов, а для второй — 12 транзисторов. Причем, вторая схема будет работать быстрее из-за того, что используется меншее количество вентилей и сигнал будет проходить на порядок быстрее.
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей
Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения
Столичный центр образовательных технологий г. Москва
Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца
от 3 170 руб. 1900 руб.
Количество часов 300 ч. / 600 ч.
Успеть записаться со скидкой
Форма обучения дистанционная
- Онлайн
формат - Диплом
гособразца - Помощь в трудоустройстве
Видеолекции для
профессионалов
- Свидетельства для портфолио
- Вечный доступ за 120 рублей
- 311 видеолекции для каждого
§ 5. Решение логических задач…………………………. …….13
§1. Основы логики…………………………………..…….………3
Сам термин «логика» происходит от древнегреческого logos , означающего «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон».
§ 6. Логическая функция…………………………. ………..….18
Основные направления прикладного использования логики в информатике
- написание компьютерных программ и их верификация.
- при проектировании вычислительных устройств используется как теоретический инструмент.
- Использование логических операций в электронных микросхемах в качестве базовых.
- логический подход к представлению и решению различных практических задач с использованием вычислительной техники.
Стандартное математическое представление любого вычисления − это отображение переменных (их внутреннего состояния) вычислительного устройства на входе в новое состояние на выходе. В алгебре логики решается стандартная задача, а именно: определяется функциональная полнота логических связок, то есть проверяется, является ли фиксированный набор логических операций достаточным для того, чтобы представить новое результирующее значение путём комбинации любых других (базовых) функций. А это значит, что базовые логические устройства должны быть универсальными и позволять решать большое число задач.
Работу большинства вычислительных устройств, которые существуют в настоящее время, прекрасно описывает алгебра логики, разработанная Джорджем Булем. К таким устройствам относятся триггеры, сумматоры, группы переключателей, Кроме того булева алгебра и компьютеры связаны между собой при помощи используемой в ЭВМ двоичной системы счисления. Поэтому в устройствах компьютера можно хранить и преобразовывать и значения логических переменных, и числа.
Логические элементы — это электронные устройства, которые по определенному закону преобразуют проходящие через них двоичные электрические сигналы.
Логические элементы имеют один (инвертор) или несколько входов, на которые подаются электрические сигналы, обозначаемые условно $0$, если сигнал отсутствует, и $1$, если электрический сигнал имеется. Выход у логических элементов один, откуда снимается новый, преобразованный электрический сигнал.
с углубленным изучением французского языка»
для 10 класса
Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения, созданные древнегреческими мыслителями. Аристотель впервые отделил логические формы речи от ее содержания, исследовал терминологию логики, подробно разобрал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления.
К основным понятиям логики относятся следующие.
Логическое высказывание — это любое повествовательное предложение, в отношении кoтopoгo можно однoзначнo сказать, истинно oнo или лoжнo.
Так, например, предложение "6 — четное число" следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение "Рим — столица Франции" тоже высказывание, так как оно ложное.
Утверждение — это суждение, которое требуется доказать или опровергнуть.
Например, любая теорема – это утверждение, требующее доказательства.
Рассуждение — это последовательность высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом.
Например, ход доказательства какой-либо теоремы можно назвать рассуждением.
Умозаключение — это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений выводится новое суждение. Умозаключения бывают дедуктивные, индуктивные и по аналогии.
В дедуктивных умозаключениях рассуждения ведутся от общего к частному. Например, из двух суждений: «Все металлы электропроводны» и «Ртуть является металлом» можно сделать вывод, что «Ртуть электропроводна».
В индуктивных умозаключениях рассуждения ведутся от частного к общему. Например, установив, что отдельные металлы – железо, медь, цинк, алюминий и др. - обладают свойством электропроводности, мы делаем вывод, что все металлы электропроводны.
Умозаключение по аналогии переносит знание об одних объектах на другие. Например, химический состав Солнца и Земли сходен по многим показателям. Поэтому, когда на солнце обнаружили неизвестный еще на Земле химический элемент гелий, то по аналогии заключили, что такой элемент есть и на Земле.
Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием. Высказываниями не являются, например, предложения "ученик десятого класса" и "информатика — интересный предмет". Первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком неопределённое понятие "интересный предмет". Вопросительные и восклицательные предложения также не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла.
Предложения типа "в городе A более миллиона жителей", "у него голубые глаза" не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются логическими выражениями.
Логическое выражение — это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.
Область знаний, которая изучает истинность или ложность высказываний, называется математической логикой.
Подобно тому, как для описания действий над переменными величинами был разработан раздел математики – алгебра, так и для обработки логических выражений в математической логике была создана алгебра высказываний или алгебра логики.
Алгебра логики — это раздел математической логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.
Алгебра логики возникла в середине ХIХ века в трудах английского математика Джорджа Буля. Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.
Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения — является ли оно истинным или ложным. Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказывания. Так, например, высказывание "площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн. кв. км" в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой — истинным. Ложным — так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным — если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике.
§ 2. Логические операции.
Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или", "если. то", "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.
Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.
Так, например, из элементарных высказываний "Петров — врач", "Петров — шахматист" при помощи связки "и" можно получить составное высказывание "Петров — врач и шахматист", понимаемое как "Петров — врач, хорошо играющий в шахматы".
При помощи связки "или" из этих же высказываний можно получить составное высказывание "Петров — врач или шахматист", понимаемое в алгебре логики как "Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно".
Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.
Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пусть через А обозначено высказывание "Тимур поедет летом на море", а через В — высказывание "Тимур летом отправится в горы". Тогда составное высказывание "Тимур летом побывает и на море, и в горах" можно кратко записать как А и В. Здесь "и" — логическая связка, А, В — логические переменные, которые могут принимать только два значения — "истина" или "ложь", обозначаемые, соответственно, "1" и "0".
Операция, выражаемая связкой "и", называется конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается точкой " . " (может также обозначаться знаками или &).
Высказывание А . В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.
Например, высказывание "10 делится на 2 и 5 больше 3" истинно, а высказывания "10 делится на 2 и 5 не больше 3", "10 не делится на 2 и 5 больше 3", "10 не делится на 2 и 5 не больше 3" — ложны.
Операция, выражаемая связкой "или" (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом).
Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.
Например, высказывание "10 не делится на 2 или 5 не больше 3" ложно, а высказывания "10 делится на 2 или 5 больше 3", "10 делится на 2 или 5 не больше 3", "10 не делится на 2 или 5 больше 3" — истинны.
Операция, выражаемая словом "не", называется логическим отрицанием или инверсией и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ).
Высказывание А истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.
Например, "Луна — спутник Земли" (А) - истинно; "Луна — не спутник Земли" ( А) - ложно.
Операция, выражаемая связками "если . то", "из . следует", ". влечет . ", называется импликацией (лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком .
Высказывание А В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.
Каким же образом импликация связывает два элементарных высказывания?
Покажем это на примере высказываний: "данный четырёхугольник — квадрат" (А) и "около данного четырёхугольника можно описать окружность"(В). Рассмотрим составное высказывание А В, понимаемое как "если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность".
Есть три варианта, когда высказывание А В истинно:
А истинно и В истинно, то есть данный четырёхугольник квадрат, и около него можно описать окружность;
А ложно и В истинно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырёхугольника);
A ложно и B ложно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность.
Ложен только один вариант, когда А истинно, а В ложно, то есть данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.
В обычной речи связка "если . то" описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться "бессмысленностью" импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими: "если президент США — демократ, то в Африке водятся жирафы", "если арбуз — ягода, то в бензоколонке есть бензин".
Операция, выражаемая связками "тогда и только тогда", "необходимо и достаточно", ". равносильно. ", называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком или ~.
Высказывание А В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.
Например, высказывания "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3", "23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3" истинны, а высказывания "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5", "21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3" ложны.
Высказывания А и В, образующие составное высказывание А В, могут быть совершенно не связаны по содержанию, например: "три больше двух" (А), "пингвины живут в Антарктиде" (В). Отрицаниями этих высказываний являются высказывания "три не больше двух" ( А), "пингвины не живут в Антарктиде" ( В). Образованные из высказываний А и В составные высказывания A B и A B истинны, а высказывания A B и A B — ложны.
§ 1. Основы логики.
Логика – наука о законах и формах мышления.
§ 4. Основные законы алгебры логики. Упрощение логических формул……………………. ……………. ………11
§ 3. Логические формулы. Таблица истинности логической
формулы.
С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.
Определение логической формулы:
Всякая логическая переменная и символы "истина" ("1") и "ложь" ("0") — формулы.
Если А и В — формулы, то A, А . В , А v В , А B , А В — формулы.
3. Никаких других формул в алгебре логики нет.
В п. 1 определены элементарные формулы; в п. 2 даны правила образования из любых данных формул новых формул.
В качестве примера рассмотрим высказывание "если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог". Это высказывание формализуется в виде (A v B) C. Такая же формула соответствует высказыванию "если Игорь знает английский или японский язык, то он получит место переводчика".
Как показывает анализ формулы (A v B) C, при определённых сочетаниях значений переменных A, B и C она принимает значение "истина", а при некоторых других сочетаниях — значение "ложь". Такие формулы называются выполнимыми.
Некоторые формулы принимают значение "истина" при любых значениях истинности входящих в них переменных. Например, формула А v А, соответствующая высказыванию "Этот треугольник прямоугольный или непрямоугольный" истинна и тогда, когда треугольник прямоугольный, и тогда, когда треугольник не прямоугольный. Такие формулы называются тождественно истинными формулами или тавтологиями. Высказывания, которые формализуются тавтологиями, называются логически истинными высказываниями.
В качестве другого примера рассмотрим формулу А . А, которой соответствует, например, высказывание "Катя самая высокая девочка в классе, и в классе есть девочки выше Кати". Очевидно, что эта формула ложна, так как либо А, либо А обязательно ложно. Такие формулы называются тождественно ложными формулами или противоречиями. Высказывания, которые формализуются противоречиями, называются логически ложными высказываниями.
Если две формулы А и В одновременно, то есть при одинаковых наборах значений входящих в них переменных, принимают одинаковые значения, то они называются равносильными.
Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом " justify"> Нами рассмотрены пять логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция.
Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:
А В = Аv В.
Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:
А В = ( А v В) . ( Вv А).
Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.
Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания ("не"), затем конъюнкция ("и"), после конъюнкции — дизъюнкция ("или") и в последнюю очередь — импликация.
Таблица истинности логической формулы – таблица, выражающая соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.
Для формулы, которая содержит две переменные, таких наборов значений переменных всего четыре: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).
Если формула содержит три переменные, то таких наборов восемь: (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1).
Количество наборов для формулы с четырьмя переменными равно шестнадцати и т.д. Т.е., если N – количество переменных, то 2 N – количество наборов значений переменных.
Процессор выполняет арифметические и логические операции над двоичными кодами. Поэтому необходимо познакомиться с основными логическими элементами, лежащими в основе его построения. Начнем с алгебры логики. Алгеброй логики называется аппарат, который позволяет выполнять действия над высказываниями. Высказывание – это предложение, относительно которого имеет смысл говорить истинно оно или ложно. Высказывания могут быть представлены с помощью математических, химических и прочих знаков.
Алгебру логики называют также алгеброй Буля, или булевой алгеброй, по имени английского математика Джорджа Буля, разработавшего в XIX веке ее основные положения. В булевой алгебре высказывания принято обозначать прописными латинскими буквами: А, В, X, Y. В алгебре Буля введены три основные логические операции с высказываниями: сложение, умножение, отрицание. Определены аксиомы (законы) алгебры логики для выполнения этих операций. Действия, которые производятся над высказываниями, записываются в виде логических выражений.
Алгебра логики рассматривает высказывания не с точки зрения их содержания, а с точки зрения их истинности или ложности. И в этом смысле можно сказать, что высказывание может принимать только два значения: ИСТИНА (обозначим 1) или ЛОЖЬ (обозначим 0).
Логические выражения могут быть простыми и сложными. Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логические операции. В простом логическом выражении возможно только два результата — либо «истина», либо «ложь». Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединенные логическими операциями. По аналогии с понятием функции в алгебре сложное логическое выражение содержит аргументы, которыми являются высказывания. В качестве основных логических операций в сложных логических выражениях используются следующие: НЕ (логическое отрицание, инверсия); ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция); И (логическое умножение, конъюнкция).
Логическое отрицание является одноместной операцией, так как в ней участвует одно высказывание. Логическое сложение и умножение — двуместные операции, в них участвует два высказывания. Существуют и другие операции, например операции следования и эквивалентности, правило работы которых можно вывести на основании основных операций.
Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможных логических значений исходных высказываний. Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении. Таблица истинности одноместной логической операции состоит из двух строк: два различных значения аргумента — «истина» (1) и «ложь» (0) и два соответствующих им значения функции, в таблице истинности двуместной логической операции — четыре строки: 4 различных сочетания значений аргументов — 00, 01, 10 и 11 и 4 соответствующих им значения функции.
Операция «НЕ» — логическое отрицание (инверсия) применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции НЕ является следующее:
· если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;
· если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.
Для операции отрицания «НЕ» приняты следующие условные обозначения: ┐A; not А.
Результат операции отрицания «НЕ» определяется следующей таблицей истинности:
A | ┐A |
ложь | истина |
истина | ложь |
A | ┐A |
0 | 1 |
1 | 0 |
1. Высказывание «Земля вращается вокруг Солнца» истинно. Высказывание «Земля не вращается вокруг Солнца» ложно.
3. «4 — не простое число» истинно.
Принцип работы переключателя настольной лампы таков: если лампа горела, переключатель выключает ее, если лампа не горела — включает ее. Такой переключатель можно считать электрическим аналогом операции отрицания.
Операция «ИЛИ» –логическое сложение (дизъюнкция, объединение) выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Высказывания, являющиеся исходными для логической операции, называют аргументами. Результатом операции «ИЛИ» является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.
Результат операции «ИЛИ» определяется следующей таблицей истинности:
A | B | A \/ B |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
Применяемые обозначения: А или В; A \/ В; A or В.
Результат операции «ИЛИ» истинен, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложен тогда, когда аргументы А и В — ложны.
Примеры логического сложения.
1. Рассмотрим высказывание «В библиотеке можно взять книгу или встретить знакомого». Это высказывание формально можно представить так: С = A \/ В, где высказывание А — «В библиотеке можно взять книгу», а В — «В библиотеке можно встретить знакомого». Объединение этих высказываний при помощи операции логического сложения означает, что события могут произойти как отдельно, так и одновременно.
2. Рассмотрим высказывание «Знания или везение — залог сдачи экзаменов». Успешно сдать экзамен может тот, кто все знает, или тот, кому повезло (например, вытянут единственный выученный билет), или тот, кто все знает и при этом выбрал «хороший» билет.
3. Кто хоть однажды использовал елочную гирлянду с параллельным соединением лампочек, знает, что гирлянда будет светить до тех пор, пока цела хотя бы одна лампочка.
Логическая операция «ИЛИ» чрезвычайно схожа с работой подобной гирлянды, ведь результат операции ложь только в одном случае — когда все аргументы ложны.
Операция «И» –логическое умножение (конъюнкция) выполняет функцию пересечения двух высказываний (аргументов), в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции «И» является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.
Результат операции «И» определяется следующей таблицей истинности:
A | B | A /\ B |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
Результат операции «И» истинен тогда и только тогда, когда истинны одновременно высказывания А и В, и ложен во всех остальных случаях.
Примеры логического умножения.
1. Рассмотрим высказывание «Учитель должен быть умным и справедливым». Это высказывание формально можно представить так: С - А /\ В, где высказывание А — «Учитель должен быть умным», а В — «Учитель должен быть справедливым». Объединение этих высказываний при помощи операции логического умножения означает, что учитель должен быть одновременно и умным, и справедливым.
2. Рассмотрим высказывание «Умение и настойчивость приводят к достижению цели».
Достижение цели возможно только при одновременной истинности двух предпосылок — умения и настойчивости.
3. Логическую операцию «И» можно сравнить с последовательным соединением лампочек в гирлянде. При наличии хотя бы одной неработающей лампочки электрическая цепь оказывается разомкнутой, то есть гирлянда не работает. Ток протекает только при одном условии — все составляющие цепи должны быть исправны.
Операция «ЕСЛИ-ТО» – логическое следование (импликация) связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия.
Применяемые обозначения: если А, то В; А влечет В; if A then В; А –> В.
A | B | Если A, то B |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.
Примеры операции следования.
1. Рассмотрим высказывание «Если идет дождь, то на улице сыро». Здесь исходные высказывания «Идет дождь» и «На улице сыро». Если не идет дождь и не сыро на улице, результат операции следования — истина. На улице может быть сыро и без дождя, например, когда прошла поливочная машина или дождь прошел накануне. Результат операции ложен только тогда, когда дождь идет, а на улице не сыро.
2. Рассмотрим два высказывания: А делится на 9>, В х делится на 3>. Операция А –> В означает следующее: «Если число делится на 9, то оно делится и на 3». Рассмотрим возможные варианты:
· А — ложно, В — ложно (1-я строка таблицы истинности). Можно найти такие числа, для которых истиной является высказывание «если А — ложно, то и В — ложно». Например, х = 4, 17, 22.
· А — ложно, В — истинно (2-я строка таблицы истинности). Можно найти такие числа, для которых истиной является высказывание «если А — ложно, то В — истинно». Например, х = 6, 12, 21.
· А — истинно, В — ложно (3-я строка таблицы истинности). Невозможно найти такие числа, которые делились бы на 9, но не делились на 3. Истинная предпосылка не может приводить к ложному результату импликации.
· А — истинно, В — истинно (4-я строка таблицы истинности). Можно найти такие числа, для которых истиной является высказывание «если А — истинно, то и В — истинно». Например, х = 9, 18, 27.
Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность, равнозначность).
Применяемое обозначение: А ~ В.
A | B | А ~ В |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.
Примеры операции эквивалентности.
1. «День сменяет ночь тогда и только тогда, когда солнце скрывается за горизонтом»;
2. «Добиться результата в спорте можно тогда и только тогда, когда приложено максимум усилий».
При объяснении нового материала используется презентация (Приложение 1).
- Логика – наука о формах и способах мышления
- Логика изучает внутреннюю структуру процесса мышления
- Алгебра логики – булева алгебра. Цель алгебры логики – описание поведения и структуры логических схем
Истинные высказывания правильно отражают свойства и отношения реальных вещей.
Ложные высказывания не соответствуют реальной действительности.
- Истинное высказывание правильно отражает свойства и отношение реальных вещей (2*2=4).
- Ложное высказывание не соответствует реальной действительности (2*2=5).
Логические операции задаются таблицами истинности.
Операция “ИЛИ” – “OR” – операция логического сложения:
Операция “И” – “AND” – операция логического умножения:
Операция “НЕ” – “NOT” – операция логического отрицания:
Импликация – логическое следование:
Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликации) ложно тогда и только тогда, когда из истинной посылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание)
Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности, истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.
- Логическое выражение – это выражение, которое включает в себя логические переменные, объединенные логическими операциями
- Таблица истинности определяет истинность или ложностьсоставного высказывания
Определить истинность или ложность логического высказывания:
A AND B OR C AND A
Инверсия, логическое умножение, логическое сложение.
A | B | C | A and B | C and A | A and B or C and A |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Любое логическое выражение можно рассматривать как логическую функцию.
Логической функцией называют функцию F(x1, x2, …xn) – функция от логических переменных, которая может принимать значения либо логического “0”, либо логической “1”. Для каждой логической функции имеется таблица истинности логической функции.
Логическая функция может быть задана табличным способом или в виде соответствующих формул.
Каждая логическая функция 2-х аргументов имеет 4 возможных набора значений аргументов: 00, 01, 10, 11.
N = 2 4 = 16 различных логических функций.
Законы алгебры логики:
Закон исключения третьего
Закон двойного отрицания
Вопросы по теме: “Основы логики и логические основы компьютера”:
Практические задания по теме
Построить таблицу истинности по булеву выражению:
1. F(x1, x2, x3) = x3 \/ (2 & x1 & x3)
2. F(x1, x2, x3) = 1 & 2 \/ x2 \/ x1 & x3
3. F(x1, x2, x3) = 1 & x2 & x3 \/ 1 \/ x2 \/ x3
1. Информатика и ИКТ. Профильный уровень: учебник для 10 класса / Н.Д. Угринович.
В процессе обработки двоичной информации компьютер выполняет арифметические и логические операции. Поэтому для получения представлений об устройстве компьютера необходимо познакомится с основными логическими элементами, лежащими в основе построения компьютера. Начнем это знакомство с основных начальных понятий логики.
Учебное пособие по информатике
МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 6
Логические основы компьютера
Готовые работы на аналогичную тему
Все электронные схемы компьютера могут быть реализованы с помощью трёх базовых логических элементов И, ИЛИ, НЕ.
Логический элемент НЕ (инвертор). Простейший логический элемент, реализующий функцию отрицания (инверсию). Унарный элемент – элемент, у которого один вход и один выход.
На функциональных схемах обозначается
Если на вход инвертора подаётся $1$, то на выходе реализуется $0$ и наоборот.
Логический элемент И (конъюнктор) реализует умножение двух или более логических значений, т.е. имеет два или более входов и один выход. На функциональных схемах обозначается:
Если на входе конъюнктора все входные сигналы имеют значение $1$, то на выходе тоже будет сигнал $1$, в противном случае на выходе будет сигнал $0$.
Логический элемент ИЛИ (дизъюнктор) реализует сложение двух или более логических значений, т.е. имеет два или более входов и один выход. На функциональных схемах обозначается:
Если на вход дизъюнктора поступает хотя бы один сигнал равный $1$, то выходе тоже будет сигнал $1$.
Роль базовых логических элементов в создании схем играют ещё два логических элемента: И-НЕ и ИЛИ-НЕ.
Логический элемент И-НЕ (отрицание конъюнкции) выполняет логическую функцию штрих Шеффера. Операция бинарная, поэтому имеет, как минимум, два входа. На функциональных схемах обозначается следующим образом:
Логический элемент ИЛИ-НЕ (отрицание дизъюнкции) выполняет логическую функцию стрелка Пирса. Тоже бинарная операция, поэтому имеет, как минимум, два входа. На функциональных схемах обозначается так:
§ 8. Логические элементы компьютера. Триггер и сумматор. 25
§ 3. Логические формулы. Таблица истинности логической формулы……………………………………………..…..…. ….….8
§ 2. Логические операции……………………………..…..….…..5
Вопросы для самоконтроля…………..……. …………….29
Читайте также: