Что такое плавающая точка в процессоре
Плавающая запятая — форма представления дробных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную. Наиболее часто используемое представление утверждено в стандарте IEEE 754. Реализация математических операций с числами с плавающей запятой в вычислительных системах может быть как аппаратная, так и программная.
Флаги компилятора
Для поддержки плавающей точки необходимо передавать правильные флаги компилятору. Беглое гугление нас приводит к мысли, что особенно важны две опции: -mfloat-abi и -mfpu. Опция -mfloat-abi задает ABI для работы с плавающей точкой и может иметь одно из трех значений: ‘soft’, ‘softfp’ и ‘hard’. Вариант ‘soft’, как и следует из названия, говорит компилятору использовать встроенные вызовы функций, для программной работы с плавающей точкой (этот вариант и использовался раньше). Остальные два ‘softfp’ и ‘hard’ рассмотрим немного позже, после рассмотрения опции -mfpu.
Содержание
Скажи еще несколько слов
Еще несколько слов о числах с плавающей запятой:
В двоичном формате первая значащая цифра должна быть «1», поэтому эта «1» не сохраняется.
Числа с плавающей запятой не могут точно представить все числа в их диапазоне.
Числа, которые можно представить точно, распределены неравномерно: чем ближе к 0, тем плотнее.
Метод округления по умолчанию - округление до четного, также известное как округление до ближайшего значения.
Не соблюдайте общие арифметические атрибуты, такие как ассоциативные законы.
Связанные замечательные рекомендации
Следите за общедоступным аккаунтом [Programming Pearls], получайте больше оригинальных технических статей с первого раза
Все белое Введение Сверток Neural Network (CNN)
Как числа с плавающей запятой представлены в компьютерах
Содержание
Диапазон чисел, представимых в формате с плавающей запятой
Диапазон чисел, которые можно записать данным способом, зависит от количества бит, отведённых для представления мантиссы и показателя. На обычной 32-битной вычислительной машине, использующей двойную точность (64 бита), мантисса составляет 52 бита + 1 знаковый, показатель — 11 бит. Таким образом получаем диапазон точности примерно от 4,94 × 10 −324 до 1.79 × 10 308 (от 2 −52 × 2 −1022 до ~1 × 2 1024 ). Пара значений показателя зарезервирована для обеспечения возможности представления специальных чисел. К ним относятся значения бесконечность), получающихся в результате операций типа деления на ноль нуля, положительных и отрицательных чисел. Также сюда попадают денормализованные числа, у которых мантисса меньше единицы. В специализированных устройствах (например GPU) поддержка специальных чисел часто отсутствует. Существуют программные пакеты, в которых объём памяти выделенный под мантиссу и показатель задаётся программно, и ограничивается лишь объёмом доступной памяти ЭВМ.
Диапазон чисел с плавающей запятой и значащие цифры
Для чисел с плавающей запятой диапазон значений, которые могут быть представлены, и их эффективные цифры следующие.
Можно видеть, что целочисленный тип (например, int) с тем же числом битов намного меньше, чем диапазон числа с плавающей запятой (например, float), но следует отметить, что, хотя число с плавающей запятой может представлять большой диапазон, оно не может быть точно представлено в Все действительные числа в его диапазоне, то есть он может гарантировать только то, что значение значащей цифры является точным. Когда выраженное значение (десятичная часть) превышает значащую цифру, представленное число не может быть гарантированно точным, или даже Неправильно.
Итак, как получить числовой диапазон и значащие цифры чисел с плавающей запятой?
Расчет числового диапазона чисел с плавающей запятой
Используя предыдущий фундамент, мы можем вычислить числовой диапазон чисел с плавающей запятой. Взяв в качестве примера одинарную точность (число с плавающей запятой), мы знаем, что его диапазон экспоненты (т.е. E) составляет -126 ~ + 127, а диапазон M равен 1≤M Аналогичным образом мы можем получить минимальное значение одинарной точности:
Мы возьмем только одинарную точность в качестве примера. Тот же метод можно использовать для вычисления диапазона чисел с плавающей запятой с другой точностью, поэтому я не буду повторять их здесь.
Значимые биты чисел с плавающей запятой
Под эффективным битом также можно понимать точность, которую мы часто говорим. Точность чисел с плавающей запятой определяется количеством цифр в мантиссе.
Для одинарной точности (float) мантисса составляет 23 цифры, а 2 ^ 23 = 8388608, всего 7 цифр, что означает, что может быть не более 7 значащих цифр, но, по крайней мере, это может быть гарантировано 6 бит, поэтому эффективные биты составляют 6 ~ 7 бит. Конечно, мы можем лучше понять следующее. Приведенные ниже результаты вычислений сохраняют 10 знаков после запятой.
Наблюдая за результатами a и b, мы можем обнаружить, что другие числа от 0,0000001 до 0,0000002 не могут быть точно представлены числами с плавающей запятой одинарной точности, то есть только 7 цифрами после десятичной точки. Значение является точным. Точно так же, наблюдая за результатами b и c, другие числа от 0,0000002 до 0,0000004 не могут быть точно представлены числами с плавающей запятой одинарной точности. К сожалению, числа между ними могут даже только Точно до шестого места.
Это тоже естьЭффективные цифры чисел с плавающей запятой одинарной точности составляют от 6 до 7 цифр.Вывод. По аналогичному методу также можно получитьЭффективные цифры чисел с плавающей запятой двойной точности составляют 15 ~ 16 бит.Выводы здесь не повторяются.
Содержание
«Плавающая запятая» и «плавающая точка»
Так как в некоторых, преимущественно англоязычных и англофицированных, странах (см. подробный список Decimal separator (англ.) ) при записи чисел целая часть отделяется от дробной точкой, то в терминологии этих стран фигурирует название «плавающая точка» (floating point (англ.) ). Так как в России целая часть числа от дробной традиционно отделяется запятой, то для обозначения того же понятия используется термин «плавающая запятая».
Происхождение названия
Название «плавающая запятая» происходит от того, что запятая в позиционном представлении числа (десятичная запятая, или, для компьютеров, двоичная запятая — далее по тексту просто запятая) может быть помещена где угодно относительно цифр в строке. Это положение запятой указывается отдельно во внутреннем представлении. Таким образом, представление числа в форме с плавающей запятой может рассматриваться как компьютерная реализация экспоненциальной записи чисел.
Преимущество использования представления чисел в формате с плавающей запятой над представлением в формате с фиксированной запятой (и целыми числами) состоит в том, что можно использовать существенно больший диапазон значений при неизменной относительной точности. Например, в форме с фиксированной запятой число, занимающее 8 разрядов в целой части и 2 разряда после запятой, может быть представлено в виде 123456,78; 8765,43; 123,00 и так далее. В свою очередь, в формате с плавающей запятой (в тех же 8 разрядах) можно записать числа 1,2345678; 1234567,8; 0,000012345678; 12345678000000000 и так далее.
Скорость выполнения компьютером операций с числами, представленными в форме с плавающей запятой, измеряется в англ. FLOPS — число операций с плавающей запятой в секунду ),
Машинный эпсилон
В отличие от фиксированной запятой, сетка чисел, которые способна отобразить арифметика с плавающей запятой, неравномерна: она более густая для чисел малого порядка и более редкая — для больших чисел. Но относительная погрешность записи чисел одинакова и для малых чисел, и для больших. Поэтому можно ввести понятие машинного эпсилона.
Машинным эпсилоном называется наименьшее положительное число ε такое, что (знаком обозначено машинное сложение). Грубо говоря, числа a и b, соотносящиеся так, что , машина не различает.
Математический сопроцессор — сопроцессор для расширения командного множества центрального процессора и обеспечивающий его функциональностью модуля операций с плавающей запятой, для процессоров, не имеющих интегрированного модуля.
Модуль операций с плавающей запятой (или с плавающей точкой; англ. floating point unit (FPU) ) — часть процессора для выполнения широкого спектра математических операций над вещественными числами.
Простым «целочисленным» процессорам для работы с вещественными числами и математическими операциями требуются соответствующие процедуры поддержки и время для их выполнения. Модуль операций с плавающей запятой поддерживает работу с ними на уровне примитивов — загрузка, выгрузка вещественного числа (в/из специализированных регистров) или математическая операция над ними выполняется одной командой, за счет этого достигается значительное ускорение таких операций.
Ассемблер
Пришло время поговорить об ассемблере. Ведь мне нужно было сделать и поддержку рантайма, а, например, про переключение контекста компилятор, конечно, не знает.
Диапазон чисел, представимых в формате с плавающей запятой
Диапазон чисел, которые можно записать данным способом, зависит от количества бит, отведённых для представления мантиссы и показателя. На обычной 32-битной вычислительной машине, использующей двойную точность (64 бита), мантисса составляет 52 бита + 1 знаковый, показатель — 11 бит. Таким образом получаем диапазон точности примерно от 4,94 × 10 −324 до 1.79 × 10 308 (от 2 −52 × 2 −1022 до ~1 × 2 1024 ). Пара значений показателя зарезервирована для обеспечения возможности представления специальных чисел. К ним относятся значения бесконечность), получающихся в результате операций типа деления на ноль нуля, положительных и отрицательных чисел. Также сюда попадают денормализованные числа, у которых мантисса меньше единицы. В специализированных устройствах (например GPU) поддержка специальных чисел часто отсутствует. Существуют программные пакеты, в которых объём памяти выделенный под мантиссу и показатель задаётся программно, и ограничивается лишь объёмом доступной памяти ЭВМ.
Краткий обзор
Существует несколько способов того, как строки из цифр могут представлять числа:
- Наиболее распространённый путь представления значения числа из строки с цифрами — в виде целого числа — запятая (radix point) по-умолчанию находится в конце строки.
- В общем математическом представлении строка из цифр может быть сколь угодно длинной, а положение запятой обозначается путём явной записи символа запятой (или, на Западе, точки) в нужном месте.
- В системах с представлением чисел в формате с фиксированной запятой существует определённое условие относительно положения запятой. Например, в строке из 8 цифр условие может предписывать положение запятой в середине записи (между 4-й и 5-й цифрой). Таким образом, строка "00012345" обозначает число 1,2345 (нули слева всегда можно отбросить).
- В экспоненциальной записи используют стандартный (нормальный?) вид представления чисел. Число считается записанным в стандартном виде, если оно записано в виде aqn , где a такое, что , называется мантиссой, n — целое, называется показатель степени и q — целое, основание системы счисления (на письме это обычно 10). То есть в мантиссе запятая помещается сразу после первой значащей (не равной нулю) цифры, считая слева направо, а дальнейшая запись даёт информацию о действительном значении числа. Например, период обращения (на орбите) спутника планеты ЮпитераИо́, который равен 152853,5047 с, в стандартном виде можно записать как 1,528535047 × 10 5 . Побочным эффектом ограничения на значения мантиссы является то, что в такой записи невозможно изобразить число 0.
- Запись в форме с плавающей запятой похожа на запись чисел в стандартном виде, но мантисса и экспонента записываются раздельно. Мантисса записывается в формате с фиксированной запятой, подразумеваемой после первой цифры. Возвращаясь к примеру с Ио́, запись в форме с плавающей запятой будет 1528535047 с показателем 5. Это означает, что записанное число в 10 5 раз больше числа 1,528535047, то есть для получения подразумеваемого числа запятая сдвигается на 5 разрядов вправо. Однако, запись в форме с плавающей запятой используется в основном в электронном представлении чисел, при котором используется основание системы счисления 2, а не 10. Кроме того, в двоичной записи мантисса обычно денормализована, то есть запятая подразумевается до первой цифры, а не после, и целой части вообще не имеется ввиду - так появляется возможность и значение 0 сохранить естественным образом. Таким образом, десятичная 9 в двоичном представлении с плавающей запятой будет записана как мантисса +1001000. 0 и показатель +0. 0100. Отсюда, например, беды с двоичным представлением чисел типа одной десятой (0,1), для которой двоичное представление мантиссы оказывается периодической двоичной дробью - по аналогии с 1/3, которую нельзя конечным количеством цифр записать в десятичной системе счисления.
Запись числа в форме с плавающей запятой позволяет производить вычисления над широким диапазоном величин, сочетая фиксированное количество разрядов и точность. Например, в десятичной системе предоставления чисел с плавающей запятой (3 разряда) операцию умножения, которую мы бы записали как
0,12 × 0,12 = 0,0144
в нормальной форме представляется в виде
(1,20 × 10 −1 ) × (1,20 × 10 −1 ) = (1,44 × 10 −2 ).
В формате с фиксированной запятой мы бы получили вынужденное округление
0,120 × 0,120 = 0,014.
Мы потеряли крайний правый разряд числа, так как данный формат не позволяет запятой «плавать» по записи числа.
Использование в вычислительных машинах
В вычислительных машинах показатель степени принято отделять от мантиссы буквой "E" (exponent). Например, число 1,528535047 × 10 -25 в большинстве языков программирования высокого уровня записывается как 1.528535047E-25.
Устройство FPU
Модуль операций с плавающей запятой представляет собой стековый калькулятор, работающий по принципу обратной польской записи. Перед операцией аргументы помещаются в LIFO-стек, при выполнении операции необходимое количество аргументов снимается со стека. Результат операции помещается в стек, где может быть использован в дальнейших вычислениях или может быть снят со стека для записи в память. Также поддерживается и прямая адресация аргументов в стеке относительно вершины.
Внутри FPU числа хранятся в 80-битном формате с плавающей запятой, для записи же или чтения из памяти могут использоваться:
- один из трёх форматов с плавающей точкой (32, 64 и 80 бит),
- целочисленные форматы (16, 32 и 64 бита),
- 80-битный BCD-формат.
Поддерживаемые математические операции: арифметические операции, сравнение, деление по модулю, округление, смена знака, модуль, квадратный корень, синус, косинус, частичный тангенс, частичный арктангенс, загрузка константы (0, 1, число пи, log2(10), log2(e), lg(2), ln(2)) и некоторые другие специфические операции.
FPU умеет обрабатывать пограничные состояния с помощью специальных значений, представимых форматом с плавающей запятой:
- денормализованное число (число, близкое к переполнению; при дальнейшем возрастании модуля денормализованное число становится бесконечностью),
- бесконечность (положительная и отрицательная), возникает при делении на нуль ненулевого значения а также при переполнениях,
- англ. not-a-number (NaN) ). Нечисла могут определять такие случаи, как:
- неопределённость (IND), возникает при комплексном результате (например, при вычислении квадратного корня из отрицательного числа) и в некоторых других случаях,
- недействительное значение (qNaN, sNaN) - может использоваться компилятором (для предотвращения использования неинициализированных переменных) или отладчиком,
В зависимости от флагов FPU, специальные значения могут инициировать обработку исключения операционной системой.
Использование внутреннего соединения, левого соединения, правого соединения в оракуле
Левое-правое соединение фактически говорит, какая таблица является результатом нашего совместного запроса ~ 1. Взаимосвязь проста select A.*, B.* from A,B where A.id = B.id select A.*, B.* from.
Хранение чисел с плавающей запятой в памяти
Зная так много, давайте посмотрим, как десятичная дробь хранится в памяти. В качестве примера возьмем float f = 8.5f. Его двоичное представление , Видно, что фактическое значение показателя степени равно 3, тогда согласно E = exp-Bias мы можем знать exp = E + Bias = 3 + 127 = 130, согласно M = 1 + frac, мы можем знать, что frac = M-1 = 0,0001 (двоичный) и
Так что нетрудно понять, ситуация хранения в памяти 8.5 следующая:Если это значение сейчас используется как целое число, что это такое? Да, это 1091043328
Предисловие
По сравнению с целочисленными типами, такими как int, представление и хранение типов с плавающей запятой, таких как float, более сложны, но это неизбежная тема, поэтому необходимо изучить плавающую точку. В компьютерах приближения с плавающей запятой IEEE обычно используются для представления любого действительного числа, так как же оно на самом деле представляет его?
В следующем выражении каково значение i и почему? Если вы не уверены в ответе, то вам стоит внимательно изучить эту статью.
Другие платформы
Аналогично, материнские платы ПК, построенных на процессорах
Компания Weitek также выпускала математические сопроцессоры для платформ 68000 и
Переключение контекста
Поскольку Embox поддерживает вытесняющую многозадачность, для корректной работы в рантайме, естественно, нужна была реализация переключения контекста. Для этого необходимо сохранять регистры сопроцессора. Тут есть пара нюансов. Первый: оказалось что команды операций со стеком для плавающих точек (vstm/vldm) поддерживают не все режимы. Второй: эти операции не поддерживают работу более, чем с шестнадцатью 64-битных регистров. Если за раз нужно загрузить/сохранить больше регистров, нужно использовать две инструкции.
Еще приведу одну небольшую оптимизацию. На самом деле, каждый раз сохранять и восстанавливать по 256 байт VFP-регистров совсем не обязательно (регистры общего назначения занимают всего 64 байта, так что разница существенная). Очевидной оптимизацией будет совершать эти операции только если процесс этими регистрами в принципе пользуется.
Как я уже упоминал, при выключенном сопроцессоре VFP попытка исполнить соответствующую инструкцию будет приводить к исключению “Undefined Instruction”. В обработчике этого исключения нужно проверить, чем исключение вызвано, и если дело в использовании VPF-сопроцессора, то процесс помечается как использующий VFP-сопроцессор.
В итоге уже написанное сохранение/восстановление контекста дополнилось макросами
Для проверки корректности работы переключения контекста в условиях работы с плавающей точки мы написали тест, в котором в одном потоке в цикле мы делаем умножение, а в другом деление, потом сравниваем результаты.
Тест успешно проходил при выключенной оптимизации поэтому мы и указали в описании теста, что он должен быть скомпилирован с оптимизацией, EMBOX_TEST_SUITE(«FPU context consistency test. Must be compiled with -02»); хотя знаем, что тесты не должны на это полагаться.Происхождение названия
Название «плавающая запятая» происходит от того, что запятая в позиционном представлении числа (десятичная запятая, или, для компьютеров, двоичная запятая — далее по тексту просто запятая) может быть помещена где угодно относительно цифр в строке. Это положение запятой указывается отдельно во внутреннем представлении. Таким образом, представление числа в форме с плавающей запятой может рассматриваться как компьютерная реализация экспоненциальной записи чисел.
Преимущество использования представления чисел в формате с плавающей запятой над представлением в формате с фиксированной запятой (и целыми числами) состоит в том, что можно использовать существенно больший диапазон значений при неизменной относительной точности. Например, в форме с фиксированной запятой число, занимающее 8 разрядов в целой части и 2 разряда после запятой, может быть представлено в виде 123456,78; 8765,43; 123,00 и так далее. В свою очередь, в формате с плавающей запятой (в тех же 8 разрядах) можно записать числа 1,2345678; 1234567,8; 0,000012345678; 12345678000000000 и так далее.
Скорость выполнения компьютером операций с числами, представленными в форме с плавающей запятой, измеряется в англ. FLOPS — число операций с плавающей запятой в секунду ),
Предварительное понимание регулярных выражений Python (4)
Сегодня я продолжу делиться базовыми знаниями о регулярных выражениях Python. В основном я представляю использование специального символа "<>". Ниже приведено конкретное руководство. .
«Плавающая запятая» и «плавающая точка»
Так как в некоторых, преимущественно англоязычных и англофицированных, странах (см. подробный список Decimal separator (англ.) ) при записи чисел целая часть отделяется от дробной точкой, то в терминологии этих стран фигурирует название «плавающая точка» (floating point (англ.) ). Так как в России целая часть числа от дробной традиционно отделяется запятой, то для обозначения того же понятия используется термин «плавающая запятая».
Cortex-M
Работа с FPU в Cortex-M мало чем отличается от описанного выше. Например, вот так выглядит приведенный выше макрос для сохранения fpu-шного контекста
Также команда vstmia использует только регистры s0-s31 и по-другому происходит обращение к управляющим регистрам. Поэтому не буду сильно вдаваться в подробности, объясню только diff. Итак, мы сделали поддержку для STM32F7discovery c cortex-m7 для него, соответственно, нужно поставить флаг -mfpu=fpv5-sp-d16. Обратите внимание, что в мобильных версиях, нужно еще более внимательно смотреть версию сопроцессора, поскольку могут быть разные варианты у одного и того же cortex-m. Так, если у вас вариант не с двойной точностью, а с одинарной, то может не быть регистров D0-D16, как у нас в stm32f4discovery, именно поэтому и используются вариант с регистрами S0-S31. Для этого контроллера мы используем -mfpu=fpv4-sp-d16.Основным же отличием является доступ к управляющим регистрам контроллера они расположены прямо в адресном пространстве основного ядра для причем для разных типов они разные cortex-m4 для cortex-m7.
Сопроцессоры x86 от сторонних производителей
Широкое распространение в соответствующий период получили сопроцессоры для платформы x86, выпускавшиеся компанией Weitek - ею были выпущены 1167, 2167 в виде набора микросхем и микросхемы 3167, 4167, для процессоров 8086, 80286, 80386, 80486, соответственно. По сравнению с сопроцессорами от Intel они обеспечивали в 2-3 раза большую производительность, но обладали несовместимым программным интерфейсом, реализованным через технологию memory-mapping. Она сводилась к тому, что основной процессор должен был записывать информацию в те или иные области памяти, контролируемые Weitek-овским сопроцессором (собственно, оперативной памяти там, конечно не было). Конкретный адрес, куда производилась запись, интерпретировался в качестве той или иной команды. Несмотря на несовместимость, сопроцессоры от Weitek были широко поддержаны как разработчиками ПО, так и производителями материнских плат, предусматривавших на них гнёзда для установки такой микросхемы.
Ряд других компаний также выпускал различные несовместимые математические сопроцессоры, реализуя интерфейс к ним через порты ввода-вывода или прерывания
Компании-производители клонов выпускали совместимые с 80287 80387 сопроцессоры, работавшие быстрее аналогичных интеловских. Среди этих компаний можно упомянуть AMD, Chips & Technologies (C&T). Иногда система команд этих сопроцессоров расширялась несколькими несовместимыми, например, аналог 80287 от C&T содержал команды для работы с вектором из четырёх значений с плавающей точкой. Серьёзной поддержки от производителей ПО эти расширенные команды не получили.
Просессоры EMC87 от фирмы
В СССР выпускалась микросхема (КМ)1810ВМ87, которая являлась аналогом 8087
Флаг -mfloat-abi ‘softfp’ и ‘hard’
‘softfp’ allows the generation of code using hardware floating-point instructions, but still uses the soft-float calling conventions. ‘hard’ allows generation of floating-point instructions and uses FPU-specific calling conventions.
То есть, речь идет о передаче аргументов в функцию. Но, по крайней мере, мне было не очень понятно, в чем разница между “soft-float” и “FPU-specific” calling conventions. Предположив, что в случае hard используются регистры с плавающей точкой, а случае softfp используются целочисленные регистры, я нашел подтверждение этому на вики debian. И хотя это для сопроцессоров NEON, но это не имеет принципиального значения. Еще один интересный момент, что при варианте softfp компилятор может, но не обязан использовать аппаратную поддержку:
“Compiler can make smart choices about when and if it generates emulated or real FPU instructions depending on chosen FPU type (-mfpu=) “
Для лучшей ясности я решил поэкспериментировать, и очень удивился, поскольку при выключенной оптимизации -O0 разница была очень незначительная и касалась не тех мест, где реально использовалась плавающая точка. Догадавшись, что компилятор просто все укладывает на стек, а не использует регистры, я включил оптимизацию -O2 и опять удивился, поскольку с оптимизацией компилятор начинал использовать аппаратные регистры с плавающей точкой, как для варианта hard, так и для sotffp, и разница, как и в случае с -O0 была очень незначительная. В итоге для себя я объяснил это тем что компилятор решает проблему, связанную с тем, что если копировать данные между регистрами с плавающей точкой и целочисленными, существенно падает производительность. И компилятор при оптимизации начинает использовать все имеющиеся в его распоряжении ресурсы.
На вопрос, какой же флаг использовать ‘softfp’ или ‘hard’, я ответил для себя следующим образом: везде где нет уже скомпилированных с флагом ‘softfp’ частей, следует использовать ‘hard’. Если же такие есть, то необходимо использовать ‘softfp’.
Заключение
На этом я закончу свой краткий рассказ про плавающую точку для ARM. Отмечу, что современные микроконтроллеры очень мощные и подходят не только для управления, но и для обработки сигналов или различного рода мультимедиа-информации. Для того, чтобы эффективно использовать всю эту мощь, нужно понимать как она устроена. Надеюсь данная статья помогла в этом чуть лучше разобраться.Плавающая запятая — форма представления дробных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную. Наиболее часто используемое представление утверждено в стандарте IEEE 754. Реализация математических операций с числами с плавающей запятой в вычислительных системах может быть как аппаратная, так и программная.
Использование в вычислительных машинах
В вычислительных машинах показатель степени принято отделять от мантиссы буквой "E" (exponent). Например, число 1,528535047 × 10 -25 в большинстве языков программирования высокого уровня записывается как 1.528535047E-25.
Сопроцессоры
Нормальная форма
Нормальной формой числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) находится на полуинтервале [0; 1). Число с плавающей запятой, находящееся не в нормальной форме теряет точность по сравнению с нормальной формой. Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, 0,0001 можно записать в 4 формах - 0,0001 * 10 0 , 0,001 * 10 -1 , 0,01 * 10 -2 , 0,1 * 10 -3 ), поэтому распространена (особенно в информатике) также другая форма, в которой мантисса принимает значения от 1 (включительно) до 10 (не включительно). В такой форме любое число (кроме 0) записывается единственным образом. Недостаток заключается в том, что в таком виде невозможно представить 0, поэтому представление чисел в информатике предусматривает специальный признак (бит) для числа 0.
Использование SIMD в C
Само собой, использовать автоматическую векторизацию проще. Для автоматической векторизации добавляем в GCC флаг -ftree-vectorize.
Цикл со сложениями генерирует следующий код:
Проведя тесты на распараллеленный код, получили, что простое сложение в цикле, при условии независимости переменных дает ускорение аж в 7 раз. Кроме того, мы решили посмотреть, насколько влияет распараллеливание на реальных задачах, взяли MESA3d с его программной эмуляцией и померили количество fps с разными флагами, получился выигрыш в 2 кадра в секунду (15 против 13), то есть, ускорение около 15-20%.Приведу еще один пример ускорения с помощью команд NEON, не нашего, а от ARM-а.
Копирование памяти ускоряется почти на 50 процентов по сравнению с обычным. Правда примеры там на ассемблере.
Обычный цикл копирования:
цикл с командами и регистрами neon:
Понятно, что копировать по 64 байта быстрее чем по 4 и такое копирование даст прирост на 10%, но остальные 40% похоже дает работа сопроцессора.Нормальная форма
Нормальной формой числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) находится на полуинтервале [0; 1). Число с плавающей запятой, находящееся не в нормальной форме теряет точность по сравнению с нормальной формой. Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, 0,0001 можно записать в 4 формах - 0,0001 * 10 0 , 0,001 * 10 -1 , 0,01 * 10 -2 , 0,1 * 10 -3 ), поэтому распространена (особенно в информатике) также другая форма, в которой мантисса принимает значения от 1 (включительно) до 10 (не включительно). В такой форме любое число (кроме 0) записывается единственным образом. Недостаток заключается в том, что в таком виде невозможно представить 0, поэтому представление чисел в информатике предусматривает специальный признак (бит) для числа 0.
Структура числа
Число с плавающей запятой состоит из:
- Мантиссы (выражающей значение числа без учёта порядка)
- Знака мантиссы (указывающего на отрицательность или положительность числа)
- Порядка (выражающего степень основания числа, на которое умножается мантисса)
- Знака порядка
Машинный эпсилон
В отличие от фиксированной запятой, сетка чисел, которые способна отобразить арифметика с плавающей запятой, неравномерна: она более густая для чисел малого порядка и более редкая — для больших чисел. Но относительная погрешность записи чисел одинакова и для малых чисел, и для больших. Поэтому можно ввести понятие машинного эпсилона.
Машинным эпсилоном называется наименьшее положительное число ε такое, что (знаком обозначено машинное сложение). Грубо говоря, числа a и b, соотносящиеся так, что , машина не различает.
Привет, Хабр! В этой статье я хочу рассказать про работу с плавающей точкой для процессоров с архитектурой ARM. Думаю, эта статья будет полезна прежде всего тем, кто портирует свою ОС на ARM-архитектуру и при этом им нужна поддержка аппаратной плавающей точки (что мы и делали для Embox, в котором до этого использовалась программная реализация операций с плавающей точкой).
Структура числа
Число с плавающей запятой состоит из:
- Мантиссы (выражающей значение числа без учёта порядка)
- Знака мантиссы (указывающего на отрицательность или положительность числа)
- Порядка (выражающего степень основания числа, на которое умножается мантисса)
- Знака порядка
Java.nio.Buffer flip () метод jdk Ошибка перевода на китайский язык
Когда я сегодня читал «Идеи программирования на Java», я столкнулся с методом java.nio.Buffer flip (). Дело в том, что «[color = red] переворачивает этот буфер. Сначала установите ог.
Регистры
Начнем с описание регистров. VFP позволяет совершать операции с 32-битными (s0..s31) и 64-битными (d0..d15) числами с плавающей точкой, Соответствие между этими регистрами показано на картинке ниже.
[Код очень подробный] POJ 2492 A Bug's Life (и проверьте коллекцию)
1. Описание заголовка 2. Инструкции по анализу алгоритмов и руководство по написанию кода. Похожие темы:POJ 1182 Решение проблемы пищевой цепи Наблюдается m насекомых и n вязок. Насекомые u и v могут .
Представление IEEE с плавающей запятой
Стандарт IEEE с плавающей запятой
Форма приблизительно представляет собой число. И разделите битовое представление числа с плавающей запятой на три поля:
Знак s определяет, является ли число отрицательным (s = 1) или положительным (s = 0). Символ s можно напрямую закодировать с помощью одного символа s.
Знаковое выражение M является десятичным двоичным числом и имеет диапазон 1 2-ξ или 0 ~ 1-ξ.
n-значное десятичное поле Кодировка мантиссы М.Функция показателя степени E заключается в взвешивании числа с плавающей запятой. Этот вес представляет собой степень E числа 2 (может быть отрицательным числом). k-битное поле кода заказа Код заказа кодирования E.
В формате с плавающей запятой одинарной точности (float на языке C) поля s, exp и frac имеют размер 1, 8 и 23 бита соответственно, а в формате с плавающей запятой двойной точности (double на языке C) s, exp и Поле гидроразрыва составляет 1, 11 и 52 бита соответственно.
Общие биты числа с плавающей запятой представлены следующим образом:По значению exp закодированное значение можно разделить на три различных ситуации. Объясняется одно за другим ниже.
Случай 1: нормализованное значение
То есть наиболее распространенный случай, когда exp, домен кода заказа - это не все нули и не все единицы. В этом случае поле кода заказа интерпретируется как целое число со знаком в предвзятой форме, то естьE=exp-Bias, exp - это беззнаковое число (1 ~ 254). Смещение равно Для одинарной точности k = 23 и Bias = 127, поэтому диапазон E составляет -126 ~ + 127.
Случай 2: денормализованное значение
Когда exp, то есть домен кода заказа равен 0, представленное число является ненормализованным значением, значение кода заказа в этом случаеE=1-Bias(Примечание: предоставляется метод преобразования неформатированного значения в форматированное значение). мантиссаM=frac
Денормализованные числа служат двум целям.
Представляет значение 0. В форматированных числах мы всегда делаем M≥1, поэтому 0 не может быть представлен. Когда код заказа равен 0, а мантисса также равна 0, он может представлять 0.
Представляет число, близкое к 0,0. Значение, которое он представляет, распределяется близко к 0,0, и атрибут постепенно переполняется.
Случай 3: Особое значение
Код заказа - все 1, а десятичное поле - все 0. Он получает значение + ∞ (s = 0) или -∞ (s = 1), которое может представлять результат переполнения в компьютере, например, умножение двух очень больших чисел.
Код заказа - все 1, а десятичное поле - не все 0. Он получает значение NaN (обратите внимание на число). Он может представлять недопустимые числа в компьютере, например значение при вычислении корневого числа -1.
Краткий обзор
Существует несколько способов того, как строки из цифр могут представлять числа:
- Наиболее распространённый путь представления значения числа из строки с цифрами — в виде целого числа — запятая (radix point) по-умолчанию находится в конце строки.
- В общем математическом представлении строка из цифр может быть сколь угодно длинной, а положение запятой обозначается путём явной записи символа запятой (или, на Западе, точки) в нужном месте.
- В системах с представлением чисел в формате с фиксированной запятой существует определённое условие относительно положения запятой. Например, в строке из 8 цифр условие может предписывать положение запятой в середине записи (между 4-й и 5-й цифрой). Таким образом, строка "00012345" обозначает число 1,2345 (нули слева всегда можно отбросить).
- В экспоненциальной записи используют стандартный (нормальный?) вид представления чисел. Число считается записанным в стандартном виде, если оно записано в виде aqn , где a такое, что , называется мантиссой, n — целое, называется показатель степени и q — целое, основание системы счисления (на письме это обычно 10). То есть в мантиссе запятая помещается сразу после первой значащей (не равной нулю) цифры, считая слева направо, а дальнейшая запись даёт информацию о действительном значении числа. Например, период обращения (на орбите) спутника планеты ЮпитераИо́, который равен 152853,5047 с, в стандартном виде можно записать как 1,528535047 × 10 5 . Побочным эффектом ограничения на значения мантиссы является то, что в такой записи невозможно изобразить число 0.
- Запись в форме с плавающей запятой похожа на запись чисел в стандартном виде, но мантисса и экспонента записываются раздельно. Мантисса записывается в формате с фиксированной запятой, подразумеваемой после первой цифры. Возвращаясь к примеру с Ио́, запись в форме с плавающей запятой будет 1528535047 с показателем 5. Это означает, что записанное число в 10 5 раз больше числа 1,528535047, то есть для получения подразумеваемого числа запятая сдвигается на 5 разрядов вправо. Однако, запись в форме с плавающей запятой используется в основном в электронном представлении чисел, при котором используется основание системы счисления 2, а не 10. Кроме того, в двоичной записи мантисса обычно денормализована, то есть запятая подразумевается до первой цифры, а не после, и целой части вообще не имеется ввиду - так появляется возможность и значение 0 сохранить естественным образом. Таким образом, десятичная 9 в двоичном представлении с плавающей запятой будет записана как мантисса +1001000. 0 и показатель +0. 0100. Отсюда, например, беды с двоичным представлением чисел типа одной десятой (0,1), для которой двоичное представление мантиссы оказывается периодической двоичной дробью - по аналогии с 1/3, которую нельзя конечным количеством цифр записать в десятичной системе счисления.
Запись числа в форме с плавающей запятой позволяет производить вычисления над широким диапазоном величин, сочетая фиксированное количество разрядов и точность. Например, в десятичной системе предоставления чисел с плавающей запятой (3 разряда) операцию умножения, которую мы бы записали как
0,12 × 0,12 = 0,0144
в нормальной форме представляется в виде
(1,20 × 10 −1 ) × (1,20 × 10 −1 ) = (1,44 × 10 −2 ).
В формате с фиксированной запятой мы бы получили вынужденное округление
0,120 × 0,120 = 0,014.
Мы потеряли крайний правый разряд числа, так как данный формат не позволяет запятой «плавать» по записи числа.
Сопроцессоры Intel семейства x86
Для процессоров семейства x86 с 8086/8088 по 386, модуль операций с плавающей запятой был выделен в отдельную микросхему, называемую математическим сопроцессором. Для установки сопроцессора на плате компьютера предусматривался отдельный разъём.
Сопроцессор не является полноценным процессором, так как не умеет делать многих необходимых для этого операций (например, не умеет работать с программой и вычислять адреса памяти), являясь всего лишь придатком центрального процессора.
Одна из схем взаимодействия центрального процессора и сопроцессора, применяемая, в частности, в x86 сопроцессорах, реализуется следующим образом:
- Сопроцессор подключен к шинам центрального процессора, а также имеет несколько специальных сигналов для синхронизации процессоров между собой.
- Часть командных кодов центрального процессора зарезервирована для сопроцессора, он следит за потоком команд, игнорируя другие команды. Центральный процессор, наоборот, игнорирует команды сопроцессора, занимаясь только вычислением адреса в памяти, если команда предполагает к ней обращение. Центральный процессор делает цикл фиктивного считывания, позволяя сопроцессору считать адрес с адресной шины. Если сопроцессору необходимо дополнительное обращение к памяти (для чтения или записи результатов), он выполняет его через захват шины.
- После получения команды и необходимых данных сопроцессор начинает её выполнение. Пока сопроцессор выполняет команду, центральный процессор выполняет программу дальше, параллельно с вычислениями сопроцессора. Если следующая команда также является командой сопроцессора, процессор останавливается и ожидает завершения выполнения сопроцессором предыдущей команды.
- Также существует специальная команда ожидания (FWAIT), принудительно останавливающая процессор до завершения вычислений (если для продолжения программы необходимы их результаты).
Начиная с процессора 486SX модуль FPU отключался (в эту линейку попадали процессоры с бракованным FPU). Для процессоров 486SX также выпускался «сопроцессор» 487SX, но, фактически, он являлся процессором 486DX и при его установке процессор 486SX отключался.
Несмотря на интеграцию, FPU в процессорах i486 представляет собой неизменный сопроцессор, выполненный на том же кристалле, более того, схема FPU i486 полностью идентична сопроцессору предыдущего поколения 387DX вплоть до тактовой частоты (в два раза меньшей, чем частота центрального процессора). Настоящая интеграция FPU c центральным процессором началась только в процессорах Pentium модели MMX.
Интеллектуальная рекомендация
Сопроцессор NEON и SIMD
Режим vfp для NEON почти ничем не отличается от разобранного сопроцессора vfp9-s. Конечно, лучше указывать для -mfpu варианты vfpv3 или vfpv3-d32 для лучшей оптимизации, поскольку он имеет 32 64-битных регистра. И для включения сопроцессора необходимо дать доступ к сопроцессорам c10 и c11. это делается с помощью команд
но других принципиальных отличий нет.Другое дело если указывать -mfpu=neon, в этом случае компилятор может использовать SIMD-инструкции.
Система команд
Конечно, чаще всего работу с VFP-регистрами стоит отдать компилятору, но как минимум переключение контекста придётся написать вручную. Если у вас уже есть примерное понимание синтаксиса команд ассемблера для работы с регистрами общего назначения, разобраться с новыми командами не должно составить большого труда. Чаще всего просто добавляется приставка “v”.
И так далее. Полный список команд можно посмотреть на сайте ARM.Ну и конечно не стоит забывать о версии VFP, чтобы не возникло ситуаций вроде той, что описана выше.
Флаг -mfpu и версия VFP
Опция -mfpu, как написано в онлайн-документации gcc, позволяет задать тип аппаратуры и может принимать следующие варианты:‘auto’, ‘vfpv2’, ‘vfpv3’, ‘vfpv3-fp16’, ‘vfpv3-d16’, ‘vfpv3-d16-fp16’, ‘vfpv3xd’, ‘vfpv3xd-fp16’, ‘neon-vfpv3’, ‘neon-fp16’, ‘vfpv4’, ‘vfpv4-d16’, ‘fpv4-sp-d16’, ‘neon-vfpv4’, ‘fpv5-d16’, ‘fpv5-sp-d16’, ‘fp-armv8’, ‘neon-fp-armv8’ and ‘crypto-neon-fp-armv8’. Причем ‘neon’ это тоже самое что и ‘neon-vfpv3’, а ‘vfp’ это ‘vfpv2’.
Мой компилятор (arm-none-eabi-gcc (15:5.4.1+svn241155-1) 5.4.1 20160919) выдаёт немного другой список, но сути дела это не меняет. Нам в любом случае нужно понять, как влияет тот или иной флаг на работу компилятора, ну и конечно, какой флаг когда следует использовать.
Я начинал разбираться с платформы на основе процессора imx6, но отложим и ее ненадолго, поскольку сопроцессор neon имеет особенности о которых я расскажу позже, а начнем с более простого случая — с платформы integrator/cp,
Самой платы у меня нет, поэтому отладка производилась на эмуляторе qemu. В qemu платформа Interator/cp основана на процессоре ARM926EJ-S, который в свою очередь поддерживает сопроцессор VFP9-S. Данный сопроцессор соответствует стандарту Vector Floating-point Architecture version 2 (VFPv2). Соответственно, нужно поставить -mfpu=vfpv2, но в списке опций моего компилятора, такого варианта не оказалось. На просторах интернета я встретил вариант компиляции с флагами -mcpu=arm926ej-s -mfpu=vfpv3-d16, поставил, и у меня все скомпилилось. При запуске я получил исключение undefined instruction, что было предсказуемо, ведь сопроцессор был выключен.Для того чтобы, разрешить работу сопроцессора нужно установить бит EN [30] в регистре FPEXC. Делается это с помощью команды VMSR
Вообще-то команда VMSR обрабатывается сопроцессором и вызывает исключение, если не включен сопроцессор, но обращение к этому регистру его не вызывает. Правда, в отличие от остальных, обращение к этому регистру возможно только в привилегированном режиме.После разрешения работы сопроцессора стали проходить наши тесты на математические функции. Но когда я включил оптимизацию (-O2), стало возникать уже упомянутое ранее исключение undefined instruction. Причем возникало оно на инструкции vmov которая вызывалась в коде раньше, но исполнялась успешно (без возникновения исключения). Наконец, я обнаружил в конце приведенной страницы фразу “The instructions that copy immediate constants are available in VFPv3” (т.е. операции с константами поддерживаются начиная с VFPv3). И решил проверить, какая же версия релизована в моем эмуляторе. Версия записана в регистре FPSID. Из документации следует, что значение регистра должно быть 0x41011090. Это соответствует 1 в поле architecture [19..16] то есть VFPv2. Собственно, сделав распечатку при старте, я это и получил
Прочитав внимательно, что ‘vfp’ это alias ‘vfpv2’, я выставил правильный флаг, все заработало. Возвращаясь к странице, где я увидел сочетания флагов -mcpu=arm926ej-s -mfpu=vfpv3-d16 отмечу, что был недостаточно внимателен, потому что в списке флагов фигурирует -mfloat-abi=soft. То есть, никакой аппаратной поддержки в этом случае нет. Точнее, -mfpu имеет значение только если установлено отличное от ‘soft’ значение для -mfloat-abi.Читайте также: