Парашютист прыгает с некоторой высоты и летит не открывая парашюта решение excel
формулу правильно один раз, а затем скопировать в остальные ячейки, при этом, как известно, она «настраивается» на соответствующую ячейку.
Результаты вычислений, выполненных в табличном процессоре
А | В | С | D |
t | v | H | |
0,001 | |||
т | |||
0,001 | 0,00981 | ||
0,002 | 0,01962 | m*g | |
0,003 | 0,02943 | 784,8 | |
0,004 | 0,03924 | k2 | |
0,005 | 0,04905 | 0,55083 | |
0,006 | 0,05886 |
Следует заметить, что для хранения результатов расчетов в данном случае требуется очень много ячеек таблицы, и хотя современные табличные процессоры позволяют хранить большой объем информации, в случае нехватки памяти рекомендуется увеличить шаг, с которым проводятся вычисления (при этом пожертвуем точностью вычислений). Табличный процессор позволяет представлять результаты расчетов и в графической форме. Можно при работе над задачей получить результаты двумя способами: с помощью табличного процессора и составлением собственной программы - для того. чтобы затем сравнить эти результаты и временные затраты каждого из способов. Но, несмотря на успешное применение табличного процессора при решении простейшей учебной задачи, следует признать, что для решения более громоздких в вычислительном плане задач предпочтительнее программировать самим. А теперь ответим на вопрос, поставленный в задаче. Известен такой факт: один из американских каскадеров совершил прыжок в воду с высоты 75 м (Бруклинский мост), и скорость приземления была 33 м/с. Сравнение этой величины с получившейся у нас конечной скоростью 37,76 м/с позволяет считать описанный в кинофильме эпизод вполне возможным. Обсуждаемой модели можно придать черты оптимизационной, поставив задачу так: парашютист прыгает с некоторой высоты и летит, не открывая парашюта; на какой высоте (или через какое время) ему следует открыть парашют, чтобы иметь к моменту приземления безопасную скорость? Или по-другому: как связана высота прыжка с площадью поперечного сечения парашюта (входящей в k2), чтобы скорость приземления была безопасной? Выполнение таких исследований многократно более трудоемко, нежели просто изучение одного прыжка при заказанных условиях.
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА, БРОШЕННОГО ПОД УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ.
ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ
Рассмотрим эту известную задачу с учетом сопротивления воздуха. Будучи брошенным под углом α к горизонту с начальной скоростью v0, тело летит, если не учитывать сопротивления воздуха, по параболе, и через некоторое время падает на землю. Напомним элементарное решение этой задачи. Разложим скорость на горизонтальную и вертикальную составляющие:
Поскольку движение по вертикали происходит под действием постоянной силы тяжести, то оно является равнозамедленным до достижения верхней точки на траектории и равноускоренным - после нее; движение же по горизонтали является равномерным. Из формул равноускоренного движения vy = v -gt; раз в верхней точке vy = 0, то время достижения верхней точки на траектории
Высота этой точки
Полное время движения до падения на землю 2 ; за это время, двигаясь равномерно вдоль оси х со скоростью v , тело пройдет путь
Для нахождения траектории достаточно из текущих значений x и у исключить t:
(7.11)
Уравнение (7.11) - уравнение параболы.
Полученные формулы могут, в частности, послужить для тестирования будущей компьютерной программы. При достаточно большой начальной скорости сопротивление воздуха может значительно изменить характер движения. Прежде чем выписывать уравнения, вновь оценим, какая из составляющих силы сопротивления - линейная или квадратичная по скорости - дает больший вклад в эту силу, и нельзя ли одной из этих составляющих пренебречь. Оценку проведем для шарика; по порядку величины оценка не зависит от формы тела. Итак, шарик радиусом r ≈ 0,1 м, движущийся со скоростью ~ 1 м/с, испытывает в воздухе линейную (стоксову) силу сопротивления
и квадратичную силу сопротивления
Величины F1 и F2 сопоставимые (как принято говорить, «одного порядка», так как они различаются менее, чем в 5 раз). При увеличении размера тела F2 растет быстрее, чем F1 (F1 ~ r, F2 ~ r 2 ), при увеличении скорости F2 также растет быстрее, чем F1 (F1 ~ v, F2 ~ v 2 ). Таким образом, если мы моделируем движение брошенного мяча, камня, то необходимо в уравнениях удерживать обе составляющие силы сопротивления, но если мы захотим моделировать полет снаряда, выпущенного из орудия, где скорость полета почти на всем его протяжении сотни метров в секунду, то линейной составляющей силы сопротивления можно пренебречь. Проецируя уравнение на оси х и у, получаем
Поскольку в каждой точке траектории сила сопротивления направлена по касательной к траектории в сторону, противоположную движению, то
где θ - угол между текущим направлением скорости и осью х. Подставляя это в уравнение и учитывая, что , получаем уравнения движения в переменных vx, vy.
(7.12)
Поскольку представляет несомненный интерес и траектория движения, дополним систему (7.12) еще двумя уравнениями
(7.13)
и, решая их совместно с (7.12), будем получать разом четыре функции: vx(t), vy(t), x(t), y(t).
Прежде чем дать пример решения обсуждаемой задачи, покажем очень полезный прием, чрезвычайно популярный в физическом моделировании, называемый обезразмериванием. При решении конкретных задач мы пользуемся определенной системой единиц (СИ), в которой далеко не все числовые значения лежат в удобном диапазоне. Кроме того, абсолютные значения величин дают мало информации для качественного понимания. Скорость 15 м/с - много это или мало? Все дело в том, по сравнению с чем. Именно в сравнении с чем-то привычным и понятным мы обычно и воспринимаем слова «много» и «мало», даже если делаем это бессознательно. Идея обезразмеривания заключается в переходе от абсолютных значений расстояний, скоростей, времен и т.д. к относительным, причем отношения строятся к величинам, типичным для данной ситуации. В рассматриваемой задаче это особенно хорошо просматривается. В самом деле, при отсутствии сопротивления воздуха мы имеем значения l, h, t, определенные выше; сопротивление воздуха изменит характер движения, и если мы введем в качестве переменных величины
- безразмерные расстояния по осям и время, - то при отсутствии сопротивления воздуха эти переменные будут изменячься в диапазоне от 0 до 1, а в задаче с учетом сопротивления отличия их максимальных значений от единицы ясно характеризуют влияние этого сопротивления. Для скоростей естественно ввести безразмерные переменные, соотнося проекции скорости на оси x и у с начальной скоростью v0:
Покажем, как перейти к безразмерным переменным в одном из наших уравнений, например, во втором уравнении системы (7.12). Имеем:
(так как постоянный множитель можно вынести за знак производной). Подставляя это в уравнение, получаем
формулу правильно один раз, а затем скопировать в остальные ячейки, при этом, как известно, она «настраивается» на соответствующую ячейку.
Результаты вычислений, выполненных в табличном процессоре
А | В | С | D |
t | v | H | |
0,001 | |||
т | |||
0,001 | 0,00981 | ||
0,002 | 0,01962 | m*g | |
0,003 | 0,02943 | 784,8 | |
0,004 | 0,03924 | k2 | |
0,005 | 0,04905 | 0,55083 | |
0,006 | 0,05886 |
Следует заметить, что для хранения результатов расчетов в данном случае требуется очень много ячеек таблицы, и хотя современные табличные процессоры позволяют хранить большой объем информации, в случае нехватки памяти рекомендуется увеличить шаг, с которым проводятся вычисления (при этом пожертвуем точностью вычислений). Табличный процессор позволяет представлять результаты расчетов и в графической форме. Можно при работе над задачей получить результаты двумя способами: с помощью табличного процессора и составлением собственной программы - для того. чтобы затем сравнить эти результаты и временные затраты каждого из способов. Но, несмотря на успешное применение табличного процессора при решении простейшей учебной задачи, следует признать, что для решения более громоздких в вычислительном плане задач предпочтительнее программировать самим. А теперь ответим на вопрос, поставленный в задаче. Известен такой факт: один из американских каскадеров совершил прыжок в воду с высоты 75 м (Бруклинский мост), и скорость приземления была 33 м/с. Сравнение этой величины с получившейся у нас конечной скоростью 37,76 м/с позволяет считать описанный в кинофильме эпизод вполне возможным. Обсуждаемой модели можно придать черты оптимизационной, поставив задачу так: парашютист прыгает с некоторой высоты и летит, не открывая парашюта; на какой высоте (или через какое время) ему следует открыть парашют, чтобы иметь к моменту приземления безопасную скорость? Или по-другому: как связана высота прыжка с площадью поперечного сечения парашюта (входящей в k2), чтобы скорость приземления была безопасной? Выполнение таких исследований многократно более трудоемко, нежели просто изучение одного прыжка при заказанных условиях.
Кроме таблицы необходимы графики зависимостей v(t) и S(t); по ним хорошо видно, как меняются со временем скорость и перемещение, т.е. приходит качественноепонимание процесса.
Еще один элемент наглядности может внести изображение падающего тела через равные промежутки времени. Ясно, что при стабилизации скорости расстояния между изображениями станут равными. Можно прибегнуть и к цветовой раскраске - приему научной графики, описанному выше.
Наконец, можно запрограммировать звуковые сигналы, которые подаются через каждый фиксированный отрезок пути, пройденный телом - скажем, через каждый метр или каждые 100 метров - смотря по конкретным обстоятельствам. Надо выбрать интервал так, чтобы вначале сигналы были редкими, а потом, с ростом скорости, сигнал слышался все чаще, пока промежутки не сравняются. Таким образом, восприятию помогают элементы мультимедиа. Поле для фантазии здесь велико.
Приведем конкретный пример решения задачи о свободно падающем теле. Герой знаменитого фильма «Небесный тихоход» майор Булочкин, упав с высоты 6000 м в реку без парашюта, не только остался жив, но даже смог снова летать. Попробуем понять, возможно ли такое на самом деле или же подобное случается только в кино. Учитывая сказанное выше о математическом характере задачи, выберем путь численного моделирования. Итак, математическая модель выражается системой дифференциальных уравнений
(7.10)
Разумеется, это не только абстрактное выражение обсуждаемой физической ситуации, но и сильно идеализированное, т.е. ранжирование факторов перед построением математической модели произведено. Обсудим, нельзя ли произвести дополнительное ранжирование уже в рамках самой математической модели с учетом конкретно решаемой задачи, а именно - будет ли влиять на полет парашютиста линейная часть силы сопротивления и стоит ли ее учитывать при моделировании.
Так как постановка задачи должна быть конкретной, мы примем соглашение, каким образом падает человек. Он - опытный летчик и наверняка совершал раньше прыжки с парашютом, поэтому, стремясь уменьшить скорость, он падает не «солдатиком», а лицом вниз, «лежа», раскинув руки в стороны. Рост человека возьмем средний - 1,7 м, а полуобхват грудной клетки выберем в качестве характерного расстояния - это приблизительно 0,4 м. Для оценки порядка величины линейной составляющей силы сопротивления воспользуемся формулой Стокса. Для оценки квадратичной составляющей силы сопротивления мы должны определиться со значениями коэффициента лобового сопротивления и площадью тела. Выберем в качестве коэффициента число с = 1,2 как среднее между коэффициентами для диска и для полусферы (выбор для качественной оценки правдоподобен). Оценим площадь: S = 1,7∙0,4=0,7 (м 2 ).
Выясним, при какой скорости сравняются линейная и квадратичная составляющие силы сопротивления. Обозначим эту скорость v**. Тогда
Ясно, что практически с самого начала скорость падения майора Булочкина гораздо больше, и поэтому линейной составляющей силы сопротивления можно пренебречь, оставив лишь квадратичную составляющую.
После оценки всех параметров можно приступить к численному решению задачи. При этом следует воспользоваться любым из известных численных методов интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений: методом Эйлера, одним из методов группы Рунге - Кутта, одним из многочисленных неявных методов. Разумеется, у них разная устойчивость, эффективность и т.д. - эти сугубо математические проблемы здесь не обсуждаются. Программа, реализующая метод Рунге - Кутта четвертого порядка, может быть взята из примера, приведенного в следующем параграфе или из какого-нибудь стандартного пакета математических программ.
Отметим, что существует немало программ, моделирующих простые физические процессы типа рассматриваемого. У них реализован, в той или иной мере профессионально, диалоговый интерфейс, позволяющий вводить параметры, получать на экране таблицы, графики, движущиеся изображения. Однако в них, как правило, остаются скрытыми физические законы, определяющие процесс, ограничения модели, возможности ее усовершенствования. Такие программы полезны скорее как сугубо иллюстративные.
Вычисления производились до тех пор, пока «безпарашютист» не опустилсянаводу. Примерно через 15 с после начала полета скорость стала постоянной и оставалась такой до приземления (рис. 7.7). Отметим, что в рассматриваемой ситуации сопротивление воздуха радикально меняет характер движения; при отказе от его учета график скорости, изображенный на рисунке, заменился бы касательной к нему в начале координат.
Рис. 7.7. График зависимости скорости падения «безпарашютиста» от времени
В некоторых случаях для ускорения процесса работы над какой-либо задачей целесообразно вместо составления программы воспользоваться готовой прикладной программой (например, табличным процессором). Покажем это на примере рассматриваемой задачи. В табл. 7.3 представлен небольшой фрагмент из табличного процессора Excel. Решение находится с помощью, так называемого, исправленного метода Эйлера - одного из возможных вариантов метода Рунге - Кутта второго порядка.
Кроме того, в ячейках D2, D4, D6 в таблице будем хранить соответственно значения шага вычислений, массы «безпарашютиста», величины mg. Это связано с тем, что все константы также удобно хранить в отдельных ячейках, чтобы в случае их изменения не пришлось переписывать расчетные формулы. Достаточно записать
Добавим силу сопротивления ( и )
Свободное падение тела с учетом сопротивления | ||||||
Параметры движения | Параметры тела | Параметры среды | Коэффициенты (без парашюта) | |||
Время t0 | Масса m | Вязкость | 0,0182 | k1 | 0,045 | |
Скорость v0 | Радиус r | 0,3 | Плотность | 1,2 | k2 | 0,013 |
Высота h0 | Радиус r1 | 1,5 | Коэффициенты (с парашютом) | |||
Высота h1 | Площадь S | 0,053 | k1 | 0,515 | ||
Шаг ∆t | 0,5 | Площадь S1 | 7,069 | k2 | 2,333 | |
Коэффициент с | 0,40 | |||||
Коэффициент с1 | 0,55 |
Изменение скорости и высоты со временем
t | v | h |
0,5 | 4,9 | 1000,0 |
9,8 | 997,6 | |
1,5 | 14,7 | 992,7 |
19,6 | 985,3 | |
2,5 | 24,4 | 975,5 |
29,3 | 963,3 | |
3,5 | 34,1 | 948,7 |
38,9 | 931,6 | |
4,5 | 43,7 | 912,2 |
48,4 | 890,3 | |
5,5 | 53,1 | 866,1 |
57,8 | 839,6 | |
6,5 | 62,4 | 810,7 |
10,3 | 779,5 | |
7,5 | 13,7 | 774,3 |
15,8 | 767,5 |
t | v | h |
8,5 | 17,0 | 759,6 |
17,6 | 751,1 | |
9,5 | 17,9 | 742,3 |
18,1 | 733,3 | |
10,5 | 18,2 | 724,3 |
18,2 | 715,2 | |
11,5 | 18,2 | 706,1 |
18,2 | 697,0 | |
12,5 | 18,2 | 687,9 |
18,2 | 678,8 | |
13,5 | 18,2 | 669,7 |
18,2 | 660,6 | |
14,5 | 18,2 | 651,5 |
18,2 | 642,3 | |
15,5 | 18,2 | 633,2 |
18,2 | 624,1 | |
16,5 | 18,2 | 615,0 |
Вывод. Если при падении с высоты 1000 м раскрыть парашют на высоте 800 метров,
то скорость падения 18,2 м/с значительно превысит безопасную
Использование модели
Данная модель позволяет решать не только описательные, но и оптимизационные задачи, например:
- Найти оптимальную с точки зрения безопасности высоту раскрытия парашюта;
- Найти оптимальные размеры парашюта;
- Найти максимальную высоту, с которой можно спрыгнуть без парашюта и не пострадать и т.д.
Задание к лабораторной работе
1. Определить цель моделирования
2. Провести формализацию задачи: сделать предположения, определить состав параметров, характеризующих объект, сформулировать задачу математически.
3. Построить математическую модель (определить состав набора входных и выходных параметров, их конкретные числовые значения, записать уравнения).
4. Выбрать метод решения уравнений (в данном случае –один из численных методов). Записать решение уравнений в виде рекуррентных вычислительных схем.
5. Определить значения параметров модели, начальные значения меняющихся в ходе движения величин, условия окончания вычислительных циклов.
6. Построить компьютерную модель физического процесса в среде табличного процессора.
7. Произвести проверку модели на адекватность.
8. Выполнить конкретное задание из своего варианта работы.
9. Качественно проанализировать результаты моделирования.
Варианты заданий
Вариант 1.
Парашютист прыгает с некоторой высоты и летит, не открывая парашюта; на какой высоте (или через какое время) ему следует открыть парашют, чтобы иметь к моменту приземления безопасную скорость (не большую 10 м/с)?
Вариант 2.
Промоделировать падения тела с заданными характеристиками (масса, форма) в различных вязких средах. Изучить влияние вязкости среды на характер движения. Скорость движения должна быть столь невелика, чтобы квадратичной составляющей силы сопротивления можно было пренебрегать.
Вариант 3.
Промоделировать падения тела с заданными характеристиками (масса, форма) в различных плотных средах. Изучить влияние плотности среды на характер движения. Скорость движения должна быть достаточно велика, чтобы линейной составляющей силы сопротивления можно было пренебрегать (на большей части пути).
Вариант 4.
Глубинная бомба, установленная на взрыв через заданное время, сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между глубиной, на которой произойдет взрыв, и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).
Вариант 5.
Глубинная бомба, установленная на взрыв на заданной глубине, сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между временем достижения заданной глубины и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).
Вариант 6.
Промоделировать полет ракеты.
Провести исследование соотношения входных параметров m0 и Fтяги, при которых ракета достигнет первой космической скорости 7,8 км/с?(и в соответствующий момент исчерпает горючее). Остальные входные параметры фиксировать произвольно. Порядки входных параметров: m0 ˜ 10 7 кг, mкон ˜ 10 5 кг, a ˜ 10 5 кг/c, Fтяги ˜ 10 8 н.
Вариант 7.
Промоделировать полет тела, брошенного под углом к горизонту. Исследовать зависимость горизонтальной длины полета тела от одного из коэффициентов сопротивления среды, фиксировав все остальные параметры.
Вариант 8.
Найти траекторию полета кометы, залетевшей в Солнечную систему, у которой на расстоянии от Солнца 100 астрономических единиц (1 а.е. = 1,50 . 10 11 м ¾ расстояние от Земли до Солнца) скорость v=10 км/с и направлена под углом a = 30 о к оси «комета-Солнце». Является ли эта траектория замкнутой? Если да, то сколько длится для нее период полета? Подобрать то значение угла a, при котором траектория из незамкнутой превращается в замкнутую (скорость v фиксирована).
Вариант 9.
Проверить в компьютерном эксперименте выполнимость второго закона Кеплера, определяющего движение небесных тел по замкнутой траектории.
Вариант 10.
Проверить в компьютерном эксперименте выполнимость третьего закона Кеплера, определяющего движение небесных тел по замкнутой траектории.
Вариант 11.
Найти траекторию движения тела массой 1 г., несущего заряд величиной q=1 . 10 - 2 к, в поле заряда величиной Q = 5 . 10 - 2 к. Начальное расстояние между зарядами 1 м, начальная скорость равна 1 . 10 - 1 м/с и направлена под углом 30 о к оси, соединяющей заряды. Провести моделирование для случая зарядов одного знака.
Вариант 12.
Имеется неподвижная заряженная частица с зарядом Q и экран (см. рис.7.2). В точке А экрана находится мишень. При каких соотношениях величины начальной скорости v0 движущейся частицы (заряд q) и угла прицеливания a она попадет в мишень? Расстояния обозначены на рисунке. Заряды частиц ¾ разных знаков.
Вот задача.
Парашютист прыгает с некоторой высоты и летит, не открывая парашюта; на какой высоте (или через какое время) ему следует открыть парашют, чтобы иметь к моменту приземления безопасную скорость (не большую 8м/с) ?
Вот Окно Главное.
Вот тест программы:
unit Unit1;
uses
Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs, Menus, StdCtrls;
type
TForm1 = class(TForm)
Label1: TLabel;
Button1: TButton;
Label2: TLabel;
Edit1: TEdit;
Edit2: TEdit;
Edit3: TEdit;
Label3: TLabel;
Label4: TLabel;
Label5: TLabel;
Label6: TLabel;
Label7: TLabel;
Label8: TLabel;
Edit4: TEdit;
MainMenu1: TMainMenu;
N1: TMenuItem;
N2: TMenuItem;
N3: TMenuItem;
Button2: TButton;
Button3: TButton;
procedure Button1Click(Sender: TObject);
procedure N1Click(Sender: TObject);
procedure N2Click(Sender: TObject);
procedure N3Click(Sender: TObject);
procedure Button2Click(Sender: TObject);
procedure Button3Click(Sender: TObject);
private
< Private declarations >
public
< Public declarations >
end;
var
Form1: TForm1;
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
t,t1,h,h1,a:real;
v,v1:integer;
g,v2,v3,h0,h2,h3:real;
begin
h1:=StrToFloat(edit2.Text);
v:=strToInt(edit1.Text);
if h1>=1500 then
begin
v1:=50;
a:=0.9;
t1:=(v1-v)/a;
h:=v1*t1-(a*SQR(t1))/2;
t:=12+(h1-h-500)/v1;
t:=Round(t);
h:=Round(h);
edit3.Text:=FloatToStr(t);
edit4.Text:=FloatToStr(h);
end;
if (h1 =400) then
begin
t:=Round(t);
h2:=Round(h2);
edit3.Text:=FloatToStr(t);
edit4.Text:=FloatToStr(h2);
end;
Покажите ваши математические рассчеты скорости движения парашютиста с парашютом и без него.
вот вот вы сначала математически формулу сделайте, которая будет выражать неизвестную переменную через известные
Читайте также: