Лабораторная работа определение момента инерции диска проверка теоремы штейнера
1 1 Лабораторная работа 5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Теоретическое введение Один из методов определения момента инерции тел основан на зависимости периода крутильных колебаний системы тел от величины момента инерции. Рис. 1. Для измерения величины момента инерции используется трифилярный подвес, устройство которого показано на рис. 1. Подвижная платформа П подвешена на трех симметрично расположенных нитях к малой платформе П1. Платформа П1 укреплена на кронштейне и снабжена рычагом, при помощи которого системе можно сообщить крутильные колебания небольшой амплитуды. Исследуемое тело помещается на платформе так, чтобы центр масс тела и платформы находились на одной вертикали. При крутильных колебаниях вокруг вертикальной оси общий центр масс системы С перемещается вдоль вертикальной оси OZ. Начало координатной системы О совмещено с центром масс системы тел, находящейся в положении равновесия (рис. 1). Если пренебречь трением, то на основании закона сохранения механической энергии системы тел можно написать следующее уравнение: 0,5J ( dα dt ) + Mgz = E = const, (1) где J момент инерции системы, состоящей из платформы и размещенного на ней исследуемого тела, dα угловая скорость системы, α угловая dt координата, описывающая крутильные угловые колебания платформы, М масса системы тел (платформа с телом), Е полная энергия системы тел в
2 произвольный момент времени, соответствующий некоторому угловому перемещению α (рис. 1). Первое слагаемое в (1) есть кинетическая энергия вращательного движения системы тел, второе слагаемое потенциальная энергия системы тел в однородном поле силы тяжести. Содержание работы Выражение (1) необходимо преобразовать для получения расчетной формулы, определяющей экспериментальное значение момента инерции системы тел. Координаты точки Аʹ малой платформы остаются постоянными и имеют следующие значения: х = 0, у = r, z = L. Координаты точки подвеса платформы А равны в положении равновесия х = 0, y = R, z = 0. При повороте системы на малый угол α координаты точки подвеса А становятся равными x = R sinα; y = R cosα; z. Расстояние между точками А и Аʹ равно неизменной длине нити l,определяемой выражением l = Х + У + Z. () С учетом вышеуказанных координат точек А и Аʹ и формулы () справедливо выражение: l = (R r) + L = R sin α + (Rcosα r) + (z L) (3) Из (3) следует, что z zl = Rr(1 cosα) = 4Rrsin ( α ). (4) После простых преобразований (4) находим z = 4Rrsin ( α ). (5) L z Учитывая, что угол поворота системы тел (угловое перемещение) мал и что z
3 3 Выражение (1) принимает вид 1 z = Rrα L, (MgRr L ) α. (6) J (dα dt ) + ( MgRr L ) α = E. (7) Дифференцируя выражение (7) по времени, получим J ( d α ) dα + MgrR α dα = dt dt L dt 0. Из последнего выражения следует после сокращения на dα dt : J ( d α MgrR dt) + α = 0 L или d α + MgrR α = dt 0. (8) J L Это дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Решение уравнения (8) представляет собой гармоническое колебательное движение α = α А sin(ωt + φ 0 ), где α А амплитуда углового гармонического колебания, φ 0 начальная фаза, ω циклическая частота, характеризуемая выражением ω = MgRr J L. Период угловых колебаний равен T = π ω = π J L MgRr. Решая последнее уравнение относительно J, получим расчетную формулу: J = MgRrT 4π L. (9) На основании (9) по известным параметрам установки, указанным в ее паспорте R, r, L, M и измеренному на опыте периоду колебаний, можно определить момент инерции системы.
4 4 Формула (9) применима для определения момента инерции системы тел при условии, если затухание колебаний этой системы, обусловленное силами трения, выражено слабо. Критерием применимости (9) является условие: τ >> Т, (10) где τ время релаксации системы, равное времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз (е,7183). Целью работы является определение момента инерции ненагруженной платформы и платформы с исследуемыми телами, что позволяет найти моменты инерции тел и проверить теорему Штейнера. Порядок выполнения работа Принадлежности: 1. Трифилярный подвес.. Секундамер. 3. Штангенциркуль или измерительная линейка. 4. Исследуемые тела. Задание 1. Измерение момента инерции ненагруженной платформы. 1. Измерить время t 0 определенного числа n колебаний платформы, свободной от исследуемых тел (ненагруженной), вычислить период колебаний платформы: T 0 = t 0 n. Указание. В этом и последующих заданиях для получения достаточной точности измерения Т необходимо измерить время не менее колебаний.. По формуле (9) с учетом паспортных данных установки найти величину момента инерции платформы J 0. Полученные значения занести в таблицу 1. Таблица 1 измерения 1.. t 0, с n T 0, с J 0, кг м < J 0 >, кг м 3. Измерение T 0 провести не менее двух раз. Найти среднее значение < J 0 >. 4. Оценить справедливость выражения (10). Для этого достаточно качественно определить уменьшение амплитуды за время 30 40
5 5 колебаний. Последнее можно сделать одновременно с определением периода колебаний. Задание. Измерение момента инерции цилиндра. Рис.. 1. Установить два одинаковых цилиндра в центре платформы так, чтобы их оси совпадали с вертикальной осью платформы (см. рис. ).. Измерить время t определенного числа n колебаний системы тел (платформа и два цилиндра), вычислить период колебаний нагруженной платформы: T = t n. 3. По формуле (9) определить момент инерции системы тел Jʹ. (11) определить собственный момент инерции цилиндра J c. Момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через его центр масс, называется собственным. Выражение (11) написано на основании свойства аддитивности момента инерции: момент инерции составного тела равен сумме моментов инерции составных частей. Все указанные моменты инерции взяты относительно одной и той же оси вращения. Систему, состоящую из платформы и цилиндров, можно рассматривать как составное тело. 5. Измеренные и вычисленные пп. 4 значения физических величин занести в таблицу. 4. По формуле J c = Jʹ J 0 измерения Таблица а, м t, с n T, с Jʹ, кг м J a, кг м 1. 0 J a = J c и т.д. Задание 3. Проверка теоремы Штейнера.
6 6 Согласно теореме Штейнера момент инерции тела J относительно заданной оси вращения равен моменту инерции этого тела J c относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела и параллельной заданной, сложенному с величиной ma, где a расстояние между параллельными осями, m масса тела. Рис. 3. J = J c + ma (1) 1. Для проверки соотношения (1) цилиндры располагают на расстоянии а от оси вращения (то есть оси платформы) строго симметрично по ее диаметру (см. рис. 3).. Линейкой или штангенциркулем измеряют расстояние между осями цилиндров, равное а. 3. Измерить время t определенного числа n колебаний системы тел (платформа и два цилиндра), вычислить период колебаний нагруженной платформы: T = t n. 4. По формуле (9) определить момент инерции системы тел J 1. (13) определить момент инерции цилиндра J a, центр масс которого смещен относительно оси платформы (то есть оси вращения) на расстояние а. 6. Измерение момента инерции цилиндра повторить при других значениях а. 7. Результаты, полученные в пп. 1 6, занести в таблицу. 8. На основании табличных данных строят график зависимости момента инерции цилиндра J a от а. Если теорема Штейнера справедлива, то в пределах точности измерений экспериментальные результаты должны в координатах графика J a = f(а ) подчиняться линейному закону, заданному формулой (1). Тангенс угла наклона линейной зависимости в координатах J a, а (см. рис. 4) должен Рис. 4. быть равен массе цилиндра. 5. По формуле J a = J 1 J 0 9. Из графика по тангенсу угла наклона полученной линейной зависимости определить массу цилиндра и сопоставить полученное значение массы цилиндра с указанным в паспорте установки.
7 7 Задание 4. Оценка погрешности измерения момента инерции системы тел. 1. На основании соотношения (9) составить формулу для относительной погрешности измерения момента инерции системы тел.. Получить формулу для относительной погрешности измерения периода колебаний, учитывая равенство: T = t n. 3. С помощью ранее полученных формул оценить максимальную абсолютную погрешность момента инерции ненагруженной платформы (см. задание 1). Абсолютные погрешности величин M, g, R, r, L указаны в паспорте установки. Контрольные вопросы 1. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения. Укажите физический смысл момента инерции твердого тела.. Дайте определение момента инерции относительно оси вращения. 3. Охарактеризуйте свойство аддитивности момента инерции твердого тела. 4. Докажите свойство аддитивности момента инерции твердого тела. 5. Дайте определение собственного момента инерции твердого тела. 6. Сформулируйте теорему Штейнера. 7. Что называется моментом силы относительно оси вращения? 8. Дайте сравнительную характеристику вращательному и колебательному движениям. 9. Опишите характер крутильных колебаний платформы. 10. Почему формула (9) справедлива только при слабом затухании крутильных колебаний? 11. Сопоставьте экспериментальное значение собственного момента инерции цилиндра с значением, равным 1 mr, где R радиус цилиндра, m его масса.
Экспериментальное определение моментов инерции различных твердых тел с помощью измерения периода крутильных колебаний, и проверка теоремы Штейнера.
Оборудование:
Штатив со спиральной пружиной и приспособлением для крепления исследуемых тел, регистратор движения, электронный блок управления Cobra3, набор тел различной формы, компьютер.
Продолжительность работы– 4 часа.
ЗАДАНИЕ 1. Определение момента инерции J 0 ненагруженного диска
С помощью рукоятки2 (рис. 6а) возбудить малые крутильные колебания
ненагруженного диска 5 (амплитуда колебаний j 0
не должна превышать5-6°).
Измерить время t
тридцати полных колебаний и определить период колебаний.
Повторить опыт 10 раз.
Вычислить среднее значение периода колебаний
величину случайной погрешности периода колебаний
при заданной доверительной вероятности a = 0,7.
Значение коэффициента Стьюдента t a , n
для данного числа опытов n (см. в
таблице 3 приложения).
и вычислить абсолютную погрешность D T :
Подставив в формулу (16.2) среднее значение периода колебаний T
числить среднее значение
момента инерции ненагруженного диска. По фор-
рассчитать относительную погрешность результата e , а затем абсолютную погрешность результата
D J 0 = e J 0 .
Окончательный результат представить в виде
J 0 = J 0 ± D J 0 .
ЗАДАНИЕ 3. Проверка теоремы Штейнера
На прямой, проходящей через центр диска 5, на расстоянии d от центра, поместить два одинаковых, исследуемых тела массой m 1 каждое.
Так же, как это делалось в заданиях1 и 2, определить среднее значение пе-
ЗАДАНИЕ 2. Определение момента инерции твердого тела
В центре диска 5 положить исследуемое тело массой m i . Суммарный момент инерции диска и исследуемого тела относительно оси00' определяется формулой
J 1 = c ( m 0 + m 1 ) × T 1 2 .
Величину периода колебаний T 1 нагруженного диска, его абсолютную погрешность D T 1 определить так же, как в задании 1. Подставив в формулу (16.3) , вычислить и определить его погрешность D J 1 .
Вычислить момент инерции исследуемого тела относительно оси00 по формуле
определить относительную погрешность результата e = D J = D J 1 + D J 0
J J 1 - J 0
и абсолютную погрешность D J = e × J .
Записать окончательный результат.
Измерить массу и размеры исследуемого тела. Пользуясь формулой, выражающей момент инерции тела через массу и размеры, вычислить теоретическое значение момента инерции J (табл. 1). Сравнить теоретическое и экспериментальное значения J . Сделать выводы.
Теоретическая часть
Момент инерции - это величина, зависящая от распределения масс в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении. Момент инерции тела относительно оси вращения определяется выражением
(1)
где- элементарные («точечные») массы, на которые мысленно разбивается тело,- расстояния от этих масс до оси вращения (рис.1)
Рис.1. К определению момента инерции (ось перпендикулярна плоскости чертежа)
Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла
, (2)
где и- масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянииот интересующей нас оси;- плотность тела. Интегрирование должно производиться по всему объему тела.
Аналитическое вычисление таких интегралов возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы. Если твердое тело представляет собой тонкое кольцо радиуса Rи массыm, то момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр равен (рис. 2).
. (3)
При вычислении момента инерции однородного цилиндра (или диска) относительно оси, совпадающей с его осью симметрии (рис.3), следует учесть, что величины в выражениине равны радиусу дискаR, а изменяются для разных элементарных массот 0 доR. После вычисления этой суммы (интегрирования) получим для момента инерции цилиндра
(4)
где - масса цилиндра.
Рис. 2. Момент инерции кольца
Рис. 3. Момент инерции цилиндра
Рис.4 Момент инерции шара
Вычисление по формуле (2) момента инерции шара массы m и радиусаRотносительно оси, проходящей через центр шара (рис.4), дает результат:
. (5)
Другим типовым элементом конструкции твердых тел является стержень. Стержень массы m , имеющий длинуL , изображен на рис.5.
Рис.5 Схематическое изображение стержня
Момент инерции стержня, вычисленный относительно оси Z, проходящей через его центр масс, равен:
(6)
Если определен момент инерции относительно некоторой оси Z, проходящей через центр масс тела, то, оказывается, можно легко вычислить момент инерции относительно любой другой оси, параллельной оси Z. Правила этого расчета сформулированы в теореме Штейнера.
Согласно этой теоремы,момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс телаи параллельной данной оси, и произведения массы тела т на квадрат расстояния между осями:
(7)
С помощью формул (3) – (6) можно рассчитать именно величины Iс предметов различной формы. Если интересует, например, момент инерции стержня относительно осиZ1, проходящей через один из его торцов ( рис.5 ), то, в соответствии с (7):
(8) Для тел неправильной формы интегралы (2) могут быть найдены численными методами.
Экспериментально определить момент инерции можно, например, с использованием механического устройства, создающего крутильные колебания исследуемого тела. В данной работе крутильные колебания создаются с помощью спиральной пружины. Один конец этой пружины жестко связан с основанием штатива, другой прикреплен к вертикальному валу, ось которого совпадает с осью вращения тела. Вал может вращаться относительно основания без трения. В верхнем торце вала имеется приспособление для крепления исследуемого тела.
При повороте тела на угол φ пружина закручивается, и возникает момент силM, который в широких пределах пропорционален углу закручивания:
(9)
где f– постоянная для данной пружины величина, называемая ее модулем кручения.
Если исследуемое тело повернуть на некоторый угол, а затем отпустить, в системе возникнут крутильные колебания, которые можно описать с помощью основного уравнения динамики вращательного движения:
или (10)
Уравнение (10) тождественно дифференциальному уравнению второго порядка вида:
(11)
Если (12)
Известно, что решением уравнения (11) является функция:
(13)
где - амплитуда, а- начальная фаза колебаний.
Последнее утверждение легко проверить, подставив функцию (13) в уравнение (11).
Таким образом, чтобы экспериментально определить момент инерции тела I , нужно измерить период колебанийи знать модуль крученияf.Как следует из (12):
(14)
Цель работы : экспериментальное определение моментов инерции тел; проверка теоремы Штейнера.
Правила техники безопасности
1. Тела различной формы (цилиндры, шары) массой 1-3 кг необходимо хранить в коробках с учетом их фиксации.
2. На каждом исследуемом теле должен быть фиксатор(штифт), исключающий перемещение тела по платформе.
3. Платформа в виде диска должна быть хорошо закреплена в точках подвеса и иметь отверстия под фиксаторы.
4. Для исключения обрыва нитей в местах подвеса не следует облокачиваться на платформу.
Схема установки представлена на рис. 6. Она представляет собой два горизонтально расположенных диска 3 и 5, связанных между собой тремя симметрично расположенными нитями 4 (трифилярный подвес).
8
относительно неподвижного основания 8 производится с помощью шкалы7 и указателя 6. При повороте диска 5 относительно оси вращения ОО ` на угол j (см. рис. 6б) он поднимается относительно положения равновесия на высоту h . При этом кинетическая энергия вращательного движения диска будет переходить в его потенциальную энергию. Пренебрегая силами сопротивления, можно записать
где т и J – масса и момент инерции диска 5; w max – значение угловой скорости диска в момент прохождения положения равновесия ( j = 0 ).
Колебания диска считаем гармоническими, т.е. угол поворота диска j подчиняется синусоидальному закону
j = j 0 sin( 2 p t ),
где j 0 – амплитуда колебания, Т - период колебания, t - время.
Угловая скорость w в любой момент времени определяется соотноше-
откуда для t = 0 (что соответствует j = 0 ) находим
Подставляя значение w max в формулу (16.1), находим
Для повышения точности определения величины J высоту подъема h дис-
ка целесообразно выражать через амплитуду колебаний j 0
и геометрические па-
раметры подвеса. Из рассмотрения рис. 6 б можно найти, что
где R - радиус диска 5; r - радиус диска 3.
Окончательная расчетная формула для J принимает вид
где c - постоянная для данной установки величина c = Rrg . 4 p 2 L
Таким образом, определение момента инерции при заданных параметрах установки сводится к измерению периода крутильных колебаний Т .
Теоретическая часть
Момент инерции - это величина, зависящая от распределения масс в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении. Момент инерции тела относительно оси вращения определяется выражением
(1)
где- элементарные («точечные») массы, на которые мысленно разбивается тело,- расстояния от этих масс до оси вращения (рис.1)
Рис.1. К определению момента инерции (ось перпендикулярна плоскости чертежа)
Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла
, (2)
где и- масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянииот интересующей нас оси;- плотность тела. Интегрирование должно производиться по всему объему тела.
Аналитическое вычисление таких интегралов возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы. Если твердое тело представляет собой тонкое кольцо радиуса Rи массыm, то момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр равен (рис. 2).
. (3)
При вычислении момента инерции однородного цилиндра (или диска) относительно оси, совпадающей с его осью симметрии (рис.3), следует учесть, что величины в выражениине равны радиусу дискаR, а изменяются для разных элементарных массот 0 доR. После вычисления этой суммы (интегрирования) получим для момента инерции цилиндра
(4)
где - масса цилиндра.
Рис. 2. Момент инерции кольца
Рис. 3. Момент инерции цилиндра
Рис.4 Момент инерции шара
Вычисление по формуле (2) момента инерции шара массы m и радиусаRотносительно оси, проходящей через центр шара (рис.4), дает результат:
. (5)
Другим типовым элементом конструкции твердых тел является стержень. Стержень массы m , имеющий длинуL , изображен на рис.5.
Рис.5 Схематическое изображение стержня
Момент инерции стержня, вычисленный относительно оси Z, проходящей через его центр масс, равен:
(6)
Если определен момент инерции относительно некоторой оси Z, проходящей через центр масс тела, то, оказывается, можно легко вычислить момент инерции относительно любой другой оси, параллельной оси Z. Правила этого расчета сформулированы в теореме Штейнера.
Согласно этой теоремы,момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс телаи параллельной данной оси, и произведения массы тела т на квадрат расстояния между осями:
(7)
С помощью формул (3) – (6) можно рассчитать именно величины Iс предметов различной формы. Если интересует, например, момент инерции стержня относительно осиZ1, проходящей через один из его торцов ( рис.5 ), то, в соответствии с (7):
(8) Для тел неправильной формы интегралы (2) могут быть найдены численными методами.
Экспериментально определить момент инерции можно, например, с использованием механического устройства, создающего крутильные колебания исследуемого тела. В данной работе крутильные колебания создаются с помощью спиральной пружины. Один конец этой пружины жестко связан с основанием штатива, другой прикреплен к вертикальному валу, ось которого совпадает с осью вращения тела. Вал может вращаться относительно основания без трения. В верхнем торце вала имеется приспособление для крепления исследуемого тела.
При повороте тела на угол φ пружина закручивается, и возникает момент силM, который в широких пределах пропорционален углу закручивания:
(9)
где f– постоянная для данной пружины величина, называемая ее модулем кручения.
Если исследуемое тело повернуть на некоторый угол, а затем отпустить, в системе возникнут крутильные колебания, которые можно описать с помощью основного уравнения динамики вращательного движения:
или (10)
Уравнение (10) тождественно дифференциальному уравнению второго порядка вида:
(11)
Если (12)
Известно, что решением уравнения (11) является функция:
(13)
где - амплитуда, а- начальная фаза колебаний.
Последнее утверждение легко проверить, подставив функцию (13) в уравнение (11).
Таким образом, чтобы экспериментально определить момент инерции тела I , нужно измерить период колебанийи знать модуль крученияf.Как следует из (12):
(14)
1 1 Лабораторная работа 5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Теоретическое введение Один из методов определения момента инерции тел основан на зависимости периода крутильных колебаний системы тел от величины момента инерции. Рис. 1. Для измерения величины момента инерции используется трифилярный подвес, устройство которого показано на рис. 1. Подвижная платформа П подвешена на трех симметрично расположенных нитях к малой платформе П1. Платформа П1 укреплена на кронштейне и снабжена рычагом, при помощи которого системе можно сообщить крутильные колебания небольшой амплитуды. Исследуемое тело помещается на платформе так, чтобы центр масс тела и платформы находились на одной вертикали. При крутильных колебаниях вокруг вертикальной оси общий центр масс системы С перемещается вдоль вертикальной оси OZ. Начало координатной системы О совмещено с центром масс системы тел, находящейся в положении равновесия (рис. 1). Если пренебречь трением, то на основании закона сохранения механической энергии системы тел можно написать следующее уравнение: 0,5J ( dα dt ) + Mgz = E = const, (1) где J момент инерции системы, состоящей из платформы и размещенного на ней исследуемого тела, dα угловая скорость системы, α угловая dt координата, описывающая крутильные угловые колебания платформы, М масса системы тел (платформа с телом), Е полная энергия системы тел в
2 произвольный момент времени, соответствующий некоторому угловому перемещению α (рис. 1). Первое слагаемое в (1) есть кинетическая энергия вращательного движения системы тел, второе слагаемое потенциальная энергия системы тел в однородном поле силы тяжести. Содержание работы Выражение (1) необходимо преобразовать для получения расчетной формулы, определяющей экспериментальное значение момента инерции системы тел. Координаты точки Аʹ малой платформы остаются постоянными и имеют следующие значения: х = 0, у = r, z = L. Координаты точки подвеса платформы А равны в положении равновесия х = 0, y = R, z = 0. При повороте системы на малый угол α координаты точки подвеса А становятся равными x = R sinα; y = R cosα; z. Расстояние между точками А и Аʹ равно неизменной длине нити l,определяемой выражением l = Х + У + Z. () С учетом вышеуказанных координат точек А и Аʹ и формулы () справедливо выражение: l = (R r) + L = R sin α + (Rcosα r) + (z L) (3) Из (3) следует, что z zl = Rr(1 cosα) = 4Rrsin ( α ). (4) После простых преобразований (4) находим z = 4Rrsin ( α ). (5) L z Учитывая, что угол поворота системы тел (угловое перемещение) мал и что z
3 3 Выражение (1) принимает вид 1 z = Rrα L, (MgRr L ) α. (6) J (dα dt ) + ( MgRr L ) α = E. (7) Дифференцируя выражение (7) по времени, получим J ( d α ) dα + MgrR α dα = dt dt L dt 0. Из последнего выражения следует после сокращения на dα dt : J ( d α MgrR dt) + α = 0 L или d α + MgrR α = dt 0. (8) J L Это дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Решение уравнения (8) представляет собой гармоническое колебательное движение α = α А sin(ωt + φ 0 ), где α А амплитуда углового гармонического колебания, φ 0 начальная фаза, ω циклическая частота, характеризуемая выражением ω = MgRr J L. Период угловых колебаний равен T = π ω = π J L MgRr. Решая последнее уравнение относительно J, получим расчетную формулу: J = MgRrT 4π L. (9) На основании (9) по известным параметрам установки, указанным в ее паспорте R, r, L, M и измеренному на опыте периоду колебаний, можно определить момент инерции системы.
4 4 Формула (9) применима для определения момента инерции системы тел при условии, если затухание колебаний этой системы, обусловленное силами трения, выражено слабо. Критерием применимости (9) является условие: τ >> Т, (10) где τ время релаксации системы, равное времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз (е,7183). Целью работы является определение момента инерции ненагруженной платформы и платформы с исследуемыми телами, что позволяет найти моменты инерции тел и проверить теорему Штейнера. Порядок выполнения работа Принадлежности: 1. Трифилярный подвес.. Секундамер. 3. Штангенциркуль или измерительная линейка. 4. Исследуемые тела. Задание 1. Измерение момента инерции ненагруженной платформы. 1. Измерить время t 0 определенного числа n колебаний платформы, свободной от исследуемых тел (ненагруженной), вычислить период колебаний платформы: T 0 = t 0 n. Указание. В этом и последующих заданиях для получения достаточной точности измерения Т необходимо измерить время не менее колебаний.. По формуле (9) с учетом паспортных данных установки найти величину момента инерции платформы J 0. Полученные значения занести в таблицу 1. Таблица 1 измерения 1.. t 0, с n T 0, с J 0, кг м < J 0 >, кг м 3. Измерение T 0 провести не менее двух раз. Найти среднее значение < J 0 >. 4. Оценить справедливость выражения (10). Для этого достаточно качественно определить уменьшение амплитуды за время 30 40
5 5 колебаний. Последнее можно сделать одновременно с определением периода колебаний. Задание. Измерение момента инерции цилиндра. Рис.. 1. Установить два одинаковых цилиндра в центре платформы так, чтобы их оси совпадали с вертикальной осью платформы (см. рис. ).. Измерить время t определенного числа n колебаний системы тел (платформа и два цилиндра), вычислить период колебаний нагруженной платформы: T = t n. 3. По формуле (9) определить момент инерции системы тел Jʹ. (11) определить собственный момент инерции цилиндра J c. Момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через его центр масс, называется собственным. Выражение (11) написано на основании свойства аддитивности момента инерции: момент инерции составного тела равен сумме моментов инерции составных частей. Все указанные моменты инерции взяты относительно одной и той же оси вращения. Систему, состоящую из платформы и цилиндров, можно рассматривать как составное тело. 5. Измеренные и вычисленные пп. 4 значения физических величин занести в таблицу. 4. По формуле J c = Jʹ J 0 измерения Таблица а, м t, с n T, с Jʹ, кг м J a, кг м 1. 0 J a = J c и т.д. Задание 3. Проверка теоремы Штейнера.
6 6 Согласно теореме Штейнера момент инерции тела J относительно заданной оси вращения равен моменту инерции этого тела J c относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела и параллельной заданной, сложенному с величиной ma, где a расстояние между параллельными осями, m масса тела. Рис. 3. J = J c + ma (1) 1. Для проверки соотношения (1) цилиндры располагают на расстоянии а от оси вращения (то есть оси платформы) строго симметрично по ее диаметру (см. рис. 3).. Линейкой или штангенциркулем измеряют расстояние между осями цилиндров, равное а. 3. Измерить время t определенного числа n колебаний системы тел (платформа и два цилиндра), вычислить период колебаний нагруженной платформы: T = t n. 4. По формуле (9) определить момент инерции системы тел J 1. (13) определить момент инерции цилиндра J a, центр масс которого смещен относительно оси платформы (то есть оси вращения) на расстояние а. 6. Измерение момента инерции цилиндра повторить при других значениях а. 7. Результаты, полученные в пп. 1 6, занести в таблицу. 8. На основании табличных данных строят график зависимости момента инерции цилиндра J a от а. Если теорема Штейнера справедлива, то в пределах точности измерений экспериментальные результаты должны в координатах графика J a = f(а ) подчиняться линейному закону, заданному формулой (1). Тангенс угла наклона линейной зависимости в координатах J a, а (см. рис. 4) должен Рис. 4. быть равен массе цилиндра. 5. По формуле J a = J 1 J 0 9. Из графика по тангенсу угла наклона полученной линейной зависимости определить массу цилиндра и сопоставить полученное значение массы цилиндра с указанным в паспорте установки.
7 7 Задание 4. Оценка погрешности измерения момента инерции системы тел. 1. На основании соотношения (9) составить формулу для относительной погрешности измерения момента инерции системы тел.. Получить формулу для относительной погрешности измерения периода колебаний, учитывая равенство: T = t n. 3. С помощью ранее полученных формул оценить максимальную абсолютную погрешность момента инерции ненагруженной платформы (см. задание 1). Абсолютные погрешности величин M, g, R, r, L указаны в паспорте установки. Контрольные вопросы 1. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения. Укажите физический смысл момента инерции твердого тела.. Дайте определение момента инерции относительно оси вращения. 3. Охарактеризуйте свойство аддитивности момента инерции твердого тела. 4. Докажите свойство аддитивности момента инерции твердого тела. 5. Дайте определение собственного момента инерции твердого тела. 6. Сформулируйте теорему Штейнера. 7. Что называется моментом силы относительно оси вращения? 8. Дайте сравнительную характеристику вращательному и колебательному движениям. 9. Опишите характер крутильных колебаний платформы. 10. Почему формула (9) справедлива только при слабом затухании крутильных колебаний? 11. Сопоставьте экспериментальное значение собственного момента инерции цилиндра с значением, равным 1 mr, где R радиус цилиндра, m его масса.
Экспериментальное определение моментов инерции различных твердых тел с помощью измерения периода крутильных колебаний, и проверка теоремы Штейнера.
Оборудование:
Штатив со спиральной пружиной и приспособлением для крепления исследуемых тел, регистратор движения, электронный блок управления Cobra3, набор тел различной формы, компьютер.
Продолжительность работы– 4 часа.
Читайте также: