Чему равен момент инерции системы дисков и почему
Момент инерции относительно оси, вокруг которой происходит вращение – это мера инертности тела, совершающего вращательные движения.
Момент инерции является скалярной (в общем случае тензорной) физической величиной, которую находят как сумму произведений масс материальных точек ( ) (на которые следует провести разбиение рассматриваемого тела) на квадраты расстояний ( ) от них до оси вращения:
Если тело считают непрерывным, то суммирование в выражении (1) заменяется интегрированием, массы элементов тела обозначают как :
где r – функция положения материальной точки в пространстве; – плотность тела; –объем элемента тела. Если тело является однородным:
Примеры решения задач
Задание | Два шарика, которые можно считать точечными, скреплены тонким невесомым стержнем. Длина стержня l. Каков момент инерции данной системы, по отношению к оси, которая проходит перпендикулярно стержню через центр масс. Массы точек одинаковы и равны m. |
Решение | Найдем момент инерции одного шарика ( ) относительно оси, находящейся от него на расстоянии : |
Момент инерции второго шарика будет равен :
Суммарный момент инерции системы равен сумме:
Если диск вращается относительно оси, перпендикулярной его плоскости и ось проходит через его центр масс, то момент инерции равен:
Диск вращается относительно оси (см. рис.1), которая находится на расстоянии:
Оси параллельны, тогда в соответствии с теоремой Штейнера:
Момент инерции стержня относительно оси, которая проходит через его центр масс (через середину в нашем случае) равен:
По теореме Штейнера, если стержень вращается относительно точки О, то момент инерции равен:
Момент инерции тела относительно оси вращения является мерой инертности вращающегося тела.
Момент инерции тела, которое можно представить в виде совокупности дискретных частиц, относительно оси вращения равен:
где – масса i-ой материальной точки тела; – расстояние от материальной точки i до оси вращения. При рассмотрении твердого тела как сплошной среды с непрерывным распределением массы определение момента инерции заменяют следующим:
где – элемент массы тела; – плотность тела; – элементарный объем.
Теорема Штейнера
Теорема Штейнера дает возможность вычислить момент инерции тела относительно произвольной оси вращения, когда является известным момент инерции рассматриваемого тела по отношению к оси, проходящей через центр масс этого тела и эти оси являются параллельными. В математическом виде теорема Штейнера представляется как:
где – момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела; m – масса, рассматриваемого тела; a- расстояние между осями. Обязательно следует помнить, что оси должны быть параллельны. Из выражения (4) следует, что:
Определение момента инерции
Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.
По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.
Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.
Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.
Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:
Примеры решения задач по теме «Момент инерции»
где расстояние от точки до оси вращения равно . Следовательно, формула (1.1) преобразуется к виду:
Так как массы первой и второй материальных точек равны, равны расстояния от каждой из них до оси вращения, то:
Момент инерции является аддитивной величиной, значит, момент инерции двух точек найдем как сумму и :
Момент инерции ( ) для горизонтального стержня равен:
Найдем момент инерции для стержня параллельного оси вращения. Для этого выделим на этом стержне материальную точку массы . Для нее момент инерции относительно указанной на рис.2 оси равен:
где l – расстояние по горизонтали от массы до оси вращения, оно при движении по стержню не изменяется.
Найдем момент инерции всего стержня ( ) для этого просуммируем подобные (2.3) элементарные моменты инерции, а так как стержень непрерывный, то вместо суммы возьмем интеграл:
Мерой инертности вращающегося тела является момент инерции (J) относительно оси, вокруг которой происходит вращение.
Это скалярная (в общем случае тензорная) физическая величина, которая равна произведению масс материальных точек ( ) на которые следует провести разбиение рассматриваемого тела, на квадраты расстояний ( ) от них до оси вращения:
В том случае, если тело можно считать непрерывным, то суммирование в формуле (1) заменяют на интегрирование, массы элементов тела обозначают как , тогда J тела, вращающегося около оси:
где r – функция положения материальной точки в пространстве; – плотность тела; –объем элемента тела.
Для однородного тела выражение (2) можно представить как:
Момент инерции в международной системе единиц измеряется в :
Величина J входит в основные законы, при помощи которых описывают вращение твердого тела.
В общем случае величина момента инерции зависит от направления оси вращения, а так как в процессе движения вектор обычно изменяет свое направление относительно тела, то момент инерции следует рассматривать как функцию времени. Исключением является момент инерции тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. В таком случае момент инерции остается постоянным.
Что такое инерция
Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.
Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».
Некоторые выражения для вычисления моментов инерции тела
При вращении вокруг оси материальная точка имеет момент инерции равный:
где m – масса точки; r – расстояние от точки до оси вращения.
Для однородного тонкого стержня массой m и длиной l J относительно оси, проходящей через его центр масс (ось перпендикулярна стержню), равен:
Тонкое кольцо, с массой вращающееся около оси, которая проходит через его центр, перпендикулярно плоскости кольца, то момент инерции вычисляется как:
где R – радиус кольца.
Круглый однородный диск, радиуса R и массы m имеет J относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости диска, равный:
Для однородного шара
где m – масса шара; R – радиус шара. Шар вращается около оси, которая проходит через его центр.
Если осями вращения являются оси прямоугольной декартовой системы координат, то для непрерывного тела моменты инерции можно вычислить как:
где – координаты бесконечно малого элемента тела.
Теорема Штейнера
От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.
Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:
Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:
Момент инерции однородного диска
Рассмотрим, как находится момент инерции однородного диска, если его радиус равен R, а масса m. Ось вращения пусть проходит через центр инерции данного диска (точку О) и будет перпендикулярна его плоскости (рис.1).
Диск можно заменить совокупностью бесконечно тонких колец, радиусы которых изменяются от нуля до R. На рис.1 выделено одно из таких колец. Рассмотрим это кольцо. Радиус его обозначим как Момент инерции данного кольца (обозначим его равен (см. формулу момента инерции тонкого кольца):
Массу данного кольца (а точнее цилиндра) можно представить как:
где – высота цилиндра. Подставим выражение для в формулу (3) и проведем интегрирование:
где – масса диска.
Если диск можно считать абсолютно тонким или он является частью цилиндра, то формула для вычисления момента инерции диска относительно оси, проходящей через его центр масс, и перпендикулярной плоскости диска, имеет вид:
В случае плоского распределения масс выполняется равенство:
где оси вращения совпадают с осями декартово системы координат. И если мы будем считать, что ось Z проходит через центр инерции диска и перпендикулярна его плоскости, то моменты инерции относительно осе X и Y будут равны:
Иногда величины моментов инерции называют моментами инерции диска относительно его диаметров.
Момент инерции материальной точки
Роль массы при движении по окружности материальной точки выполняет момент инерции (J), который равен:
где r- расстояние от материальной точки до оси вращения. Для материальной точки, которая движется по окружности, момент инерции является постоянной величиной.
Момент инерции является аддитивной величиной. Это означает то, что если в системе не одна, а несколько материальных точек, то момент инерции системы (J) равен сумме моментов инерции ( ) отдельных точек:
Примеры решения задач по теме «Момент инерции диска»
Задание | Радиус однородного диска равен R, его масса m. Каков момент инерции диска относительно оси, которая проходит через середину одного из радиусов диска, перпендикулярно его плоскости? |
Решение | Момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр масс, и перпендикулярной плоскости диска, имеет равен: |
Ось вокруг, которой происходит вращение нашего диска, параллельна основной, и сдвинута от нее на расстояние . Для такой ситуации подходит теорема Штейнера:
Подставим из (1.1) и учтем расстояние между осями, получим:
где — момент инерции диска. Найдем момент инерции вырезки ( ). Используем теорему Штейнера:
где ; – масса вырезанной части диска. Подставим выражение (2.3) в формулу (2.1), имеем:
Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Пример решения задачи на нахождение момента инерции
Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.
Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.
Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:
Массу кольца можно представить в виде:
Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:
В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.
Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.
Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:
Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.
Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.
§1 Момент инерции. Теорема Штейнера
Момент инерции материальной точки равен
Моментом инерции системы относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведения масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси.
Момент инерции тела в случае непрерывного распределения массы равен
-интегрируется по всему объёму.
1. Найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр. Разобьем диск на кольцевые слои толщиной dr. Все точки слоя будут находиться на одинаковом расстоянии от оси, равном r . Объем такого слоя равен
2. Полый тонкостенный цилиндр радиуса R (обруч, велосипедное колесо и тому подобное).
3. Сплошной цилиндр или диск радиуса R
4. Прямой тонкий длиной стержень, ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину.
5. Шар радиуса R, относительно оси, проходящей через его центр.
Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, момент инерции относительно любой другой оси параллельной данной, определяется с помощью теоремы Штейнера: момент инерции тела І относительно параллельной оси вращения равен моменту инерции І с относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями
Например, для обруча на рисунке момент инерции относительно оси O ’ O ’, равен
6. Момент инерции прямого стержня длиной , ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец.
§2 Кинетическая энергия вращения
Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси Z , проходящей через него, с угловой скоростью ω . Так как тело является абсолютно твердым, следовательно, все точки тела будут вращатьсяс одинаковой угловой скоростью
Если разбить тело на малые объёмы с элементарными массами m 1 , m 2 … находящиеся на расстоянии r 1 , r 2 …, от оси вращения, то кинетическую энергию тела можно записать в виде
Изве стно, что или
Из сравнения Wk . вр. с Wk . поступательного движения ( ) следует, что момент инерции вращательного движения заменяет массу во вращательном движении и является мерой инертности тела.
Если тело участвует в поступательном и вращательном движении одновременно, то его кинетическая энергия
Например, цилиндр катиться без скольжения по плоскости.
§3 Момент силы.
Уравнение динамики вращательного движения твердого тела
Моментом силы относительно неподвижной точки O называется псевдовекторная величина равная векторному произведению радиус-вектора , проведенному из точки O в точку приложения силы, на силу
Модуль момента силы:
- псевдовектор, его направление совпадает с направлением плоскости движения правого винта при его вращении от к . Направление момента силы можно также определить по правилу левой руки: четыре пальца левой руки поставить по направлению первого сомножителя , второй сомножитель входит в ладонь, отогнутый под прямым углом большой палец укажет направления момента силы . Вектор момента силы всегда перпендикулярен плоскости, в котоой лежат векторы и .
-где кратчайшее расстояния между линией действия силы и точкой О называется плечом силы.
Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина равнаяпроекции н а эту ось вектора момента силы , определённого относительно произвольной точки O данной оси Z . Если ось Z перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы и , т.е. совпадает с направлением вектора , то момент силы представляется в виде вектора совпадающего с осью.
Ось, положение которой в пространстве остается неизменнымпривращении вокруг тела в отсутствие внешних сил,называется свободной осью тела.
Для тела любой формы и с произвольным распределением массы существует 3 взаимно перпендикулярных, проходящих через центр инерции тела оси, которые могут служить свободными осями:они называются главными осями инерции тела.
Найдем выражение для работы при вращательном движении тела. Пусть на массу m твердого тела действует внешняя сила . Тогда работа этой силы за время dt равна
Осуществим в смешанном произведении векторов циклическую перестановку сомножителей, воспользовавшись правилом
Работа при вращении тела равна произведению момента действия силы на угол поворота . Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:
- уравнение динамики вращательного движения
Если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то выполняется векторное равенство
І - главный момент инерции (момент инерции относительно главной оси)
§4 Момент импульса. Закон сохранения момента импульса
Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением
;
Модуль момента импульса :
- радиус-вектор, проведённый из точки O в точку А, ? - плечо импульса (кратчайшее расстояние от точки О до линии действия импульса)
- импульс материальной точки.
- псевдовектор, его направление определяется по правилу левой руки.
Моментом импульса твердого тела относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O данной оси. Значение момента импульса не зависит от положения точки O на оси Z .
Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:
Продифференцируем по dt
- основное уравнение динамики вращательного движения.
Вообще выполняется векторное равенство
В замкнутой системе момент внешних сил равен нулю
Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени
§5 Величины, характеризующие поступательное и вращательное движение и связь между ними:
- путь
- c корость;
- ускорение ;
– угловое ускорение
- момент инерции
- u мпульс ;
– момент импульса
;
;
– кин. энергия вращательного движения
dA -элементарная работа;
dA - элементарная работа вращательного движения
Примеры моментов инерции некоторых тел
Момент инерции тонкого стержня вращающегося около оси, проходящей через его один конец и перпендикулярно стержню, равен:
Момент инерции прямого круглого конуса, массы высоты h и радиуса r вращающегося около своей оси:
Момент инерции однородного твердого параллелепипеда, c геометрическими параметрами и массой m вращающегося относительно своей самой длинной диагонали, вычисляют по формуле:
Момент инерции тонкой прямоугольной пластины массы m, ширины w и длины d, вращающейся относительно оси, которая проходит через точку пересечения диагоналей этого прямоугольника перпендикулярно плоскости пластины:
где m – масса шара; R – радиус шара. Шар вращается около оси, которая проходит через его центр.
Примеры формул для вычисления моментов инерции других тел можно посмотреть в разделе «Момент инерции». В этом же разделе можно ознакомиться с теоремой Штейнера.
Читайте также: