Методы решения систем линейных уравнений в приложении microsoft excel проект
Тип урока: урок закрепления изученного материала и объяснения нового.
ХОД УРОКА
I. Организационная часть.
Здравствуйте! Все мы знаем, что одну и ту же информацию можно закодировать любым способом. Перед вами набор чисел. Известно, что каждому числу ставится в соответствие буква в русском алфавите. Расшифруйте эту информацию, кто быстрее!
Ответ: “Знание – сила!”
Молодцы! А знаете, кому принадлежит это выражение? (Если нет, то один ученик ищет ответ в Интернете. Остальные отвечают на вопросы: Для чего предназначена программа Excel? (Программа Excel предназначена для хранения и обработки данных, представленных в табличном виде) Что собой представляет документ в Excel? (Каждый документ в Excel представляет собой набор таблиц – рабочую книгу, которая состоит из одного или многих рабочих листов) Какая функция используется для подсчета суммы чисел? (Функция СУММ). Как определить адрес ячейки? (Excel вводит номера ячеек автоматически. Адрес ячейки составляется как объединение номеров столбца и строки без пробела между ними)
Выражение английского философа Френсиса Бэкона “Знание – сила!” и будет эпиграфом к нашему уроку. ("Нравственные и политические очерки", 1597).
II. Повторение пройденного материала.
Мы уже знакомы с программой Microsoft Excel, умеем записывать арифметические выражения и различные формулы, находить значения арифметических выражений и построить графики функций. Чтобы проверить выполнение домашнего задания, предлагаю каждому пройти тестирование. (Приложение 1)
Хорошо, все справились и каждому поставим соответствующие оценки в журнал. А давайте устроим путешествие в математику и вспомним, что мы понимаем под понятием: “Решить систему уравнений”? (Найти такие значения х и у, которые будут удовлетворять и первое уравнение и второе). Какие способы существуют для решения систем уравнений (метод подстановки, метод сложения и графический способ). Сегодня мы с вами научимся решать системы уравнений, используя возможности электронных таблиц.
III. Объяснение нового.
А. Решим систему графическим способом. Преобразуем данную систему . Для решения воспользуемся диаграммой, на которой отобразим графики обеих функций. Заполняем столбец А: заполняем ячейки А2:А22 числами от -5 до 5 с шагом 0,5. (в ячейку А2 заносим число -5, в ячейку А3 – число -4,5, выделяем ячейки А2 и А3, установим курсор мыши на правый нижний угол рамки (указатель примет форму черного крестика) и растягиваем рамку вниз, пока последнее значение не станет равным 5). При заполнении столбца В в ячейку В2 заносим формулу =А2*А2, которую затем копируем до ячейки В22. (протянем формулу за правый нижний угол). При заполнении столбца С в ячейку С2 заносим формулу =1-2*А2, копируем ее до ячейки С22. Выделим блок с данными, с помощью Мастера диаграмм выберем тип диаграммы Точечная и построим графики функций. Координаты точек пересечения графиков – решения системы.
Получены приближенные значения решений. Чем меньше шаг, тем точнее значение координат точек пересечения.
Запишем алгоритм решения систем уравнений графическим способом:
1. Преобразовать систему уравнений, если это необходимо.
2. Задать начальные значения для Х.
3. Найти значение первой функции при заданных Х.
4. Найти значение второй функции при тех же Х.
5. Выделить блок с данными и построить графики функций, используя точечный тип диаграммы.
6. Решение системы - точка пересечения графиков функций.
7. Для нахождения координат точек пересечения с заданной точностью построить новый график на том отрезке, где находится решение, с шагом, равным значению точности.
Б. Решить систему уравнений . Занесем в электронную таблицу исходные данные и расчетные формулы следующим образом:.
Для решения системы уравнений воспользуемся надстройкой Поиск решения, которая запускается через Сервис (-Надстройки) и заполним диалоговое окно следующим образом:
При нажатии на кнопку Выполнить происходит решение системы уравнений и в ячейках B3 и B4 высвечивается результат.
Запишем примерный алгоритм решения системы уравнений, используя Поиск решения
1. Преобразовать систему уравнений, если это необходимо
2. Записать исходные данные (в ячейку А1 ввести текст “Решите уравнение”, в ячейку В1 записать первое уравнение, в ячейку В2 второе уравнение, в ячейку А3 ввести текст “Х=”, в ячейку А4 “Y=”, в ячейку А5 “уравнение 1”, в ячейку А6 “уравнение 2”. В ячейке B3 хотим получить значение Х, в ячейке В4 – значение Y, их оставляем пустыми.
3. В ячейку В5 переписать уравнение 1, используя правило записи арифметических выражений, следующим образом: в левой части вместо Х указывать ячейку В3, вместо Y ячейку В4, правую часть отбросить. Таким же образом переписать левую часть второго уравнения в ячейку В6.
4. Выбрать команду Сервис – Поиск решения.
5. Установить целевую ячейку - ту ячейку, в которой содержится формула, например, В5 и задать значение, равное значению правой части первого уравнения
6. В поле “изменяя ячейки” указать ячейки, в которых хотим увидеть ответ (В3 и В4)
7. Вести ограничение $B$6 = -3. Для этого щелкнуть на кнопке Добавить и в полученном окне установить реквизиты следующим образом: в поле Ссылка на ячейку указать ячейку, в которой записана левая часть другого уравнения, в другом поле выбрать знак “=”, в третьем ввести число, равное значению правой части. Закрыть окно Добавить ограничение, щелкнув кнопкой ОК
Матрица как прямоугольная таблица, составленная из чисел. Знакомство с методами решения систем линейных уравнений в приложении Microsoft Excel. Особенности решения систем уравнений методом Крамера и методом Гаусса. Характеристика программы Excel.
Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
Вид | курсовая работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 07.09.2015 |
Размер файла | 181,7 K |
Соглашение об использовании материалов сайта
Просим использовать работы, опубликованные на сайте, исключительно в личных целях. Публикация материалов на других сайтах запрещена.
Данная работа (и все другие) доступна для скачивания совершенно бесплатно. Мысленно можете поблагодарить ее автора и коллектив сайта.
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Подобные документы
Использование MS Excel для математических расчетов. Описание численных методов решения системы линейных алгебраических уравнений. Решение систем линейных алгебраических уравнений с методами Крамера и Зейделя и с помощью табличного процессора MS Excel.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 14.02.2021
Системы линейных алгебраических уравнений. Код программы для решения систем линейных алгебраических уравнений. Математические и алгоритмические основы решения задачи методом Гаусса. Программная реализация решения. Алгоритмы запоминания коэффициентов.
лабораторная работа [23,5 K], добавлен 23.09.2014
Численные методы линейной алгебры. Матричный метод. Методы Крамера и Гаусса. Интерации линейных систем. Интерации Якоби и Гаусса - Зейделя. Листинг программы. Численные методы в электронных таблицах Excel и программе MathCAD, Microsoft Visual Basic
курсовая работа [1,2 M], добавлен 01.06.2008
Характеристика влияния компьютера на здоровье человека. Определение корней уравнения в Microsoft Excel с точностью до шестого знака после запятой. Решение системы линейных уравнений методом вычисления определителей и матричным способом в Microsoft Excel.
контрольная работа [734,0 K], добавлен 19.03.2012
Алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса, его этапы. Система уравнений для определения коэффициентов сплайна, представляющая собой частный случай систем линейных алгебраических уравнений. Программная реализация, тестовый пример.
курсовая работа [431,8 K], добавлен 15.06.2013
Изучение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с использованием табличного процессора MS Excel 2007. Пример решения системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера. Прикладное программное обеспечение, применяемое для решения СЛАУ.
курсовая работа [184,5 K], добавлен 20.11.2013
Метод Гаусса-Зейделя как модификация метода Якоби, его сущность и применение. Разработка программы решения системы линейных алгебраических уравнений на языке VB, проверка правильности работы программы в MS Excel и математических пакетах MathCad и MatLab.
Характеристика влияния компьютера на здоровье человека. Определение корней уравнения в Microsoft Excel с точностью до шестого знака после запятой. Решение системы линейных уравнений методом вычисления определителей и матричным способом в Microsoft Excel.
Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
Вид | контрольная работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 19.03.2012 |
Размер файла | 734,0 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Министерство образования Республики Беларусь
«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА»
Кафедра «Информационные технологии»
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
«КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ»
Выполнила Корпенко К.С.
Проверил Иоффе Лев Аркадьевич
Содержание
- Введение
- Раздел 1. Влияние компьютера на здоровье человека
- Раздел 2. Определить корни уравнения в Microsoft Excel с точностью до шестого знака после запятой
- Раздел 3. Решить систему линейных уравнений методом вычисления определителей и матричным способом в Microsoft Excel
- Заключение
- Литература
- Введение
- Главной целью работы является закрепление знаний, полученных на практических занятиях, выполнением контрольной работы средствами Microsoft Excel.
Раздел 1. Влияние компьютера на здоровье человека
Влияние компьютера на здоровье человека - одна из спорных тем, горячо обсуждаемых современными врачами. До сих пор не доказано его прямое вредное воздействие на человеческий организм. Существуют лишь определенные факторы, располагающие к возникновению проблем со здоровьем у людей, являющихся активными пользователями компьютеров.
Впрочем, при соблюдении правильного режима работ их вредоносное воздействие можно свести к минимуму.
Рассмотрим основные аспекты длительной работы за компьютером:
1. Работающий за компьютером человек длительное время должен сохранять относительно неподвижное положение, что негативно сказывается на позвоночнике и циркуляции крови во всем организме (застой крови). Особенно сильно застой крови выражен на уровне органов малого таза и конечностей. При длительных нарушениях циркуляции крови нарушается питание тканей и повреждаются стенки сосудов, что в свою очередь приводит к их необратимому расширению. Такое расширение сосудов наблюдается, например, при геморрое.
2. Чтение информации с монитора вызывает перенапряжение глаз. Возникает это главным образом потому, что во время чтения с монитора расстояние от текста до глаз постоянно остается одним и тем же, из-за этого мышцы глаз, регулирующие аккомодацию, находятся в постоянном напряжении. Со временем это может привести к нарушению аккомодативной способности глаз и, следовательно, к нарушениям зрения.
3. Длительная работа на клавиатуре приводит к перенапряжению суставов кисти и мышц предплечья.
4. Мониторы, снабженные электронной пушкой, являются сильным источником электромагнитных полей. Постоянная «бомбардировка» организма человека ускоренными электронами приводит к различным расстройствам нервной системы и глаз.
5. Работа за компьютером предполагает переработку большого массива информации и постоянную концентрацию внимания, поэтому при длительной работе за компьютером нередко развивается умственная усталость и нарушение внимания.
6. Человек, работающий за компьютером, вынужден все время принимать решения, от которых зависит эффективность его работы. Порой бывает довольно сложно предположить последствия того или иного шага (особенно на фоне хронической усталости). Поэтому, длительная работа за компьютером, часто является причиной хронического стресса. Заметим, что необходимость перерабатывать большое количество неоднородной (и в большинстве своем ненужной информации), так же приводит к развитию стресса.
8. Работа за компьютером нередко поглощает все внимание работающего человека и потому, такие люди часто пренебрегают нормальным питанием и работают впроголодь весь день. Неправильное питание приводит не только к нарушениям работы органов пищеварительного тракта, но и к возникновению минеральной и витаминной недостаточности. Известно, что не недостаток витаминов и минералов негативно сказывается на процессе обмена веществ в организме, что приводит к снижению интеллектуальных способностей человека. Снижение эффективности работы, что в свою очередь вызывает необходимость находиться еще больше времени за компьютером. Таким образом, образуется своеобразный «порочный круг», в котором длительная работа за компьютером является пусковым моментом, определяющим все последующие нарушения.
Гиподинамия, стресс, вредные привычки и неправильное питание являются основными причинами сердечнососудистых заболеваний и диабета. Таким образом, человек длительное время работающий за компьютером подвергается реальному риску сердечнососудистых заболеваний, различных заболеваний глаз, двигательного аппарата, органов желудочно-кишечного тракта, психических расстройств.
Нарушения зрения, вызванные длительной работой за компьютером
Как уже упоминалось выше, длительная работа за компьютером оказывает негативное воздействие на глаза и зрение. В последнее время появилось несколько новых терминов определяющих заболевания глаз, вызванные долгой работой на компьютером.
Дисплейная болезнь (астенопия: от греч. Asten-усталость + ops-зрение), характеризуется нарушением аккомодации глаз из-за длительного перенапряжения ресничного тела. Ресничное тело расположено сразу под радужной оболочкой глаза и состоит из множества мышечных волокон. Ресничное тело представляет собой своеобразное мышечное кольцо, внутри которого крепится хрусталик. Сокращение или расслабление мышц ресничного тела приводит к изменению кривизны хрусталика и, следовательно, изменяет его преломляющую способность. В норме работа ресничных тел обоих глаз поддерживает концентрирование светового пучка на ограниченный участок сетчатки. При хроническом перенапряжении ресничного тела оно теряет способность сокращаться а, следовательно, теряется способность глаз к аккомодации (восприятие объектов на различных расстояниях).
Синдром сухого глаза - собирательное название заболевания вызванного нарушением увлажнения передней поверхности глаза (роговицы) слезной жидкостью. В норме человек осуществляет более 20 моргательных движений в секунду. В результате этого передняя поверхность глаза постоянно увлажняется и очищается слезной жидкостью. Во время работы за компьютером частота моргания уменьшается по меньшей мере в три раза. При этом поверхность роговицы «высыхает». Синдром сухого глаза развивается спустя некоторое время работы за компьютером и проявляется жжением в глазах, покраснением конъюнктивы, появлением сосудистой сетки на боковых поверхностях глаз. Если при возникновении этих признаков работа за компьютером прекращается, то симптомы регрессируют. Однако во время продолжительной работы за компьютером вышеуказанные симптомы становятся более устойчивыми и не исчезают после прекращения работы за компьютером. Объясняется это присоединением инфекции и нарушением трофики оболочек глаза, вызванные недостаточным увлажнением глаз слезной жидкостью.
Также длительная работа за компьютером может увеличить риск таких глазных заболеваний как миопия (близорукость), дальнозоркость, глаукома
Заболевания прямой кишки
Среди заболеваний прямой кишки геморрой является самым распространенным. Высокая заболеваемость этим типом болезни среди лиц, проводящих много времени за компьютером объясняется отнюдь не вредным влиянием последнего на организм человека, а тем, что оператор компьютера долгое время занимает сидячее положение. Геморрой представляет собой расширение вен нижнего отдела прямой кишки. Основной причиной такого расширения является застой крови в этих венах при малоподвижном образе жизни. При этом расширенные вены выпячиваются в просвет прямой кишки и даже провисают из анального отверстия. В некоторых случаях возможно развитие тромбоза или инфицирования геморроидальных вен. При этом появляются сильные боли и кровотечения из анального отверстия.
Заболевания кистей рук
Длительная работа за компьютером может стать причиной серьезных нервно-мышечных расстройств. Особенно чувствительными участками тела являются пальцы, кисти рук и предплечья. Руки выполняют основную часть механической работы при работе за компьютером, при этом важна не амплитуда физической нагрузки (она, как правило, довольно низкая), а время работы. Как известно подушечки пальцев являются наиболее чувствительными участками человеческого тела. На этом уровне сконцентрировано большое количество чувствительных нервных окончаний (благодаря этому пальцы выполняют функцию осязания). При длительной работе за компьютером (на клавиатуре) нервные окончания пальцев подвергаются постоянному раздражению. Со временем это приводит к истощению нервных путей осуществляющих связь пальцев с корой головного мозга. В результате возникают нарушения координации движений пальцев и судороги кисти и предплечья. Английские исследователи назвали это заболевание RSI (repetitive strain injury), что переводится как хроническое заболевание кистей рук.
Заболевания опорно-двигательного аппарата
Часто длительная работа за компьютером может стать причиной нарушений осанки или искривления позвоночника. Наиболее подвержены этому заболеванию дети у которых искривление позвоночника проходит по типу сколиоза, то есть искривления позвоночного столба в сторону (латерально). У взрослых людей может возникнуть образование грыжи межпозвоночного диска, что приводит к сдавливанию нервных корешков и возникновению радикулита.
Основной причиной развития заболеваний позвоночного столба является неправильная позиция на рабочем месте. Как правило, работающий человек приспосабливается и через некоторое время перестает чувствовать то, что сидит неправильно, при этом болезнь продолжает прогрессировать.
Заболевания нервной системы
Работа за компьютером - это чисто интеллектуальный труд. И потому основная часть нагрузки приходится на нервную систему, а именно на головной мозг.
Часто длительная работа за компьютером может быть причиной головных болей. Известно несколько типов головных болей, которые могут быть спровоцированы работой за компьютером. Одним из факторов провоцирующим появление головных болей является хроническое перенапряжение, важное значение имеет и постоянное напряжение черепных мышц и мышц лица.
Расстройства внимания и невозможность концентрироваться являются следствием хронического переутомления. Иногда из-за длительной работы за компьютером может возникнуть шум в ушах, головокружение, тошнота. При возникновении этих симптомов нужно обратиться за советом к врачу и временно прервать работу за компьютером.
Помимо описанных выше заболеваний длительное пребывание за компьютером может быть причиной возникновения гастритов, язвы желудка, простатита. Бережем здоровье, работая за компьютером
Чтобы защитить от вредного воздействия глаза, нужно периодически (раз в 15-20 минут) отводить взгляд от экрана: посмотреть в окно, нап ример. Хороша гимнастика для глаз: вращение глазными яблоками, частое моргание, сосредоточенность на одной точке и т.д.
Раз в час нужно отрываться от работы в сидячем положении: просто походить по комнате, сделать несколько упражнений для разминки суставов, предотвращения застоя крови (очень хороши приседания, наклоны туловища).
Не стоит забывать о соблюдении режима питания и сна. Если питаться «подножным» кормом и засиживаться за компьютером до двух часов ночи, организм немедленно объявит «забастовку». Прогулки на свежем воздухе, отказ от вредных привычек также не повредят.
Чтобы избежать усталости позвоночника, нужно соблюдать правильную осанку. Не секрет, что правильно подобранные стул и высота стола - залог комфорта во время работы за компьютером.
Компьютеру также необходим надлежащий уход. Хотя бы изредка следует снимать крышку системного блока и аккуратно пылесосить детали, на которых скопилась пыль. Особого ухода требует клавиатура - не реже, чем раз в месяц, ее нужно разбирать и обрабатывать детали, предотвращая накопление грязи (а значит, всевозможных микробов, грибков, вирусов).
Элементарное соблюдение этих «правил безопасности» позволит свести к минимуму вредное воздействие компьютера на организм человека.
Раздел 2. Определить корни уравнения в Microsoft Excel с точностью до шестого знака после запятой
f(x) = 0, (2.1)
при этом корнем (решением) называется такое значение х0, что f(х0) = 0.
Пересечение графика функции f(x) с осью абсцисс даёт наглядное решение. Для уравнения 5x - 8ln(x) = 8 выполним преобразование и приведем его к виду (2.1) f(x) = 0, т. е. 5x - 8ln(x) - 8 = 0. График этой функции представлен на рисунке 2.1. Очевидно, что данное уравнение имеет два действительных корня: один на отрезке [0.5, 1], а второй - на [3.5, 4].
Рисунок 2.1 - График функции f(x) = 5x - 8ln(x) - 8
Для более точного нахождения корня уравнения может применяться метод половинного деления или метод дихотомии, основанный на последовательном делении отрезка локализации корня пополам.
Для этого выбирается начальное приближение к отрезку [a,b], такое, что f(a)Чf(b)
Рисунок 2.2 - Последовательное деление отрезка пополам и приближение к корню
Алгоритм метода дихотомии можно записать так:
1. Представить решаемое уравнение в виде (2.1).
2. Выбрать а, b и вычислить
3. Если f(a)Чf(b)
4. Если критерий сходимости не выполнен (b-a)
4. Если критерий сходимости не выполнен (b-a)
Так как каждое очередное вычисление середины отрезка c и значения функции f(c) сужает интервал поиска вдвое, то при исходном отрезке [a,b] и предельной погрешности e количество вычислений n определяется условием, или n ~ log2 => при исходном единичном интервале и точности 6 знаков (e ~ 10 -6 ) после десятичной точки достаточно провести 20 вычислений (итераций) значений функции.
С точки зрения машинной реализации (рисунок 2.4) этот метод наиболее прост и используется во многих стандартных программных средствах, хотя существуют и другие более эффективные по затратам времени методы.
Рисунок 2.4 - Блок-схема метода половинного деления
Для нашего примера итерационная последовательность для нахождения решения принимает вид:
Матрица как прямоугольная таблица, составленная из чисел. Знакомство с методами решения систем линейных уравнений в приложении Microsoft Excel. Особенности решения систем уравнений методом Крамера и методом Гаусса. Характеристика программы Excel.
Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
Вид | курсовая работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 07.09.2015 |
Размер файла | 181,7 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Методы решения систем линейных уравнений
в приложении Microsoft Excel
Введение
Миллионы людей занимаются математическими расчетами, иногда в силу влечения к таинствам математики и ее внутренней красоте, а чаще в силу профессиональной или иной необходимости, не говоря уже об учебе.
Многие задачи практики приводят к необходимости решать системы линейных уравнений. При конструировании инженерных сооружений, обработке результатов измерений, решении задач планирования производственного процесса и ряда других задач техники, экономики, научного эксперимента приходится решать системы линейных уравнений.
Решение уравнений -- одна из древнейших математических проблем. Не счесть приложений математики, в которых решение систем уравнений является необходимым элементом решения задачи.
Проблема численного решения линейных уравнений интересует математиков уже несколько столетий. Первые математические результаты появились в XVIII веке. В 1750 году Г. Крамер (1704-1752) опубликовал свои труды по детерминантам квадратных матриц и предложил алгоритм нахождения обратной матрицы, известный, как правило, Крамера. Гаусс в 1809 году опубликовал работу, посвященную движению небесных тел, в которой был изложен метод для решения линейных систем, известный как метод исключения.
В 40-х годах XX века с появлением компьютеров сильно возрос интерес к численным методам. Тогда же началось активное исследование существующих методов для их реализации на ЭВМ и предпринимались активные попытки увеличить их точность.
Вплоть до 80-х годов решение вычислительных задач было ограничено ресурсами ЭВМ, поэтому особое значение придавалось экономичности алгоритмов. В настоящее время ограничения по оперативной памяти и быстродействию ЭВМ потеряли актуальность в связи с появлением относительно дешевых мини- и суперкомпьютеров.
Существует множество классов уравнений и систем уравнений, которые решаются аналитически - выводом соответствующих формул. Тем не менее, подавляющее большинство уравнений, встречающихся в приложениях, не могут быть решены аналитически.
Численные методы решения уравнений являются гораздо более мощными, нежели аналитические. Они тоже не всемогущи, но в умелых руках численные методы позволяют получать решения множества уравнений, совершенно недоступных для аналитических методов. При этом надо заметить, что указанная недоступность может быть обусловлена двумя обстоятельствами: недостаточным уровнем математического образования того, кто решает уравнение, и принципиальной невозможностью; в данном случае речь идет и о первом, и, что гораздо важнее, о втором обстоятельствах.
Объект исследования - процесс решения систем уравнений с помощью различных численных методов (Метода Крамера, Метода Гаусса), посредством приложения MS Excel.
Предмет исследования - численные методы решения систем уравнений.
Целью работы является изучение численных методов решения систем линейных уравнений и построение компьютерной модели этих решений систем линейных уравнений с помощью приложения MS Excel.
Для достижения цели поставлены следующие задачи:
1. изучить литературу по данной теме;
2. ознакомиться с численными методами решения систем уравнений - Методом Крамера, методом Гаусса;
3. создать компьютерные модели решения системы линейных уравнений разными способами в MS Excel;
4. сравнить имеющиеся численные методы решения систем линейных уравнений, выявить их достоинства и недостатки.
При изучении литературы по данной теме выявлено, что подавляющее большинство уравнений не могут быть решены аналитически, численные методы решения уравнений являются гораздо более мощными, нежели аналитические. На основе этого была выдвинута гипотеза.
Гипотеза: все системы уравнений можно решить с помощью численных методов с той или иной степенью точности.
В данной работе будут рассмотрены численные способы в электронных таблицах Excel.
Планы и перспективы: продолжить изучение численных методов решения систем уравнений в других программных приложениях.
1. Численные методы решение систем линейных уравнений
1.1 Система линейных уравнений
Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно.
Линейные системы двух уравнений с двумя неизвестными
Линейной системой двух уравнений с двумя неизвестными называется система вида
Решением системы уравнения с двумя неизвестными x и y называется такая пара (х0;у0), которая является решением каждого уравнения системы.
Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или установить, что их нет. Из школьного курса алгебры нам известно три способа решения уравнений:
На уроках алгебры отрабатываются навыки решения систем линейных уравнений этими методами. Но часто в повседневной практике можно встретиться с задачами, в которых нужно найти три или более неизвестных. В этом случае нам на помощь приходят численные методы решения систем уравнений. А для быстроты решения системы уравнений с несколькими неизвестными удобнее воспользоваться компьютерной программой.
1.2 Матричное представление системы линейных уравнений. Определитель матрицы
Матрица - прямоугольная таблица, составленная из чисел.
Пусть дана квадратная матрица 2 порядка:
Определителем (или детерминантом) 2 порядка, соответствующим данной матрице, называется число
Определитель (или детерминант) 3 порядка, соответствующим матрице называется число
Пример1: Найти определители матриц и
Система линейных алгебраических уравнений
Пусть дана система 3х линейных уравнений с 3мя неизвестными
Систему (1) можно записать в матрично-векторной форме
где А - матрица коэффициентов
В - расширенная матрица
Х - искомый компонентный вектор;
1.3 Решение систем уравнений методом Крамера
Пусть дана система линейных уравнений с двумя неизвестными:
Рассмотрим решение систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными по формулам Крамера. Теорема 1. Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет решение, притом единственное. Решение системы определяется формулами:
где x1, x2 - корни системы уравнений,
- главный определитель системы, x1, х2 - вспомогательные определители.
Главный определитель системы определяется:
Решение систем линейных уравнений с тремя неизвестными по методу Крамера.
Пусть дана система линейных уравнений с тремя неизвестными:
Теорема 2. Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет решение, притом единственное. Решение системы определяется формулами:
где x1, x2, x3 - корни системы уравнений,
- главный определитель системы,
x1, x2, x3 - вспомогательные определители.
Главный определитель системы определяется:
1. Составить табличку (матрицу) коэффициентов при неизвестных и вычислить основной определитель .
2. Найти - дополнительный определитель x, получаемый из заменой первого столбца на столбец свободных членов.
3. Найти - дополнительный определитель y, получаемый из заменой второго столбца на столбец свободных членов.
4. Найти - дополнительный определитель z, получаемый из заменой третьего столбца на столбец свободных членов. Если основной определитель системы не равен нулю, то выполняют пункт 5.
5. Найти значение переменной x по формуле x / .
6. Найти значение переменной у по формуле y / .
7. Найти значение переменной z по формуле z / .
8. Записать ответ: х=…; у=…, z=… .
Решить систему уравнений по формулам Крамера:
Пример 2. Решить систему уравнений по формулам Крамера.
1.4 Решение систем уравнений методом Гаусса
Наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных.
Метод последовательного исключения неизвестных Гаусса является одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения линейных систем. (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) - немецкий математик и физик, работы которого оказали большое влияние на дальнейшее развитие высшей алгебры, геометрии, теории чисел, теории электричества и магнетизма.) Этот метод известен в различных вариантах уже более 2000 лет. Он относится к числу прямых методов.
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов, называемых прямым и обратным ходом. На первом этапе система (3) приводится к треугольному виду; на втором (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из указанной треугольной системы.
Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую систему, равносильную данной.
При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности
Пример 3. Решить систему уравнений по методу Гаусса.
1. Уравнение (1) разделим на a11, т.е. на 2, получим уравнение
Умножим полученное уравнение (4) на a21, т.е. на 1, получим уравнение (5).
2. Вычтем из уравнений (2) и (3) уравнение (5), получим уравнения (6) и (7).
3. Уравнение (6) разделим на a22 , т.е. на 3/2, получим уравнение (8).
4. Умножим уравнение (8) на a32 , т.е. на 1/2, получим уравнение (9).
5. Вычтем из уравнения (7) уравнение (9) получим уравнение (10).
6. Итак, прямой ход закончен, начинаем обратный ход. Подставим (10) в уравнение (8), получим x2=2 (11)
7. Подставим (11) и (10) в уравнение (5), получим: x1=1 (12)
Ответ: x1=1; x2=2; x3=3
В школьной практике, как правило, встречаются системы с двумя и тремя неизвестными, хотя, разумеется, бывают и исключения.
2. Построение компьютерной модели «Решение системы линейных уравнений» посредством приложения Microsoft Excel
2.1 Среда разработки модели Microsoft Excel
линейный уравнение microsoft
Если же говорить о программе Excel, которая является одной из более узнаваемых в обработке электронных таблиц, то без преувеличения можно утверждать, что её способности фактически неистощимы.
Обработка текста, управление базами данных - программа так массивна, что во многих вариантах превосходит специализированные программы - редакторы либо программы баз данных. Такое обилие функций может сначала запутать, нежели вынудить использовать их на практике. Но по мере приобретения опыта начинаешь по достоинству ценить то, что границ возможностей Excel тяжело достичь.
Программа Microsoft Excel входит в офисный пакет Microsoft Office и предназначена для подготовки и обработки электронных таблиц под управлением операционной системой Windows. Microsoft Excel - это многофункциональный, мощный редактор электронных таблиц. Он представляет возможность производить различные расчеты, составлять списки, сметы и что немаловажно, строить наглядные графики и диаграммы.
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей
Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения
Столичный центр образовательных технологий г. Москва
Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца
от 3 170 руб. 1900 руб.
Количество часов 300 ч. / 600 ч.
Успеть записаться со скидкой
Форма обучения дистанционная
- Онлайн
формат - Диплом
гособразца - Помощь в трудоустройстве
311 лекций для учителей,
воспитателей и психологов
Получите свидетельство
о просмотре прямо сейчас!
Выберите документ из архива для просмотра:
Выбранный для просмотра документ metod.doc
Компьютерный практикум
«Создание программы, реализующей методы решения систем линейных уравнений
в Microsoft Office Excel »
Матрица размерами m × n – это совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, например,
А= 3 10 7 - матрица.
Общий вид матрицы:
Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. Они обозначаются буквами с двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, а второй – номер столбца, в которых содержится этот элемент.
Если m = n , то матрица называется квадратной, а число строк (или столбцов) – её порядком.
Матрица, состоящая из одной строки (одного столбца), называется матрицей-строкой (матрицей-столбцом), а матрица, у которой все элементы а ij = 0, – нулевой или нуль матрицей.
Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые значения индексов, составляют главную диагональ.
Квадратные матрицы, у которых все элементы вне главной диагонали равны нулю, называются диагональными (обозначается Е):
Е = 0 1 … 0
Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, называется треугольной:
Преобразование элементов квадратной матрицы, состоящее в замене строк соответствующими столбцами, называется транспонированием матрицы. Т . е ., если
a 1 n a 2 n … a nn
Определитель n -го порядка матрицы
Здесь суммирование распространяется на всевозможные перестановки индексов элементов а ij . Числа а ij называют элементами определителя.
Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной, а матрица с определителем, равным нулю – вырожденной.
Определитель обладает свойствами:
При транспонировании матрицы её определитель не изменяется.
Если все элементы некоторой строки определителя состоят из нулей, то определитель равен нулю.
От перестановки двух строк определитель меняет знак.
Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак определителя, или, если все элементы некоторой строки определителя умножить на одно и тоже число, то определитель умножается на это число.
Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
Определитель не изменяется, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число.
М и н о р ы.
Определители входящие в формулу, называются
минорами элементов .
Вообще минором какого-либо элемента называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент.
А л г е б р а и ч е с к и е д о п о л н е н и я.
В формуле элементы умножаются на +.
Эти выражения называются алгебраическими дополнениями элементов .
Вообще алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со
своим или противоположным знаком согласно следующему правилу:
Если сумма номеров столбца и строки, на пересечении которых стоит элемент, есть число четное, то минор берется со своим знаком, если нечетное, - то с противоположным знаком.
Определителем второго порядка называется выражение -.
Определителем третьего порядка
называется выражение =
Или в виде схемы:
Для запоминания формулы для вычисления определителя третьего порядка полезно правило Произведения элементов главной диагонали и элементов, образующих треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали, берутся со знаком
минус, а произведения элементов вспомогательной диагонали и элементов, лежащих в вершинах треугольников с основаниями, параллельными вспомогательной диагонали,
— со знаком плюс. В каждое из произведений со знаком плюс и со знаком минус входит только по одному элементу каждой строки и каждого столбца определителя.
Определителем четвертого порядка
называется выражение где
- алгебраические дополнения элементов т. е.
Примеры вычисления определителей:
Действия над матрицами.
Основные операции, которые производятся над матрицами, – сложение, вычитание, умножение, а также умножение матрицы на число.
Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров называется матрица того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Таким образом, если
а11 … а1 n b 11 … b 1 n
А = ………….. ; В = …………… , то
a m1 … а mn b m1 … b mn
a m1 + b m1 … a mn + b mn
Операция нахождения суммы матриц называется сложением матриц и распространяется на случай конечного числа матриц одинаковых размеров.
Так же, как и сумма, определяется разность двух матриц
am1 – bm1 … amn – bmn
Произведением матрицы А = [а ij ] на число λ называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением их на число λ.
Операция нахождения произведения матрицы на число называется умножением матрицы на число.
Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Пусть матрицы А и В такие, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:
В этом случае произведением матрицы А на матрицу В является матрица С, элемент которой с ij определяется по следующему правилу:
где i = 1,2, …, m ; j = 1, 2, …, k .
Для получения элемента с ij матрицы произведения С = АВ нужно элементы i -й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В и полученные произведения сложить. Например, если:
А = В = 9 10 , то
2*0 + 3*3 + 5*1 2*2 +3*4 + 5*2 14 26
1*0 + 0*3 + 4*1 1*2 +0*4 + 4*2 4 10
Число строк матрицы С = АВ равно числу строк матрицы А , а число столбцов – числу столбцов матрицы В .
Обратная матрица.
Пусть дана квадратная матрица а11 … а1 n
Если существует матрица Х такая, что АХ = ХА = Е, где Е – единичная матрица, то
матрица Х называется обратной по отношению к матрице А, а сама матрица А – обратимой. Обратная матрица для А обозначается А -1 .
Пример 1. Найти матрицу, обратную матрице А,
Р е ш е н и е. Проверим, обратима матрица А или нет, т.е. является ли она невырожденной:
Следовательно, существует обратная матрица.
Найдем алгебраические дополнения определителя:
В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:
a m 1 x 1+ a m 2 x 2 + …+ a mn x n = b m ;
где х1, х2, …, х n - неизвестные. Числа а11, а12, … , а mn называются коэффициентами системы, а b 1, b 2, … , b m - её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы а ij
( i = 1, 2, . . ., m ; j = 1, 2, . . ., n ) и свободные члены b i ( i =1, 2, . . ., m ) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов а ij соответствует номеру уравнения, а второй индекс – номеру неизвестной х i , при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена b i соответствует номеру уравнения, в которое входит b i .
Решением системы уравнений называется всякая совокупность чисел α 1, α 2, α n , которая будучи поставлена в систему на место неизвестных х1, х2, …, х n , обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет, по крайней мере, два различных решения.
Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.
Правило Крамера.
Пусть дана система 3 линейных уравнений с 3неизвестными:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 ;
a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 .
Читайте также: