Построение эпюр в excel
Совместное действие изгибающего и крутящего моментов в сечении балки, стержня, бруса, вала на практике встречается гораздо чаще, чем «чистый» изгиб и «чистое» кручение указанных элементов конструкций и машин. Часто к воздействию моментов добавляется.
. сжатие или растяжение. В итоге получаем сложно нагруженную деталь. Как рассчитать такую деталь на прочность.
Об общем взгляде на тему прочностных расчетов, о статическом изгибе и изгибе при ударе можно прочитать в трех весьма популярных у читателей блога статьях. Для этого нужно перейти по ссылкам и посмотреть здесь, тут, и еще вот здесь.
Чаще всего рассматриваемому виду нагружения подвержены валы, поэтому примеры решения задачи на изгиб с кручением для валов широко распространены в Сети. Реже рассматриваются примеры стержней и балок с ломаной осью. Исполняя часто роль кронштейнов, такие стержни используются повсеместно.
В статье, предлагаемой вашему вниманию, представлен пример расчета на изгиб с кручением стержня постоянного круглого сечения с ломаной осью. Разобравшись с алгоритмом решения этой задачи и поняв суть, вы сможете решать любые подобные задачи для стержней разных форм при различных схемах нагрузок.
Изгиб с кручением стержня с ломаной осью. Расчет в Excel.
Для выполнения несложных расчетов запускаем программу MS Excel. Выполнить расчет также можно в программе Calc из свободно распространяемых пакетов Apache OpenOffice или LibreOffice.
Задача:
Найти диаметр сечения стержня по третьей теории прочности — теории наибольших касательных напряжений.
Исходные данные:
Имеется консольный стержень круглого сечения из стали марки Ст3, закрепленный в точке 4, согнутый на 90 градусов в разных плоскостях в точках 2 и 3 и состоящий в результате из трех прямых участков: 1-2, 2-3 и 3-4.
На стержень действуют внешние нагрузки:
В точке 1 приложена сила F = qa
Между точками 2 и 3 действует равномерно распределенная нагрузка q
В точке 3 приложен момент M = qa 2
«Базовый» линейный размер a =0,4 м
Величина распределенной нагрузки q =200 Н/м
1. Так как стержень подвергается совместному воздействию изгиба и кручения, то в качестве предельно допустимого напряжения для стали Ст3 примем [σ] =0,58 [σт] =145 Н/мм 2 и запишем
в ячейку D3: 145
Расчетная схема к задаче и эпюры моментов, действующих в различных сечениях стержня, показаны на рисунке, расположенном ниже. (Далее мы детально рассмотрим, как эти эпюры строятся.)
Результаты расчетов, этап №1:
На этом этапе программа Excel нам не понадобится. Мы будем составлять уравнения моментов, действующих в различных сечениях стержня, решать их в общем виде (без числовых значений) и строить эпюры.
Обратите внимание на то, как меняются направления осей координат в точках изгибов!
Начинаем рассмотрение схемы с точки 1, постепенно двигаясь через точки 2 и 3 к заделке 4.
1. Участок 1-2
На первый участок стержня оказывает воздействие только сила F . Сила F параллельна оси x и не создает вокруг нее момента! Сила F перпендикулярна оси y и создает вокруг нее момент! Сила F хотя и перпендикулярна оси z , но не создает вокруг нее момента потому, что линия действия силы пересекает ось z !
Mx ( z1 )=0
При z1 = a /2: My (1)= q * a *( a /2- a /2)=0
При z1 =0: My (2)= q * a *( a /2-0)= qa 2 /2
Mz( z1 )=0
Теперь мы имеем все данные для построения эпюр моментов на первом участке стержня 1-2.
2. Участок 2-3
На второй участок оказывают воздействие сила F и распределенная нагрузка q . Сила F растягивает участок стержня 2-3 вдоль оси z и создает постоянный момент вокруг оси y равный F * a /2. Распределенная нагрузка q противодействует этому моменту. Вокруг оси z на втором участке нагрузки моментов не создают.
My ( z2 )= F * a /2+ q *( a - z2 ) 2 /2= q * a * a /2- q *( a - z2 ) 2 /2
При z2 = a : My (2)= q * a * a /2- q *( a - a ) 2 /2= qa 2 /2
При z2 =0: My (3)= q * a * a /2- q *( a -0) 2 /2=0
Mz ( z2 )=0
Все данные для построения эпюр моментов на втором участке стержня 2-3 получены.
3. Участок 3-4
На третий участок стержня оказывают воздействие и сила F и распределенная нагрузка q и момент M . Сила F изгибает участок стержня 3-4 вокруг оси x и создает постоянный момент вокруг оси z равный F * a /2. Распределенная нагрузка q изгибает третий участок стержня 3-4 вокруг оси y и создает постоянный момент вокруг оси z равный q * a * a /2. Момент M действует вокруг оси z в одном направлении с моментом от распределенной нагрузки q , и вместе они противодействуют моменту от силы F .
Mx ( z3 )= F *( a — z3 )= q * a *( a — z3 )
При z3 = a : Mx (3)= q * a *( a - a )=0
При z3 =0: Mx (4)= q * a *( a -0)= qa 2
При z3 = a : My (3)= q * a *( a - a )=0
При z2 =0: My (4)= q * a *( a -0)= qa 2
Mz ( z3 )= M + q * a * a /2- F * a /2= q * a 2 + q * a 2 /2- q * a 2 /2= qa 2
Данные для построения эпюр моментов на третьем участке стержня 3-4 получены.
Результаты расчетов, этап №2:
При проведении анализа эпюр моментов становится очевидным, что наиболее нагруженным сечением стержня, подверженного изгибу с кручением, является сечение в точке 4. В этой точке действуют максимальные моменты вокруг каждой из трех осей!
Вычислим вручную значения моментов в опасном сечении и запишем в соответствующие ячейки листа программы – продолжим ввод исходных данных в расчет в Excel.
2. Изгибающий момент Mx = Mx (4)= qa 2 =200*0,4 2 =32,000 в Н*м запишем
в ячейку D4: 32,000
3. Изгибающий момент My = My (4)= qa 2 =200*0,4 2 =32,000 в Н*м впишем
в ячейку D5: 32,000
4. Крутящий момент Mz = Mz (4)= qa 2 =200*0,4 2 =32,000 в Н*м занесем
в ячейку D6: 32,000
5. Эквивалентный момент M э в Н*м по третьей теории прочности вычислим
в ячейке D8: =(D6^2+D7^2+D8^2)^0,5 =55,426
Mэ =( Mx 2 + My 2 + Mz 2 ) 0,5
6. Расчет диаметра сечения круглого стержня d в мм выполним
в ячейке D9: =(32*D10*1000/ПИ()/D5)^(1/3) =15,732
d ≥((32* Mэ )/(π* [σ] )) (1/3)
Расчет в Excel завершен, мы решили задачу расчета стержня на изгиб с кручением – определили размеры сечения круглого стержня по третьей теории прочности.
Замечание.
В конце статьи хочу обратить ваше внимание на один очень важный момент. Формула для определения диаметра стержня несколькими строками выше была получена из следующих зависимостей:
Mэ =( Mx 2 + My 2 + Mz 2 ) 0,5
Mэ / W0-0 ≤ [ σ]
W0-0 =π* d 3 /32
Здесь W0-0 – это осевой момент сопротивления сечения стержня относительно нейтральной оси! А нейтральная ось – это ось, вокруг которой происходит реальный изгиб, то есть линия, на которой нормальные напряжения равны нулю и меняют свой знак.
Угол наклона нейтральной оси 0-0 к оси x можно вычислить по формуле:
α =arctg( My / Mx ) (В нашем примере: α =45°)
Вышеприведенные формулы справедливы лишь для стержней круглого сечения!
Расчет стержней с иными формами сечения – прямоугольником, квадратом, уголком, швеллером выполняется по такому же алгоритму, но по другим конечным формулам!
Однако, это, возможно, тема будущей статьи.
Надеюсь, мое повествование было внятным и не слишком для вас утомительным.
Для получения информации о выходе новых статей и для скачивания рабочих файлов программ предлагаю вам подписаться на анонсы в окне, расположенном в конце статьи или в окне вверху страницы.
Дисциплина «техническая механика» содержит в себе задания для расчётно-аналитических и расчётно-графических работ по всем разделам курса технической механики. Данная методичка содержит задание для расчётно-графической работы «Определение усилий в сечениях трёхшарнирной арки» как для чётного так и нечётного вариантов и построения эпюр Q,M,N в Excel.
Глава 6 «СТАТИКА СООРУЖЕНИЙ». Определение усилий в сечениях трёхшарнирной арки.
(Пример нечётного варианта)
Построение эпюр в Microsoft Excel
Чётный вариант
1) Записываем данные своего варианта.
2) Записываем в ячейки: x, y, tga, sin a, cos a, Q б , M б , Q, M, N.
3) Обозначаем точки в строке X. (В точках, где приложена сосредоточенная нагрузка, записываем значение точки 2 раза) Записываем в столбец X значения 0 и 1, после чего выделяем их, щёлкаем по маркеру и протягиваем до конечного значения.
4) В строке Y вводим формулу. Формула начинается со знака “=”
а) Для чётных вариантов принять очертание арки по дуге окружности
В ячейку вводим формулу.
=-1/8*(3*$A$2-КОРЕНЬ(9*$A$2^2+64*$A$2*A7-64*A7^2))
$A$2-длинна арки (l, м) – абсолютный адрес-F4
КОРЕНЬ - Вставка-Функция…
Вводим значение под корнем:
9*$A$2^2+64*$A$2*A7-64*A7^2
Нажимаем кнопку ОК
5) Щёлкаем левой кнопкой мыши полученное значение. В правом нижнем углу щёлкаем по маркеру и протягиваем до конечной точки.
6) В строке tga вводим формулу.
=4*($A$2-2*A7)/КОРЕНЬ(9*$A$2^2+64*$A$2*A7-64*A7^2)
Щёлкаем левой кнопкой мыши полученное значение. В правом нижнем углу щёлкаем по маркеру и протягиваем до конечной точки.
7)В строке sina вводим формулу.
=C7/КОРЕНЬ(1+C7^2) (С7 - tga)
8) В строке cosa вводим формулу.
=1/КОРЕНЬ(1+C7^2) (С7 - tga)
Щёлкаем левой кнопкой мыши полученное значение. В правом нижнем углу щёлкаем по маркеру и протягиваем до конечной точки.
Разбиваем арку на участки с однородной нагрузкой.
9) Определяем балочные изгибающие моменты в точках (M б , кНм) (В точках, где приложена сосредоточенная нагрузка записываем значение точки 2 раза).
10) Определяем балочные поперечные силы. (Q б , кН)
11) Определим арочные изгибающие моменты:
M=M б -H*y
Определяем арочные поперечные силы:
Q=Q б *cosa-H*sina
Определим продольные силы:
N= Q б * sina+ H*cosa
Тест Тулуз-Пьерон (корректурная проба): получение информации о более общих характеристиках работоспособности, таких как.
Поиск по сайту
С помощью одной из программ и известных координат множества точек, например, полученных из эксперимента, можно построить график без учёта погрешностей и получить формулу, по которой он изменяется.
2. Центральное растяжение и сжатие прямого бруса
2.1 Постановка задачи
Необходимо построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ и напряжений u прямого бруса, предоставленного на рисунке 2.1. Для построения будут использованы программные средства Excel, Mathcad и Fortran. Необходимые данные для решения представлены в таблице 2.1.
Расчетные данные Таблица 2.1
kH/м 2
kH/м 2
kH/м 2
, (2.1)
где - тангенс наклона, а- значениена левой границе участка.
Для вычисления значений ,, используются следующие формулы:
. (2.2)
В сумме (2.2) учитываются все сосредоточенные силы, приложенные на участке от до . Вычисление интеграла заменим методом трапеций для численного интегрирования:
. (2.3)
Напряжение высчитывается по формуле:
. (2.4)
Зная напряжения можно вычислить перемещения поперечных сечений: , (2.5)
где - модуль упругости.
Площадь поперечных сечений высчитывается по формуле:
(2.6)
2.2 Построение эпюр в Excel
Запишем в ячейки A3, B3, C3 значения l1, l2, l3 соответственно. В ячейки D3, E3, F3, G3, H3 значения Fi. В ячейки J3, K3, L3, M3, N3, O3 значения Pi. В ячейки P3, Q3, R3 значения ki. А в ячейки S3, T3, U3 запишем значения bi. Исходные данные записаны, переходим непосредственно к построению эпюр. В диапазон ячеек А7-А36 вводим значения от 1 до 30. Т.е. то количество точек по которым строим эпюры. В диапазоне ячеек В7-В36 необходимо записать значения x. Для этого в качестве начального значения х выберем 0, и запишем в ячейке В7, далее в ячейке В8 вводим формулу: =B7+$A$3/8 и растягиваем её до В36. В ячейке В18 изменяем формулу =B7+$A$3/8 на =B17+$B$3/8, и опять же растягиваем её до В36. Повторяем предыдущую процедуру в ячейке В28, только «новая» формула будет иметь вид: =B27+$C$3/8. Конечное значение х должно быть равно сумме l1, l2 и l3. После процедур проведенных выше, это условие не выполняется, необходимо учитывать, что есть граничные точки. Для этого приравняем ячейку В12 ячейке В11, В17 – В16, В27 – В26, а ячейку В32 – В31 соответственно.
Для вычисления значений F(x) запишем в ячейку С7 формулу: =((($E$3-$D$3)*B7)/$A$3)+$D$3 и растянем её до С16. В ячейку С17: =(($G$3-$F$3)/$B$3)*(B17-$A$3)+$F$3 и до ячейки С26. В ячейку С27: =(($I$3-$H$3)/$C$3)*(B27-($B$3+$A$3))+$H$3 и до ячейки С30.
Для вычисления q(x) воспользуемся формулами, для каждого силового участка: D7-D16: =$P$3*B7+$S$3, D17-D26: =$Q$3*(B17-$A$3)+$T$3, D27-D36: =$R$3*(B27-($B$3+$C$3))+$U$3.
Для вычисления N(x), в ячейке E считаем продольные усилия по формуле (2.3). В Excel формула записывается в виде =E3+(D2+D3)/2*(B3-B2). В нужный столбец добавляем нужные значения для координаты и распределённой нагрузки и, в соответствии с расчётной схемой, представленной на рисунке (2.1) прибавляем сосредоточенные силы P1… P6 .
Для вычисления запишем в ячейкеF7 формулу: =E7/C7, и растянем её до F36.
Задана балка, выполненная из одного материала, с жестко заделанным левым и свободно опертым правым концом, длиной l=2,5 м, нагруженная на части длины гидростатической нагрузкой q=20кН, с=0,5 м.
Рис. 2.1 Расчетная схема
Решение в общем виде выглядит:
Для рассматриваемого случая имеет вид:
(2.1)
Тогда выражение для определения прогиба запишется:
(2.2)
Чтобы получить формулы для определения величин угла поворота, изгибающего момента и перерезывающей силы, необходимо соответственно найти первую, вторую третью производные ν по х из выражения (2.2):
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
В данной задаче балка жестко закреплена с обоих концов. Следовательно, в начале и конце балки прогиб и угол поворота равняются нулю.
Приравняем к нулю выражения (2.2) и (2.3) при х=0:
(2.8)
(2.9)
Из уравнений (2.8) и (2.9) следует, что .
Приравниваем к нулю выражения (2.2) и (2.5) при x=l: ν(l)=0;(l)=0:
(2.10)
(2.11)
Подставим в уравнение (2.10) полученные выше значения =0 и=0; умножим уравнение (2.10) на EI, переносим свободные члены в правую часть и сводим данные уравнения (2.10) и (2.11) в систему:
(2.12)
Получаем систему уравнений для определения двух начальных параметров (M0, Q0).
Решив систему (2.12) и получив значения , можно вычислить все характеристики изогнутой балки: прогиб, угол поворота, изгибающий момент и перерезывающую силу, применив формулы (2.2), (2.3), (2.5), (2.7) соответственно.
3.Решение и построение эпюр средствами ms excel
Для решения системы (2.12) используем матричный способ решения систем линейных уравнений. В Excel заносим в ячейки B2:В5исходные данные для расчета (рис.3.1). В ячейкахA8:B9,E8:E9вычисляем коэффициенты и столбец свободных членов системы линейных алгебраических уравнений (2.12). Определяем обратную матрицу в диапазоне ячеекA11:B12. В ячейкахЕ11:Е12вычисляем искомые значенияикак результат умножения обратной матрицы на столбец свободных членов.
Рис. 3.1. Фрагмент листа Excel с исходными данными расчета в режиме отображения чисел
Рис. 3.2 Фрагмент листа Excel с решением системы уравнений (2.12) в режиме отображения формул
В ячейки A13:A24заносятся значения координатыx, для которых будут
вычисляться смещения, угол поворота, изгибающие моменты и перерезывающая сила.
В ячейках B13:B24вычисляется прогиб по формуле (2.2) с нормирующиммножителемEI.
В ячейках C13:C24вычисляется угол поворота точек оси балки по формуле (2.3) снормирующим множителемEI.
В ячейках D13:D24вычисляется изгибающий момент точек оси балки по формуле(2.5).
В ячейках E13:E24вычисляется перерезывающая сила точек оси балки по формуле(2.7) (см. рис. 3.3).
Рис. 3.3. Фрагмент листаExcel с вычислением формул искомых величин в режиме числе
Вычисления в режиме проверки формул приведены ниже (рис. 3.4 – 3.7).
Рис. 3.4. Фрагмент листа Excel с вычислением прогиба в режиме отображения формул
Рис. 3.5. Фрагмент листа Excel с вычислением угла поворота в режиме отображения формул
Рис. 3.6. Фрагмент листа Excel с вычислением изгибающего момента в режиме отображения формул
Рис. 3.7. Фрагмент листа Excel с вычислением перерезывающей силы в режиме отображения формул
Обучение в техническом университете непрерывно связано с решением огромного количества различных задач. Умение решать поставленные задачи и является главной целью обучения. Мир неизменно меняется, и ныне практически все задачи решаются с помощью компьютера. Для упрощения решения некоторых из них существуют специально разработанные программы.
Fortran- програмный пакет, позволяющий не только получить численный результат, но и к тому же наглядное отображение результата.
Mathcad- проще и удобней чем Fortran, но все его процессы счисления остаются скрытыми для нас. Доступен только результат.
Excel – программа для составления таблиц, но её способности не ограничиваются этим.
Данная работа посвящена решению задач из области теоретической механики, сопротивления материалов, математики и физики.
В первой главе разбирается программа аппроксимации таблицы данных полиномом второй степени.
Во второй главе приводится пример расчета реакций балки при продольной нагрузке.
В третьей главе рассматривается система с пятью степенями свободы. В ней вычисляются ее собственные колебания, и иллюстрируется поведение системы.
В четвертой главе выполняется расчет собственных форм колебаний упругой балки.
В пятой главе мы практикуемся в теории функции комплексной переменной.
Естественно, для решения этих задач необходимы знания по соответствующим дисциплинам. Но нельзя не отметить и то, что данная работа повышает навык и умение работать с документами, в частности, формата Word. Также были получены общие принципы оформления подобных работ.
1. Аппроксимация табличных данных
Результат, полученный эксперементально, часто не совпадает с полученным теоретически, то есть имеет погрешность. Для решения этой проблемы используется метод наименьших квадратов.
1.1 Исходные данные
В результате проведения физического эксперимента, получена табличная зависимость ввиде набора из n=15 точек xi yi, и равняется 1…n. Расположение точек на плоскости X0У показанно на рис. 1.1
Численные значения координат приведены в таблице 1
Координаты точек Таблица №1
Требуется аппроксимировать приведённую табличную зависимость полинома второго порядка, то есть найти коэффициенты функции.
(1.1)
1.2 Решение с использованием Excel
Копируем таблицу 1.1 в Excel. Выделяем все Х и Y, строим точечный график из одних точек. Затем правый щелчок на любую полученную точку Добавить линию тренда Поставить флажок напротив «Полиномиальная» (степень 2).
Таким образом, используя аппроксимацию Excel, определили коэффициенты
=0,272 ; =0;=-2,352.
Математический аппарат метода наименьших квадратов
Для аппроксимации дискретной зависимости используется метод наименьших квадратов (МНК). Метод требует , чтобы сумма квадратов отклонений ординат заданных точек от теоретической зависимости была бы минимальна, то есть разыскивается минимум функции
(1.2)
Для поиска минимума функции требуется вычесть её частные производные по параметру и прировнять их к нулю
Эти 3 уравнения образуют СЛАУ вида АС=В, где А=В
Таким образом, решив СЛАУ, можно найти коэффициенты полиномиальной зависимости .
Читайте также: