Совхоз для кормления животных использует два вида корма в дневном рационе excel
Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одно животное, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы.
Питательное
Количество питательных веществ в 1 кг корма
Цена 1 кг корма, тыс. руб.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?
Пусть: х1 (кг) – количество корма типа 1, которое следует включить в дневной рацион животного.
х2 (кг) - количество корма типа 2, которое следует включить в дневной рацион животного.
Таким образом дневной рацион животного формально представляет собой вектор Х = (х1; х2) .
Математическая задача по критерию минимальных затрат на дневной рацион животного записывается следующим образом:
min f( x ) = 0.2x1 + 0.3x2
2 x 1 + x 2 ≥ 6 → ограничение по содержание питательного вещества А
2 x1 + 4 x2 ≥ 12 → ограничение по содержанию питательного вещества В
Построим ОДР этой задачи.
Прямые ограничений означают, что ОДР задачи будет лежать в I четверти прямоугольной системе координат. Функциональные ограничения неравенства определяющие область, являются пересечением полуплоскостей с граничными прямыми.
I. 2x1 + x2 = 6
Пересечение указанных полуплоскостей в I четверти представляет собой неограниченную многоугольную область с вершинами АВС (ОДР).
Для определения направления движения к оптимуму, построим вектор-градиент, соединив его вершину (0,2;0,3) с началом координат О (0;0).
Построим некоторую линию уровня перпендикулярно вектору градиенту. Этой линией уровня отвечает прямая ОХ.
При минимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня противоположно направлению вектора-градиента. Придельными точками при таком движении линии уровня ОХ является, соответственно, точка В, далее она выходит из ОДР.
Координаты точки В определим, решив систему уравнений:
Решением этой системы уравнений являются сведущие значения переменных:
Минимальное значение ЦФ равно:
min f( x ) = 0.2*2 + 0.3*2 = 1
ВЫВОД:
Таким образом в рассматриваемой задаче Савхозу следует рекомендовать включать в дневной рацион одного животного ежедневно 2 кг корма типа 1 и 2 кг корма типа 2. В этом случае ожидаются минимальные затраты в сумме 1 тыс. руб.
При решении на максимум задача не будет иметь решений поскольку не существует конечного максимума на неограниченном множестве допустимых решений.
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Нормы расхода сырья на одно изделие
Запасы сырья
1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III видов на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида;
оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
Пусть x1, x2, x3 и х4 – объемы производства продукции каждого вида.
Целевая функция имеет вид: max f( x ) = 9x1 + 6x2 + 4x3 + 7x4,
а ограничения по ресурсам: x 1 + 2x3 + x4 ≤ 180
x1, 2, 3, 4 ≤ 0
Поиск оптимально плана выпуска продукции.
Решим задачу при помощи настройки Excel.
Введем исходные данные.
Опишем ЦФ с помощью функции – «СУММПРОИЗВ».
Введем данные для левых частей ограничений. В «Поиске решений» введем направления ЦФ, адреса искомых переменных, добавим ограничения.
Введем параметры для решения ЗЛП.
После ввода параметров следует нажать кнопку «Выполнить».
Полученное решение означает, что максимальные доход 2115 ед. предприятие может получить при выпуске 95 ед. первой продукции, 210 ед. второй продукции, 0 ед. третьей продукции и 0 ед. четвертой продукции. Третий и четвертый вид продукции не выгодно выпускать, т.к. затраты превышают цену.
Отчет по устойчивости.
В отчете по устойчивости мы видим, что нормированная стоимость для производства продукций В и Г видов равна, соответственно, -0,5 и -5 – это означает, что если несмотря на оптимальный план (95, 210, 0, 0), попробуем включить в план выпуска продукцию В и Г вида, то новый план выпуска принесет нам доход 2109,5 ед., что на 5,5 ед. меньше, чем прежнее оптимальное решение.
Предельные значения приращения целевых коэффициентов, при которых сохраняется первоначальное оптимальное решение. Допустимое увеличение цены продукции В и Г видов равно, соответственно, 0,5 ед. и 5 ед., а допустимое уменьшение практически неограниченно 1E+30. Это означает, что если цена продукции В и Г видов возрастет более чем на 0,5 ед. и 5 ед., то оптимальное решение изменится: станет целесообразным производить продукцию видов В и Г. А если их цена будет снижаться вплоть до нуля, то оптимальное решение (95, 210, 0, 0) останется прежним.
В рассматриваемой задаче являются дефицитные типы сырья (II и III типы). Чтобы обеспечить увеличение производства продукции необходимо увеличить II тип сырья, самое большое, на 190, а III тип сырья – на 340.
Отчет по результатам.
В отчете по результатам содержатся оптимальные значения переменных х1, х2, х3 и х4, которые соответственно равны 95; 210; 0; 0, значение целевой функции – 2115, а так же левые части ограничений.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Пусть y1, y2, y3 – двойственные оценки типов ресурсов соответственно.
Целевая функция имеет вид: min g( y ) = 180y1 + 210y2 + 800y3
Функциональные ограничения: y1 +0y2 + 4y3 ≥ 9
0 y 1 + y 2 + 2y3 ≥ 6
2y1 + 3y2 + 0y3 ≥ 4
y 1 + 2y2 + 4y3 ≥ 7
y1, 2, 3 ≥ 0
Найдем оптимальный план этой задачи, используя основную теорему двойственности:
max f(x) = 95 ∙ 9 + 210 ∙ 6 + 0 ∙ 4 + 0 ∙ 7 = 2115
Проверим, является ли указанный в условии задачи план допустимым решением:
По типу сырья I: 1 ∙ 95 + 0 ∙ 210 + 2 ∙ 0 + 1 ∙ 0 ≤ 180
По типу сырья II: 0 ∙ 95 + 1 ∙ 210 + 3 ∙ 0 + 2 ∙ 0 = 210
По типу сырья III: 4 ∙ 95 + 2 ∙ 210 + 0 ∙ 0 + 4 ∙ 0 = 800
Так же получим: y1 (95 – 180) = 0, т.к. 95 < 180, то y1 = 0
y2 (210 – 210) = 0
y3 (800 - 800) = 0
Следовательно, план оптимальный. Ресурс I остается в избытке, а ресурсы II и III расходуются полностью.
Воспользуемся соотношением второй теоремой двойственности:
т.к. х1 = 95 > 0 и х2 = 210 > 0, то первое и второе ограничения двойственной задачи обращаются в равенства:
y1 = 0 y3 = 2,25
Вычислим значения целевой функции двойственной задачи:
g( y ) = 180 ∙ 0 + 210 ∙ 1,5 + 800 ∙ 2,25 = 2115
Таким образом, приведенный в условии план является оптимальным.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
Если изготовление продукции определенного вида вошло в план (хj > 0), то в двойственных оценках оно не убыточное, т.е. стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы продукции, равна его цене. Такая продукция эффективна, выгодна с точки зрения принятого критерия оптимальности. В этой задаче – это продукция видов В и Г.
Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного вида продукции, больше его цены, то этот вид продукции не войдет в оптимальный план из-за его убыточности.
В данной задаче в план производства не вошли продукция видов В и Г, потому что затраты по ним превышают цену на 0,5 ед. и 5 ед. соответственно. Это можно подтвердить, подставив в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора Y:
y 1 +0 y 2 + 4y3 ≥ 9
0y1 + y2 + 2y3 ≥ 6
2y1 + 3y2 + 0y3 ≥ 4
y 1 + 2y2 + 4y3 ≥ 7
y1, 2, 3 ≥ 0
1 ∙ 0 + 0 ∙ 1,5 + 4 ∙ 2,25 = 9
0 ∙ 0 + 1 ∙ 1,5 + 2 ∙ 2,25 = 6
2 ∙ 0 + 3 ∙ 1,5 + 0 ∙ 2,25 = 4,5 > 4
1 ∙ 0 + 2 ∙ 1,5 + 4 ∙ 2,25 = 12 > 7
Разницу между правыми и левыми частями ограничений двойственной задачи видно в « Отчете по устойчивости» в столбце « Нормируемая стоимость».
4.1 Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи.
Тип сырья I является недефицитным (y1 = 0). Ресурсы II и III являются дефицитными, причем ресурс III более дефицитный, чем ресурс II ( y3 = 2,25; y2 = 1,5; y3 > y2).
Найдем норму заменяемости для дефицитных ресурсов:
y3 : y2 = 2,25 : 1,5 = 1,5
Следовательно, ресурс III в 1,5 раза более эффективен, чем ресурс II с точки зрения влияния на максимум продукции.
4.2 Определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III видов на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида.
Будем считать, что данные изменения объемов ресурсов находятся в пределах устойчивости оптимального решения (в пределах устойчивости двойственных оценок), тогда по третьей теореме двойственности (теореме об оценках) имеем:
Δf(x) = Δ bi yi
Δf(x) = (+120) ∙ 1,5 + (+160) ∙ 2,25 + (-60) ∙ 0 = 540
Решая эту ЗЛП симплекс-методом при помощи настройки Excel, получим следующее:
Полученное решение означает, что максимальные доход, увеличившийся с 2115 ед. до 2655 ед. предприятие может получить при выпуске 75 ед. первой продукции, 330 ед. второй продукции, 0 ед. третьей продукции и 0 ед. четвертой продукции. Третий и четвертый вид продукции не выгодно выпускать, т.к. затраты превышают цену.
Отчет по результатам.
В отчете по результатам содержатся оптимальные значения переменных х1, х2, х3 и х4, которые соответственно равны 75; 330; 0; 0, значение целевой функции – 2655, а так же левые части ограничений.
Отчет по устойчивости.
В отчете по устойчивости мы видим, что нормированная стоимость для производства продукций В и Г видов равна, соответственно, -0,5 и -5 – это означает, что если несмотря на оптимальный план (75, 330, 0, 0), попробуем включить в план выпуска продукцию В и Г вида, то новый план выпуска принесет нам доход 2649,5 ед., что на 5,5 ед. меньше, чем прежнее оптимальное решение.
Предельные значения приращения целевых коэффициентов, при которых сохраняется первоначальное оптимальное решение. Допустимое увеличение цены продукции В и Г видов равно, соответственно, 0,5 ед. и 5 ед., а допустимое уменьшение практически неограниченно 1E+30. Это означает, что если цена продукции В и Г видов возрастет более чем на 0,5 ед. и 5 ед., то оптимальное решение изменится: станет целесообразным производить продукцию видов В и Г. А если их цена будет снижаться вплоть до нуля, то оптимальное решение (75, 330, 0, 0) останется прежним.
В рассматриваемой задаче являются дефицитные типы сырья (II и III типы). Чтобы обеспечить увеличение производства продукции необходимо увеличить II тип сырья, самое большое, на 90, а III тип сырья – на 300.
Решим эту же задачу «вручную». Запишем исходную и двойственную ЗЛП с измененными объемами ресурсов.
x1, 2, 3, 4 ≥ 0
Двойственная:
min g (y) = 120y1 + 330 y 2 + 960y3
y 1 + 0y2 + 4y3 ≥ 9
0y1 + y2 + 2y3 ≥ 6
2y1 + 3y2 + 0y3 ≥ 4
y 1 + 2y2 + 4y3 ≥ 7
Воспользуемся соотношением второй теоремой двойственности (теорема о дополняющей нежестокости):
Рассмотрим первые соотношения (их два):
y1 + 0y2 + 4y3 = 9
0 + 4 ∙ 2,25 = 9
Следовательно, про x1 ничего сказать нельзя.
0y1 + y2 + 2y3 = 6
1,5 + 2,25 ∙ 2 = 6
Следовательно, про x2 тоже ничего сказать нельзя.
2y1 + 3y2 + 0y3 = 4
2 ∙ 0 + 3 ∙ 1,5 ≠ 4, → х3 = 0 (затраты больше цены)
y1 + 2y2 + 4y3 = 7
0 ∙ 2 + 1,5 + 4 ∙ 2,25 ≠ 7, → х4 = 0 (затраты больше цены)
Рассмотрим вторые соотношения:
y1 = 0, ничего сказать нельзя
y2 = 1,5 - второе ограничение обращается в равенство
y3 = 2,25 – третье ограничение обращается в равенство
Запишем систему уравнений и решим ее:
х3 = 0 х3 = 0
х4 = 0 х4 = 0
f(x) = 9 ∙ 75 + 6 ∙ 330 + 4 ∙ 0 + 7 ∙ 0 = 2655
Это совпадает с выводом, сделанным ранее на основании «теоремы об оценках».
4.3 Оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
Это задание выполняется на основе третьего свойства двойственных оценок, т.е. оценки как определение эффективности.
Δf ( x) = Δbi yi
Δ4 = 2 ∙ 0 + 2 ∙ 1,5 + 2 ∙ 2,25 – 12 = -4,5 < 0
Следовательно, данную продукцию выпускать целесообразно (затраты меньше цены).
Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции одного вида, второе предприятие – продукции второго вида; третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистам управляющей компании получены экономические оценки aij ( i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y.
1. Проверить продуктивность технологической матрицы А = (aij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?
Х1 - количество корма 1 вида;
Х2 - количество корма 2 вида.
Целевая функция - F = 0,2 х1 + 0,3 х2
Решим задачу графическим способом
Первое ограничение имеет вид 2х1+1х2?6, найдем пересечение с осями координат
Для определения направления движения к оптиму построим вектор - градиента Їс (с1;с2), координаты которого являются частными производными целевой функции, т. е. с (0,2;0,3).
Этот вектор показывает направление наискорейшее изменение функции.
Прямая f(х) = 0,2х1 + 0,3х2 = а1, перпендикулярная вектору - градиенту, является линией уровня целевой функции.
Для нахождения координат точки максимума решаем систему
Ответ: чтобы затраты были минимальными необходимо расходовать 2ед. первого корма и 2 ед. второго корма.
Если данную задачу решать на максимум, то задача не имеет решения, так как целевая функция не ограничена сверху, т. е Fmax=+?
2. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
норма расхода сырья на одно изделие
1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теории двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
§ Проанализировать использования ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
§ Определить, как изменяется выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья 2 и 3 видов на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья 1 вида;
§ Оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 12 единиц, на изготовление которой расходуется по две единицы каждого вида сырья.
В связи с дороговизной программных продуктов, описанных в аналитической части (рыночная стоимость одной копии программы данного класса варьирует в пределах от 800 до 2000 у.е.), есть смысл поиска более дешевых и доступных способов расчета рационов кормления сельскохозяйственных животных. Существенным недостатком специализированных программ является невозможность в случае необходимости быстрого совершенствования приложения, что снижает гибкость среды. В тоже время программа Lisa не обладает необходимыми функциями для быстрого составления рациона.
В связи с этим стоит проанализировать возможность самостоятельного составления программного продукта удовлетворяющего потребности специалиста. Широкие возможности, в этой сфере предоставляют электронные таблицы MS EXCEL.
Электронная таблица Microsoft Excel 97 и других модификаций является мощным программным средством для работы с таблицами, позволяющим упорядочивать, анализировать и графически представлять различные виды данных.
В племенном и промышленном животноводстве как правило, существующие показатели можно представить в виде различных таблиц и списков. Поэтому MS Excel является очень удобным средством для использования в деятельности специалистов - зооинженеров.[15]
Используя данный продукт можно создать программу для расчета рецептов с возможностью дальнейшего совершенствования и развития данного продукта в соответствии с возникающими необходимостью. Гибкость данной среды позволяет совершать индивидуальные настройки каждому пользователю в зависимости от цели работы и поставленных задач.
Применение языка программирования Visual Basic for Applications в сочетании с электронными таблицами дает широкие возможности не только для составления и оптимизации рецепта, но и для анализа полученных результатов, составления отчетов, планирования расхода сырья.
Выполнение работы
Целью данной работы является создание программы для расчета рецептов кормления свиней средствами MS EXCEL.
При выполнении работы были поставлены следующие задачи:
1. Создание первоначальной базы кормов и норм кормления животных, среды расчета рациона;
2. Автоматизация процесса выбора группы животных, для которых будет составляться рецепт;
3. Автоматизация процесса определения структуры рациона;
4. Отладка оптимизации рецепта;
5. Провести анализ рассчитанного рецепта.
Создание первоначальной базы кормов и норм кормления животных, среды расчета рациона
А) На листе «Корма» создаем базу в форме таблицы. В строках располагается список доступных кормовых средств. Столбцами данной базы, являются показатели, которые будут оптимизироваться при расчете рецепта, также слева располагается столбец выбора корма в который содержит значения либо 0 либо 1 (рис. 17). После создания заполняем таблицу данными из справочника. Эти данные будут исходными при создании структуры рациона.
Рисунок 17. Лист «Корма» с базой кормов
Б) На листе «Нормы» создаем базу норм питательности для животных различных половозрастных групп. В строках располагается список половозрастных групп животных, а в столбцах значение потребности животных в данном питательном факторе (рис. 18). После создания заполняем таблицу данными из справочника. Эти данные являются исходными для оптимизации рациона.
Рисунок 18. Лист «Нормы» с базой норм
В) На листе «Расчет» создаем две области:
- область структуры рациона, включающая список кормов;
- область питательности рациона, которая отображает сумму рациона по каждому питательному элементу, расположенному в области структуры рациона. В данной области имеется три колонки «Факт», «Норма» и «Отклонение», которые отображают фактическое содержание данного питательного фактора в рационе, нормативный показатель и отклонение первого от второго (рис. 19).
Рисунок 19. Лист «Расчет»
На всех трех листах для удобства работы при поиске необходимого элемента, закрепим шапку таблиц командой «Закрепить область».
Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В.
Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одно животное, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы.
Количество питательных веществ в 1 кг корма
Цена 1 кг корма, тыс. руб.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?
Решение.
1)Построение экономико-математической модели задачи
Введем переменные : X1- количество корма 1, X2 - количество корма 2 (в кг).
Целевая функция в данном случае затраты на корма обоих видов. Требуется найти такое распределение кормов обоих видов, чтобы суммарные затраты на покупку кормов были минимальны. При этом значения переменных должны находиться в области допустимых решений.
Целевая функция задачи :
Найдём минимум целевой функции.
Область допустимых решений (ОДР) задачи, согласно условию:
2) Построим область допустимых решений (ОДР) задачи.
Условия неотрицательности переменных означают, что область решений будет лежат в первой четверти Декартовой системы координат.
Функциональные ограничения (неравенства) определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми и осями координат :
Пересечение указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой область АВС (заштрихованная область для всех ограничений задачи ОДР).
3) Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину с началом координат О (0, 0). Строим градиент функции - вектор, показывающий направление возрастания функции f(x).
4) Построим некоторую линию уровня .
Пусть, например, а = 0. На эскизе такой линии уровня отвечает прямая ОХ, перпендикулярная вектор-градиенту.
5) При максимизации целевой функции (ЦФ) необходимо перемещать линию уровня ОХ в направлении вектор - градиента, а при минимизации - в противоположном направлении. Предельной точкой при таком движении линии уровня ОХ является точка В - крайняя точка (вершина) ОДР (по - другому называемой многоугольником планов). Далее она (линия уровня) уже не пересекает единственную точку ОДР (так как область неограниченна сверху).
6)Определим координаты точки В, являющейся точкой пересечения граничных прямых , решив систему уравнений :
Точка 0( 0; 0 ) - точка начала координат.
Получаем точку В (2; 2) - вершину многоугольника (сектора) планов.
7) Точка В является так называемым оптимальным планом. В точке В целевая функция принимает свое минимальное значение при заданной системе ограничений. Эта точка отвечает минимально возможным затратам на корма при заданной ОДР. При заданной ОДР отсутствует точка максимума для целевой функции Смысл данного факта: затраты на корма при данной ОДР никак не ограничиваются (хотя в реальных случаях такая ситуация невозможна). Таким образом, целевая функция в задаче линейного программирования принимает, при заданной системе ограничений :
минимальное значение-min(f)=f(В)=0,2*2 + 0,3 *2 = 1. (тыс. руб).
максимальное значение - отсутствует (функция неограниченна сверху на ОДР). С помощью надстройки ЕХСЕL «Поиск решения" минимум целевой функции, также как и при использовании графического метода. Максимум найти не удается (сообщается, что результат не сходится); в таблице помещено только одно из возможных значений.
Ответ: максимального значения - нет (ОДР неограничен сверху);
min( x) = (2; 2); min(f)= 1 (тысяч денежных единиц).
C - градиент ЦФ ОПР
B(min)
2X1+X2 = 6
0,2 X1 +0,3 X2 = 0
2X1+4X2=12
На ферме в качестве корма для животных используются два продукта: M и H. Сбалансированное питание предполагает, что каждое животное должно получать в день не менее 200 калорий, причем потребляемое при этом количество жира не должно превышать 14 единиц. Подсчитано, что в одном килограмме каждого продукта содержится:
в продукте M -150 калорий и 14 единиц жира;
в продукте H - 200 калорий и 4 единицы жира.
Как разработать максимально дешевый рацион откорма животных, отвечающий этим условиям, если стоимость 1 кг продукта M составляет 1,5 $ , а 1 кг продукта H - 2,5 $?
Математическая модель задачи
где х1- количество продукта M в рационе,
х2 - количество продукта Н в рационе,
f - минимальная стоимость рациона.
Модель является линейной.
После введения формул в ячейки MS Excel c помощью Поиска решений находим значения.
Вывод: для того, чтобы стоимость рациона была минимальной = 2,16 $ необходимо, чтобы при кормлении в рационе было 0,909 кг продукта M и 0,318 кг продукта Н.
К данной задачи составим двойственную задачу.
Математическая модель задачи будет иметь следующий вид:
где y1, y2 - двойственные переменные,
G - максимальная стоимость запасов всех ресурсов.
Модель является линейной.
После введения формул в ячейки MS Excel c помощью Поиска решений находим значения.
Вывод: максимальная стоимость рациона при кормлении в рационе : y1=0.01, y2=0 составляет 2,16$.
По первой теореме двойственности целевая функция у прямой и двойственной задачи совпадают.
Аналитическое решение данной задачи симплекс - методом:
Найти значения переменных x1. x2, при которых функция:
принимает минимальное значение
где х1- количество продукта M в рационе,
х2 - количество продукта N в рационе,
L- минимальная стоимость.
при условии следующих ограничений :
Избавимся от неравенств в ограничениях, введя в ограничения 1, 2 неотрицательные балансовые переменные s1, s2.
Ищем в системе ограничений базисные переменные. Базисные переменные в исходной задаче отсутствуют, это значит, что исходная задача не содержит в себе допустимого базисного решения. Для его нахождения вначале составим и решим вспомогательную задачу.
Введем по одной искусственной неотрицательной переменной ri в каждое уравнение системы ограничений. Получим следующую систему ограничений,
с базисными переменными r1,r2.
Целью решения вспомогательной задачи является получение допустимого базисного решения не содержащего искусственных переменных(r1,r2). Для этого сформируем вспомогательную целевую функцию :
Для решения вспомогательной задачи симплекс-методом выразим функцию G через свободные переменные, для этого:
Читайте также: