В какой системе счисления выполняет арифметические расчеты компьютер
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей
Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения
Столичный центр образовательных технологий г. Москва
Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца
от 3 170 руб. 1900 руб.
Количество часов 300 ч. / 600 ч.
Успеть записаться со скидкой
Форма обучения дистанционная
- Онлайн
формат - Диплом
гособразца - Помощь в трудоустройстве
311 лекций для учителей,
воспитателей и психологов
Получите свидетельство
о просмотре прямо сейчас!
Новоуренгойский филиал Профессионального образовательного учреждения
«Уральский региональный колледж»
«АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ работы КОМПЬЮТЕРА»
21.02.05 Земельно-имущественные отношения
Выполнила обучающаяся гр. ЗИ-174________ Цуркану Анастасия Игоревна 20.11.2019
Оценка за выполнение и защиту реферата _____________
Проверила ______________ Малышева Светлана Ивановна
1. Арифметические основы компьютера………………. ……………………. 4
1.2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую……………….5
2. Логические основы компьютера………………………………………………7
Любой компьютер может быть представлен как арифметическая машина, реализующая алгоритмы путем выполнения арифметических действий.
Процессор выполняет арифметические и логические операции над двоичными кодами. Поэтому для получения представления об устройстве компьютера, необходимо познакомиться с основными логическими элементами, лежащими в основе его построения.
Изучение систем счисления, арифметических и логических операций очень важно для понимания того, как происходит обработка данных в вычислительных машинах.
1. Арифметические основы компьютера
1.1.Система счисления
Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Различают два типа систем счисления:
1) Позиционные – значение каждой цифры определяется ее местом (позицией) в записи числа.
2) Непозиционные – значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.
Количество цифр, используемых в системе счисления, называется основанием системы счисления.
1.2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Для перевода числа из системы счисления с любым основанием в десятичную нужно представить число в развернутом виде и вычислить сумму. Для перевода дробных чисел действуют по тому же алгоритму, учитывая, что дробная часть будет иметь отрицательные степени основания.
Для перевода целого числа из десятичной в систему счисления с любым основанием , необходимо это число делить на основание системы счисления, запоминая остатки. Когда частное станет меньше делителя, деление прекращается, и это частное становится старшей цифрой искомого числа. Затем все остатки записываются в обратном порядке.
Чтобы перевести дробное число из десятичной системы счисления в другую, нужно умножить дробное число на основание новой системы счисления, отдельно выписать целую часть полученного числа. Если дробная часть полученного числа не равна нулю, или не достигнута требуемая точность вычислений, то с дробной частью повторить изначальные операции.
Полученные целые части произведений составляют искомую дробь в той последовательности, в которой они были получены.
Для того, чтобы перевести число из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную систему, двоичное число необходимо разложить справа налево на группы цифр по три для перевода в восьмеричную систему и по четыре для перевода в шестнадцатеричную систему.
При необходимости можно дополнить слева незначащими нулями.
1.3. Двоичная арифметика
Для того чтобы лучше освоить двоичную систему счисления, необходимо освоить выполнение арифметических действий над двоичными числами.
Во всех позиционных системах арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам:
· справедливы одни и те же законы арифметики: коммуникативный, ассоциативный, дистрибутивный;
· справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком;
· правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.
При сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания.
Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведённой таблицей вычитания с учетом возможных заёмов из старших разрядов.
Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме (применяемой в десятичной системе счисления) с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.
При делении столбиком приходится в качестве промежуточных результатов выполнять действия умножения и вычитания.
2. Логические основы компьютера
Отсутствие ошибок в рассуждениях возможно только тогда, когда строго соблюдаются законы логики.
Логика - это наука о формах и законах человеческого мышления и, в частности, о законах доказательных рассуждений.
Формальная логика содержит в себе некоторые основные понятия, такие как: высказывание, истинность высказывания и вывод.
Высказывание - грамматически правильное повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или нет. Высказывания обозначают буквами латинского алфавита. Обычно считают, что высказывание может принимать два значения: ИСТИНА или ЛОЖЬ, их английские эквиваленты TRUE или FALSE, часто используют двоичные цифры 1 (ИСТИНА) или 0 (ЛОЖЬ).
Вывод - рассуждение по правилам логики, в ходе которого из исходных высказываний (посылок) получают новое высказывание (заключение).
Простые высказывания содержат только одно утверждение, сложные высказывания содержат несколько утверждений. Формулы, выражающие зависимость значения сложного высказывания от входящих в него простых высказываний, логическое выражение, рассматривают как логические переменные.
Таблица истинности показывает, какие значения имеет логическое выражение при всех возможных комбинациях значений логических переменных.
Исходя из предоставленной мною информации, мы можем сделать вывод, что алгебра и логика непрерывно связаны в информатике.
Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой счисления, с которой работает компьютер, является двоичная система счисления, в которой используются только цифры 0 и 1
Здравствуйте. Если вы собираетесь изучить язык программирования python или любой другой язык, Вам необходимо знать, как компьютер хранит и обрабатывает числа. В привычной для нас системе исчисления десять знаков от 0 до 9, и называется она десятичной. А почему именно десять цифр? Видимо потому, что первобытные люди, которые изобрели эту систему, пользовались для счета пальцами рук.
Существует так же восьмиричная система исчисления. Она имеет только восемь цифр от 0 до 7. Есть еще и шестнадцатиричная система исчисления. В ней используются шестнадцать цифр. Для обозначения первых десяти цифр применяются цифры от 0 до 10, а недостающие шесть цифр дополняют буквами A, B, C, D, E, F. Но мы на них останавливаться не будем.
Сегодня поговорим о двоичной системе исчисления. Для записи любого числа используются две цифры 0 и 1. Процессор компьютера состоит из миллиардов маленьких транзисторов, которые имеют состояние логического нуля 0 – когда напряжение на выходе отсутствует, и состояние логической единицы 1 – когда на выходе присутствует напряжение. Компьютеру удобно использовать данную систему.
В привычной для нас десятичной системе, если нам нужно записать число меньше десяти, мы используем всего одну цифру. Для записи числа от 10 и 99, мы вводим новый разряд, который сначала мы приравниваем единице. Подставляя в младший разряд те же цифры от 0 до 9, после 9 опять идет 0 и мы получаем новый десяток. Когда во втором разряде мы дойдем до 99, вводим третий разряд от 100 до 999, потом четвертый, пятый и т. д.
В двоичной системе действует то же правило, только для записи числа используются две цифры 0 и 1. Поэтому, при увеличении на один, после 1 снова идёт 0, и при этом вводим следующий разряд. В двоичной системе числа от 0 до 10 выглядят так: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001.
Для выполнения операций над числами компьютер:
Переводит число из десятичной системы в двоичную;
выполняет необходимые операции (например, сложение);
результат обратно переводит в десятичную систему и выдает нам.
Давайте рассмотрим несколько примеров как можно число из десятичной системы исчисления, перевести в двоичную систему исчисления:
Возьмем число 123 и воспользуемся методом последовательным делением на число 2
Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой…
4.6. Как перевести целое число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления? При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить…
При переводе числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления. Примеpы:
Рассмотрим только те системы счисления, которые применяются в компьютерах - десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Для определенности возьмем произвольное десятичное число, например…
Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны - это сложение, вычитание, умножение столбиком…
Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака. Целые числа без знака обычно занимают в памяти один или два байта и принимают в однобайтовом формате значения от 000000002 до…
Сложение и вычитание В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение уменьшаемого с обратным или дополнительным кодом вычитаемого. Это позволяет существенно…
Вещественными числами (в отличие от целых) в компьютерной технике называются числа, имеющие дробную часть. При их написании вместо запятой принято писать точку. Так, например, число 5 - целое, а числа…
К началу выполнения арифметического действия операнды операции помещаются в соответствующие регистры АЛУ. Сложение и вычитание При сложении и вычитании сначала производится подготовительная операция,…
4.1. Используя Правило Счета, запишите первые 20 целых чисел в десятичной, двоичной, троичной, пятеричной и восьмеричной системах счисления. <Ответы в конце документа>4.2. Какие целые числа следуют…Ответы>
к задачам из плаката
«Выбери свой университет»
в школах Москвы
Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны - это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.
Сложение
Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.
Сложение в восьмеричной системе
Сложение в шестнадцатиричной системе
При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.
Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
101012 = 2 4 + 2 2 + 2 0 = 16+4+1=21,
258 = 2*8 1 + 5*8 0 = 16 + 5 = 21,
1516 = 1*161 + 5*160 = 16+5 = 21.
Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.
Проверка:
110012 = 2 4 + 2 3 + 2 0 = 16+8+1=25,
318 = 3*8 1 + 1*8 0 = 24 + 1 = 25,
1916 = 1*16 1 + 9*16 0 = 16+9 = 25.
Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.
Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,2510 = 11001001,012 = 311,28 = C9,416
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
11001001,012 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25
311,28 = 3*8 2 + 1
C9,416 = 12*16 1 + 9*16 0 + 4*16 -1 = 201,25 Вычитание
Пример 4. Вычтем единицу из чисел 102, 108 и 1016
Пример 5. Вычтем единицу из чисел 1002, 1008 и 10016.
Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.
Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,12 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;
215,48 = 2*8 2 + 1*8 1 + 5*8 0 + 4*8 -1 = 141,5;
8D,816 = 8*16 1 + D*16 0 + 8*16 -1 = 141,5.
Умножение
Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.
Умножение в восьмеричной системе
Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.
Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.
Ответ: 5*6 = 3010 = 111102 = 368.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
111102 = 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 1 = 30;
368 = 3•8 1 + 6•8 0 = 30.
Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.
Ответ: 115*51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
10110111010012 = 2 12 + 2 10 + 2 9 + 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 0 = 5865;
133518 = 1*8 4 + 3*8 3 + 3*8 2 + 5*8 1 + 1*8 0 = 5865.
Деление
Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.
Пример 9. Разделим число 30 на число 6.
Ответ: 30 : 6 = 510 = 1012 = 58.
Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.
Восьмеричная: 133518 :1638
Ответ: 5865 : 115 = 5110 = 1100112 = 638.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
1100112 = 2 5 + 2 4 + 2 1 + 2 0 = 51; 638 = 6*8 1 + 3*8 0 = 51.
Пример 11. Разделим число 35 на число 14.
Восьмеричная: 438 : 168
Ответ: 35 : 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
10,12 = 2 1 + 2 -1 = 2,5;
2,48 = 2*8 0 + 4*8 -1 = 2,5.
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей
Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения
- Онлайн
формат - Диплом
гособразца - Помощь в трудоустройстве
Видеолекции для
профессионалов
- Свидетельства для портфолио
- Вечный доступ за 120 рублей
- 311 видеолекции для каждого
Курс повышения квалификации
Методика и технологии работы с современными автоматизированными системами библиотек и информационно-библиотечных центров в условиях реализации ФГОС
Курс профессиональной переподготовки
Безопасность технологических процессов и производств
Курс повышения квалификации
Основы издания детских книг в рамках проектной деятельности в школе
«Развитие эмоционального интеллекта»
«Учись, играя: эффективное обучение иностранным языкам дошкольников»
Свидетельство и скидка на обучение
каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ ЭВМ
МОУ СОШ №1 6Б Герасимов Сергей
Из истории создания ЭВМ
1642 году Блез Паскаль изобрел устройство для механического сложения чисел
1673 году Г. В. Лейбниц сконструировал арифмометр
английский математик Ч. Бэббидж попытался построить универсальное вычислительное устройство, выполняющее вычисления без участия человека. Для этого оно должно было уметь исполнять программы, вводимые с помощью перфокарт .
американец Г. Эйкен в 1943 году построил на одном из предприятий фирмы IBM машину, функционирующую на электромеханических роле и получившую название «Марк-1».
с 1943 года, специалисты под руководством Д. Мочли и П. Экерта в США конструировали более современную вычислительную машину на основе электронных ламп, которая могла бы хранить выполняемую программу в своей памяти. В 1945 году к проекту был привлечен знаменитый математик Джон фон Нейман.
Первый компьютер построен в 1949 году английским исследователем М. Уилксом.
Первый компьютер, в котором в полной мере реализовались принципы фон Неймана. С той поры прошло более 60 лет, но большинство современных компьютеров соответствуют принципам, изложенным фон Нейманом.
♦ арифметико-логическое устройство, выполняющее арифметические и логические операции;
устройство управления, организующее процесс выполнения программ и синхронизирующее работу остальных устройств компьютера;
запоминающее устройство (память), предназначенное для хранения выполняемых программ и обрабатываемых данных;
внешние устройства, предназначенные для ввода и вывода информации.
Представление информации в компьютере
Компьютер может обрабатывать только информацию, представленную в числовой форме.
Системы счисления
Система счисления —
это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).
Двоичная система счисления
. В этой системе всего две цифры –
0 и 1
Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически.
Десятичная система счисления
Десятичная система счисления пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа - число десятков, следующая - число сотен и т.д.
Восьмеричная система счисления.
Восьмеричная система счисления. В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает - как и в десятичном числе - просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмеричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.
Шестнадцатеричная система счисления.
Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 в следующем - 16 (десятичное), в следующем - 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное). Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогочно тому, как это делается для восьмеричной системы.
позиционные и непозиционные системы счисления
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.
Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения
700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 * 102 + 5 * 101 + 7 * 100 + 7 * 10-1 = 757,7.
Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.
В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.
Пример представления числа в десятичной системе счисления
Десятичное число, состоящее хотя бы из двух цифр, является суммой различных степеней основания, умноженных на соответствующую цифру. Так, число 10 представляет собой сумму из одного десятка (101) и нуля единиц (100), а число 423 — сумму из четырех сотен (102), двух десятков (101) и трех единиц (100).
Пример представления числа в восьмеричной системе счисления.
Рассмотренный метод представления чисел достаточно универсален и используется в других системах счисления, в которых основание отлично от десяти. Например, в системе с основанием 8 задействовано восемь символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7, а значимость каждой позиции возрастает пропорционально степени числа 8, как показано на рис.3.
Пример представления числа в двоичной системе счисления.
Компьютер способен обрабатывать информацию в двоичной системе счисления. В ней используются только два символа 0 и 1, а смещение символа на одну позицию влево увеличивает значение числа пропорционально степени основания 2. На рисунке показано восьмибитовое (1 байт) представление числа 58 в двоичной системе счисления.
Перевод числа из одной системы счисление в другую
Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления. Эта система имеет ряд преимуществ перед другими системами:
для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;
представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
двоичная арифметика намного проще десятичной.
Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов. Являясь удобной для компьютеров, для человека двоичная система неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.
Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.
Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2).
Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему
Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).
Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16.
Пример: Перевести число 0,35 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
Ответ: 0,3510 = 0,010112 = 0,2638 = 0,5916 .
Арифметические операции в позиционных системах счисления
При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.
Пример: Сложим числа 15 и 6 в шестнадцатеричной системе счисления: F16 + 61615 + 6 = 2110 = 101012 = 258;
Ответ: = 1516.
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
101012= 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21,
258 = 2*81 + 5*80 = 16 + 5 = 21,
1516 = 1*161 + 5*160 = 16+5 = 21.
Читайте также: