Точка движется по закону s t 2t3 3t чему равна скорость в момент t0 1c
Точка движется по закону $s(t)=1+3t$. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени от $t=0,8$ до $t=1$.
Определение производной. Физический смысл производной
Найдите среднюю скорость движения точки на отрезке [1; 1,2], если закон её движения $S= S(t)$ задан формулой:
Определение производной. Физический смысл производной
Точка движется по координатной прямой, причем в любой момент времени t ее координата равна $3+12t−t^$. Поставьте в соответствие на сколько переместится точка в каждый промежуток времени:
Определение производной. Физический смысл производной
Найдите приращение функции $f$ в точке $x_$, если:
1) $f(x)=2x^-3, x_=3, \triangle x=-0,2$
2) $f(x)=2x+1, x_=5, \triangle x=-0,01$
3) $f(x)=2x-3, x_=-2, \triangle x=0,1$
Определение производной. Физический смысл производной
Для заданной функции $f(x)$ найти $f(x+h)$
Определение производной. Физический смысл производной
На рисунке изображен график движения автомобиля. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени:
Определение производной. Физический смысл производной
Закон движения точки задан формулой $S(t)= 0,25t +2$. Найдите среднюю скорость движения от $t=4$ до $t=8$
Определение производной. Физический смысл производной
Найдите приращение $\triangle f$ в точке $х_0$, если:
- $f(x)=cos^2x,x_0=\frac,x=\frac$
- $f(x)=4x−x^2,x_0=2,5,x=2,6$
- $f(x)=tgx,x_0=\frac,x=\frac$
- $f(x)=\sqrt ,x_0=1,22,x=1,345$
Определение производной. Физический смысл производной
Тело движется по прямой так, что расстояние S от него до точки М этой прямой изменяется по закону $S (t ) = ^ + \frac ^ - ^ +8 $. Чему будет равна мгновенная скорость (м/с) через 3 секунды после начала движения? (Подчеркните верный ответ)
Определение производной. Физический смысл производной
Тело движется по прямой так, что расстояние S (в м) от него до точки М этой прямой изменяется по закону $S (t) = t> ^ - \frac ^ +3 ^ -21$. Чему будет равна мгновенная скорость через 3 секунды после начала движения?
Определение производной. Физический смысл производной
Поставьте в соответствие времени скорость: тело движется прямолинейно, его расстояние (в метрах) от начала отсчета изменяется по закону $S(t)=3t^−4t+5$. Определите скорость движения тела через t с после начала движения.
Определение производной. Физический смысл производной
Выберите варианты, где речь идет о средней скорости:
- Самолет летит из Санкт-Петербурга в Москву со скоростью 800 км/ч;
- Пуля вылетает из винтовки со скоростью 800 м/с;
- Велосипедист едет по шоссе со скоростью 12 км/ч;
- Прибор показывает скорость тепловоза 75 км/ч.
Определение производной. Физический смысл производной
Закон движения точки задан графиком зависимости пути S от времени t.
Производная y’(x) функции y=f(x) – это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём S и временем t при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением S=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени t нужно найти производную S’=f’(x) и подставить в неё соответствующее значение t, то есть v(t)=S’(t).
Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.
Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается fили
Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается или f'''(x). Производную n-го порядка обозначают f (n) (x) или y (n) .
Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть
Первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение. (v= S'; a=v')
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Давайте вспомним механический смысл производной:
Производная y’(x) функции y=f(x) – это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём S и временем t при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением S=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени t нужно найти производную S’=f’(x) и подставить в неё соответствующее значение t, то есть v(t)=S'(t).
Пример 1. Точка движется прямолинейно по закону (S выражается в метрах, t – в секундах). Найти скорость движения через 3 секунды после начала движения.
скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени, то есть .
Подставив в уравнение скорости t=3 с, получим v(3)=32+4∙3-1= 20 (м/с).
Пример 2. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол
Найдите:
а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 6 с;
б) в какой момент времени маховик остановится?
Решение: а) Угловая скорость вращения маховика определяется по формуле ω=φ'. Тогда ω=(4t-0,2t 2 )=4-0,4t.
Подставляя t = 6 с, получим ω=4-0,4∙6=1,6 (рад/с).
б) В тот момент, когда маховик остановится, его скорость будет равна нулю (ω=0) . Поэтому 4-0,4t=0.. Отсюда t=10 c.
Ответ: угловая скорость маховика равна (рад/с); t=10 c.
Решение: найдём скорость движения тела в любой момент времени t.
Вычислим скорость тела в момент времени t=3. v(3)=6∙3+2=20 (м/с)..
Определим кинетическую энергию тела в момент времени t=3.
Производная второго порядка. Производная n-го порядка.
Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.
Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается .
Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается y''' или f'''(x) Производную n-го порядка обозначают f (n) (x) или y (n) .
Примеры. Найдем производные четвёртого порядка для заданных функций:
1) f(x)= sin 2x
f'(x)=cos 2x∙(2x)’= 2cos 2x
f (x)=-2sin2x∙(2x)’=-4sin 2x
f'''(x)= -4 cos 2x∙(2x)= -8 cos 2x
f (4) (x)= 8 sin2x∙(2x)’= 16 sin 2x
f (x)= 9∙ 2 3x ∙ln 2 2
f'''(x)= 27∙ 2 3x ∙ln 3 2
f (4) (x)= 81∙ 2 3x ∙ln 4 2
Механический смысл второй производной.
Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть
Итак, первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение. (v= S’; a=v’)
Пример 4. Точка движется прямолинейно по закону S(t)= 3t 2 -3t+8. Найти скорость и ускорение точки в момент t=4 c.
найдём скорость точки в любой момент времени t.
Вычислим скорость в момент времени t=4 c.
Найдём ускорение точки в любой момент времени t.
a= v’= (6t-3)’=6 и a(4)= 6 (м/с 2 ) , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.
Ответ: v=21(м/с); a= v’= 6 (м/с 2 ).
Пример 5. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону S(t)=t 3 -3t 2 +5. Найти силу, действующую на тело в момент времени t=4 c.
Решение: сила, действующая на тело, находится по формуле F=ma.
Найдём скорость движения точки в любой момент времени t.
v=S’=(t 3 -3t 2 +5)’=3t 2 -6t.
Тогда v(4)=3∙4 2 -6∙4=24 (м/с).
Найдём ускорение: a(t)=v’=(3t 2 -6t)’=6t-6.
Тогда a(4)= 6∙4-6= 18 (м/с 2 ).
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№ 1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте
Напишите производную третьего порядка для функции:
f(x)= 3cos4x-5x 3 +3x 2 -8
Решим данную задачу:
f’’’(x)=( 3cos4x-5x 3 +3x 2 -8)’’’=(((3cos4x-5x 3 +3x 2 -8)’)’)’=((-12sin4x-15x 2 +6x)’)’=(-48cos4x-30x)’=192sin4x-30.
Ответ: 192sin4x-30
№ 2. Тип задания: выделение цветом
Точка движется прямолинейно по закону S(t)= 3t 2 +2t-7. Найти скорость и ускорение точки в момент t=6 c.
- v=38 м/с; a=6 м/с 2
- v=38 м/с; a=5 м/с 2
- v=32 м/с; a=6 м/с 2
- v=32 м/с; a=5 м/с 2
Решим данную задачу:
Воспользуемся механическим смыслом второй производной:
v= S’(t)=( 3t 2 +2t-7)’=6t+2.
Вычислим скорость в момент времени t=6 c.
Найдём ускорение точки в любой момент времени t.
a= v’= (6t+2)’=6 и a(6)= 6 (м/с 2 ) , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.
Точка движется по закону $s(t)=1+3t$. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени от $t=0,8$ до $t=1$.
Определение производной. Физический смысл производной
Найдите среднюю скорость движения точки на отрезке [1; 1,2], если закон её движения $S= S(t)$ задан формулой:
Определение производной. Физический смысл производной
Точка движется по координатной прямой, причем в любой момент времени t ее координата равна $3+12t−t^$. Поставьте в соответствие на сколько переместится точка в каждый промежуток времени:
Определение производной. Физический смысл производной
Найдите приращение функции $f$ в точке $x_$, если:
1) $f(x)=2x^-3, x_=3, \triangle x=-0,2$
2) $f(x)=2x+1, x_=5, \triangle x=-0,01$
3) $f(x)=2x-3, x_=-2, \triangle x=0,1$
Определение производной. Физический смысл производной
Для заданной функции $f(x)$ найти $f(x+h)$
Определение производной. Физический смысл производной
На рисунке изображен график движения автомобиля. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени:
Определение производной. Физический смысл производной
Закон движения точки задан формулой $S(t)= 0,25t +2$. Найдите среднюю скорость движения от $t=4$ до $t=8$
Определение производной. Физический смысл производной
Найдите приращение $\triangle f$ в точке $х_0$, если:
- $f(x)=cos^2x,x_0=\frac,x=\frac$
- $f(x)=4x−x^2,x_0=2,5,x=2,6$
- $f(x)=tgx,x_0=\frac,x=\frac$
- $f(x)=\sqrt ,x_0=1,22,x=1,345$
Определение производной. Физический смысл производной
Тело движется по прямой так, что расстояние S от него до точки М этой прямой изменяется по закону $S (t ) = ^ + \frac ^ - ^ +8 $. Чему будет равна мгновенная скорость (м/с) через 3 секунды после начала движения? (Подчеркните верный ответ)
Определение производной. Физический смысл производной
Тело движется по прямой так, что расстояние S (в м) от него до точки М этой прямой изменяется по закону $S (t) = t> ^ - \frac ^ +3 ^ -21$. Чему будет равна мгновенная скорость через 3 секунды после начала движения?
Определение производной. Физический смысл производной
Поставьте в соответствие времени скорость: тело движется прямолинейно, его расстояние (в метрах) от начала отсчета изменяется по закону $S(t)=3t^−4t+5$. Определите скорость движения тела через t с после начала движения.
Определение производной. Физический смысл производной
Выберите варианты, где речь идет о средней скорости:
- Самолет летит из Санкт-Петербурга в Москву со скоростью 800 км/ч;
- Пуля вылетает из винтовки со скоростью 800 м/с;
- Велосипедист едет по шоссе со скоростью 12 км/ч;
- Прибор показывает скорость тепловоза 75 км/ч.
Определение производной. Физический смысл производной
Закон движения точки задан графиком зависимости пути S от времени t.
Пример 1. Дано уравнение движения точки: S = 0,36t 2 + 0,18t. Определить скорость точки в конце третьей секунды движения и среднюю скорость за первые 3 секунды.
2. Скорость в конце третьей секунды (t = Зс) v3 = 0,72 * 3 + 0,18 = 2,34м/с.
3. Средняя скорость Vср = dS/dt = (0,36 • 3 2 + 0,18 * 3)/3 = 1,26 м/с.
Пример 2. Точка движется по кривой радиуса г = 10 м согласно уравнению S = 2,5t 2 + 1,2t + 2,5 (рис. 9.6).
Определить полное ускорение точки в конце второй секунды движения и указать направление касательной и нормальной составляющих ускорения в точке М.
Уравнение скорости: v = dS/dt
Скорость будет равна v = 2 * 2,5t + 1,2; v = 5t + 1,2 (м/с).
Касательное ускорение: аt = v' = 5 м/с 2 .
Вывод: касательное ускорение не зависит от времени, оно постоянно.
2. Нормальное ускорение: ап = v 2 /r
Скорость на второй секунде будет равна v2 = 5*2 + 1,2 = 11,2 м/с.
Величина нормального ускорения: ап2 = (11,2) 2 /10 = 12,54 м/с 2 .
3. Полное ускорение:
Полное ускорение в конце второй секунды:
4. Нормальное ускорение направлено перпендикулярно скорости к центру дуги.
Касательное ускорение направлено по касательной к кривой и совпадает с направлением скорости, т. к. касательное ускорение — положительная величина (скорость растет).
Пример 3. По дуге, равной 1 /4 длины окружности радиуса г = 16м (рис. 1.110), из положения А0 в положение A1 движется точка согласно уравнению s = πt 2 . Определить скорость точки в момент, когда она проходит середину длины дуги A0A1, и в момент достижения положения A1.
Материальная точка движется прямолинейно по закону S(t) = 2t ^ 3 + t - 1 В какой момент времени ускорение будет равно 2 м / с ^ 2.
S'(t) = (2t³ + t - 1)' = 6t² + 1
V(2) = 6 * 2² + 1 = 25
Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t) = t ^ 3 - 4t ^ 2 найти скорость в момент времени t = 5c?
Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t) = t ^ 3 - 4t ^ 2 найти скорость в момент времени t = 5c.
В. Точка движется прямолинейно по закону s(t) = t3 + 3t2?
В. Точка движется прямолинейно по закону s(t) = t3 + 3t2.
Найдите ускорение тела в момент времени t = 1 с.
Материальная точка движется прямолинейно по закону S?
Материальная точка движется прямолинейно по закону S.
S = 16t ^ 2 - 64t В какой момент времени точка остановится?
желательно с объяснением плиз.
Материальная точка движется прямолинейно согласно закону S(t) = 3t ^ 3 - 3t ^ 2 - 12t Чему равна ее скорость в момент, когда ее ускорение ровно 0?
Материальная точка движется прямолинейно согласно закону S(t) = 3t ^ 3 - 3t ^ 2 - 12t Чему равна ее скорость в момент, когда ее ускорение ровно 0.
Материальная точка движется по закону x(t) = t + 1 / t?
Материальная точка движется по закону x(t) = t + 1 / t.
Найдите ее ускорение в момент времени t0 = 2.
Если периметр 42 см, то сумма смежных сторон равна 42 : 2 = 21 см. Пусть одна сторона а, тогда другая 21 - а. Площадь прямоугольника равна : а(21 - а) = 104 21а - а² = 104 а² - 21а + 104 = 0 D = ( - 21)² - 4 * 104 = 441 - 416 = 25 а₁ = (21 + 5) / 2..
2 ученикам 4, 5 учеников 10, 4 ученика 8, 3 ученика 6 тетр.
2 учеников получили 4 тетради ) 5 учеников получили 10 ) 4 ученика получили 8 ) 3 ученика получили 6).
123 * 4 + 11, 25 - 90 + 49. 95 + 450 = 492 + 421. 2 = 913. 2.
Р(треугольник) = 36 Р(прямоугольник) = 36 / 3 = 12 Р(треу) - Р(прям) = 36 - 12 = 24 Ответ : На 24 см больше.
36 : 3 = 12см 36 - 12 = 24см больше.
1) - х = 7 - 4, 5 2) - у = 6 - 3, 9 - х = 1, 5 - у = 2, 1 х = - 1, 5 у = - 2, 1 3) - m = 4 - 2 1 / 3 - m = 1 2 / 3 m = - 1 2 / 3 4) - n = 7, 4 - 5 - n = 2, 4 n = - 2, 4 5) - K = 10, 2 - 9 - K = 1, 2 K = - 1, 2 6) - p = 8 - 5 1 / 7 - p = 2 6 / 7 - p =..
1) - x + 4, 5 = 7 - x = 7 - 4, 5 - x = 2, 5 x = - 2, 5 2) - y + 3, 9 = 6 - y = 6 - 3, 9 - y = 2, 1 y = - 2, 1 3) - m + 2 1 / 3 = 4 - m = 4 - 2 1 / 3 - m = 1 2 / 3 m = - 1 2 / 3 4) - n + 5 = 7, 4 - n = 7, 4 - 5 - n = 2, 4 n = - 2, 4 5) - k + 9 = 10, 2..
Вася пришёл в магазин. Он купил себе 4 пачки жвачки по 9 рублей (это была очень дорогая жвачка). Сколько всего заплатил Вася рублей? 9 * 4 = 36 (р) Ответ : 36 рублей Дальше придумай сам(а).
Точка движется прямолинейно по закону s = 2t3 + t2 – 4?
Точка движется прямолинейно по закону s = 2t3 + t2 – 4.
Найти величину скорости и ускорения в момент времени t = 4с.
Материальная точка движется прямолинейно по закону S?
Материальная точка движется прямолинейно по закону S.
S = 3t ^ 3 - 81t В какой момент времени точка остановится?
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t ^ 3 - 4t ^ 2?
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t ^ 3 - 4t ^ 2.
Найдите скорость и ускорение в момент t = 5.
(перемещение измеряется в метрах).
Точка движется прямолинейно по закону y(x) = 10 + 20x - 5x² ?
Точка движется прямолинейно по закону y(x) = 10 + 20x - 5x² .
Найти скорость и ускорение точки в момент времени x = 1, 5.
Помогите решить, пожалуйста?
Помогите решить, пожалуйста!
Материальная точка движется прямолинейно по закону S(t) = - 1 / 6 * t ^ 3 + 7 / 2 * t ^ 2 - t.
Найдите момент времени t0, когда ускорение точки равно нулю.
Найдите скорость, с которой точка движется в этот момент времени.
Читайте также: