Точную информацию о соотношении сторон геометрической фигуры можно получить с помощью
Тест по информатике Информация вокруг нас 5 класс с ответами. Тест включает в себя 2 варианта. В каждом варианте по 8 заданий.
Визуальный способ
Существует также наглядный, но неточный способ. Нужно взять листок в клеточку и нарисовать на нём многоугольники. Если рисунок получился большой — не страшно, так будет только проще в дальнейшем. Следующий шаг — посчитать количество клеток, которое заняла каждая фигура и сравнить. Если оно равно, равновеликость доказана. Опять же метод не точный, но для введения в концепцию площадей и их «равности» подойдёт.
Иногда встречается словосочетание «равносоставленная фигура». Такими называют произвольные многоугольники, которые можно составить друг из друга путём разрезания одного из них на одинаковые объекты и перекладывания. Например, если прямоугольник 4 на 1 нарезать на одинаковые части — квадраты 1 на 1, то из полученных маленьких квадратов можно составить один большой со стороной 2. Но это не более чем забавное свойство некоторых фигур и в геометрии фактически почти не используется.
Понять геометрию с нуля — это непросто. Но, чем дальше, тем интереснее. Новые знания можно применить везде: в школе на уроках, дома во время ремонта и даже на прогулке. В этой статье рассказали про основы геометрии для начинающих.
О чем эта статья:
Равность правильных фигур
Частным и самым простым для сравнения является случай, когда многоугольник по условию правильный. Так называется фигура с одинаковыми сторонами и углами. Например, равносторонний треугольник и квадрат. Важно не забывать проверить равны ли углы, так как не каждая фигура правильная. Тот же ромб по определению имеет 4 совпадающие по длине стороны, но разные углы. При сравнении правильных многоугольников достаточно указать, что, хотя бы одна сторона фигуры равна стороне у другой. Это будет достаточное условие для доказательства «равности».
Самым простым и наглядным способом сверки двух фигур будет не геометрический с помощью правил, а путём наложения рисунков друг на друга. Разумеется, что он не претендует на точность, но изобразить параллелограмм и наложить его на другой нагляднее, чем сравнивать, например, углы. Понятно, что так можно только ознакомиться с концепцией «равности» и показать, какие фигуры называются равными, для упрощения в дальнейшем решения задач, но доказывать что-либо нельзя, ввиду неточности метода.
Если при сравнении двух тел оказывается, что их площади равны, такие тела (многоугольники) являются равновеликими. Как и в случае с прошлым, это определение звучит несложно. Проблемы могут начаться непосредственно при вычислении площадей. Самый простой многоугольник — треугольник. Для вычисления его площади существует множество способов.
Типы фигуры
Их классификация является достаточно развитой. В ее основу положены принципы взаимоотношения длин сторон друг с другом, а также численные значения углов. В общем случае в геометрии рассматривают следующие типы треугольников:
- Равносторонний или равноугольный. Это самая симметричная фигура рассматриваемого класса, поскольку ее образуют три равные по длине стороны. Все ее углы также являются одинаковыми, каждый из них составляет 60 °. Специальные отрезки в таком треугольнике (медиана, биссектриса, медиатриса или серединный перпендикуляр и высота) совпадают друг с другом независимо от того, через какую сторону или угол они проходят.
- Равнобедренный. Этот тип многоугольников является менее симметричным, чем равносторонний, однако, некоторая симметрия все же сохраняется. У этой фигуры имеются две одинаковые стороны и, как следствие, два одинаковых угла. Третий угол и сторона имеют отличные значения. Биссектриса, медиана, высота и медиатриса, которые проведены из вершины, где пересекаются одинаковые стороны, совпадают между собой. Равнобедренный треугольник может иметь как тупой, так и острый угол.
- Прямоугольный. Каждому школьнику известна знаменитая теорема Пифагора, которая применима только к данному типу многоугольников. В прямоугольной фигуре имеется один (и только один) угол, мера которого составляет 90 °. Лежащий против него отрезок называется гипотенузой, она имеет самую большую длину. Оставшиеся отрезки называются катетами. Они могут быть как одинаковыми, так и иметь разную длину.
- Общего типа. Именно этот вид фигур встречается чаще всего в задачах, поскольку его углы и стороны могут иметь произвольные значения. По этой причине работать с ним гораздо сложнее, чем с симметричными и прямоугольными многоугольниками. Тем не менее теоремы синусов и косинусов остаются справедливыми всегда.
Определение тела и пространства
Геометрическое тело (ГТ) представляет часть пространства, отделенное замкнутой поверхностью наружной границы. Это понятие относится к компактному множеству точек, а две из них соединяют отрезком, проходящим внутри границы тела. Внешняя граница ГТ является его гранью, которых может быть несколько. Множество плоских граней определяет вершины и ребра ГТ. Все геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения.
Тела вращения — объемные тела, образующиеся из-за вращения плоской фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси. Эта ось расположена в той же плоскости. При вращении контуров фигур вокруг собственной оси возникает поверхность вращения, а если вращать заполненные контуры — возникают объекты (шар).
Шар представляет множество точек, расположенных от данной точки на небольшом пространстве. Точка является центром шара, а расстояние ограничено радиусом.
В сферу геометрии входят плоские (двухмерные) и объемные пространственные фигуры (трехмерные).
Плоские фигуры представляют точка, круг, полукруг, окружность, овал, прямоугольник, квадрат, луч, ромб, трапеция.
Существуют двухмерные фигуры (2D), представленные углом, многоугольником, четырехугольником, окружностью, кругом, эллипсом и овалом. Объекты 3D выделены двугранным или многогранным углом. Среди них известны призма, параллелепипед, куб, антипризма, пирамида, тетраэдр икосаэдр, бипирамида, геоид, эллипсоид, сфера шар и другие. Плоские фигуры изучает планиметрия, а объемные — стереометрия.
Объемные фигуры:
- Шар.
- Конус.
- Параллелепипед.
- Цилиндр.
- Сфера.
Конус образуется из треугольника с прямыми углами, при вращении его вокруг одного из катетов. Тороид возникает из замкнутой плоскости (окружности), вращающейся вокруг прямой и не пересекающей ее. Многогранник называется полиэдр, представляет замкнутую поверхность, состоящую из многоугольников.
Виды многогранников:
- Тетраэдер (четырехгранник). Это правильный треугольник.
- Куб (гексаэдр). Грани являются квадратом.
- Октаэдр. Имеется шесть вершин и восемь граней.
- Икосаэдр. Равносторонние треугольники являются гранями. Имеется 12 граней и 12 вершин.
- Додекаэдр. Правильные шестиугольники, имеется 12 граней, 20 вершин.
В школьной программе имеются специальные разделы геометрии, позволяющие распределить знания и не путать их в будущем. Это касается плоских, объемных фигур — одни изучает стереометрия, другие планиметрия.
Идеальные объекты
Геометрия — раздел математики, который изучает пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.
Математика занимается объектами и делает о них некие заключения, которые называют теоремами. Эти треугольники похожи, и о них можно сделать близкое заключение, которое будет описывать свойства обоих.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.
Практическая сторона геометрии
Название «геометрия» переводится с греческого, как «гео» — земля и «метрео» — мерить. Изначально геометрию использовали для разметки земли и других работ с землей. Но, оказалось, что сфера ее влияния безгранична.
Чтобы понять, зачем нам нужны знания по геометрии, просто оглянитесь вокруг: геометрия окружает нас в предметах разных форм. Взять хотя бы круг: его используют в искусстве, строительстве, технике. То же самое и с другими фигурами: чтобы сконструировать автомобиль или айфон, сшить одежду или построить дом — не обойтись без геометрии.
А еще геометрия помогает научиться рассуждать логически, искать связи и противоречия — полезный навык в диджитал-мире, когда информация окружает нас повсюду.
Вот, в каких профессиях пригодится геометрия: архитектор, айтишник, дизайнер, инженер, конструктор, строитель, smm-менеджер, декоратор, летчик, водитель, художник, проектировщик, астроном, спортсмен, музыкант и другие.
Почему изучать геометрию просто: мы видим объемный мир каждый день и регулярно прикасаемся к предметам, строим планы, размышляем и считаем в уме. В геометрии все знания подкреплены научными теориями — это помогает взаимодействовать с пространством по-другому, более осознанно.
Почему изучать геометрию сложно: некоторые правила придется учить наизусть.
Чтобы понять геометрию, двигайтесь от простого к сложному. Многие теоремы могут показаться очевидными. Но эта видимость может быть верной только для одного рисунка. Невозможно нарисовать все ситуации, ведь их их бесконечное множество. Именно поэтому важно доказать истину, чтобы никогда не сомневаться в ней.
Равные многоугольники
По определению равные фигуры должны быть во всём одинаковыми, включая площадь, длину сторон, размер углов и другие параметры. Чтобы рассмотреть всё из них, уйдёт много времени, да это и не нужно, ведь они взаимозависимы. Хорошим примером будет самый простой многоугольник — треугольник. Существует несколько правил, по которым можно определить, равны ли 2 треугольника между собой или нет:
- По трём сторонам.
- По стороне и двум прилегающим к ней углам.
- По двум сторонам и углу между ними.
Нельзя путать первое условие с тремя углами. Ведь если в треугольнике равны 3 угла, они необязательно будут равными, но будут подобными.
Названия условий достаточно точно описывают критерии, по которым можно определить одинаковые 2 треугольника или нет. Из них следует, что необязательно знать все параметры: часто хватает только нескольких из них для определения «равности».
В большинстве случаев определить одинаковость других фигур гораздо сложнее, нежели треугольников. К счастью, чаще всего в школьной геометрии такой класс задач не рассматривают или даются дополнительные данные, помогающие с решением.
Например, доказательство «равности» для четырёхугольника сложнее, да и почти не встречается. Но если по условию сказано, что четырёхугольник не произвольный, а имеет прямые углы, задача становится проще. В таком случае рассматривается прямоугольник. А для него достаточно, чтобы 2 не противолежащие стороны были равны.
Если указано ещё и условие, что прямоугольник является квадратом, достаточно указать, что у двух таких фигур совпадает по длине одна сторона и уже этого будет достаточно.
Теорема косинусов
Чтобы решать задачи на треугольники, недостаточно знать лишь главные их свойства. Последние позволяют лишь дать качественный, но не количественный ответ. Теорем и формул для рассматриваемых многоугольников известно много (синусов, Пифагора, медиан, Герона и др.). Однако, теорема косинусов является одной из основополагающих, поскольку позволяет по двум сторонам и углу определить значение длины третьей стороны (справедливости ради следует отметить, что теорема синусов является не менее важной, поскольку она по двум углам и стороне позволяет вычислить неизвестные стороны).
Соответствующее выражение имеет следующий вид:
c 2 = a 2 + b 2 — 2*a*b*cos (α).
Здесь a, b, c — длины сторон фигуры, α - угол между a и b. Нетрудно догадаться, что это выражение является обобщение пифагоровой теоремы для треугольника с прямым углом.
По сути, записанное равенство заключает в себе второе главное свойство треугольников. Действительно, значение угла α может изменяться от 0 ° до 180 °. При этом тригонометрическая функция cos пробегает значения от 1 до -1. Для всех них длина одного отрезка будет меньше суммы двух других. Лишь для значений -1 и +1 получается равенство, что свидетельствует о полном вырождении треугольника в отрезок.
Окружность
Окружность — это еще один объект, который полезно изучить. Ее легко описать, она задается одним параметром — радиусом. А еще часто встречается в физике и в обычной жизни. Например, когда капля падает в воду, от нее остаются следы — маленткие окружности.
Комбинации простейших объектов
Поговорим про комбинации простейших объектов. Например, две прямые, которые мы уже разглядели — либо пересекаются на плоскости, либо нет (тогда они параллельны).
Когда прямые пересекаются, можно ввести понятие отношения между двумя прямыми. Аналогично мы поступали с числами: ввели натуральные числа — количество предметов в множестве. А после этого изучали отношения между этими числами: дроби, возведение в степень.
Точно так же мы изучали множества, а после — отношения между множествами, функции.
Две прямые образуют углы. По сути, угол — это отношение между прямыми. Если один из них нулевой, то прямые параллельны. Если нет — прямые пересекаются.
Максимальный угол – это полный оборот, он составляет 360 градусов.
Угол — это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, которые выходят из одной точки. Углы измеряются в градусах. Углов бесконечно много, так как от 0° до 360° угол может принимать бесконечное множество значений.
Есть разные виды углов, выделим самые часто встречающиеся:
Если градусная мера угла меньше 90° — угол острый.
Если градусная мера угла равна 90° — угол прямой.
Если градусная мера угла больше 90°, но меньше 180° — угол тупой.
Если градусная мера угла равна 180° — угол развернутый.
Общая точка, из которой исходят лучи, называется вершиной угла, а лучи — сторонами угла.
Два угла называются вертикальными, если их стороны являются дополнительными лучами. Свойство вертикальных углов звучит так: вертикальные углы равны.
Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополнительными лучами. Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180°.
Биссектриса угла — это луч с началом в вершине угла, который делит угол на две равные части.
А теперь посмотрим на взаимное расположение трех прямых.
Первый случай: все три прямые параллельны.
Второй случай: две прямые параллельны, а третья их пересекает.
Третий случай: если провести три прямые на плоскости случайным образом, велика вероятность образования треугольника. Поэтому этой фигуре мы уделяем так много времени в школе на уроках геометрии.
Решение задач
Для закрепления полученных знаний полезно привести пару примеров решения типичных геометрических задач с треугольниками, в которых нужно будет либо дать качественный ответ, либо получить некоторое количественное значение.
Первая задача требует получить качественный ответ. Пусть имеется треугольник со сторонами 1, 2, 4. Существует ли такая фигура, требуется выяснить.
Для решения этой проблемы абсолютно неважно измеряются стороны в метрах, в сантиметрах, в дюймах или в других величинах. Важно лишь взаимоотношение между ними. Для каждой из длин отрезков следует проверить свойство существования рассматриваемой фигуры. Если получится хотя бы одна ложь, то треугольник построить нельзя:
Таким образом, не существует треугольник со сторонами 1−2-4. Длин сторон 1 и 2 недостаточно даже для построения абсолютно вырожденной фигуры. Следует отметить, что является необязательным проверка всех трех неравенств, если встретилась «ложь», то есть уже по одному неравенству можно сказать о невозможности начертить фигуру.
Вторая задача требует дать не только качественный ответ, но и получить количественные характеристики фигуры. Нужно узнать, возможно ли построить треугольник со сторонами 3, 4 и 6, и, если да, то какой должен быть угол между сторонами с длинами 3 и 4.
Сначала следует проверить существующие неравенства:
α = arccos ((a 2 + b 2 — c 2 )/(2*a*b)) = arccos ((3 2 + 4 2 — 6 2 )/(2*3*4)) ≈ 51,38 °.
Таким образом, для определения возможности существования того или иного треугольника на плоскости необходимо проверить тот факт, что каждая из его сторон имеет меньшую длину, чем сумма двух других отрезков. Теорема косинусов является удобным инструментом для определения количественных характеристик рассматриваемого типа фигур.
Скопление точек и линий на плоскости образует геометрические фигуры. Их названия зависят от свойств и особенностей. Фигура ограничена линиями и это условие влияет на многообразие форм. Каждый предмет индивидуален, имеет свои предназначения и задачи. Существуют простые и сложные фигуры, различающиеся личными параметрами.
Треугольник
Треугольник образуют три прямые. Но на треугольник также можно посмотреть, как на фигуру, которая состоит из трех отрезков.
Из треугольников можно получить остальные многоугольники и к треугольникам можно приближать другие фигуры. Например, пятиугольник состоит из трех треугольников.
Треугольник можно использовать для измерения расстояний. А еще треугольник можно рассматривать в отношениях с окружностью, которая тоже является элементарной конструкцией. Читайте про вписанные и описанные углы.
Треугольник можно легко вычислить, то есть найти его площадь по трем элементам:
две стороны и угол между ними;
два угла и сторону;
Приходи на наши онлайн уроки по математике с лучшими препадавателями! Для учеников с 1 по 11 классы!
Два основных свойства
В некоторых геометрических задачах можно встретить проблемы, которые формулируются так: можно ли построить треугольник со сторонами a, b, c, если известны их длины. Либо другой тип задач, которые предполагают знание некоторых сторон и углов, и требуют определить возможность существования такой фигуры.
Ответ на все эти проблемы заключается всего в одном слове: либо «да» и такой треугольник действительно существует, либо «нет» и из заданных элементов его построить не представляется возможным. Разобраться со всеми этими задачами поможет знание двух главных свойств, которые всегда справедливы для треугольников любых типов:
- Равенство всех углов 180 °. Если их обозначить буквами A, B и C, тогда будет выполняться следующее выражение: A + B + C = 180 °. Из него можно сделать множество важных выводов. Например, если три угла равностороннего треугольника одинаковые, то мера каждого из них составит 60 ° (A=B=C=180 °/3=60 °). Также это свойство позволяет понять, почему в рассматриваемом многоугольнике может существовать лишь один тупой или прямой угол.
- Длины двух сторон в сумме всегда больше длины третьей стороны. Это второе важное свойство любого типа треугольников. Независимо от того, идет речь о тупоугольной фигуре или о прямоугольной, одна сторона в ней по своей длине будет всегда меньше суммы двух других.
Оба свойства с успехом можно и необходимо применять, чтобы проверить или узнать возможность существования того или иного треугольника. Важно понимать, что невыполнение любого из свойств говорит о невозможности построения рассматриваемой фигуры.
Общая характеристика
Предметы в геометрическом изображении состоят из отдельных частей: точек, линий, лучей, отрезков и вершин. Отдельно взятый предмет имеет свое предназначение.
Базовые геометрические объекты
Базовые геометрические фигуры — это точки, отрезки, лучи, прямые, плоскости.
Точка — это идеальный математический объект, у которого нет длины и ширины.
Отрезок — это часть прямой, у которого есть начало и конец.
Смежные отрезки — это отрезки, которые не лежат на одной прямой и имеют один общий конец. На рисунке изобразили смежные отрезки АВ и АС, где точка А — общий конец.
Прямая — это «не кривая». Более точное определение вряд ли можно сформулировать.
Когда мы рисуем прямую на листе бумаги, мы изображаем только ее часть, потому что прямая не имеет начала и конца.
Обозначать прямые принято малыми латинскими буквами (a, b, c), но можно и большими латинскими буквами (АВ, CD, MN). Точки всегда обозначают большими латинскими буквами (А, В, С).
Два варианта расположения точек относительно прямой:
Точки лежат на данной прямой. Или еще говорят, что прямая проходит через эти точки — на рисунке выше такими точками являются А и В. При решении задач для краткости используют запись A ∈ a (читается так: точка А принадлежит прямой a или точка А лежит на прямой a), аналогично будет и для точки В (B ∈ b).
Точки не лежат на данной прямой. Говорят так: прямая не проходит через эти точки — на рисунке такими точками являются С и D. При решении задач для краткости используют запись C ∉ a (читается так: точка С не принадлежит прямой a или точка С не лежит на прямой a), аналогично будет и для точки D (D ∉ a).
Если рассмотреть две прямые, то возможны два варианта их расположения:
Прямые пересекаются, то есть имеют одну общую точку.
Для записи пересекающихся прямых используют специальный знак — ∩, то есть a∩b (читают: прямая a пересекает прямую b). Чтобы обозначить точку пересечения прямых, пишут a∩b = O (читается: прямая a пересекается с прямой b в точке O).
Для записи не пересекающихся прямых используют специальный знак — , то есть m n (читают: прямая m не пересекает прямую n). В дальнейшем для обозначения не пересекающихся прямых мы будем использовать знак параллельности ||.
Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны. Луч имеет начало, но не имеет конца.
На рисунке точка О разбивает прямую АВ на две части:
Каждая из этих частей называется лучом, а точка О является началом одного и другого луча.
Назовем получившиеся лучи:
Луч ОА, точка О — начало луча ОА; конца у луча ОА нет.
Луч ОВ, точка О — начало луча ОВ; конца у луча ОВ нет.
Лучи ОА и ОВ принадлежат одной прямой АВ. Лучи ОА и ОВ имеют общее начало (точка О). Лучи ОА и ОВ противоположно направлены. При таких условиях лучи ОА и ОВ называются дополнительными.
Плоскость — это бесконечная поверхность, к которой принадлежат все прямые, которые проходят через какие-либо две точки плоскости
Многоугольник с тремя сторонами
Прежде чем рассматривать задачу о том, как проверить, существует ли треугольник, следует подробно изучить эту фигуру. Согласно общепринятому определению, любой замкнутый многоугольник на плоскости, который состоит из трех отрезков, пересекающихся своими концами друг с другом, является треугольником. Эта фигура имеет две группы образующих ее элементов:
Сторонами являются три отрезка, длины которых могут быть либо известны по условию задачи, либо их предстоит рассчитать. Касательно вершин следует сказать, что у любого рассматриваемого многоугольника их три. Каждую принято обозначать одной латинской буквой, например, A, B, C и так далее. Поскольку два отрезка пересекаются в вершине, то они образуют некоторый угол. Их у фигуры три, поэтому становится понятным, откуда происходит название «треугольник».
Познавательные игрушки детям
Геометрия является наукой, которой можно знакомить детей с раннего возраста. Лучше распечатать картинки, геометрические фигуры для детей, затем нарисовать их вместе на чистом листе. Малышу первого года подобное занятие будет не очень интересным и понятным, а у дошкольника вызовет интерес, особенно если объекты изучения будут разноцветными или в необычном исполнении.
Основной материал для обучения детей:
- Яркие карточки с основными фигурами, формами. Шаблоны будут наглядным пособием перед школой.
- Раскраски, прописи, рабочая тетрадь. На каждой странице тетради представлены простейшие графические упражнения и задания. Выполняя их, малыш познакомится с геометрией и узнает названия фигур.
- Специальная детская литература.
Увлекательные, забавные, задорные стихи «Веселая геометрия для малышей» помогут детям быстро познакомиться и усвоить много важной информации о фигурах и размерах предметов. Веселые стишки помогут юному читателю соотнести малопонятные геометрические знания с обыденными предметами обихода. Например, в женской юбке представлена трапеция, в блюдце— круг, а в трубе цилиндр.
Учить детей начинают с плоских фигурок, сделанных из цветной бумаги или фетра. Не нужно ограничивать ребенка в фантазии, ведь он различает фигуры по цветам и форме — треугольник, овал, круг, ромб, квадрат. Увлекательным будет занятие с использованием сортеров, пирамидок из различных геометрических объектов.
Ближе к дошкольному возрасту переходят на объемные фигуры, кубики, конусы, кольца и цилиндры. В школьном возрасте знания накопятся, и дети будут осознанно различать равнобедренный, равносторонний треугольник, три понятия: луч, отрезок, окружность.
Раздел математики геометрия изучает пространственные отношения и формы. Фигура как понятие, рассмотренное во всех учебниках геометрии, является пространственной формой.
Геометрию можно обнаружить везде — в любых окружающих предметах. Это современные здания, архитектурные строения, формы, космическая станция, интерьер квартиры, подводные лодки.
Математические знания являются профессионально важными для современных специальностей: дизайнеров и конструкторов, рабочих и ученых. Без знания основ геометрии невозможно построить здание или отремонтировать квартиру.
При рассмотрении и сравнении фигур в геометрии часто применяют определения «равные» и «равновеликие» фигуры. На первый взгляд может показаться, что это слова-синонимы, но это неверно. Для начала стоит определить, какие фигуры называют равными — так можно назвать только 2 полностью идентичных многоугольника. Равновеликими считаются тела, площади или объёмы которых совпадают, в то время как остальные параметры могут различаться.
Свойства треугольников
Раз треугольник можно задать тремя элементами, значит их можно классифицировать. Если два треугольника похожи, значит у них есть общие свойства.
Треугольник можно составить совсем не из любых трех отрезков: они должны удовлетворять важному свойству — неравенству треугольника.
Кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка, который их соединяет. Из этого следует, что любой другой путь между двумя точками будет длиннее, чем этот отрезок.
Неравенство треугольника
Сумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны.
Один из распространенных типов — прямоугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это накладывает определенные свойства на треугольник. Прямоугольный треугольник — это также половина прямоугольника.
Если две стороны треугольника равны, то это равнобедренный треугольник — и тогда у него есть ось симметрии. Если нарисовать такой треугольник и сложить лист пополам, то две части треугольника совпадут. Эта особенность дает треугольнику определенные свойства.
Симметричный треугольник, у которого все углы и стороны равны — это равносторонний треугольник. У таких треугольников три оси симметрии. Это значит, что если мы повернем треугольник на 60 градусов, то получим точно такой же треугольник.
Такой треугольник задается одним параметром — длиной стороны. Она полностью определяет все другие значения и размеры в этом треугольнике.
От правильного треугольника может плавно перейти к правильным многоугольникам. У треугольника 3 угла, у четырехугольника — 4, а у пятиугольника — 5 углов. У многоугольника много углов🙃
Четырехугольники
Про четырехугольники мы много говорим на уроках в школе: прямоугольник, квадрат, ромб.
Но говорим о них не в общем случае, как для треугольников (такие вещи, как теорема синусов, косинусов), а можем формулировать только какие-то свойства для определенных видов четырехугольников.
Четырехугольникам лучше уделить побольше времени — у каждого из них есть особые свойства, которые не пригодятся для других фигур. Поэтому каждый четырехугольник лучше внимательно изучить на уроке или почитать в наших материалах:
Сложные модели
В сложной геометрии выделяют фигуры с пространственным, плоским и объемным наполнением. Существует понятие геометрического тела, 3D-моделирование и проекция.
Вариант 2
1. Человек воспринимает информацию о форме листьев с помощью:
1) обоняния
2) осязания
3) зрения
4) слуха
2. Точную информацию о соотношении сторон геометрической фигуры можно получить с помощью:
1) органа зрения
2) линейки
3) циркуля
4) специальных трафаретов
3. Не является действием с информацией:
1) участие в забеге
2) телефонная беседа
3) рисование пейзажа
4) просмотр фильма
4. Действие с информацией, которое выполняет учитель, слушая ответ ученика:
1) хранение
2) передача
3) получение
4) хранение и передача
5. Действие, которое производится с информацией при просмотре фильма:
1) обработка
2) хранение
3) восприятие
4) сортировка
6. Виды информации, которые можно получить, рассматривая блок-схему:
1) видеоинформация
2) текстовая
3) звуковая
4) графическая
7. Действия по передаче информации:
1) беседа по телефону
2) решение задачи
3) перевод текста
4) размещение объявления на сайте
8. Заполните пропуски в таблице.
Ответы на тест по информатике Информация вокруг нас 5 класс
Вариант 1
1-4
2-2
3-3
4-1
5-3
6-14
7-23
8.
1) Числовая.
2) Текстовая; Запись на любом языке.
3) Графическая; Изображение объектов окружающего мира.
Вариант 2
1-3
2-2
3-1
4-3
5-3
6-24
7-14
8.
1) Числовая; Количественная характеристика объекта.
2) Звуковая.
3) Текстовая, графическая; Запись на любом языке, изображение объектов окружающего мира.
Одной из фигур, которая часто встречается в геометрических задачах у школьников, является треугольник. Какими могут быть стороны его, зависит от соотношения длин отрезков, из которых составлен этот многоугольник. В общем случае задачи с использованием рассматриваемой фигуры являются простыми и предполагают использование известных формул для их решения.
Вычисление площади треугольника
Чаще всего приходится работать с прямоугольными треугольниками. Их площадь вычислить несложно — это полупроизведение катетов (сторон, между которыми лежит прямой угол). Таким образом, даже если стороны двух фигур по длине разные, но их произведение равно, они равновеликие. Например, треугольник с катетами 4 и 4 равен по площади многоугольнику с катетами 16 и 1. Так как их полупроизведение, а значит и площадь равна 8.
Если же треугольник произвольный (то есть не является частным случаем — прямоугольным, равнобедренным или равносторонним), можно воспользоваться одной из 5 формул, позволяющих вычислить его площадь.
- По двум сторонам и углу между ними.
- По стороне и высоте, проведённой к ней.
- По трём сторонам и полупериметру.
- По полупериметру и радиусу вписанной окружности.
- По трём сторонам и радиусу описанной окружности.
То, какую формулу использовать, будет зависеть от данных, предоставленных в задаче. Иногда придётся проводить дополнительное построение, например, провести высоту или использовать свойства, что биссектрисы пересекаются в центре вписанной окружности. Если не даны все 3 стороны, использовать третью формулу не получится.
Важно понять, что фигуры могут быть разными по количеству углов, но всё равно считаться равновеликими — в учёт идёт только площадь, остальные параметры не важны. Например, прямоугольный треугольник с катетами 2 и 4 будет визуально казаться больше, чем квадрат со стороной 2, но их площади совпадают и равны 4 (площадь прямоугольника считается как произведение прилежащих сторон друг на друга). По определению это делает их равновеликими.
Стандартные объекты
К основным фигурам геометрии на плоскости относятся прямоугольник, треугольник, квадрат, многоугольник и круг. Прямоугольник выглядит как фигура, состоящая из четырех сторон и четырех прямых углов (ПУ). Противоположные стороны равны между собой. В математике прямоугольник обозначается четырьмя латинским заглавными буквами. Все ПУ расположены под 90 градусов. Прямоугольник с равными, одинаковыми сторонами называется квадратом.
Фигура, имеющая 3 стороны и столько же углов (вершин), называется треугольником. Существует классификация этой фигуры по типу У.
Виды треугольника в зависимости от угла (У):
- Прямой. Один У будет прямым, два — менее 90 градусов.
- Острый. Градусная мера больше 0, но меньше 90 гр.
- Тупой. Один У тупой, два других будут острыми.
Геометрическая фигура с углами разной формы называется многоугольником. Его вершины представлены точками, соединяющими отрезками.
Радиус круга — промежуток от середины окружности до любой ее точки. Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки окружности, проходящий через ее середину.
Параллелепипед — это призма, у которой основанием является параллелограмм. Когда все ребра параллелепипеда равны, получается куб.
Многогранная фигура, у которой одна грань является многоугольником, а остальные грани (боковые) — треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.
Семиугольник (гептагон) — это многоугольник с 7 углами. Многоугольник представляет замкнутую ломанную линию.
Основные фигуры перечислены, но геометрия включает еще сложные объекты, использующиеся в различных областях жизни.
Вопрос вырождения
В свете изучения возможности существования треугольников важно рассмотреть вопрос их вырождения. В математике придумали универсальную формулу, которая позволяет оценить качество треугольника. Она имеет вид:
Каждый из трех множителей числителя является положительным числом, что следует из главного свойства треугольников. Величина качества CT является положительной и лежит в пределах значений 0 и 1. Возможны следующие случаи:
- CT = 1. Такое качество имеют лишь равносторонние треугольники. Это легко проверить, если подставить в формулу a=b=c.
- CT>0,5. Эти фигуры называют высококачественными, все три угла в них являются острыми или один из них прямой. Под качеством имеется в виду более-менее близкое соотношение длин сторон, поэтому фигура выглядит «скругленной».
- CT
- CT => 0. Абсолютно вырожденный треугольник. В нем тупой угол приближается к 180 °. Это означает, что два других угла должны быть равны нулю. Подобная ситуация возможна лишь в одном случае: вершина тупого угла приближается к противоположной стороне, и вся фигура вырождается в отрезок нулевой толщины («сплющивается»). Важно отметить, что второе главное свойство для этого треугольника будет говорить о том, что длины двух малых сторон в сумме равны третьей.
Основные понятия о составляющих
Когда все точки фигуры принадлежат одной плоскости, она является плоской. К ней относятся отрезок, прямоугольник. Существуют геометрические объекты, не являющиеся разновидностью плоскости, — куб, шар, пирамида, призма.
Минимальным объектом геометрии является точка. Определение того, какой она должна быть известно из школьного математического курса. Учебник характеризует ее как объект, не имеющий измерительных особенностей. Точка (Т) не содержит стандартных свойств: высоты, длины, радиуса, важным является только ее расположение. Обозначается числом или большой заглавной буквой. Например, точка называется D, E, F или 1, 2, 3. Несколько точек бывают отмечены разными цветами или буквами для удобного различия.
Линия состоит из множества точек. Измеряется длина этого составляющего объекта и обозначается маленькими буквами (abc).
Виды линий:
- Замкнутая. Когда в одной точке расположена начальная и конечная часть направления. Из незамкнутой линии получают обратный вариант.
- Разомкнутая. Начало и окончание не соединяются.
- Прямая. Обозначается буквой а или b.
- Ломаная. Заключается в соединенных отрезках не под углом 180 градусов. Линия обозначается перечислением всех вершин.
- Кривая.Отличная от прямой линии.
Задания из школьной программы кажутся школьникам скучными, неинтересным, но эти азы являются основой составления фигур простых и более сложных.
Существуют подвиды прямой линии: пересекающиеся, содержащие общую точку и когда две прямые линии соединяются в одной точке.
Луч в математике представляет часть прямой, имеющей начальную точку, но не имеющую конец. Это продолжение в одну сторону. Если Т разделяет линию пополам — получается два луча. Лучевые линии совпадают, когда расположены на одной прямой, начинаются в точке или направляются в одну сторону.
Отрезок представляет составную часть прямой, ограниченной двумя точками — она имеет начало и конец, поэтому измеряется. Длина отрезка представляет расстояние между его первой и последней точками. Через одну Т проводится бесконечное число линий, а через две — кривые и только одна прямая.
Вариант 1
1. Человек воспринимает информацию о тембре голоса с помощью:
1) обоняния
2) осязания
3) зрения
4) слуха
2. Точную информацию о расстоянии между элементами чертежа можно получить с помощью:
1) органа зрения
2) линейки
3) циркуля
4) специальных трафаретов
3. Не является действием с информацией:
1) чтение книги
2) экскурсия по парку
3) покраска окон
4) игра в шахматы
4. Действие с информацией, которое выполняет учитель, заполняя школьный журнал:
1) хранение
2) передача
3) получение
4) восприятие
5. Действие, которое производится с информацией во время чтения книги:
1) обработка
2) хранение
3) восприятие
4) сортировка
6. Виды информации, которые можно найти на страницах полиграфического учебника:
1) текстовая
2) звуковая
3) видеоинформация
4) графическая
7. Действия по обработке информации:
1) беседа по телефону
2) решение задачи
3) перевод текста
4) прием пищи
8. Заполните пропуски в таблице.
Читайте также: