Несмещенные точечные оценки параметров распределения х и у excel
Точечная оценка некоторого параметра распределения определяется по выборке, записывается одним числом и служит оценкой параметра распределения генеральной совокупности. Такая оценка называется выборочной. Приведем основные точечные оценки параметров распределения. Математическое ожидание случайной величины оценивается по выборочной средней ; дисперсия – по выборочной дисперсии Dви исправленной выборочной дисперсии S 2 ; среднее квадратическое отклонение (СКО) оценивается по выборочному среднему квадратическому отклонению σви исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению S; Для трактовки полученных результатов расчета параметров выборки следует знать смысл каждой оценки. Приведем краткую их характеристику:
• – характеризует среднее значение признака по выборке;
• Dви S 2 – характеризуют средний квадрат отклонения признака от среднего значения по выборке, только вторая характеристика является еще и несмещенной;
• σв и S– характеризуют среднее отклонение признака от среднего значения по выборке.
Метод “условного нуля”
Если выборка представлена статистическим рядом с равноотстоящими вариантами или интервальным статистическим рядом с равными интервалами разбиения, то целесообразно для упрощения расчетов использовать метод “условного нуля”. В этом случае выбирают в качестве “условного нуля” одну из вариант С, стоящую в центре ряда и имеющую наибольшую частоту. Затем переходят к условным вариантам по формуле ui = (xi –C)/h и заполняют специальную таблицу.
Определим числовые характеристики признака Х1 . Выберем условный нуль С=3,955, определим условные варианты и занесем в таблицу:
Для проверки правильности расчетов воспользуемся тождестовом:
Определим числовые характеристики признака Х2 . Выберем условный нуль С=0,1525, определим условные варианты и занесем в таблицу:
i | Интервалы | xi | ni | ui | ni×ui | ni×ui 2 | ni(ui+1) 2 |
0,014-0,054 | 0,034 | -3 | -180 | ||||
0,054-0,094 | 0,074 | -2 | -38 | ||||
0,094-0,131 | 0,1125 | -1 | |||||
0,131-0,174 | С=0,1525 | ||||||
0,174-0,214 | 0,194 | 1,0375 | |||||
0,214-0,254 | 0,234 | 2,0375 | |||||
0,254-0,294 | 0,274 | 3,0375 | |||||
0,294-0,334 | 0,314 | 4,0375 | 4,0375 | 16,315 | 25,377 | ||
Суммы: | -213,9625 | 632,315 | 284,377 |
М1=-2,674 | М2=7,9 | =0,048 | Dв=0,02932 | σв=0,1712 | S 2 =0,486 | S=0,2205 |
Для проверки правильности расчетов воспользуемся тождестовом:
Σ ni(ui+1) 2 = Σ niui 2 + 2Σ niui + n= 632,315+2(-213,9625)+80=284,377
Определим числовые характеристики признака У . Выберем условный нуль С=181,5, определим условные варианты и занесем в таблицу:
В статье напомним некоторые понятия математической статистики: выборка, статистика, точечная оценка, выборочное распределение. Продемонстрируем в MS EXCEL сходимость некоторых распределений статистик к нормальному распределению, распределению ХИ-квадрат, распределению Стьюдента и F - распределению.
В математической статистике обычно выделяют 2 основных направления исследований. Первое направление связано с оценкой неизвестных параметров распределения; второе – с проверкой статистических гипотез . В этой статье рассмотрим подходы, используемые для оценки неизвестных параметров распределения.
Сначала напомним основные понятия математической статистики, необходимые для оценки параметров.
О выборке
В математической статистике вероятностная модель явления (распределение) определена с точностью до неизвестных параметров. Например, предполагается известным, что случайная величина распределена по нормальному закону , но неизвестны его параметры ( среднее и дисперсия ). Отсутствие сведений о параметрах компенсируется тем, что нам позволено проводить «пробные» испытания ( выборки , samples) и на их основе восстанавливать недостающую информацию.
Почему необходимо иметь результат более чем одного испытания? Потому, что результаты одного испытания менее точны, чем среднее значение выборки .
Число испытаний в выборке обозначим n. Каждое испытание состоит в том, что мы случайным образом выбираем один объект генеральной совокупности ( population ) и записываем его характеристику X. Полученный таким образом ряд чисел Х 1 . Х n будем называть случайной выборкой объема n, а числа X i - элементами выборки . Элементы выборки являются независимыми случайными величинами и, как все случайные величины, имеет функцию распределения (одинаковую для всех Х i ).
После того, как выборка была получена, следующим вопросом является то, каким образом получить информацию о неизвестном распределении:
- во-первых, из выборки можно оценить среднее и дисперсию исходного распределения (будем называть их показателями распределения).
- во-вторых, можно оценить параметр(ы) распределения (см. ниже).
Примечание : Для некоторых распределений дисперсия и стандартное отклонение случайной величинымогут быть одновременно показателями и параметрами распределения (например, для нормального распределения ).
О статистиках и точечной оценке параметров распределения
На основании значений выборки можно вычислить различные величины, например, сумму, среднее арифметическое или сумму квадратов значений выборки . Эти или иные другие величины, полученные на основании значений выборки , называются статистиками ( statistics ) .
На основе выборки можно построить, вообще говоря, бесконечное число статистик , но лишь некоторые статистики могут служить оценкой параметров исходного распределения, из которого была взята выборка . Например, среднее значение выборки из нормального распределения служит оценкой параметра μ этого распределения; а стандартное отклонение выборки служит оценкой его параметра σ .
Примечание : Для нормального распределения μ является как параметром распределения, так и его средним значением ( математическим ожиданием ), а также медианой и модой .
Процедура оценки параметров распределения с помощью статистик называется точечной оценкой ( point estimation ), а сама статистика называется точечной оценкой неизвестного параметра ( point estimator ) .
Примечание : Про оценку параметров конкретного распределения можно прочитать в статье, относящейся к этому распределению (см. заглавную статью о распределениях ).
Выборочные распределения статистик
Т.к. статистики получены из случайной выборки , то они сами являются случайными величинами и, соответственно, имеют свое собственное распределение (в общем случае не обязательно совпадающее с исходным распределением, из которого взята выборка ). Это распределение называется выборочным распределением (sampling distribution).
Чтобы определить точность оценки необходимо исследовать ее выборочное распределение , особенно среднее и дисперсию этого распределения . Т.к. на основе выборки можно построить множество различных статистик , то необходимо сформулировать критерии, которые позволят выбрать «лучшие» статистики для оценки параметров распределения. Например, если среднее значение выборочного распределения статистики совпадает с оцениваемым параметром (для всевозможных значений параметра), то такая статистика называется несмещенной оценкой . Также очевидно, что среди двух несмещенных оценок лучше та, чья дисперсия соответствующего выборочного распределения меньше . Такая статистика называется несмещённой оценкой с минимальной дисперсией (MVUE, minimum variance unbiased estimator).
Во многих случаях выборочное распределение статистики , такой как, например, среднее выборки , близко к нормальному даже тогда, когда распределение отдельных элементов выборки отличается от нормального . Этот результат, который называют Центральной предельной теоремой , упрощает статистический вывод , поскольку известно, как вычислять вероятность для нормального распределения , что в свою очередь позволяет получить информацию о генеральной совокупности (об исходном распределении, из которого была взята выборка ).
Некоторые статистики и их распределения играют важную роль в математической статистике. Например, они позволяют вычислить точечную оценку параметра и построить соответствующий доверительный интервал , а также провести процедуру проверки гипотез .
Ниже рассмотрим некоторые важные статистики , вычисленные на основе выборки из нормального распределения.
Выборочное распределение среднего
Пусть выборка извлекается из нормального распределения с параметрами N(μ;σ 2 ). Рассмотрим статистику Х ср ( среднее выборки ):
Из Центральной предельной теоремы известно, что выборочное распределение статистики Х ср ( выборочное распределение среднего ) при достаточно большом размере выборки n стремится к нормальному распределению с параметрами N(μ;σ 2 /n).
Проверим это утверждение в MS EXCEL (см. файл примера Лист Нормальное ). Для этого возьмем 60 значений выборочных средних (Хср), вычисленныхна основе 60 случайных выборок, взятых из нормального распределения с параметрами N(μ;σ 2 ). Размер выборки n взят равным 50.
С помощью Графика проверки на нормальность (Normal Probability Plot) покажем, что выборочное распределение среднего соответствует нормальному закону .
Как видно из рисунка выше, средние значения выборок хорошо укладываются на прямой, что позволяет сделать вывод о нормальности распределения. Параметры этого распределения можно, например, с помощью линии регрессии, которые близки к расчетным.
Использование выборочного распределения статистики Х ср позволяет при ИЗВЕСТНОЙ дисперсии исходного нормального распределения построить доверительный интервал для оценки математического ожидания этого распределения , а также провести проверку гипотез .
Выборочное распределение статистики
Пусть выборка извлекается из нормального распределения с параметрами N(μ;σ 2 ). Рассмотрим статистику , где s – стандартное отклонение выборки , n – размер выборки .
Известно, что выборочное распределение статистики при достаточно большом размере выборки стремится к распределению Стьюдента с n-1 степенью свободы.
Аналогично статистике Х ср , в файле примера на листе СТЬЮДЕНТ построен График вероятности для проверки этого утверждения.
Выборочное распределение статистики (n-1)s 2 /σ 2
Пусть выборка извлекается из нормального распределения с параметрами N(μ;σ 2 ). Рассмотрим статистику (n-1)s 2 /σ 2 , где s – стандартное отклонение выборки .
Известно, что Выборочное распределение статистики (n-1)s 2 /σ 2 при достаточно большом размере выборки стремится к распределению ХИ-квадрат с n-1 степенью свободы.
Аналогично рассмотренной статистике Х ср , в файле примера на листе ХИ2 построен График вероятности для проверки этого утверждения.
Использование выборочного распределения вышеуказанной статистики позволяет построить доверительный интервал для оценки дисперсии исходного нормального распределения ( из которого берется выборка) , а также провести проверку соответствующих гипотез .
Выборочное распределение статистики
Пусть из двух нормальных распределений с параметрами N(μ 1 ;σ 1 2 ) и N(μ 2 ;σ 2 2 ) извлекается по одной выборке (в общем случае разного размера n 1 и n 2 ) .
Известно, что при достаточно большом размере выборок Выборочное распределение статистики стремится к F-распределению вероятности с n 1 -1 и n 2 -1 степенями свободы .
В файле примера на листе F-расп построен График вероятности для проверки этого утверждения.
В статье Статистики, выборочное распределение и точечные оценки в MS EXCEL дано определение точечной оценки параметра распределения (point estimator). Однако, в силу случайности выборки, точечная оценка не совпадает с оцениваемым параметром и более разумно было бы указывать интервал, в котором может находиться неизвестный параметр при наблюденной выборке х 1 , x 2 , . х n . Поэтому цель использования доверительных интервалов состоит в том, чтобы по возможности избавиться от неопределенности и сделать как можно более полезный статистический вывод .
Примечание : Процесс обобщения данных выборки , который приводит к вероятностным утверждениям обо всей генеральной совокупности , называют статистическим выводом (statistical inference).
СОВЕТ : Для построения Доверительного интервала нам потребуется знание следующих понятий:
К сожалению, интервал, в котором может находиться неизвестный параметр, совпадает со всей возможной областью изменения этого параметра, поскольку соответствующую выборку , а значит и оценку параметра , можно получить с ненулевой вероятностью. Поэтому приходится ограничиваться нахождением границ изменения неизвестного параметра с некоторой заданной наперед вероятностью.
Определение : Доверительным интервалом называют такой интервал изменения случайной величины , которыйс заданной вероятностью , накроет истинное значение оцениваемого параметра распределения.
Эту заданную вероятность называют уровнем доверия (или доверительной вероятностью ).
Обычно используют значения уровня доверия 90%; 95%; 99%, реже 99,9% и т.д. Например, уровень доверия 95% означает, что дополнительное событие, вероятность которого 1-0,95=5%, исследователь считает маловероятным или невозможным.
Примечание : Вероятность этого дополнительного события называется уровень значимости или ошибка первого рода . Подробнее см. статью Уровень значимости и уровень надежности в MS EXCEL .
Разумеется, выбор уровня доверия полностью зависит от решаемой задачи. Так, степень доверия авиапассажира к надежности самолета, несомненно, должна быть выше степени доверия покупателя к надежности электрической лампочки.
Примечание : Построение доверительного интервала в случае, когда стандартное отклонение неизвестно, приведено в статье Доверительный интервал для оценки среднего (дисперсия неизвестна) в MS EXCEL . О построении других доверительных интервалов см. статью Доверительные интервалы в MS EXCEL .
Формулировка задачи
Предположим, что из генеральной совокупности имеющей нормальное распределение взята выборка размера n. Предполагается, что стандартное отклонение этого распределения известно. Необходимо на основании этой выборки оценить неизвестное среднее значение распределения (μ, математическое ожидание ) и построить соответствующий двухсторонний доверительный интервал .
Точечная оценка
Как известно из Центральной предельной теоремы , статистика (обозначим ее Х ср ) является несмещенной оценкой среднего этой генеральной совокупности и имеет распределение N(μ;σ 2 /n).
Примечание : Что делать, если требуется построить доверительный интервал в случае распределения, которое не является нормальным? В этом случае на помощь приходит Центральная предельная теорема , которая гласит, что при достаточно большом размере выборки n из распределения не являющемся нормальным , выборочное распределение статистики Х ср будет приблизительно соответствовать нормальному распределению с параметрами N(μ;σ 2 /n).
Итак, точечная оценка среднего значения распределения у нас есть – это среднее значение выборки , т.е. Х ср . Теперь займемся доверительным интервалом.
Построение доверительного интервала
Обычно, зная распределение и его параметры, мы можем вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение из заданного нами интервала. Сейчас поступим наоборот: найдем интервал, в который случайная величина попадет с заданной вероятностью. Например, из свойств нормального распределения известно, что с вероятностью 95%, случайная величина, распределенная по нормальному закону , попадет в интервал примерно +/- 2 стандартных отклонения от среднего значения (см. статью про нормальное распределение ). Этот интервал, послужит нам прототипом для доверительного интервала .
Теперь разберемся,знаем ли мы распределение , чтобы вычислить этот интервал? Для ответа на вопрос мы должны указать форму распределения и его параметры.
Форму распределения мы знаем – это нормальное распределение (напомним, что речь идет о выборочном распределении статистики Х ср ).
Параметр μ нам неизвестен (его как раз нужно оценить с помощью доверительного интервала ), но у нас есть его оценка Х ср , вычисленная на основе выборки, которую можно использовать.
Второй параметр – стандартное отклонение выборочного среднего будем считать известным , он равен σ/√n.
Т.к. мы не знаем μ, то будем строить интервал +/- 2 стандартных отклонения не от среднего значения , а от известной его оценки Х ср . Т.е. при расчете доверительного интервала мы НЕ будем считать, что Х ср попадет в интервал +/- 2 стандартных отклонения от μ с вероятностью 95%, а будем считать, что интервал +/- 2 стандартных отклонения от Х ср с вероятностью 95% накроет μ – среднее генеральной совокупности, из которого взята выборка . Эти два утверждения эквивалентны, но второе утверждение нам позволяет построить доверительный интервал .
Кроме того, уточним интервал: случайная величина, распределенная по нормальному закону , с вероятностью 95% попадает в интервал +/- 1,960 стандартных отклонений, а не+/- 2 стандартных отклонения . Это можно рассчитать с помощью формулы =НОРМ.СТ.ОБР((1+0,95)/2) , см. файл примера Лист Интервал .
Теперь мы можем сформулировать вероятностное утверждение, которое послужит нам для формирования доверительного интервала : «Вероятность того, что среднее генеральной совокупности находится от среднего выборки в пределах 1,960 « стандартных отклонений выборочного среднего» , равна 95%».
Значение вероятности, упомянутое в утверждении, имеет специальное название уровень доверия , который связан с уровнем значимости α (альфа) простым выражением уровень доверия = 1 -α . В нашем случае уровень значимости α =1-0,95=0,05 .
Теперь на основе этого вероятностного утверждения запишем выражение для вычисления доверительного интервала :
Примечание : Верхний α/2-квантиль определяет ширину доверительного интервала в стандартных отклонениях выборочного среднего. Верхний α/2-квантиль стандартного нормального распределения всегда больше 0, что очень удобно.
В нашем случае при α=0,05, верхний α/2-квантиль равен 1,960. Для других уровней значимости α (10%; 1%) верхний α/2-квантиль Z α/2 можно вычислить с помощью формулы =НОРМ.СТ.ОБР(1-α/2) или, если известен уровень доверия , =НОРМ.СТ.ОБР((1+ур.доверия)/2) .
Обычно при построении доверительных интервалов для оценки среднего используют только верхний α /2- квантиль и не используют нижний α /2- квантиль . Это возможно потому, что стандартное нормальное распределение симметрично относительно оси х ( плотность его распределения симметрична относительно среднего, т.е. 0 ) . Поэтому, нет нужды вычислять нижний α/2-квантиль (его называют просто α /2-квантиль ), т.к. он равен верхнему α /2- квантилю со знаком минус.
Напомним, что, не смотря на форму распределения величины х, соответствующая случайная величина Х ср распределена приблизительно нормально N(μ;σ 2 /n) (см. статью про ЦПТ ). Следовательно, в общем случае, вышеуказанное выражение для доверительного интервала является лишь приближенным. Если величина х распределена по нормальному закону N(μ;σ 2 /n), то выражение для доверительного интервала является точным.
Расчет доверительного интервала в MS EXCEL
Решим задачу. Время отклика электронного компонента на входной сигнал является важной характеристикой устройства. Инженер хочет построить доверительный интервал для среднего времени отклика при уровне доверия 95%. Из предыдущего опыта инженер знает, что стандартное отклонение время отклика составляет 8 мсек. Известно, что для оценки времени отклика инженер сделал 25 измерений, среднее значение составило 78 мсек.
Решение : Инженер хочет знать время отклика электронного устройства, но он понимает, что время отклика является не фиксированной, а случайной величиной, которая имеет свое распределение. Так что, лучшее, на что он может рассчитывать, это определить параметры и форму этого распределения.
К сожалению, из условия задачи форма распределения времени отклика нам не известна (оно не обязательно должно быть нормальным ). Среднее, т.е. математическое ожидание , этого распределения также неизвестно. Известно только его стандартное отклонение σ=8. Поэтому, пока мы не можем посчитать вероятности и построить доверительный интервал .
Однако, не смотря на то, что мы не знаем распределение времени отдельного отклика , мы знаем, что согласно ЦПТ , выборочное распределение среднего времени отклика является приблизительно нормальным (будем считать, что условия ЦПТ выполняются, т.к. размер выборки достаточно велик (n=25)) .
Более того, среднее этого распределения равно среднему значению распределения единичного отклика, т.е. μ. А стандартное отклонение этого распределения (σ/√n) можно вычислить по формуле =8/КОРЕНЬ(25) .
Также известно, что инженером была получена точечная оценка параметра μ равная 78 мсек (Х ср ). Поэтому, теперь мы можем вычислять вероятности, т.к. нам известна форма распределения ( нормальное ) и его параметры (Х ср и σ/√n).
Инженер хочет знать математическое ожидание μ распределения времени отклика. Как было сказано выше, это μ равно математическому ожиданию выборочного распределения среднего времени отклика . Если мы воспользуемся нормальным распределением N(Х ср ; σ/√n), то искомое μ будет находиться в интервале +/-2*σ/√n с вероятностью примерно 95%.
Уровень значимости равен 1-0,95=0,05.
Левая граница: =НОРМ.ОБР(0,05/2; 78; 8/КОРЕНЬ(25)) Правая граница: =НОРМ.ОБР(1-0,05/2; 78; 8/КОРЕНЬ(25))
Ответ : доверительный интервал при уровне доверия 95% и σ =8 мсек равен 78+/-3,136 мсек.
В файле примера на листе Сигма известна создана форма для расчета и построения двухстороннего доверительного интервала для произвольных выборок с заданным σ и уровнем значимости .
Функция ДОВЕРИТ.НОРМ()
Если значения выборки находятся в диапазоне B20:B79 , а уровень значимости равен 0,05; то формула MS EXCEL: =СРЗНАЧ(B20:B79)-ДОВЕРИТ.НОРМ(0,05;σ; СЧЁТ(B20:B79)) вернет левую границу доверительного интервала .
Эту же границу можно вычислить с помощью формулы: =СРЗНАЧ(B20:B79)-НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2)*σ/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B20:B79))
Примечание : Функция ДОВЕРИТ.НОРМ() появилась в MS EXCEL 2010. В более ранних версиях MS EXCEL использовалась функция ДОВЕРИТ() .
Мы подошли к решению вопроса о том, как на основании полученной в эксперименте группы результатов наблюдений оценить истинное значение, т.е. найти результат измерений, как оценить его точность, т.е. меру его приближения к истинному значению.
Рассмотренные в рамках предыдущей лекции функции распределения описывают поведение непрерывных случайных величин, т.е. величин, возможные значения которых неотделимы друг от друга и непрерывно заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал. На практике все результаты измерений и случайные погрешности являются величинами дискретными, т.е. величинами xi возможные значения которых отделимы друг от друга и поддаются счету.
При использовании дискретных случайных величин возникает задача нахождения точечных оценок параметров их функций распределения на основании выборок – ряда значений хi принимаемых случайной величиной х в n независимых опытах. Используемая выборка должна быть репрезентативной (представительной), т.е. должна достаточно хорошо представлять пропорции генеральной совокупности.
Оценка параметра называется точечной, если она выражается одним числом. Задача нахождения точечных оценок – частный случай статистической задачи нахождения оценок параметров функции распределения случайной величины на основании выборки. Любая точечная оценка, вычисленная на основании опытных данных, является их функцией и поэтому сама должна представлять собой случайную величину с распределением, зависящим от распределения исходной случайной величины, в том числе от самого оцениваемого параметра и от числа опытов n.
Точечные оценки могут быть состоятельными, несмещенными и эффективными .
Состоятельной называется оценка, которая при увеличении объема выборки стремится по вероятности к истинному значению числовой характеристики.
Несмещенной называется оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемой числовой характеристике (параметру).
Оценка называется эффективной, если ее дисперсия меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра, т.е. наиболее эффективной считают ту из нескольких возможных несмещенных оценок, которая имеет наименьшую дисперсию.
Требование несмещенности на практике не всегда целесообразно, так как оценка с небольшим смещением и малой дисперсией может оказаться предпочтительнее несмещенной оценки с большой дисперсией. На практике не всегда удается удовлетворить одновременно все три этих требования, однако выбору оценки должен предшествовать ее критический анализ со всех перечисленных точек зрения.
Наиболее распространенным методом получения оценок является, метод наибольшего (максимального) правдоподобия, теоретически обоснованный математиком Р. Фишером, который приводит к асимптотически несмещенным и эффективным оценкам с приближенно нормальным распределением. Среди других методов можно назвать методы моментов и наименьших квадратов.
Точечной оценкой математического ожидания результата измерений является среднее арифметическое значение измеряемой величины:
При любом законе распределения оно является состоятельной и несмещенной оценкой, а также наиболее эффективной по критерию наименьших квадратов.
Точечная оценка дисперсии, определяемая по формуле:
является несмещенной и состоятельной.
Среднеквадратическое отклонение случайной величины х определяется как корень квадратный из дисперсии. Соответственно его оценка может быть найдена путем извлечения корня из оценки дисперсии. Однако эта операция является нелинейной процедурой, приводящей к смещенности получаемой таким образом оценки. Для исправления оценки СКО вводят поправочный множитель k(n), зависящий от числа наблюдений n.
Он изменяется от k(3) = 1,13 до k(∞) = 1,03. Оценка среднего квадратического отклонения:
Полученные оценки математического ожидания и СКО являются случайными величинами . Это проявляется в том, что при повторениях серий из n наблюдений каждый раз будут получаться различные оценки и . Рассеяние этих оценок целесообразно оценивать с помощью СКО и Sσ. Оценка СКО среднего арифметического значения:
Оценка СКО среднего квадратического отклонения:
Отсюда следует, что относительная погрешность определения СКО может быть оценена как:
Она зависит только от эксцесса и числа наблюдений в выборке и не зависит от СКО, т.е. той точности, с которой производятся измерения. Ввиду того, что большое число измерений проводится относительно редко, погрешность определения, а может быть весьма существенной. В любом случае она больше погрешности из-за смещенности оценки, обусловленной извлечением квадратного корня и устраняемой поправочным множителем k(n).
В связи с этим на практике пренебрегают учетом смещенности оценки СКО отдельных наблюдений и определяют его по формуле:
Иногда оказывается удобнее использовать следующие формулы для расчета оценок СКО отдельных наблюдений и результата измерения:
Точечные оценки других параметров распределений используются значительно реже.
Оценки коэффициента асимметрии и эксцесса находятся по формулам:
Определение рассеяния оценок коэффициента асимметрии и эксцесса описывается различными формулами в зависимости от вида распределения.
Для вычисления выборочного значения этой оценки можно использовать статистическую функцию Excel ДИСП, обращение к которой имеет вид:
=ДИСП(арг1; арг2; …; арг30),
где арг1; арг2; …; арг30 – числа или адреса ячеек, содержащих числовые величины.
? Пример 3.6. По выборке примера 2.3 вычислить оценку (3.28).
Решение. Первоначально, начиная с ячейки А3, введем в столбец А 55 элементов выборки (рис. 3.3). Затем, используя функции КВАДРОТКЛ, ДИСП (как показано на рис. 3.3), вычислим оценку (3.28). Видно ожидаемое совпадение двух вычисленных значений. ☻
Рис. 3.3. Фрагмент вычисления исправленной дисперсии
Вычисление оценок максимального правдоподобия. В п. 3.5 были рассмотрены оценки, вычисляемые из условия максимума функционала правдоподобия. В приведенных примерах из условий максимума были получены алгебраические уравнения, решения которых определялись достаточно просто.
В общем случае не удается получить таких простых соотношений и оценки вычисляются непосредственным определением точек максимума функционала правдоподобия, т.е. необходимо решить оптимизационную задачу.
Для решения такой задачи в Excel есть команда Поиск решения пункта меню Сервис. Эта команда позволяет решать не только задачи безусловной оптимизации, но и задачи условной оптимизации, т.е. когда ищется максимум функционала с учетом дополнительных ограничений на значения искомых оценок. Например, значение дисперсии не может быть отрицательным.
Применение команды Поиск решения для вычисления оценок максимального правдоподобия покажем на следующем примере.
? Пример 3.7. По выборке примера 2.3 вычислить оценки максимального правдоподобия для математического ожидания и дисперсии из условия максимума функционала правдоподобия вида:
предполагая при этом, что выборка порождена случайной величиной, подчиняющейся нормальному распределению.
Решение. Первоначально, начиная с ячейки А3, введем в столбец А 55 элементов выборки (диапазон А3:А57). Затем в ячейку С8 занесем произвольное значение (например, 10), в ячейку D8 – значение (например, значение 4 > 0), в ячейке Е8 вычислим . В ячейках В3:В57 запрограммируем вычисление разностей (рис. 3.4). В ячейке С5 запрограммируем вычисление величины функционала (3.29). В верхней части документа на рис. 3.4 показана запрограммированная формула.
в поле ввода Установить целевую ячейку: ввести адрес ячейки, в которой вычисляется значение минимизируемого функционала (в нашем примере С5);
включить опцию Равной: максимальному значению (ищутся значения, при которых функционал достигает максимального значения);
в поле Изменяя ячейки: ввести адреса ячеек, в которых находятся значения искомых оценок (в нашем примере это ячейки С8:D8);
щелкнув мышью на кнопке Добавить, сформировать ограничения на значения искомых оценок (в нашем примере это требование , чтобы не был равен –).
Рис. 3.4. Задание параметров команды Поиск решения
После выполнения этих операций щелкнуть на кнопке Выполнить. Начинается поиск решения введенной оптимизационной задачи. Спустя некоторое время на экране появится новое диалоговое окно Результаты поиска решения (рис. 3.5). Для сохранения найденных значений оценок в соответствующих ячейках необходимо включить опцию Сохранить найденное решение и щелкнуть на кнопке ОК.
Рис. 3.5. Результаты выполнения команды Поиск решения
Из рис. 3.5 видно, что вычисленные значения оценок находятся в ячейках С8, D8 и равны а = 17.907, = 2.933. Ячейка С5 содержит значение максимизируемого функционала, равное –137.22. Сравнивая вычисленные значения оценок и с выборочными оценками примера 2.11 (см. рис. 2.7), видим их полное совпадение. ☻
Задание 3.1. Предполагая, что выборка примера 2.1 порождена случайной величиной, имеющей показательное распределение (3.21), вычислить оценку максимального правдоподобия для параметра , используя команду Поиск решения.
Рекомендация. Оценку максимального правдоподобия осуществлять из условия максимума функционала
при ограничении. При вызове команды Поиск решения использовать пример 3.7. ?
Функции Excel для вычисления других точечных оценок.
Для вычисления среднеквадратичных отклонений можно использовать следующие функции Excel.
Функция СТАНДОТКЛОН вычисляет
Обращение к ней имеет вид:
=СТАНДОТКЛОН(арг1; арг2; …; арг30),
где арг1; арг2; …; арг30 – числовые константы или адреса ячеек, содержащих числовые данные.
Функция СТАНДОТКЛОНП вычисляет
Обращение к ней имеет вид:
=СТАНДОТКЛОНП(арг1; арг2; …; арг30),
где арг1; арг2; …; арг30 – числовые константы или адреса ячеек, содержащих числовые данные.
Функция ЭКСЦЕСС вычисляет оценку
для характеристики эксцесс , которая определяет островершинность или плосковершинность плотности распределения.
Обращение к функции имеет вид:
=ЭКСЦЕСС(арг1; арг2; …; арг30),
где арг1; арг2; …; арг30 – числовые константы или адреса ячеек, содержащих числовые данные.
Функция МОДА вычисляет наиболее часто встречающееся значение в заданных аргументах функции, т.е. значение, встречающееся в выборке с максимальной частотой.
Обращение к функции имеет вид:
=МОДА(арг1; арг2; …; арг30),
где арг1; арг2; …; арг30 – числовые константы или адреса ячеек, содержащих числовые данные.
Обращение к функции имеет вид:
=МЕДИАНА(арг1; арг2; …; арг30),
где арг1; арг2; …; арг30 – числовые константы или адреса ячеек, содержащих числовые данные.
Функция СКОС вычисляет оценку
для характеристики асимметрии , которая для симметричной плотности распределения равна 0.
Обращение к функции имеет вид:
=СКОС(арг1; арг2; …; арг30),
характеристики положения описывают положение данных на числовой оси (среднее, минимальное и максимальное значения, медиана и др.);
характеристики разброса описывают степень разброса данных относительно своего центра (дисперсия, размах выборки, эксцесс, среднеквадратическое отклонение и др.);
характеристики асимметрии определяют симметрию распределения данных относительно своего центра (коэффициент асимметрии, положение медианы относительно среднего и др.);
характеристики, описывающие закон распределения (частоты, относительные частоты, гистограммы и др.).
Для вызова режима Описательная статистика необходимо обратиться к пункту Сервис, команде Пакет анализа, выбрать в списке режимов Описательная статистика и щелкнуть на кнопке ОК. В появившемся диалоговом окне Описательная статистика задать следующие параметры (рис. 3.6):
Группирование: – задает способ расположения (по столбцам или по строкам) элементов выборки.
Метки в первой строке – включается, если первая строка (столбец) во входном интервале содержит заголовки.
Рис. 3.6. Параметры режима Описательная статистика
Выходной интервал: / Новый рабочий лист: / Новая рабочая книга – определяет место вывода результатов вычислений. При включении Выходной интервал: в поле вводится адрес ячейки, начиная с которой будут выводиться результаты.
Итоговая статистика: – включается, если необходимо вывести по одному полю для каждой из вычисленных характеристик.
Уровень надежности: – включается, если необходимо вычислить доверительный интервал для математического ожидания с задаваемым () уровнем надежности .
К-й наименьший: – включается, если необходимо вычислить к-й наименьший (начиная с ) элемент выборки. При к = 1 вычисляется наименьшее значение.
К-й наибольший: – включается, если необходимо вычислить к-й наибольший (начиная с ) элемент выборки. При к = 1 вычисляется наибольшее значение.
Интервал – определяет размах выборки ;
Сумма – определяет сумму всех элементов выборки;
Счет – определяет число обработанных элементов выборки;
Уровень надежности – определяет величину , от которой зависит доверительный интервал для математического ожидания, имеющий вид
где – выборочное среднее (подробнее см. п. 4.3).
? Пример 3.8. По выборке примера 2.3 вычислить описательные статистики, используя режим Описательная статистика.
Решение. Первоначально, начиная с ячейки А3, введем в столбец А 55 элементов выборки. После этого обратимся к пункту Сервис, команде Пакет анализа. В списке режимов выберем Описательная статистика. В появившемся диалоговом окне включим параметры, показанные на рис. 3.6, и щелкнем ОК. Вычисленные характеристики приведены на рис. 3.7. ☻
Рис. 3.7. Результаты работы Описательная статистика
Задание 3.2. Сравните значения характеристик (см. рис. 3.7) со значениями аналогичных характеристик, вычисленных в предыдущих примерах. ?
Читайте также: