В каком соотношении находятся стороны и углы треугольника
Треугольник – геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые попарно пересекаются в трех точках, называемых вершинами треугольника.
Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла.
В треугольнике большая сторона лежит против большего угла.
Стороны и углы треугольника связаны следующими соотношениями.
Виды треугольников
- остроугольными (если все его углы острые),
- тупоугольными (если один из его углов тупой),
- прямоугольными (если один из его углов прямой).
- равнобедренным, если две его стороны равны.
- равносторонним, если все три стороны равны,
- разносторонним, если все его стороны разные.
О многоугольнике с тремя сторонами
Соотношение углов и сторон в треугольнике интуитивно можно понять, если хорошо представлять эту фигуру. Речь идет о плоском объекте, который состоит всего из трех отрезков. Они расположены таким образом, что начало первого совпадает с концом последнего, то есть они пересекаются. Каждый отрезок представляет собой независимую сторону фигуры. Точка пересечения является вершиной, а соответствующий ей угол является внутренним.
Таким образом, два ключевых элемента образуют рассматриваемую фигуру:
И вершин, и сторон в любом треугольнике по три, поэтому его принято обозначать большими латинскими буквами, например, ABC или MNK. Малые буквы резервируют для обозначения длин сторон, например, a, b, c.
На первый взгляд может показаться, что рассматриваемый объект является несложным, и в нем нечего изучать. Действительно, он является самым простым по построению многоугольником, однако, он обладает большим количеством свойств, количественное и качественное знание которых требуют понимания многих теорем.
Соотношение отрезков и углов
Задачи на соотношение отрезков и угловых мер в рассматриваемой фигуре могут требовать либо качественный, либо количественный ответ. В первом случае следует провести определенное доказательство, опираясь на известные аксиомы и теоремы о сторонах треугольника и их следствия. Во втором же случае следует пользоваться формулами и выражениями, которые содержат тригонометрические функции. В действительности оба типа задач связаны между собой. Так, прежде чем использовать какую-либо формулу, следует доказать возможность ее применения в конкретной ситуации.
Типы фигуры
Их классификация является достаточно развитой. В ее основу положены принципы взаимоотношения длин сторон друг с другом, а также численные значения углов. В общем случае в геометрии рассматривают следующие типы треугольников:
- Равносторонний или равноугольный. Это самая симметричная фигура рассматриваемого класса, поскольку ее образуют три равные по длине стороны. Все ее углы также являются одинаковыми, каждый из них составляет 60 °. Специальные отрезки в таком треугольнике (медиана, биссектриса, медиатриса или серединный перпендикуляр и высота) совпадают друг с другом независимо от того, через какую сторону или угол они проходят.
- Равнобедренный. Этот тип многоугольников является менее симметричным, чем равносторонний, однако, некоторая симметрия все же сохраняется. У этой фигуры имеются две одинаковые стороны и, как следствие, два одинаковых угла. Третий угол и сторона имеют отличные значения. Биссектриса, медиана, высота и медиатриса, которые проведены из вершины, где пересекаются одинаковые стороны, совпадают между собой. Равнобедренный треугольник может иметь как тупой, так и острый угол.
- Прямоугольный. Каждому школьнику известна знаменитая теорема Пифагора, которая применима только к данному типу многоугольников. В прямоугольной фигуре имеется один (и только один) угол, мера которого составляет 90 °. Лежащий против него отрезок называется гипотенузой, она имеет самую большую длину. Оставшиеся отрезки называются катетами. Они могут быть как одинаковыми, так и иметь разную длину.
- Общего типа. Именно этот вид фигур встречается чаще всего в задачах, поскольку его углы и стороны могут иметь произвольные значения. По этой причине работать с ним гораздо сложнее, чем с симметричными и прямоугольными многоугольниками. Тем не менее теоремы синусов и косинусов остаются справедливыми всегда.
Признаки подобия треугольников
Треугольники называются подобными, если их стороны пропорциональны.
I признак. Если два угла одного треугольника раны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
II признак. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
III признак. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Подробнее про признаки подобия треугольников читайте по ссылке.
Примеры решения задач
Задание | Доказать, что в равнобокой трапеции диагонали равны. |
Доказательство | В равнобокой трапеции рассмотрим треугольники и (рис. 1). Так как – общая сторона, то треугольники и равны по первому признаку, а значит, равны все их элементы, т.е. . |
Что и требовалось доказать.
Задание | В треугольнике стороны см см см. На стороне отмечена точка так, чтобы см. Найти отрезок . |
Решение | Рассмотрим треугольники и . Запишем отношение сторон и : |
Так как выполняется равенство отношений, то соответствующие стороны треугольников пропорциональны, а также – общий угол. Следовательно, треугольники и – подобны (по второму признаку подобия). Найдем сторону :
Фигура треугольник является частым геометрическим объектом, с которым приходится сталкиваться в процессе решения задач. Известны многие формулы и правила, описывающие те или иные свойства треугольника, соотношения между сторонами и углами, его площадь. Знание этих выражений позволяет решать любые задачи с этим многоугольником.
Существование фигуры
Пусть имеется три отрезка, и необходимо понять, возможно ли из них построить треугольник. Это можно сделать с помощью одного простого правила, которое можно сформулировать следующим образом: любая сторона треугольника всегда меньше суммы длин двух других.
Знание этого правила является очень важным и эффективным инструментом при решении задач. Например, из отрезков с условными длинами 1, 2 и 4 построить треугольник невозможно, а из 2, 3, 4 это сделать можно.
Помимо соотношения длин сторон существует также еще одна теорема, которая гласит, что во всяком треугольнике сумма его внутренних углов всегда равна 180 °. Благодаря знанию этой теоремы можно все рассматриваемые фигуры разделить на три типа:
- Остроугольные. В них все три угловые меры меньше 90 °. При этом возможны случаи взаимного их равенства, то есть каждый будет составлять 60 °. Такие треугольники называются равносторонними или правильными. Равны могут быть между собой также два угла, это будет уже равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны имеют одинаковую длину.
- Тупоугольные. Поскольку сумма составляет 180 °, то по определению в рассматриваемом многоугольнике не может быть больше одного тупого угла. Тупоугольные фигуры могут иметь либо произвольный тип, когда все их отрезки различаются, либо являться равнобедренными.
- Прямоугольные. Это специальный тип треугольников, о котором известно многое, и который разграничивает два предыдущих типа. В них один угол равен 90 °, а два других являются острыми.
Полноты ради следует сказать о вырожденных фигурах. К ним относятся такие многоугольники, у которых тупой стремится к 180 °. Несложно представить, что в этом случае два других будут обращаться в ноль, а сумма противолежащих им сторон окажется равной длине отрезка, расположенного напротив тупого угла. На плоскости вырожденный треугольник представляет отрезок, его площадь стремится к нулю.
Примеры решения задач
Задание | В треугольнике известны см и . Найти все стороны и все углы треугольника . |
Решение | Поскольку сумма углов любого треугольника равна , то |
Получили, что два угла в треугольнике равны между собой, значит треугольник – равнобедренный и значит см.
Треугольник это геометрическая фигура, состоящая из трех точек и трех отрезков, попарно их соединяющих.
В любом треугольнике три угла и три стороны.
Сумма углов любого треугольника равна .
Против большего угла треугольника лежит большая сторона.
Вопрос вырождения
В свете изучения возможности существования треугольников важно рассмотреть вопрос их вырождения. В математике придумали универсальную формулу, которая позволяет оценить качество треугольника. Она имеет вид:
Каждый из трех множителей числителя является положительным числом, что следует из главного свойства треугольников. Величина качества CT является положительной и лежит в пределах значений 0 и 1. Возможны следующие случаи:
- CT = 1. Такое качество имеют лишь равносторонние треугольники. Это легко проверить, если подставить в формулу a=b=c.
- CT>0,5. Эти фигуры называют высококачественными, все три угла в них являются острыми или один из них прямой. Под качеством имеется в виду более-менее близкое соотношение длин сторон, поэтому фигура выглядит «скругленной».
- CT
- CT => 0. Абсолютно вырожденный треугольник. В нем тупой угол приближается к 180 °. Это означает, что два других угла должны быть равны нулю. Подобная ситуация возможна лишь в одном случае: вершина тупого угла приближается к противоположной стороне, и вся фигура вырождается в отрезок нулевой толщины («сплющивается»). Важно отметить, что второе главное свойство для этого треугольника будет говорить о том, что длины двух малых сторон в сумме равны третьей.
Важные линии
Несмотря на всю простоту построения треугольника, при решении задач могут понадобиться дополнительные отрезки. Внутри фигуры существует целая гамма типов этих отрезков, наиболее важными из них являются следующие:
- Медиана — делящий на две равные по площади части исходный треугольник. Отрезок проводится из вершины к середине противоположной стороны.
- Биссектриса. Ею называют отрезок, который на две половины делит угол при произвольной вершине.
- Высота. Этот элемент проводится также из вершины, но по отношению к противоположной стороне он является перпендикуляром. Таким образом, высота делит исходную фигуру на два прямоугольных геометрических объекта, которые в общем случае между собой не равны.
- Медиатриса — это серединный перпендикуляр, то есть он сочетает свойства медианы и высоты, однако, через вершину треугольника он может не проходить. Медиатрисами пользуются при построении описанной окружности.
- Средняя линия — это отрезок, который посередине пересекает две стороны треугольника. Его длина всегда будет в два раза меньше стороны фигуры, которой он параллелен. Средняя линия приводит к созданию подобной исходной фигуры, которая в два раза меньше.
Для правильных, равнобедренных и прямоугольных треугольников некоторые из названных отрезков могут совпадать друг с другом, а также со сторонами фигуры. Например, в прямоугольном треугольнике две малые стороны (катеты) также являются высотами.
Основные линии треугольника
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектрисой угла треугольника называется луч, исходящий из вершины треугольника и делящий его пополам.
Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или ее продолжение).
Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника и параллельный третьей стороне.
Два треугольника называются равными, если у них равны соответствующие стороны и соответствующие углы.
Решение задач
Для закрепления полученных знаний полезно привести пару примеров решения типичных геометрических задач с треугольниками, в которых нужно будет либо дать качественный ответ, либо получить некоторое количественное значение.
Первая задача требует получить качественный ответ. Пусть имеется треугольник со сторонами 1, 2, 4. Существует ли такая фигура, требуется выяснить.
Для решения этой проблемы абсолютно неважно измеряются стороны в метрах, в сантиметрах, в дюймах или в других величинах. Важно лишь взаимоотношение между ними. Для каждой из длин отрезков следует проверить свойство существования рассматриваемой фигуры. Если получится хотя бы одна ложь, то треугольник построить нельзя:
Таким образом, не существует треугольник со сторонами 1−2-4. Длин сторон 1 и 2 недостаточно даже для построения абсолютно вырожденной фигуры. Следует отметить, что является необязательным проверка всех трех неравенств, если встретилась «ложь», то есть уже по одному неравенству можно сказать о невозможности начертить фигуру.
Вторая задача требует дать не только качественный ответ, но и получить количественные характеристики фигуры. Нужно узнать, возможно ли построить треугольник со сторонами 3, 4 и 6, и, если да, то какой должен быть угол между сторонами с длинами 3 и 4.
Сначала следует проверить существующие неравенства:
α = arccos ((a 2 + b 2 — c 2 )/(2*a*b)) = arccos ((3 2 + 4 2 — 6 2 )/(2*3*4)) ≈ 51,38 °.
Таким образом, для определения возможности существования того или иного треугольника на плоскости необходимо проверить тот факт, что каждая из его сторон имеет меньшую длину, чем сумма двух других отрезков. Теорема косинусов является удобным инструментом для определения количественных характеристик рассматриваемого типа фигур.
Теорема 1 (о соотношениях между сторонами и углами треугольника).
- 1) Против большей стороны лежит большой угол.
- 2) Против большего угла лежит большая сторона.
Доказательство. 1) Пусть задан треугольник ABC и пусть \( \small AB > AC \) (Рис.1).
Докажем, что \( \small \angle C \gt \angle B .\)
Отложим на стороне отрезок , равной отрезку (Рис.2).
(1) |
Угол ADC является внешним углом треугольника BCD. Тогда:
(2) |
Так как AC=AD, то треугольник ACD является равнобедренным и, следовательно
. | (3) |
Тогда из (1), (2) и (3) следует:
. |
. |
Первая часть теоремы доказана.
2) Пусть в треугольнике ABC . Докажем, что \( \small AB > AC. \)
Предположим обратное, т.е. но при этом \( \small AB ≯ AC. \) Это значит либо \( \small AB = AC, \) либо \( \small AB < AC. \) Если \( \small AB = AC, \) то треугольник ABC равнобедренный и, следовательно \( \small \angle C = \angle B. \) Если же \( \small AB < AC, \) то из доказательства части 1) данной теоремы следует, что \( \small \angle C \lt \angle B. \) Значит наши предположения (\( \small AB = AC \) или \( \small AB < AC \)) неверны. То есть \( \small AB >AC. \)
Следствие 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Доказательство. В прямоугольном треугольнике напротив прямого угла (т.е. угла равного 90°) лежит гипотенуза. Остальные углы прямоугольного треугольника острые, проскольку сумма всех углов треугольника равна 180° (см. теорему статьи Сумма углов треугольника). Поскольку напротив острых углов стоят катеты и острые углы меньше 90°, то из части 2) теоремы 1 данной статьи следует, что гипотенуза больше катета.
Следствие 2 (Признак равнобедренного треугольника). Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
Доказательство. Пусть два угла треугольника равны. Тогда стороны лежащие напротив этих углов равны. Действительно. Если предположить, что стороны, лежащие напротив равных углов не равны, то по теореме 1, напротив большей стороны лежит большой угол, что противоречит условию следствия (что эти углы равны). Поскольку две стороны треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
Теоремы треугольников
Для любого треугольника справедливы следующие теоремы.
Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
Подробнее про теорему косинусов читайте по ссылке.
Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной вокруг этого треугольника окружности:
Подробнее про теорему синусов читайте по ссылке.
Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике
Теорема косинусов
Чтобы решать задачи на треугольники, недостаточно знать лишь главные их свойства. Последние позволяют лишь дать качественный, но не количественный ответ. Теорем и формул для рассматриваемых многоугольников известно много (синусов, Пифагора, медиан, Герона и др.). Однако, теорема косинусов является одной из основополагающих, поскольку позволяет по двум сторонам и углу определить значение длины третьей стороны (справедливости ради следует отметить, что теорема синусов является не менее важной, поскольку она по двум углам и стороне позволяет вычислить неизвестные стороны).
Соответствующее выражение имеет следующий вид:
c 2 = a 2 + b 2 — 2*a*b*cos (α).
Здесь a, b, c — длины сторон фигуры, α - угол между a и b. Нетрудно догадаться, что это выражение является обобщение пифагоровой теоремы для треугольника с прямым углом.
По сути, записанное равенство заключает в себе второе главное свойство треугольников. Действительно, значение угла α может изменяться от 0 ° до 180 °. При этом тригонометрическая функция cos пробегает значения от 1 до -1. Для всех них длина одного отрезка будет меньше суммы двух других. Лишь для значений -1 и +1 получается равенство, что свидетельствует о полном вырождении треугольника в отрезок.
Многоугольник с тремя сторонами
Прежде чем рассматривать задачу о том, как проверить, существует ли треугольник, следует подробно изучить эту фигуру. Согласно общепринятому определению, любой замкнутый многоугольник на плоскости, который состоит из трех отрезков, пересекающихся своими концами друг с другом, является треугольником. Эта фигура имеет две группы образующих ее элементов:
Сторонами являются три отрезка, длины которых могут быть либо известны по условию задачи, либо их предстоит рассчитать. Касательно вершин следует сказать, что у любого рассматриваемого многоугольника их три. Каждую принято обозначать одной латинской буквой, например, A, B, C и так далее. Поскольку два отрезка пересекаются в вершине, то они образуют некоторый угол. Их у фигуры три, поэтому становится понятным, откуда происходит название «треугольник».
Большие и меньшие длины
Основная теорема о соотношении между элементами в рассматриваемом типе многоугольников гласит, что против большего угла лежит большая сторона. Ее доказательство провести несложно, если построить треугольник, например, тупоугольный. Из тупого провести отрезок к противоположной стороне таким образом, чтобы он образовывал новый равнобедренный треугольник внутри исходного. После этого следует воспользоваться тем свойством, что внешний угол треугольника всегда больше внутреннего.
Следуя условию равенства углов в построенном равнобедренном треугольнике, легко показать, что против тупого всегда находится самый длинный отрезок.
Обратно эта теорема также справедлива, то есть против большей стороны треугольника лежит больший угол. Ее справедливость понятна каждому школьнику на интуитивном уровне, а доказательство заключается в переборе возможных трех вариантов соотношения между отрезками (больше, меньше, равно) и в привлечении уже доказанной теоремы.
Рассмотренные теоремы приводят к двум важным следствиям:
- Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. Следствие актуально для равносторонних и равнобедренных фигур.
- Гипотенуза в треугольнике с прямым углом является самой длинной стороной, поскольку она лежит напротив самого большого угла.
Рассмотренные теоремы и их следствия активно используются при изучении подобных фигур. Поскольку напротив равных углов двух треугольников лежат соответствующие им длины отрезков, то последние будут попарно относиться друг к другу с определенным коэффициентом подобия.
Признаки равенства треугольников
I признак (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
II признак (по стороне и прилежащим углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
III признак (по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Подробнее про признаки равенства треугольников читайте по ссылке.
Прямоугольный треугольник
Этот особый случай следует рассмотреть подробнее. Каждый школьник знает знаменитую теорему, позволяющую сравнить соответствие отрезков друг другу в этом типе фигуры. Она гласит, что сумма квадратов катетов соответствует квадрату гипотенузы, и называется пифагоровой теоремой, то есть можно записать:
Работать с прямоугольными треугольниками удобно по одной простой причине: через их геометрические параметры вводятся в математику тригонометрические функции. Последние легко использовать при вычислении сторон и углов фигуры. Например, если фигура является не только прямоугольной, но и равнобедренной, то ее катеты равны, а углы напротив них составляют по 45 °. При этом любой из катетов всегда в 2 0,5 раза меньше гипотенузы:
sin (45 °) = a/c = ½ 0,5 .
Это соотношение можно получить также из теоремы Пифагора.
Другая ситуация, когда один из острых углов равен 30 °. Для лежащего напротив него катета a можно записать следующее выражение:
Иными словами, лежащий против 30 ° катет составляет ровно половину длины гипотенузы.
Таким образом, в любом треугольнике существует прямая пропорциональность между длиной стороны и противолежащим ей углом. Для количественного решения задач по геометрии с этой фигурой следует пользоваться выражениями синусов, косинусов и теоремой Пифагора.
Одной из фигур, которая часто встречается в геометрических задачах у школьников, является треугольник. Какими могут быть стороны его, зависит от соотношения длин отрезков, из которых составлен этот многоугольник. В общем случае задачи с использованием рассматриваемой фигуры являются простыми и предполагают использование известных формул для их решения.
Соотношение между сторонами и углами треугольника
Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними
Два основных свойства
В некоторых геометрических задачах можно встретить проблемы, которые формулируются так: можно ли построить треугольник со сторонами a, b, c, если известны их длины. Либо другой тип задач, которые предполагают знание некоторых сторон и углов, и требуют определить возможность существования такой фигуры.
Ответ на все эти проблемы заключается всего в одном слове: либо «да» и такой треугольник действительно существует, либо «нет» и из заданных элементов его построить не представляется возможным. Разобраться со всеми этими задачами поможет знание двух главных свойств, которые всегда справедливы для треугольников любых типов:
- Равенство всех углов 180 °. Если их обозначить буквами A, B и C, тогда будет выполняться следующее выражение: A + B + C = 180 °. Из него можно сделать множество важных выводов. Например, если три угла равностороннего треугольника одинаковые, то мера каждого из них составит 60 ° (A=B=C=180 °/3=60 °). Также это свойство позволяет понять, почему в рассматриваемом многоугольнике может существовать лишь один тупой или прямой угол.
- Длины двух сторон в сумме всегда больше длины третьей стороны. Это второе важное свойство любого типа треугольников. Независимо от того, идет речь о тупоугольной фигуре или о прямоугольной, одна сторона в ней по своей длине будет всегда меньше суммы двух других.
Оба свойства с успехом можно и необходимо применять, чтобы проверить или узнать возможность существования того или иного треугольника. Важно понимать, что невыполнение любого из свойств говорит о невозможности построения рассматриваемой фигуры.
Теоремы косинусов и синусов
Количественной характеристикой соотношения сторон и углов являются знаменитые формулы, содержащие зависимость длин отрезков и угловых мер. Первая из них называется теоремой косинусов. Соответствующая формула имеет вид:
c 2 = a 2 + b 2 — 2*a*b*cos©.
Здесь величины a, b, c — это длины, C — угол напротив стороны c. Формула позволяет вычислить третью сторону по известным двум другим и углу между ними. Однако, возможности выражения шире, с его помощью можно посчитать всякий внутренний угол фигуры, если известны три ее стороны.
Следующая по счету, но не по важности теорема синусов. Ее математическое выражение записывается так:
a/sin (A) = b/sin (B) = c/sin©.
Эти равенства говорят о том, что отношение стороны к синусу противоположного ей угла является постоянной характеристикой конкретного треугольника. Зная связь двух углов и стороны или двух отрезков и одного угла можно рассчитать все остальные характеристики фигуры. Следует запомнить, что для любого рассматриваемого типа многоугольников однозначное вычисление всех его свойств требует знания минимум трех элементов (кроме трех углов).
Читайте также: