Решение системы нелинейных уравнений методом простой итерации в excel
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей
Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения
- Онлайн
формат - Диплом
гособразца - Помощь в трудоустройстве
311 лекций для учителей,
воспитателей и психологов
Получите свидетельство
о просмотре прямо сейчас!
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА.
Решение нелинейных уравнений и систем
Цель работы: Изучение возможностей пакета Ms Excel при решении нелинейных уравнений и систем. Приобретение навыков решения нелинейных уравнений и систем средствами пакета.
Найти корни полинома x 3 - 0,01x 2 - 0,7044x + 0,139104 = 0.
Для начала решим уравнение графически. Известно, что графическим решением уравнения f(x)=0 является точка пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, т.е. такое значение x, при котором функция обращается в ноль.
Вводим в столбец В формулу: =A2^3-0,01*A2^2-0,7044*A2+0,139104
Теперь можно найти корни полинома методом последовательных приближений с помощью команды Сервис Подбор параметра. Относительная погрешность вычислений и предельное число итераций (например, 0,00001 и 1000) задаются на вкладке Сервис Параметры.
ПРИМЕР 7.2. Решить уравнение e x - (2x - 1) 2 = 0.
Проведем локализацию корней нелинейного уравнения.
Построим графики f(x) и g(x). Для этого в диапазон А3:А18 введем значения аргумента. В ячейку В3 введем формулу для вычисления значений функции f(x): = EXP(A3), а в С3 для вычисления g(x): = (2*A3-1)^2.
ПРИМЕР 7.3. Решить систему уравнений:
1-й способ. В ячейки А1 и А2 вводим числа 0 (здесь мы будем хранить x1 и x2). В ячейки В1 и В2 вводим ограничения: В1 = 2*А1-3*А2, В2 = А1+А2. В ячейку С1 введем функцию цели (эту ячейку мы будем минимизировать): С1 = СУММ(B1:B2). Воспользуемся командой Сервис Поиск Решения и заполним появившееся диалоговое окно так, как показано на рис. 7.8. В результате решения поставленной задачи получим решение системы исходных уравнений: x1 = 1,6, x2 = 2,4.
2-й способ. В ячейках D1 и D2 будем хранить переменные x1 и x2. В ячейки E1 и E2 введем уравнения системы: E1 = 2*D1-3*D2+4, E2=D1+D2-4. В качестве функции цели в ячейку F1 введем формулу = E1^2+E2^2. Обратимся к решающему блоку (см. рис. 7.9) и введём условие задачи оптимизации. В результате получаем следующее решение системы: x1 = 1,600000128, x2 = 2,39999949.
ПРИМЕР 7.4. Решить систему уравнений:
Создаем таблицу с формулами:
Введем начальные значения переменных x и y, формулы отображающие уравнения системы и функцию цели
В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.
Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.
Решение уравнений методом подбора параметров Excel
Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.
Путь к команде: «Данные» - «Работа с данными» - «Анализ «что-если»» - «Подбор параметра».
Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х 2 + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:
- Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.
- Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» - ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» - В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.
- После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».
Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».
Как решить систему уравнений матричным методом в Excel
Дана система уравнений:
- Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.
- Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.
- Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
- Умножим обратную матрицу Ах -1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.
- Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.
Получены корни уравнений.
Решение системы уравнений методом Крамера в Excel
Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:
Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.
Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.
Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).
Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (Dx / |A|).
Для расчета Х1: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х2: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:
Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel
Для примера возьмем простейшую систему уравнений:
3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9
Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.
Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.
- Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.
- Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.
- Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.
- Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: .
- В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки (). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты (). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.
Примеры решения уравнений методом итераций в Excel
Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:
Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х 3 + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:
M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:
f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.
Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х 3 – 1. М = 11.
В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).
В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.
Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:
Приближенно найти корни некоторых систем из двух нелинейных уравнений можно графическим способом.
Для того, чтобы графически решить систему из двух уравнений c двумя неизвестными, представленными в виде
нужно выполнить следующие действия:
1. Привести уравнения системы к виду y=φ(x):
2. Создать последовательность значений аргумента x в заданном диапазоне.
3. Рассчитать значения функций для каждого значения аргумента (табулировать функции).
4. По полученным табличным значениям построить графики функций f1(x) и f2(x) .
5. Найти точку пересечения построенных графиков, навести указатель мыши на точку пересечения - появится всплывающая надпись с указанием искомых (приближенных) значений координат точки пересечения.
Заметим, что точность вычисления корней при графическом методе решения определяется величиной шага последовательности х . Если, например, шаг равен 0,2, то абсолютная погрешность вычисления равна +/- 0,2.
Технологию графического решения систем уравнений рассмотрим на примере.
Пример . Найти графически приближенное решение системы :
в диапазоне [0,2 - 3] с шагом 0,2.
- представим приведенные уравнения в виде:
- табулируем функции f1(x) и f2(x) в заданном диапазоне х 1 и с указанным шагом (рис. 1);
- по данным полученной таблицы построим график (рис. 1);
- подведем указатель мыши к узловой точке, которая расположена ближе других к точке пересечения графиков функций – отобразятся координаты точки пересечения с точностью, определяемой шагом табуляции (0,8; -0,22).
На графике видно, что система имеет только одно решение.
Таким образом, приближенное решение системы получено. Если подставить полученное решения в уравнения, то их правые части не обращаются в ноль. Это говорит о том, что решения только очень приблизительные.
Рассмотренный метод имеет, по крайней мере два недостатка:
- можно решать только системы из двух уравнений;
- решение получается неточным с абсолютной погрешностью (+/-) шаг табуляции.
Решение систем нелинейных уравнений с заданной относительной погрешностью
Рассмотрим технологию решения систем нелинейных уравнений на примере.
Пример 1. Требуется найти решение выше приведенной системы с относительной погрешностью 0,000001.
Решение.
Для решения системы применим надстройку Excel Поиск решения. Для этого:
1. На рабочем листе создадим модель для вычисления как на рис. 2.
В качестве целевой функции будем использовать первое уравнение системы, а в качестве функции ограничения - второе уравнение.
Понятно, что целевая функция в результате решения должна принять значение ноль, а второе уравнение также должно принять значение ноль.
2. Включим инструмент Поиск решения ( Данные> Анализ > Поиск решения ).
3. В диалоговом окне Параметры поиска решения установим опции:
- Оптимизировать целевую функцию - ссылка на ячейку, где записано первое уравнение;
- До Значени е=0;
- изменяя значения ячеек - ссылка на диапазон, где будет сохраняться решение ;
- Ограничения - ссылка на ячейку, содержащую второе уравнение, она должна принимать значение ноль (рис. 3).
4. В диалоговом окне Параметры поиска решения кликнем на кнопке Параметры и в открывшемся окне Параметры укажем погрешность вычисления (рис. 4), кликнем на кнопке ОК..
6. В диалоговом окне Параметры поиска решения кликнем на кнопке Найти решение. На рабочем листе отобразится результат (рис. 5)
Обратим внимание, что значения, принятые первым и вторым уравнением системы близки к нулевым значениям с заданной погрешностью вычислений. Значит решение верное и оно единственное.
Пример 2 . Требуется найти хотя бы одно решение системы двух нелинейных уравнений с относительной погрешностью |ε |< 0,00001 (решений у системы может быть несколько):
Выполнение решения системы алгебраических уравнений вручную в редакторе Microsoft Excel, математическом пакете MathCAD. Реализация алгоритма решения на языке VBA. Вычислительная схема метода простой итерации. Результат решения нелинейных систем уравнений.
Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
Вид | курсовая работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 15.12.2019 |
Размер файла | 408,5 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
Санкт-Петербургский Горный Университет
Кафедра информатики и компьютерных технологий
Курсовая работа
По дисциплине: Информатика
"Решение систем нелинейных уравнений итерационными методами"
Студенту группы МО-18 Иванову Алексею Владимировичу
1. Тема работы Решение систем нелинейных уравнений итерационными методами
2. Исходные данные к работе Система нелинейных уравнений. Вариант № 8
3. Содержание пояснительной записки Титульный лист, индивидуальное задание, аннотация, оглавление, введение, вычислительная схема, блок-схема, решение нелинейных систем уравнений(вручную, средствами MS EXCEL, MATHCAD, VBA), заключение, библиографический список.
4. Перечень графического материала Схемы, рисунки, таблицы
5. Срок сдачи законченной работы 15.05.2019
Руководитель работы Кротова С.Ю. (должность) (подпись) (Ф.И. О.)
Дата выдачи задания 12.02 20 19 г.
Аннотации
Пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсовой работы на тему "Решение систем нелинейных уравнений методом простых итераций с параметрами". В работе выполнено решение системы алгебраических уравнений вручную, в редакторе Microsoft Excel, математическом пакете MathCAD, реализован алгоритм решения на языке VBA.
The explanatory note is a report on the execution of the course work on the theme "Solving systems of nonlinear equations by simple iteration with parameters". The solution of the algebraic equations system has been solved manually, in the Microsoft Excel package, in MathCAD, the VBA solution algorithm has been implemented.
1. Вычислительная схема метода простой итерации с параметрами
2. Блок-схема алгоритма
3. Результат решения нелинейных систем уравнений, полученный вручную
4. Решение нелинейных систем уравнений средствами MS EXCEL
5. Решение системы нелинейных уравнений средствами пакета MATHCAD
6. Решение системы нелинейных уравнений с использованием VBA
Введение
Одной из самых сложных задач является решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Существует множество методов решения таких систем, которые успешно приводят к решению, если начальное приближение было заданно достаточно близко к нему. Но если подобрать произвольное приближение, есть вероятность вовсе не найти решения данной системы.
Итерационные методы состоят в последовательном уточнении начального приближения. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня. Если при этом с увеличением n значения приближаются к точному решению заданного уравнения, то говорят, что данный итерационный процесс сходится. уравнение редактор алгоритм
Целью данной курсовой работы является изучение и развитие умения и навыка решения систем нелинейных алгебраических уравнений итерационными методами, а именно методом простых итераций с параметром. А также закрепление навыков работы с программами MS EXCEL, MatCAD и программирования в VBA.
1. Вычислительная схема метода простой итерации с параметрами
Пусть дана нелинейная система n уравнений с n неизвестными, корни которой необходимо найти с заданной точностью .
Для решения данной системы можно применить метод простой итерации с параметрами, алгоритм которого приведен ниже.
1. Задаем точность вычисления ? (обычно ?=10-3 - 10-6.
2. Переписываем систему виде (1):
3. Выбираем начальное приближение
4. Полагаем переменную k, которая нумерует приближения, равной нулю.
5. Полагаем Тi=1, i=1,2,…,n.
6. Вычисляем (k+1)-е приближение по формуле (2).
7. Проверяем условие (3):
8, Проверяем качество нового приближения.
Если условие выполняется, то проверяем пункт 6 при следующем i, в противном случае переходим к пункту 9.
9. Подбираем новое Тi. Если Тi>0, то заменяем Тi на -Тi, в противном случае на -Тi/2. После корректировки Тi возвращаемся к пункту 6, увеличив k на единицу.
2. Блок-схема алгоритма
Рисунок 1 - Блок-схема алгоритма (метод простой итерации)
3. Результат решения нелинейных систем уравнений, полученный вручную
Методом простой итерации с точностью ?=0,001 решим систему нелинейных уравнений:
Согласно приведенному выше алгоритму, принимаем x=x1, y=x2.
Таким образом система принимает вид:
Далее необходимо выбрать начальные приближения. Для этого в системе координат х 1 и х 2 строим графики приведенных выше зависимостей (рис. 2).
Рисунок 2 - Графики зависимости х 2 от х 1
Из графика видно, что система имеет одно решение, заключенное в области ---1.4
Проверим условие сходимости (5). Для этого находим значения дифференциалов Ф(х) для х 1 и х 2, находящихся в областях возможных решений, найденных из графика (рис. 2).
Следовательно, в указанных промежутках условия сходимости выполняется.
Далее вычисляем по формуле (2).
На первом шаге получаем следующие значения:
Далее проверяем условие (3)
Условие не выполняется, значит пересчитываем значение Т, для чего проверяем условие (4) для каждого значения i.
Условие (4) не выполняется, значит принимаем
Условие (4) не выполняется, значит принимаем Тi=-1 для
Переходим ко второму шагу. Вычисляем значения и
Далее проверяем условие (3)
Условие не выполняется, значит пересчитываем значение Т, для чего проверяем условие (4) для каждого значения i.
Условие (4) выполняется, значит Тi без изменений для
Условие (4) выполняется, значит Тi без изменений для
Переходим к третьему шагу. Вычисляем значения и
Далее проверяем условие (3)
Условие выполняется, значит Х 3 - искомое приближение к решению и итеративный процесс закончен. Найденные решения х 1=-1.238 и х 2=0.985. Результаты вычислений представлены в табл. 1.
Решение системы нелинейных уравнений методом простой итерации
Подскажите пожалуйста как решать. Найти решение системы нелинейных уравнений методом простой.
Решение методом простой итерации
Добрый день! Помогите пожалуйста с чего начать или может есть разобранный пример, препод дал.
Решение уравнения методом простой итерации
День добрый. Мне необходимо решить уравнение x-10cos(x)=0 разным методами и с методом простой.
Решение кубического уравнения методом хорд и методом простой итерации
Необходимо написать 2 программы, каждая из которых реализует метод решения уравнения.
Никиторинг, нужна полная математическая формулировка задачи + вразумительное изложение проблем, возникших в решении.
Проблемы индейцев Excel шерифа не волнуют :)
5.18. Запрещено размещать задания и решения в виде картинок и других файлов с их текстом.
Задания набирать ручками. Один вопрос - одна тема. Для формул есть редактор.
Методами Якоби и Зейделя решить с точностью заданную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
a11 x1+ a12 x2+ a13 x3=b1 ,
a21 x1+ a22 x2+ a23 x3=b2 ,
a31 x1+ a32 x2+ a33 x3=b3 .
Найти точное решение системы и сравнить теоретическую и реальную абсолютную погрешности приближения.
Система:
0,30x1 1,20x2 -0,20x3 -0,60b1
-0,10x1 -0,20x2 1,60x3 0,30b2
0,05x1 0,34x2 0,10x3 0,32b3
Возникла проблема в приведении матрицы к нормальному виду, т.е. чтобы выполнялось условие
Условие не вполне корректно. Детали - в учебниках, в теории методов итераций для систем линейных уравнений.
На форуме разбиралось многократно.
Приведение СЛАУ к нормальному виду
Решение нелинейного уравнения методом простой итерации
Помогите, пожалуйста! Нужно разработать программу для решения нелинейного уравнения методом простой.
Решение системы уравнений методом простой итерации
Добрый вечер! Помогите пожалуйста написать код к следующей задаче: Решить систему уравнений.
Решение системы нелинейных уравнений методом простой итерации
Условие: При помощи метода простых итераций решить систему нелинейных уравнений: x1^2 + x2^2 -.
Решение системы линейных уравнений методом простой итерации
Привести систему к виду, подходящему для метода простой итерации. Рассчитать аналитически.
Читайте также: