Спираль архимеда построение в excel

Обновлено: 27.11.2022

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

  • Онлайн
    формат
  • Диплом
    гособразца
  • Помощь в трудоустройстве

311 лекций для учителей,
воспитателей и психологов

Получите свидетельство
о просмотре прямо сейчас!

Леденев Михаил Алексеевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СПИРАЛЕЙ

Гнусина Марина Николаевна, учитель математики и информатики

Ханты-Мансийский автономный округ- ЮГРА

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

лицей имени генерал-майора Хисматулина Василия Ивановича

«Геометрия владеет двумя сокровищами-теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнивать с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем…»

Иоганн Кеплер

Люди различают окружающие их вещи по форме. Интерес к форме предмета может быть вызван какой-либо потребностью у человека, а может и красотой самой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии у человека.

Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняется ли красота и гармония, каким-либо математическим расчётам. Можно ли выразить красоту с помощью формул и уравнений? Существует ли в мире единый стандарт прекрасного? Возможно, ли построить гармонию с помощью чертежных инструментов?

Актуальность темы заключается в демонстрации и применении математических знаний в практической деятельности человека. Большинство людей считают математику скучной наукой, но с помощью моделирования графических изображений спиралевидных форм можно показать, насколько интересна и занимательна математика, как привлекательны и разнообразны фигуры, которые можно построить с помощью спиралей.

При рассмотрении картин, выполненных с элементами спиралей, мы воспринимаем их как единое целостное изображение, но при четком рассмотрении картины мы понимаем, что изображение сформированы из отдельных элементов, которые варьируются радиусом построения и длиной дуги. Нам стало интересно как формируются изображения из спиралей. И мы поставили перед собой

Цель: выявить особенности моделирования графических изображений с помощью спиралей.

Подобрать информацию о спиралях;

Изучить основные параметры Золотой спирали и спирали Архимеда и выявить особенности их построения;

Сформировать навыки построения Золотой спирали и спирали Архимеда с помощью чертежных инструментов;

Разработать модели графических изображений с помощью спирали Архимеда, спирали Фибоначчи (Золотой спирали) и циркульной спирали;

Проанализировать зависимость моделей геометрических изображений от изменения параметров спиралей;

Предмет исследования: моделирование графических изображений с помощью спиралей

Объект исследования: моделирование графических изображений

Гипотеза: если построить модели графических изображений с помощью спиралей, то можно увидеть, что построенные спирали облегчают построение геометрических моделей спиралевидной формы

Методы исследования:

Новизна: впервые в рамках данного исследования было доказано, что с помощью спирали Архимеда и Золотой спирали можно смоделировать графические изображения.

Практическая значимость: моделирование графических изображений с помощью спиралей можно применять при создании дизайн проектов различных объектов, изготовлении открыток или панно с элементами декора спиралевидных форм.

План исследования:

Изучить понятие спирали и ее параметров;

Изучить теоретические основы техники построения спиралей различными способами;

Освоить технологию разбиения окружности на равные части и построения спиралей чертежными инструментами;

Получить практические навыки построения изображений, содержащих спиралевидные формы;

Исследовать зависимость спиралей, от их основных элементов построения;

Проанализировать полученные данные, сделать соответствующие выводы подтверждения гипотезы.

Понятие линии (кривой) возникло в сознании человека в доисторические времена. Траектория брошенного камня, очертания цветов и листьев растений, извилистая линия берега и другие линии природы с давних пор привлекали внимание людей.

В разговорном языке «кривая», «кривой», «кривое» употребляется, как прилагательные, обозначающие то, что отклоняется от прямого, правильного, справедливого.

Спираль – это яркий пример кривой линии.

Спираль (франц. spirale, от лат. spira - виток) - плоская кривая, которая обычно обходит вокруг одной (или нескольких) точки, приближаясь или удаляясь от неё.

Среди спиралей выделяют алгебраические спирали и псевдоспирали. Алгебраические спирали - спирали, уравнение которых задаются в полярных координатах. К алгебраическим спиралям относятся:

Псевдоспирали - спирали, натуральные уравнения которых могут быть записаны в виде более сложной формулы.

В нашей работе мы уделили особое внимание спирали Архимеда, спирали Фибоначчи (Золотой) и циркульной спирали, построенной на двух центрах.

Безобидная воронка, образованной вытекающей из ванны водой; свирепый смерч, опустошающий все на своем пути, величественный круговорот гигантского космического вихря туманностей и галактик– все они имеют форму спиралей.

Спираль Архимеда, это одно из величайших открытий, которое произошло в третьем веке до нашей эры, но не потеряло свою актуальность и в XXI веке.

Рис.1 Спираль Архимеда

Архимедова спираль — спираль, плоская кривая, траектория точки M которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV. Уравнение в полярных координатах:

Спираль Архимеда в настоящее время широко используется в технике. Винт Архимеда стал прообразом шнека – устройства, широко используемого в различных машинах для перемешивания жидких, сыпучих и тестообразных материалов. Самая распространенная его разновидность – винтовой ротор в обычной мясорубке.

Золотое сечение (золотая пропорция) — это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как большая часть относится к меньшей.

с : a = a: b = 1,62

Золотой прямоугольник - это прямоугольник, в котором отношение большей стороны к меньшей равно золотой пропорции.

Такой прямоугольник можно использовать для построения золотой спирали.

Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров.

Если соединить плавной линией углы полученных на рисунке прямоугольников, получим спираль Фибоначчи. Она характеризуется, в частности, тем, что не имеет границ и не изменяет формы.

hello_html_64f4d849.jpg
hello_html_2526d8f8.jpg

Рис.2 Золотой квадрат и спираль Фибоначчи

Подобная спираль часто встречается в природе. Раковины моллюсков – один из самых ярких примеров. Более того, спиральную форму имеют некоторые галактики, которые можно разглядеть с Земли. Если вы обращаете внимание на прогнозы погоды по телевизору, то могли заметить, что подобную спиральную форму имеют циклоны при съемке их со спутников.

Спирали широко используются в архитектурном декоре и имеют долгую художественную и сакральную традицию.

Циркульная спиральная кривая, состоящая из последовательных сопряжённых дуг, называется завитком.

Построение завитка по двум центрам 1 и 2 – концам заданного отрезка

1. Из центра 1 проводим полуокружность 1'-2 радиуса R1, равного величине исходного отрезка 1-2.

2. Из центра 2 проводим полуокружность 1'-2' радиуса R2.

3. Из центра 1 проводим полуокружность 2'-1' радиуса R3.

Дальнейшие построения аналогичны и их легко понять из чертежа.

hello_html_18a4c756.jpg

Рис.3. Построение циркульных спиралей

Построение завитка по трём центрам 1, 2 и 3 – вершинам равностороннего треугольника

1. Из центра 1 проводим дугу 3-1', равную трети окружности радиуса R1.

2. Из центра 2 проводим дугу 1'-2', равную трети окружности радиуса R2.

3. Из центра 3 проводим дугу 2'-3', равную трети окружности радиуса R3.

Дальнейшие построения несложно продолжить аналогичным образом.

Построение завитка по четырём центрам 1, 2, 3 и 4 – вершинам квадрата

1. Из центра 1 проводим дугу 4-1' радиуса R1, равного стороне исходного квадрата.

2. Следующую дугу 1'-2' радиуса R2проводим из центра 2.

3. Очередную дугу 2'-3' проводим из центра 3 радиусом R3.

Далее построения выполняются сходным образом, при этом на каждом этапе центры сопряжения сменяются последовательно (в данном случае, по часовой стрелке).

Из теоретической части мы узнали, что спиралевидные кривые бывают разные.

Мы решили познакомиться более подробно с Золотой спиралью (спиралью Фибоначчи), спиралью Архимеда (арифметической спиралью) и циркульной спиралью, построенной на двух центрах. Мы предполагаем провести эксперимент с несколькими спиралями, изучить их форму в зависимости от изменяющихся параметров, сравнить их и попробовать смоделировать графические изображения с их помощью.

Для построения золотой спирали мы использовали листы миллиметровой бумаги для удобства построения вспомогательных прямоугольников. Чертежными инструментами были линейка и циркуль.

Алгоритм построения Золотой спирали (спирали Фибоначчи)

Строим квадрат 1×1.

Под первым квадратом строим еще один квадрат 1×1.

Справа от этих двух квадратов рисуем квадрат 2×2.

Сверху рисуем квадрат 3×3.

Слева от этих квадратов рисуем квадрат 5×5.

Внизу добавляем квадрат 8×8.

Справа рисуем квадрат 13×13.

Теперь в каждом из квадратов по очереди рисуем кривую. Для этого установим иглу циркуля в правом нижнем углу квадрата 1 и начертим четверть окружности. Продолжим окружность в квадрате 2 и начертим еще четверть окружности.

Перенесем иглу циркуля в точку в левом верхнем углу квадрата 3, а другую ножку поставим так, чтобы карандаш достал до его правого верхнего угла. Начертим четверть окружности.

Для квадратов 4-7 делаем тоже самое, не забывая переносить иглу циркуля и раздвигать его ножки.

Когда нам не хватало раствора циркуля при большом радиусе построения, мы использовали нить. Один конец нити мы закрепляли, а на втором делали петлю, вставляли карандаш и делали необходимые построения.

Легко было заметить, что, начиная с третьего квадрата, сторона каждого нового квадрата равна сумме сторон двух предыдущих квадратов. 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2 и т.д.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … - это числа Фибоначчи, и они являются основой построения Золотой спирали.

В данном исследовании мы изучали и сравнивали спирали Фибоначчи.

Мы строили Спирали Фибоначчи принимая за начальные параметры построения квадраты со стороной 5мм, 10мм, 15мм и 20мм. Измеряли длину дуги каждого фрагмента Золотой спирали по четвертям дуг построения. После мы суммировали длину всех фрагментов, построенной спирали и нашли ее длину, Результаты измерений внесли в таблицу. Сравнили результаты длины спирали построенной на основе 7 квадратов и сделали выводы.

Изучение параметров Золотой спирали

Выводы : анализируя данные таблицы мы видим, что в зависимости от размеров начального квадрата получаются разные по размеру спирали. Чем больше размер начально квадрата, тем быстрее Золотая спираль раскручивается

Для построения спирали Архимеда мы использовали листы миллиметровой бумаги. Для построения использовались циркуль и линейка. Существует несколько способов построения спирали Архимеда. Мы использовали способ построения спирали с помощью окружности.

Алгоритм построения спирали Архимеда с помощью окружности

Строим окружность необходимого диаметра;

Окружность делиться на 12 (или 8) частей и подписывается;

Делится линия на 12 равных отрезков, которые нумеруются;

Чертятся дополнительные окружности. которые берут свое начало с горизонтальной линии и заканчиваются на делительных частях окружности имеющей такой же номер;

Полученные точки соединяются плавной линией и получаем спираль Архимеда.

Пошаговое построение спирали Архимеда на окружности делимой на 12 частей можно увидеть в таблице (Приложение 2)

Спираль Архимеда зависит от двух параметров радиуса построения и угла поворота.

В своем исследовании мы меняли эти два параметра и смотрели, как будет вести себя спираль при построении.

Мы выбирали центр построения от которого строилась спираль. Строили окружность и разбивали ее на равные части. При разбиении окружности на равные чти использовались алгоритмы пазбиения окружности на равные части (Приложение)

Мы разбивали окружность на 6 частей, на 8 частей и на 12 частей. На разбитых окружностях мы строили спирали Архимеда изменяя шаг изменения радиуса спирали.

При этом мы считали количество витков спирали и измеряли длину спирали с помощью наложенной на нее нити. Длина нити измерялась линейкой. Все показания мы вносили в таблицу.

Изучение спирали Архимеда на модели окружности разбитой на

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

  • Онлайн
    формат
  • Диплом
    гособразца
  • Помощь в трудоустройстве

Видеолекции для
профессионалов

  • Свидетельства для портфолио
  • Вечный доступ за 120 рублей
  • 311 видеолекции для каждого

Практическая работа «Красивые графики функций»


1) Построить спираль Архимеда по следующим данным:
- в столбце А – значения угла t в радианах от 0 до 10 с шагом 0,2
- в столбце В – значения r = 0,5* t
- в столбце С – значения х = r * cos ( t )
- в столбце D – значения y = r * sin ( t )
- выделить значения в столбцах С и D и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми)


2) Построить астроиду по следующим данным:
- в столбце А – значения угла t в радианах от 0 до 7 с шагом 0,2
- в столбце В – значения х = 2*( cos ( t )) 3
- в столбце С – значения y = 2*( sin ( t )) 3
- выделить значения в столбцах B и С и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми)

3) Построить улитку Паскаля по следующим данным:
- в столбце А – значения a от 0 до 360 с шагом 10 (угол в градусах)
- в столбце В – значения t = a * π/180 (угол в радианах)
- в столбце С – значения p = cos ( t )–0,5
- в столбце D – значения x = p * cos ( t )
- в столбце Е – значения у = p * sin ( t )
- выделить значения в столбцах D и E и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми)

4) Построить лемнискату Бернулли по следующим данным:
- в столбце А – значения a от 0 до 360 с шагом 10 (угол в градусах)
- в столбце В – значения t = a * π/180 (угол в радианах)
- в столбце С – значения r = 2* sin (2* t ) 2
- в столбце D – значения x = r * cos ( t )
- в столбце E – значения y = r * sin ( t )
- выделить значения в столбцах D и E и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми)


5) Построить график в форме сердца по следующим данным:
- в столбце А – значения a от 0 до 360 с шагом 10 (угол в градусах)
- в столбце В – значения t = a * π/180 (угол в радианах)
- в столбце С – значения x = 16*( sin ( t )) 3
- в столбце D – значения у =13* cos ( t )–5* cos (2* t )–2* cos (3* t )– cos (4* t )
- выделить значения в столбцах C и D и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

  • Онлайн
    формат
  • Диплом
    гособразца
  • Помощь в трудоустройстве

Видеолекции для
профессионалов

  • Свидетельства для портфолио
  • Вечный доступ за 120 рублей
  • 311 видеолекции для каждого

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей №1» г. Новотроицка

Построение кривых в программе Microsoft Excel

ученица 9 «В» класса

Руководитель: Хоменко Н. В.

1.1. Полярная система координат……………………………. 5

1.2. Инструкция по построению кривых с помощью программы Microsoft Excel……7

Кроме привычной для нас прямоугольной декартовой системы координат, в математике используются и другие способы задания положения точки в пространстве или на плоскости. Чаще всего применяются полярные координаты. Положение точки определяется при помощи луча, выходящего из полюса и пересекающего в заданном месте соответствующую окружность. В такие координаты очень естественно укладываются многие природные формы и биологические объекты. Их формы порой самым удивительным образом напоминают фигуры, образуемые в криволинейных координатах достаточно простыми и лаконичными математическими выражениями. Это сходство указывает на то, что тела живых организмов, биологические структуры, образуются по принципам, сходным с принципами построения "полярных" объектов. Живой организм "начинается" из одной исходной точки, и затем развивается и растет во все стороны по определенному математическому закону. По крайней мере, такое предположение совсем не противоречит наблюдаемому в природе обилию "математических", "полярных" форм. Природа как бы сама использует полярные координаты, что особенно бросается в глаза на примере растений, многоклеточных животных и насекомых. Вероятно поэтому фигуры, построенные в полярных координатах, обладают неповторимой эстетической привлекательностью. Они плотно ассоциируются с формами цветов, бабочек, словом, всем тем, что так много удовольствия доставляет нашему взору в живой природе.

Использование компьютерных программ для построения графиков функций, изучение их свойств и закономерностей, дает возможность рассмотреть большое количество примеров с минимальными усилиями. Данная работа предназначена в помощь учителям при изучении функции, а также ученикам с целью заинтересовать их математикой, информатикой, показав возможности использования информационных технологий на уроках математики.

Актуальность работы. При изучении программы Microsoft Exce l на уроках информатики построение подобных графиков не оговаривалось. Также не оговаривался переход от декартовой системы к полярной, поэтому выполняя данную работу я получаю возможность узнать что-то новое для себя в обоих направлениях.

Вопрос (мотивация ): Как построить графический образ уравнения третьей (и выше) Microsoft Exce l ?

Проблема: необходимо научиться переходить к полярной системе координат и строить различные кривые этих уравнений в программе Microsoft Exce l .

Гипотеза: в ходе изучения построения графиков кривых в полярной системе координат я узнаю некоторые особые возможности программы Microsoft Exce l .

Поэтому, объектом моего исследования стала полярная система координат.

Исходя из этого, предметом моего исследования стала программа Microsoft Exce l .

Цель моей работы – показать принцип построения линий в полярной системе координат с помощью программы Microsoft Exce l , так как она должна значительно облегчить построение кривых .

Результаты исследования.

В процессе работы я:

Ø изучила переход от декартовой системы координат к полярной и обратно;

Ø исследовала изменения вида кривой, в зависимости от параметров входящих в её уравнение;

Ø лучше поняла принципы работы в программе Microsoft Exce l и оценила преимущества построения графиков именно в ней .

Планы и перспективы: продолжить изучение плоских кривых.

1.1. Полярная система координат.

В полярной системе координат положение точки определяется полярным радиусом R и углом , образуемым полярным радиусом с полярной осью. Следовательно, полярная система координат — система координат, ставящая в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел . Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта (полюс) и луч, начинающийся в этой точке (полярная ось).

Если в декартовой системе координат предельно простое выражение определяет прямую линию, то это же выражение, переписанное в форме , уже превращается в спираль. Фигуры в полярных координатах образуются как след конца бегающего по кругу полярного радиуса переменной длины. Длина полярного радиуса определяется величиной угла, который в данный момент времени он образует с полярной осью. Координата берётся со знаком «+», если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «-» в противоположном случае. Любая точка в этой системе имеет бесконечное число координат вида , которым соответствует одна и та же точка при любых натуральных . Для полюса , угол произвольный.


Связь между полярной и декартовой системами координат.

Точка О - полярный полюс, луч ОЕ будем называть полярной осью, отрезок ОМ - называют длиной полярного радиуса R , п оложительный угол от луча ОЕ до луча F - полярный угол.


Если известны полярные координаты R и , точки М, то можно уставить связь с её декартовыми координатами.

Построим прямоугольный ОМЕ. В этом треугольнике гипотенуза ОМ=R, ЕОМ = , катет ЕМ = у, катет ОЕ = х координаты точки М.

Для того, чтобы перейти от полярных координат к декартовой системе, используют формулы: , , . Обратно, чтобы, имея прямоугольные координаты, получить расстояние нужное для задания полярных координат, надо воспользоваться теоремой Пифагора: , затем , .

Некоторые замечательные кривые. На протяжении многих лет ученые собирали информацию о формулах, рисующих разные фигуры. Многие фигуры получили свои названия. Список таких названий внушителен: спираль Архимеда, Ферма, Галлилея, Фибоначчи, кардиоида, овалы Кассини, лемниската Бернулли, фигуры Лиссажу, розы Гвидо Гранди, кривые Маклорена, верзьера (локон Марии Аньези) и т.д.

1.2. Инструкция по построению кривых с помощью программы Microsoft Excel.

Если уравнение задано в декартовых координатах, то следует перевести его в полярные, используя формулы: X = R * COS ( F ), Y = R * SIN ( F ). Следовательно, математическая модель у нас уже есть. Рассмотрим пример построения кривой.


Задача. Построить кривую, заданную уравнением .

Решение. Найдем уравнение данной линии в полярных координатах.


Для программы Microsoft Excel: R=4*COS(3*F)


Предположим, что угол F изменяется в интервалах от 0 до 2 . Для того, чтобы построить эту кривую наиболее точно, с малым шагом изменения угла F, как мы это делали при построении тригонометрических функций, мы выберем шаг изменения 0,1.

Построим компьютерную модель исследования.

Формулы будут записаны в терминах электронных таблиц следующим образом:

А2 0,1
А3 =А2+0,1
B2 =4*COS(3*F)
C2 =SIN(А2)
D2 =COS(А2)
E2 =B2*D2
F2 =В2*C2

Тогда получаем следующее распределение по столбцам электронной таблицы:

Для построения графика выделим информационный блок E2..F63, так как аргумент F, будем изменять от 0,1 до 6,3 радиана. Возможно изменение и до 9,42, 12,56, и т. д.



Получим следующий график.


Исследование формы кривой , в зависимости от изменения значений входящих в её уравнение. Внося изменения в ячейку В2 , не меняя более ничего, мы можем получать различные виды уравнения .


1.3. Спирали.

В математике спираль — это кривая, которая огибает некоторую центральную точку или ось, постепенно приближаясь или удаляясь от неё, в зависимости от направления обхода кривой.

Спираль Архимеда может быть определена как траектория точки, участвующей одновременно в двух равномерных движениях, одно из которых совершается вдоль прямой, а другое – по окружности. Изобретение этой спирали приписывается, по некоторым источникам, Кокону Самосскому, однако свойства ее были изучены Архимедом.

Уравнение кривой в декартовом представлении: , в полярных координатах: , где а - коэффициент пропорциональности (получили прямо-пропорциональную зависимость). Расстояния между соседними витками спирали есть величина постоянная и равна - а. Различают правую и левую спираль, закрученную по- или против- часовой стрелки.

Применение. По спирали Архимеда идет звуковая дорожка на грампластинке. Туго свернутый рулон бумаги в профиль также представляет собой спираль Архимеда. Одна из деталей швейной машины – механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку – имеет форму спирали Архимеда.

Логарифмическая спираль. В истории математики логарифмическая спираль упоминается впервые в письме Декарта к Мерсену в 1638 г., в котором Декарт определяет новую спираль как линию, отношение длины дуги которой к радиус-вектору является постоянным. Независимо от Декарта логарифмическая спираль была открыта Торичелли. Особенно много внимания логарифмической спирали уделил Я. Бернулли, назвавший ее - дивная спираль. Само же название логарифмической спирали было предложено Вариньоном. Уравнение кривой в полярных координатах: .

Логарифмическая спираль имеет многочисленные применения в технике, основанные на свойстве этой кривой пересекать все свои радиус-векторы под одним и тем же углом. Это свойство применяют в режущих машинах. Вращающиеся ножи в режущих машинах имеют профиль, очерченный по дуге спирали, благодаря чему угол резания остается постоянным.

Золотая спираль: (частный случай логарифмической спирали). Эту кривую можно заметить в созданиях природы. Например, раковины многих моллюсков, улиток, рога архаров закручиваются по золотой спирали. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетает свою паутину по золотой спирали. C емечки в подсолнухе располагаются по золотой спирали, точно так же, как и многие галактики, в том числе и галактика Солнечной системы. В гидротехнике по золотой спирали изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря этому напор воды используется с наибольшей производительностью.


Можно сказать, что золотая спираль является математическим символом идеального соотношения формы и роста. Великий немецкий поэт Гёте считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития.


Спираль Ферма: . Любопытное отличие спирали Ферма от других спиралей заключается в том, что расстояние между ее витками неограниченно убывает по мере удаления от полюса.

Гиперболическая спираль: . По мере роста спираль устремляется к полюсу, делая вокруг него бесконечное множество витков, расстояние между которыми убывает.

Спираль Галилея: , . Спираль Галилея вошла в историю математики в 17 столетии в связи с постановкой проблемы определения формы линии, по которой должна двигаться свободно падающая в области экватора точка, если бы она не обладала начальной скоростью, сообщаемой ей вращением земного шара.



Спираль «жезл»: . Еще одна спираль. По форме напоминает жезл египетских фараонов.

Нажмите, чтобы узнать подробности

Построить спираль Архимеда по следующим данным:
- в столбце А – значения угла t в радианах от 0 до 10 с шагом 0,2
- в столбце В – значения r = 0,5*t
- в столбце С – значения х = r*cos(t)
- в столбце D – значения y = r*sin(t)
- выделить значения в столбцах С и D и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми)



Построить астроиду по следующим данным:
- в столбце А – значения угла t в радианах от 0 до 7 с шагом 0,2
- в столбце В – значения х = 2*(cos (t)) 3
- в столбце С – значения y = 2*(sin (t)) 3
- выделить значения в столбцах B и С и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми)

Построить улитку Паскаля по следующим данным:
- в столбце А – значения a от 0 до 360 с шагом 10 (угол в градусах)
- в столбце В – значения t = a*π/180 (угол в радианах)
- в столбце С – значения p = cos(t)–0,5
- в столбце D – значения x = p*cos(t)
- в столбце Е – значения у = p*sin(t)
- выделить значения в столбцах D и E и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми)

Построить лемнискату Бернулли по следующим данным:
- в столбце А – значения a от 0 до 360 с шагом 10 (угол в градусах)
- в столбце В – значения t = a*π/180 (угол в радианах)
- в столбце С – значения r = 2*sin(2*t) 2
- в столбце D – значения x = r*cos(t)
- в столбце E – значения y = r*sin(t)
- выделить значения в столбцах D и E и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми)


Построить график в форме сердца по следующим данным:
- в столбце А – значения a от 0 до 360 с шагом 10 (угол в градусах)
- в столбце В – значения t = a*π/180 (угол в радианах)
- в столбце С – значения x = 16*(sin(t)) 3
- в столбце D – значения у =13*cos(t)–5*cos(2*t)–2*cos(3*t)–cos(4*t)
- выделить значения в столбцах C и D и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми)

Нажмите, чтобы узнать подробности

Построить спираль Архимеда по следующим данным:
- в столбце А – значения угла t в радианах от 0 до 10 с шагом 0,2
- в столбце В – значения r = 0,5*t
- в столбце С – значения х = r*cos(t)
- в столбце D – значения y = r*sin(t)
- выделить значения в столбцах С и D и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми)



Построить астроиду по следующим данным:
- в столбце А – значения угла t в радианах от 0 до 7 с шагом 0,2
- в столбце В – значения х = 2*(cos (t)) 3
- в столбце С – значения y = 2*(sin (t)) 3
- выделить значения в столбцах B и С и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми)

Построить улитку Паскаля по следующим данным:
- в столбце А – значения a от 0 до 360 с шагом 10 (угол в градусах)
- в столбце В – значения t = a*π/180 (угол в радианах)
- в столбце С – значения p = cos(t)–0,5
- в столбце D – значения x = p*cos(t)
- в столбце Е – значения у = p*sin(t)
- выделить значения в столбцах D и E и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми)

Построить лемнискату Бернулли по следующим данным:
- в столбце А – значения a от 0 до 360 с шагом 10 (угол в градусах)
- в столбце В – значения t = a*π/180 (угол в радианах)
- в столбце С – значения r = 2*sin(2*t) 2
- в столбце D – значения x = r*cos(t)
- в столбце E – значения y = r*sin(t)
- выделить значения в столбцах D и E и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми)


Построить график в форме сердца по следующим данным:
- в столбце А – значения a от 0 до 360 с шагом 10 (угол в градусах)
- в столбце В – значения t = a*π/180 (угол в радианах)
- в столбце С – значения x = 16*(sin(t)) 3
- в столбце D – значения у =13*cos(t)–5*cos(2*t)–2*cos(3*t)–cos(4*t)
- выделить значения в столбцах C и D и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми)

Читайте также: