Метод множителей лагранжа в excel
Пример. Построить многочлен Лагранжа 3-й степени, если заданы значения в 4-х узлах интерполяции:
xi | -1 |
yi | -1 |
Решение: Многочлен Лагранжа для четырех узлов интерполяции запишется так –
Для вычисления значения многочлена в точке х можно воспользоваться электронными таблицами Exel (рис. 18). В ячейки А3:А6 и В3:В6 записываются соответствующие значения yi и xi. В ячейки С3:С6 – формулы для вычисления pi(x). В столбце D3:D7 вычисляется значение
A | B | C | D |
Вычисление многочлена Лагранжа | |||
yi | xi | X | |
-1 | -1 | =$D$2-B3 | =A3*(C5*C4*C6)/((B3-B4)*(B3-B5)*(B3-B6) |
Копировать С3 в С6 | =A4*(C3*C5*C6)/((B4-B3)*(B4-B5)*(B4-B6) | ||
=A5*(C3*C4*C6)/((B5-B3)*(B5-B4)*(B5-B6) | |||
=A6*(C3*C4*C5)/((B6-B3)*(B6-B4)*(B6-B5) | |||
Значение L3(x) | =СУММ(D3:D6) |
4 .Варианты лабораторных работ для решения алгебраических и трансцендентных уравнений .
Задания: На отрезке [-10, 10] определить корни следующих уравнений:
8. x^3 – 0,1x^2+0,4x-1,5=0
5. Варианты лабораторных работ для решения систем линейных алгебраических уравнений .
Найти решение системы линейных уравнений методом итераций с точностью е=10-3:
Варианты лабораторных работ для решения систем линейных алгебраических уравнений .
Найти решение системы линейных уравнений методом итераций с точностью е=10-3:
Варианты лабораторных работ для решения систем линейных алгебраических уравнений .
Найти решение системы линейных уравнений методом итераций с точностью е=10-3:
Варианты лабораторных работ для решения систем линейных алгебраических уравнений .
Найти решение системы линейных уравнений методом итераций с точностью е=10-3:
6. Варианты лабораторных работ для решения задач интерполирования .
Задания. Построить интерполяционный полином Лагранжа L(x). Вычислить приближенное значение F(x) с помощью L(x) в точке х= , выполнить вычисления с помощью Exel.
xk | 0.1 | 0.3 | 0.4 | 0.6 |
yk | -0.1 | 0.5 | 0.8 | 1.7 |
xk | -1 | -0.5 | 0.1 | 0.4 |
yk | 1.0 | 2.2 | 1.7 | 0.8 |
xk | 1.1 | 1.2 | 1.4 | 1.7 |
yk | -2.0 | -1.8 | -1.3 | -1.0 |
xk | -1.0 | -0.5 | 0.3 | |
yk | 0.9 | 0.7 | 0.4 | 0.8 |
xk | 3.2 | 3.4 | 3.7 | |
yk | -14 | -10 | -8 | -12 |
xk | 1.0 | 3.0 | 7.0 | 10.0 |
yk | 0.3 | 0.7 | 0.9 | 1.0 |
xk | -10.0 | -8.0 | -5.0 | -2.0 |
yk | 6.0 | 3.0 | 0.0 | -4.0 |
xk | 2.0 | 3.0 | 5.0 | 6.0 |
yk | 0.7 | 1.2 | 2.2 | 3.0 |
xk | 0.7 | 1.2 | 2.2 | 3.0 |
yk | 0.8 | 1.0 | 1.3 | 1.2 |
xk | ||||
yk | 0.01 | 0.03 | 0.08 | 0.12 |
xk | -10 | -8 | -5 | -2 |
yk | -2 | |||
xk | ||||
yk | 0.1 | -0.2 | -0.3 | |
xk | 2.0 | 3.2 | 4.2 | 5.6 |
yk | -15 | -10 | -8 | -6 |
xk | -4 | -3 | -2 | |
yk | ||||
xk | 10.5 | 11.5 | 12.5 | 13.0 |
yk | -6 | -7 | -5 |
6. Варианты лабораторных работ для решения задач интерполирования .
Задания. Построить интерполяционный полином Лагранжа L(x). Вычислить приближенное значение F(x) с помощью L(x) в точке х= , выполнить вычисления с помощью Exel.
Рис.э.3. Фрагмент электронных таблиц Excel в режиме отображения данных.
Рис.э.4. Диалоговое окно надстройки «Поиск решения» при поиске оптимального решения.
Рис.э.4. Диалоговое окно надстройки «Поиск решения» при поиске оптимального решения.
Рис э.5. Фрагмент электронных таблиц Excel с отчетом по устойчивости
Экономическая интерпретация множителей Лагранжа
Множитель Лагранжа – это двойственная переменная. Как и в линейном программировании, она показывает, на сколько изменится ЦФ при изменении правой части ограничений на единицу.
В рассмотренном примере . Следует ожидать, что при увеличении суммарного объема производимой продукции с 150 до 151 доход уменьшится на 20.
Проверим этот вывод. Пусть в нашей задаче критерий остался прежним, поменялась правая часть ограничения
Решим эту задачу в MS Excel (надстройка «Поиск решения»).
Рис.э.6. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения данных.
Приращение функции -20,67 оказалось больше по модулю, чем ожидаемое приращение -20. Это объясняется нелинейностью целевой функции и тем, что множитель Лагранжа отражает приращение функции только при бесконечно малом приращении аргумента.
Иллюстрация полученного решения в MS Excel.
Чтобы проиллюстрировать полученное решение диаграммами с помощью линий уровня, затабулируем соответствующие функции (рис.э.7). Основную идея -описать решение кв.ур-я. Соответствующая диаграмма приведена на рис.*.10. Эта диаграмма является упрощенным вариантом рис.э.2. Точка соответствующая оптимальным значениям выделена. В ней линия уровня, соответствующая уровню =14 700 и линия равных объемов С=150 касаются и следовательно градиенты коллинеарны. Стрелки градиентов при самостоятельном решении можно нанести любым способом, в т.ч. вручную. На эту диаграмму нанести значения приближений к решению, полученные мтодом приведенного градиента.
Рис.э.7. Фрагмент электронных таблиц Excel в режиме отображения данных. Табулирование целевой функций для построения линий уровня.
Рис.э.8. Фрагмент электронных таблиц Excel в режиме отображения формул. Табулирование целевой функций для построения линий уровня.
Чтобы построить семейство линий уровня или , при разных С заметим, что линии уровня - вложенные (концентрические) эллипсы.
Рассмотрим процесс построения линии при С =1000. Необходимо построить таблицу значений - .Для этого явно выразим через , используя соотношение или
Последнее соотношение следует рассматривать как квадратное уравнение относительно : , где . Значения с находится в интервале B15:B58. Значения дискриминанта находится в интервале C15:C58. Квадратное уравнение (при положительном дискриминанте) имеет два корня, это обеспечивает задание верхней и нижней ветвей эллипса. Первый корень находится в интервале D15:D58. Второй корень находится в интервале E15:E58. Построение диаграммы, у которой значения абсциссы лежит в интервале А15:А58, а ординаты в интервале D15:D58, обеспечивает вывод верхней дуги эллипса. Построение диаграммы, у которой значения абсциссы лежит в интервале А15:А58 , а ординаты в интервале E15:E58, обеспечивает вывод нижней дуги эллипса, Другие лини уровня строятся аналогично.
Рис.э.9. Линии уровня целевой функции и равного объема.
Рис.э.10. Линии уровня целевой функции и равного объема. Маркеры треугольники показывают значения приближений к решению, полученные методом приведенного градиента.
Метод множителей Лагранжа имеет очень интуитивное геометрическое значение.
Возьмите 2-мерный пример, чтобы проиллюстрировать:
Предполагая, что существуют независимые переменные x и y, учитывая условие ограничения g (x, y) = c, требуется экстремальное значение f (x, y) при ограничении g.
Мы можем нарисовать контурную карту f, как показано ниже. В это время, поскольку ограничение g = c имеет только одну степень свободы, оно также является кривой на рисунке (показано красным). Очевидно, что когда кривая ограничения g = c касается контура f = d1, функция f принимает экстремальное значение.
Тангенс двух кривых эквивалентен нормальному вектору двух кривых, имеющих коллинеарность в точке касания. Следовательно, функция f (x, y) пропорциональна градиенту g (x, y) в точке касания.
Таким образом, мы можем перечислить координаты (x, y) системы для решения касательной точки, а затем получить экстремальное значение функции f.
Идея заключается в следующем:
Необходимые условия, чтобы иметь возможность соответствовать максимальным и минимальным баллам:
Поле градиента перпендикулярно касательному пространству, то есть поле градиента не может иметь какого-либо компонента в касательном пространстве коллектора, в противном случае в направлении касательного пространства есть компонент, и значение компонента будет увеличиваться вдоль направления компонента на коллекторе и будет идти в противоположном направлении. Значение функции будет уменьшаться, и оно не может быть локальной минимальной или максимальной точкой.
Предположим, вы живете в трехмерном евклидовом пространстве, а координаты в направлении z представляют высоту над уровнем моря.
Если вы можете летать, то в любом случае, насколько высоко вы хотите летать и как высоко вы хотите летать, чтобы ваша высота могла быть такой же высокой или маленькой, как вам хотелось бы, максимума вообще не было.
Предположим, что вы обычный человек, вы на гореВверх, ваша цель - подняться на вершину горы, а это значит, что вы хотите, чтобы ваша высота была достаточно высокой:
Когда вы на самом деле достигаете горного склона, легко «находиться только на этой горе и не знать истинного лица этой горы». Как вы можете определить, действительно ли вы взбираетесь или спускаетесь?
В небольшой области, которую можно увидеть невооруженным глазом, вы можете судить по местной топографии вокруг нее, предполагая, что это примерно так:
Вы знаете, что вы должны идти высоко (вероятно, в направлении красной стрелки), а не в направлении зеленой стрелки.
Конечно, он не всегда может идти прямо вверх в этом направлении. Возможно, вам придется пойти куда-нибудь, снова провести некоторые местные проверки, отрегулировать направление и убедиться, что вы можете подняться высоко.
Однако что такое «высокая» сторона? Как возникла эта концепция?
Мы знаем эту высотуМы надеемся, что сможем найти самую высокую точку (вершину горы) на горе.
градиент
Очень естественный вывод о градиентах:
Вдоль направления градиента - направление самого быстрого роста f, а противоположное направление - направление самого быстрого спада.
Так что интуитивно двигайтесь в направлении острого угла с направлением градиента, тогда значение f должно возрасти.
На горе мы можем определить направление градиента по небу (Конечно, указывая на высокое небо)
Местность под острым углом к вертикальному направлению вверх является «высокой» стороной.
(Можно видеть, что красный угол - это острый угол, поэтому высота увеличивается в этом направлении, а зеленый угол - тупой угол, поэтому высота уменьшается в этом направлении)
Все направления, по которым мы можем двигаться, называются такВырезать пространство。
Итак, когда мы узнаем, что достигли вершины горы?
Точка P является вершиной горы, то в этой точке,Вырезать пространствоУгол между любым из вышеуказанных направлений и направлением градиента (красная стрелка) не может быть острым углом,
В противном случае, если мы поднимемся в этом направлении, мы поднимемся до более высокой точки.
такВырезать пространствоТолько в состоянии общаться сНаправление градиента вертикальное.
использованиеС информацией о самом многообразии, мы можем получить уравнение касательного пространства,Тем самым определяются все направления, перпендикулярные касательному пространству (это направление называется нормальным направлением).
использованиеИнформация о самой функции, мы можем получить направление градиентного поля
Направление градиентного поля иВырезать пространствовертикальныйИтак, поле градиентаМожно выразить какЛинейная комбинация некоторых специфических нормалей,
Коэффициент записывается как
ЭтоЭто идея метода множителя Лапласа
Дайте набор ограничений,
(Часто добавляют некоторые хорошие условия, такие какМатрица Якоби имеет полный ранг, эти условия должны сделать M действительно многообразием, см. Теорему о регулярных значениях)
Тогда многообразие (все точки при ограничениях)
р еслиЛокальный максимум или локальный минимум
тогда
Таким образом, нормальный вектор состоит изЧжан Чэн
Таким образом, существует множество коэффициентов
Сделать
Это уравнение множителя.
Когда непрерывная производная функция принимает экстремальное значение, частная производная каждой независимой переменной равна 0 (в противном случае точная настройка этой независимой переменной может получить большее значение), поэтому, когда функция Лагранжа принимает экстремальное значение, λ Частная производная также равна 0, а частная производная от λ оказывается введенным условным ограничением, и когда условное ограничение равно 0, значение функции Лагранжа также точно равно значению исходной функции, мы можем легко доказать, что исходная функция Взятие экстремального значения при условном ограничении эквивалентно взятию экстремального значения функции Лагранжа.
Так что по сути это было начало:
Необходимые условия, чтобы иметь возможность соответствовать максимальным и минимальным баллам:
Поле градиента перпендикулярно касательному пространству, то есть поле градиента не может иметь какого-либо компонента в касательном пространстве коллектора, в противном случае в направлении касательного пространства есть компонент, и значение компонента будет увеличиваться вдоль направления компонента на коллекторе и будет идти в противоположном направлении. Значение функции будет уменьшаться, и оно не может быть локальной минимальной или максимальной точкой.
использованиеС информацией о самом многообразии, мы можем получить уравнение касательного пространства,Тем самым определяя нормальное направление.
использованиеИнформация о самой функции, мы можем получить направление градиентного поля
Направление поля градиента перпендикулярно касательному пространству, поэтому поле градиента можно выразить в виде линейной комбинации некоторых конкретных нормальных направлений (например, набора базовых нормальных направлений)
Используйте эти две информации, чтобы написать вышеприведенное предложение в форме уравнений.
1. Этот метод множителя учитывает только первый вариант (градиент) .В самом деле, максимальные и минимальные значения также можно охарактеризовать с помощью матрицы Гессе во втором порядке
2. Этот метод поиска может найти только локальную крайнюю точку, если вы хотите найти седловую точку, это точка:
Этот метод совершенно неэффективен, но в целом мы заботимся только о максимальных и минимальных баллах.
Для поиска седловых точек у нас есть лемма Moutain Pass, или, в более общем смысле, мы можем использовать рассуждение принципа min-max, чтобы найти возможные седловые точки от крайней точки.
3.
Мы рассматриваем только те функции, которые предполагаются лучшими на многообразии М. Все перечисленные выше методы могут быть встроены в него.
Для общего о критической точке, т.е.Теория точек может дать информацию о топологии самого многообразия.
Например, знаменитая теорема Риба гласит:
Рассмотрим плотно безграничное гладкое многообразие M. Если на M существует гладкая функция, имеющая только две крайние точки максимума и минимума, и матрица Гессе обеих точек может быть инвертирована, то M будет гомеоморфно единичной сфере
(Дифференциальный гомеоморфизм не нужен, см. 7-мерный странный шар Минлора)
Гладкая функция f, где все критические точки не деградированы (т. Е. Матрица Гессе не вырождена), называется функцией Морса. Для функции Морса f
У нас есть
- , M - гладкое компактное бескрайнее многообразие, правая сторона - это эйлерова характеристика M, левая сторона проходит через все критические точки f, а ind представляет индекс критической точки.
- То есть индекс f является критической точкой i, по крайней мере,A,Является ли измерение когерентной группы де Рама i-го порядка М.
В качестве приложения вы можете получить
Любая функция Морса на торе имеет как минимум четыре критические точки.
Почему появился метод множителей Лагранжа?
- Проблема кратчайшего пути
- Получите вдохновение от геометрического значения:
- Черпайте вдохновение из математических формул
- Обобщить в многомерное пространство
Предположим, вы находитесь в точке M, вам нужно перейти к реке (кривая справа на рисунке выше), а затем вернуться к точке C. Как спланировать кратчайший маршрут?
Предположения:
Кривая реки удовлетворяет уравнению g (x, y) = 0 (например, если это круг: )
Пусть P обозначает любую точку P (x, y) на берегу реки,
Используйте d (M, P), чтобы выразить расстояние между M и P,
Тогда проблему можно описать так: , Ограниченный
Как решить проблему?
1. Получите вдохновение от геометрического значения:
Сначала f (P) является скаляром (только размер не имеет направления), затем в двумерном пространстве на рисунке выше должно быть скалярное поле f (P), то есть для каждой точки P соответствует f (P) Значение, представляющее сумму путей, проходящих через точку.
Если мы нарисуем его контур (линию поля), мы обнаружим, что он излучает наружу по эллипсу:
Очевидно, что пересечение P контура f (P) и кривой реки является точкой, которую мы хотим.
Таким образом, вопрос заключается в следующем: каким свойствам удовлетворяет такая точка? (Если свойство отсутствует, отношение не может быть указано для решения, но такой особый момент, вероятно, будет иметь хорошую характеристику)
Наиболее интуитивное свойство: нормальный вектор изолинии (эллипса) в точке РnНормальный вектор с береговой кривойmParallel:
В многомерном исчислении градиент функции h в определенной точке P является нормальным вектором изолинии (двумерной) или изоповерхности (трехмерной), где находится точка P, т.е.Таким образом, для функции f, g: (обратите внимание, что градиент является вектором, и я собираюсь развить концепцию градиента в другом вопросе)
То есть из природы точки пересечения мы получаем два выражения отношения (поскольку это двумерная плоскость, для трехмерного можно получить три выражения отношения и т. Д.),
Плюс наши ограничения:
Всего имеется 3 реляционных выражения: из знаний по линейной алгебре, 3 реляционных выражения и 3 неизвестных величины () Весьма вероятно, что существует уникальное решение, но, конечно, оно не исключает, что будет несколько решений или даже бесконечное число решений (например, когда река является прямой линией, а M и C находятся на реке). (Об этом пункте знаний будет рассказано позже в других ответах).
2. Получите вдохновение от математических формул
Тем не менее, люди являются проблемой:
Мы знаем, что в многомерном исчислении, если вы хотите найти экстремальное значение функции, общееКак поставить эту формулу и наши ограничения Унифицированные вместе?
Ответ: И определите новую функцию:,
Заказ: Это эквивалентно задаче оптимизации, которую мы должны решить:
Потому что: Эквивалентно ограничению, и в это время Функция ЛагранжаС нашей целевой функцией Принять то же значение. Функция Лагранжа используется для объединения целевой функции и ограничений.
Фактически этот метод полностью эквивалентен геометрическому методу, описанному выше:
3. Расширение до многомерного пространства
Мы обсуждали двумерную ситуацию выше. Давайте посмотрим на многомерную ситуацию этой проблемы: возьмем геометрический вид в качестве примера:
Предположим, что ограничение становится Где h - фиолетовый эллипсоид, а g - плоскость. Они пересекаются в черном кольце, и их соответствующие векторы направления на линии пересечения (черное кольцо) () Перпендикулярно линии пересечения.
Для нашей целевой функции , Красный эллипсоид на рисунке ниже является его изоповерхностью. Его пересечение с черным кольцомВектор здесь
[Машинное обучение 6] Python реализует метод множителя Лагранжа.
содержание
1. Метод множителя Лагранжа
Тема: Процесс решения метода множителей Лагранжа при ограничениях типа равенств.
2. python - метод множителя Лагранжа
Название такое, как указано выше:
Результаты приведены ниже:
3. пакет python sympy - метод множителя Лагранжа
Название такое, как указано выше:
Результаты приведены ниже:
Три метода, результаты одинаковы! !
Интеллектуальная рекомендация
Практика работы с регулярными выражениями
Переключатель Kotlin
В Котлине нет оператора коммутатора, и это DESI. Способ Джавы: Котлин написание: .
TIDB Двоичного Источник чтение Чтение статья (7) Drainer сервер Введение
Автор: Хуан Jiahao В предыдущей статье вводится насос сервер, давайте познакомимся реализация Drainer сервера, главная роль Drainer сервера, чтобы получить Двоичный от каждого сервера насоса, и анализ.
Сеть Внимания пирамиды для сегментации сегментации
Сеть Внимания пирамиды для сегментации сегментации Эта статья предлагает сковороду, предлагая функцию модуля привлечения пирамиды (FPA) и Global Module Atterty Upsample (GAU), вводящий очаговый ключ д.
LeetCode 595. Big Countries
LeetCode 595. Big Countries тема There is a table World A country is big if it has an area of bigger than 3 million square km or a population of more than 25 million. Write a SQL solution to output bi.
Научиться решать задачи нелинейного программирования.
Рекомендации по решению:
1. При решении задач нелинейного программирования средствами Microsoft Excel используется надстройка Поиск решения, которая позволяет найти оптимальные решения.
2. При решении задач линейного программирования средствами MathCad с помощью встроенной функции Maximize (в случае поиска максимума функции) или Minimize (в случае поиска минимума функции).
Задание к лабораторной работе:
Составить математическую модель задачи. Для расчёта модели использовать метод множителей Лагранжа.
Мукомольный комбинат реализует муку двумя способами: в розницу через магазин и оптом через торговых агентов. При продаже х кг муки через магазин расходы на реализацию составляют ден. ед., а при продаже x2 кг муки посредством торговых агентов — ден. ед. Определить, сколько кг муки следует продавать каждым способом, чтобы затраты на реализацию были минимальными, если в сутки для продажи выделяется 5000 кг муки.
Решение. Составим математическую модель задачи. Найдем минимум суммарных расходов
Для расчета модели используем метод множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа.
Найдем частные производные функции F по х1, х2 и λ, приравняем к нулю, получим систему уравнений:
Из первого и второго уравнений имеем x1 – x2 =0.
Решая это уравнение совместно с третьим, имеем λ = -5000, х1 = 2500, х2 = 2500, L=12 500 тыс. ден. ед. Давая х1 значения больше и меньше 2500 находим L и из определения экстремума функции получаем, что L при х1 = х2 = 2500 достигает минимума.
Ответ. Для получения минимальных расходов необходимо расходовать в сутки через магазин и торговых агентов по 2500 кг муки, при этом расходы на реализацию составят 12 500 тыс. ден. ед.
Читайте также: