Соотношение сторон в правильном треугольнике
В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.
- Определение равностороннего треугольника
- Свойства равностороннего треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
Радиус описанной окружности равностороннего треугольника
Открыть ответы…
Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:
Свойство 1
Любая высота в равностороннем треугольнике одновременно является и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром.
- BD – высота, опущенная на сторону AC;
- BD – медиана, которая делит сторону AC пополам, т.е. AD = DC;
- BD – биссектриса угла ABC, т.е. ∠ABD = ∠CBD;
- BD – серединный перпендикуляр, проведенный к AC.
Свойство 1
В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.
Свойства равностороннего треугольника
Свойство 2
Все три высоты в равностороннем треугольнике имеют одинаковую длину.
ЕГЭ 6. Прямоугольный треугольник: свойства, теорема Пифагора, тригонометрия
Подавляющее большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники.
Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных.
Но в этом видео мы убедимся, что это действительно так. Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше. И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными.
На этом уроке мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии.
Бонусы: Вебинары из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике
В этом разделе вы найдете несколько вебинаров из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике.
От самого простого (но важного!) на площадь фигур на клетчатой бумаге, до сложного 16 задания ЕГЭ на доказательство подобия треугольников (по которому максимальный балл получают менее 1% учеников!
Выбирайте вебинар по силам и учитесь решать задачи!
ЕГЭ 6. Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник
В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ.
Очень часто все «проблемы» с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты.
Свойство 5
Высота в равностороннем треугольнике делит его на два равных по площади (равновеликих) прямоугольных треугольника.
Три высоты в равностороннем треугольнике делят его на 6 равных по площади прямоугольных треугольников.
Бонус 2: Вебинары о треугольниках, чтобы набить руку в решении задач
А в этих видео из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике вы можете потренироваться, решая задачи вместе с нашим репетитором Алексеем Шевчуком.
Это не просто вебинары, «бла-бла-бла» о теории математики. Это разбор задач в режиме реального времени.
Вы точно научитесь решать любые задачи на эти темы, если их прослушаете.
Хотите получить максимум от этих вебинаров? Берите ручку и бумагу и решайте вместе с Алексеем Шевчуком.
Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника
Это уже теперь должно быть совсем ясно:
Открыть ответы…
Мы постоянно улучшаем этот учебник и вы можете нам в этом помочь.
Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)Свойство 7
Длину медианы равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:
a – сторона треугольника.
Сумма углов треугольника. Внутренние и внешние углы
ЕГЭ 6, 14, 16. Теорема косинусов и синусов
Универсальный инструмент при решении треугольников — это теоремы косинусов и синусов. Они подходят для любых треугольников, а не только для прямых (как теорема Пифагора).
А как мы уже знаем, почти любая задача в планиметрии сводится именно к треугольникам.
На этом уроке мы выучим сами теоремы и научимся применять их при решении задач первой части.
Внутренние углы треугольника
Сумма внутренних углов любого треугольника равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).
Единственное, что тебя может смущать в нашей формулировке – это слово «внутренних».
Зачем оно тут? А вот именно затем, чтобы подчеркнуть, что речь идёт об углах, которые внутри треугольника.
А что, разве бывают ещё какие-то углы снаружи? Вот представь себе, бывают.
У треугольника ещё бывают внешние углы.
И самое главное следствие из того факта, что сумма внутренних углов треугольника равна \( \displaystyle 180<>^\circ \), касается как раз внешнего треугольника.
Пример задачи
Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.
Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты в равностороннем (правильном) треугольнике. Также разберем пример решения задачи по этой теме.
Примечание: треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
- Свойства высоты в равностороннем треугольнике
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
ЕГЭ 3. Площадь фигур на клетчатой бумаге
Клетчатая бумага очень удобная для геометрии. В основном тем, что на ней очень легко рисовать прямые углы.
А если прямой угол достроить к какому-то отрезку, то получится прямоугольный треугольник. А для прямоугольного треугольника можно записать теорему Пифагора — и вот уже мы определили длину нашего отрезка.
И хотя в 2021 году задача на геометрию на клечатой бумаге не будет входить в ЕГЭ, она очень полезна для того, чтобы начать изучать геометрию, для понимания планиметрии.
Свойство 4
Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.
Бонус 1. Статьи о других треугольниках
Подробная информация о других треугольниках в следующих статьях:
А в нашем учебнике по подготовке к ЕГЭ по математике вы найдете подробную информацию о других разделах математики:
Примеры задач
Задача 1
Вычислите длину медианы равностороннего треугольника, если известно, что его сторона равна 6 см.Решение
Для нахождения требуемого значения применим формулу выше:Задача 2
Самая большая сторона одного из треугольников, образованных в результате пересечения трех медиан в равностороннем треугольнике, равняется 8 см. Найдите длину стороны данного треугольника.Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.Из Свойства 5 мы знаем, что в результате пересечения всех медиан образуются 6 прямоугольных треугольников.
- BG = 8 см (самая большая сторона, является гипотенузой △BFG);
- FG = 4 см (катет △BFG, в 2 раза меньше гипотенузы BG – следует из Свойства 3).
Применяем теорему Пифагора, чтобы найти длину второго катета BF:
BF 2 = BG 2 – FG 2 = 8 2 – 4 2 = 48 см 2 .
Следовательно, BF ≈ 6,93 см.BF равняется половине стороны BC (т.к. медиана делит сторону треугольника пополам), следовательно, BC ≈ 13,86 см.
На тему «Треугольник», пожалуй, можно было бы написать целую книжку. Что мы и сделали.
Но книжку целиком читать слишком долго, правда?
Поэтому мы сначала рассмотрим только факты, которые касаются вообще любого треугольника.
Все это ты найдешь здесь. Но читай книжку по кусочкам, чтобы не «поперхнуться» 🙂
Свойство 2
Все три медианы в равностороннем треугольнике равны между собой. Т.е. AF = BD = CE.
Третий признак равенства треугольников
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
В обиходе (математическом) приняты такие укороченные формулировки – их легче запомнить и применять:
- Первый признак – по двум сторонам и углу между ними;
- Второй признак – по двум углам и прилежащей стороне;
- Третий признак – по трём сторонам.
Равенство треугольников
Ну вот, а если не один, а два или больше треугольников. Как проверишь, равны ли они? Вообще-то по определению:
Два треугольника равны, если они совпадают при наложении.
Но…это ужасно неудобное определение! Как, скажите на милость, накладывать два треугольника хотя бы даже в тетради?!
Но на наше счастье есть признаки равенства треугольников, которые позволяют действовать умом, не подвергая риску тетрадки.
Да и к тому же, отбросив легкомысленные шуточки, открою тебе секрет: для математика слово «наложить треугольники» означает вовсе не вырезать их и наложить, а сказать много-много-много слов, которые будeт доказывать, что два треугольника совпадут при наложении.
Так что ни в коем случае нельзя в работе писать «я проверил – треугольники совпадают при наложении» – тебе это не засчитают, и будут правы, потому что никто не гарантирует, что ты при наложении не ошибся, скажем, на четверть миллиметра.
Итак, какие-то математики сказали кучу слов, мы за ними эти слова повторять не будем (разве что в последнем уровне теории), а будем активно пользоваться тремя признаками равенства треугольников.
Свойство 2
В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.
CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.
- CD перпендикулярна AB => ∠ADC = ∠BDC = 90°
- AD = DB
- ∠ACD = ∠DCB = 30°
Пример задачи
Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, равняется 7 см. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
Как мы знаем из Свойств 3 и 4, радиус описанной окружности составляет 2/3 от высоты равностороннего треугольника (h). Следовательно, h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5 см.Теперь остается вычислить длину стороны треугольника (выражение выведено из формулы в Свойстве 6):
В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медианы равностороннего треугольника, а также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.
- Определение медианы
- Свойства медианы равностороннего треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
- Свойство 7
Свойство 5
Равносторонний треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих прямоугольных треугольников. Т.е. S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6.
Внешние углы треугольника
Так что давай выясним, что же такое этот внешний угол треугольника.
Смотри на картинку: берём треугольник и одну сторону (скажем \( \displaystyle AC\)) продолжаем.
Видишь, получился новый угол, \( \displaystyle \angle BCE\)?
Этот угол образован одной стороной (\( \displaystyle BC\)) треугольника и продолжением другой стороны (\( \displaystyle AC\)).
Вот он и называется внешним углом треугольника \( \displaystyle ABC\) при вершине \( \displaystyle C\).
Конечно, мы бы могли оставить сторону \( \displaystyle AC\), а продолжить сторону \( \displaystyle BC\). Вот так:
Тогда \( \displaystyle \angle ACK\) тоже будет внешним углом при вершине \( \displaystyle C\), да и к тому же он будет равен углу \( \displaystyle BCE\).
Углы \( \displaystyle BCE\) и \( \displaystyle ACK\) – равны как вертикальные, и оба они имеют право называться внешним углом при вершине \( \displaystyle C\).
А вот про угол \( \displaystyle ECK\) такого сказать ни в коем случае нельзя!
Он образован пересечением двух продолжений сторон!
Угол \( \displaystyle ECK\) вообще равен внутреннему \( \displaystyle \angle C\) треугольника \( \displaystyle ABC\).
Так что не каждый угол снаружи треугольника имеет право называется внешним углом, а только тот, который образован одной стороной и продолжением другой стороны.
Так что же мы должны знать про внешний угол?
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
Смотри, на нашем рисунке это означает, что \( \angle 4=\angle 1+\angle 2\).
Как же это связано с суммой углов треугольника?
Давай разберёмся. Сумма внутренних углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \Rightarrow \)
\( \angle 1+\angle 2+\angle 3=180<>^\circ \),
но \( \angle 4+\angle 3=180<>^\circ \) – потому, что \( \angle 3\) и \( \angle 4\) – смежные.
Ну вот и получается: \( \angle 4=\angle 1+\angle 2\).
Видишь как просто?! Но очень важно. Так что запоминай:
Сумма внутренних углов треугольника равна \( 180<>^\circ \), а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
Треугольник — коротко о главном
Определение треугольника:
Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.
Основные понятия:
- \( \displaystyle \angle 1\), \( \displaystyle \angle 2\), \( \displaystyle \angle 3\) – внутренние углы \( \displaystyle \triangle ABC\)
- Внешний угол треугольника – угол, смежный внутреннему углу треугольника, т.е. \( \displaystyle \angle 4\) и \( \displaystyle \angle 5\) – внешние углы \( \displaystyle \triangle ABC\) при вершине \( \displaystyle C\).
Основные свойства:
Сумма внутренних углов любого треугольника равна \( \displaystyle 180<>^\circ \), т.е. \( \displaystyle \angle 1+\angle 2+\angle 3=180<>^\circ \)
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, т.е. \( \displaystyle \angle 4=\angle 1+\angle 2\) или \( \displaystyle \angle 5=\angle 1+\angle 2\)
Сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины его третьей стороны, т.е. \( \displaystyle \beginAB+BC>AC\\AB+AC>BC\\AC+BC>AB\end\)
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол, т.е.
если \( \displaystyle \angle 2>\angle 1\), то \( \displaystyle AC>BC\), и наоборот,
если \( \displaystyle AC>BC\), то \( \displaystyle \angle 2>\angle 1\).
Признаки равенства треугольников:
1. По двум сторонам и углу между ними
2. Второй признак – по двум углам и прилежащей стороне.
3. Третий признак – по трём сторонам.
Свойство 3
В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.
Свойство 6
Зная длину стороны равностороннего треугольника его высоту можно вычислить по формуле:
a – сторона треугольника.
Свойство 6
Точка пересечения медиан в равностороннем треугольнике является центром описанной вокруг и вписанной окружностей.
- r – радиус вписанной окружности;
- R – радиус описанной окружности;
- R = 2r (следует из Свойства 3).
Определение равностороннего треугольника
Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.
Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.
Свойство 4
Любая медиана равностороннего треугольника делит его на два равных по площади (равновеликих) прямоугольных треугольника. Т.е. S1 = S2.
Типы треугольников (прямоугольный, равнобедренный, равносторонний) и другая теория по треугольникам
В этом разделе ты сможешь ознакомиться со всем, что касается треугольников и закрыть эту тему полностью!
Просто переходи по ссылкам:
Свойство 5
Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.
- R – радиус описанной окружности;
- r – радиус вписанной окружности;
- R = 2r.
Свойство 3
Медианы в равностороннем треугольнике пресекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1.
- G – центр тяжести (центроид) треугольника;
- AG = 2GF;
- BG = 2GD;
- CG = 2GE.
ЕГЭ 6. Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник
В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники. Убедимся в утверждении из прошлого урока — очень часто решение задач сводится к нескольким прямоугольным треугольникам.
Определение медианы
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны.
Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны (AB = BC = AC).
Свойство 3
Высоты в равностороннем треугольнике в ортоцентре (точке пересечения) делятся в отношении 2:1, считая от вершины, из которой они проведены.
Высота равностороннего треугольника
Рассмотрим \(\Delta ABK\) – он прямоугольный.
Первый признак равенства треугольников
Если две стороны и угол между ними в одном треугольнике соответственно равны двум сторонам и углу между ними в другом треугольнике, то эти треугольники равны.
Свойства медианы равностороннего треугольника
ЕГЭ 16. Подобие треугольников. Задачи на доказательство
Итак, задача 16 профильного ЕГЭ. Подобие треугольников. Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ.
Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников! Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства.
Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.
В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.
Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.
Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.
ЕГЭ 6. Прямоугольный треугольник: свойства, теорема Пифагора, тригонометрия
Подавляющее большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники.
Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных. Но на уроках этой темы мы убедимся, что это действительно так.
Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше. И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными.
В этом видео мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии.
Второй признак равенства треугольников
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Определение равностороннего треугольника
Равносторонний треугольник —треугольник, у которого все стороны равны.
Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?
Свойство 6
В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:
1. Высоту/медиану/биссектрису:
2. Радиус вписанной окружности:
3. Радиус описанной окружности:
4. Периметр:
5. Площадь:
Неравенство треугольника
Следующий факт касается не углов, а сторон треугольника.
Сумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны.
Это означает, что:
Ты уже догадался, почему этот факт называется неравенством треугольника?
Ну вот, а где же это неравенство треугольника может оказаться полезным?
А представь, что у тебя есть три друга: Коля, Петя и Сергей.
И вот, Коля говорит: «От моего дома до Петиного \( 100\) м по прямой». А Петя: «От моего дома до дома Сергея \( 200\) метров по прямой». А Сергей: «Вам хорошо, а от моего дома до Колиного аж \( 500\) м по прямой».
Ну, тут уже ты должен сказать: «Стоп, стоп! Кто – то из вас говорит неправду!»
Так не может быть!
Да потому что если от Коли до Пети \( 100\) м, а от Пети до Сергея \( 200\) м, то от Коли до Сергея точно должно быть меньше \( 300\) (\( =100+200\)) метров – иначе и нарушается то самое неравенство треугольника.
Ну и здравый смысл точно, естественно, нарушается: ведь всякому с детства неизвестно, что путь до прямой (\( КС\)) должен быть короче, чем путь с заходом в точку \( П\). (\( К-П-С\)).
Так что неравенство треугольника просто отражает этот общеизвестный факт. Ну вот, ты теперь знаешь, как отвечать на такой, скажем, вопрос:
Бывает ли треугольник со сторонами \( 1,3,7\)?
Ты должен проверить, правда ли, что любые два числа из этих трёх в сумме больше третьего. Проверяем: \( 1+3
Свойство 1
Любая медиана в равностороннем треугольнике одновременно является и высотой, и серединным перпендикуляром, и биссектрисой угла, из которого проведена.
- BD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AC, а также биссектриса угла ABC;
- ∠ABD = ∠CBD.
Свойства равностороннего треугольника
Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны \(^>\)
Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме \(^>\), значит, каждый по \(^>\)
Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).
Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник.
Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.
Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром!
В равностороннем треугольнике оказалось не \(12\) особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!
Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.
Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной. \(R=2\cdot r\)
Уже должно быть очевидно, отчего так.
Посмотри на рисунок: точка\( O\) – центр треугольника.
Значит, \(OB\) – радиус описанной окружности (обозначили его \(R\)), а \(OK\) – радиус вписанной окружности (обозначим \(r\)).
Но ведь точка \(O\) – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины.
Поэтому \(OB=2\cdot OK\), то есть \(R=2\cdot r\).
Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.
Давай удостоверимся в этом.
ЕГЭ 16. Подобие треугольников. Задачи на доказательство
Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников!
Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства.
Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.
В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.
Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.
Вы научитесь также применять подобие треугольников для расчетных задач (не только для доказательств).
В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны \(^>\).
В равностороннем треугольнике каждая медиана совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины;
Точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров равностороннего треугольника совпадают.
Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают: точка \(O\);
В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны \(a\):
- Высота=медиана=биссектриса: \(h=\frac>\);
- Радиус описанной окружности: \(R=\frac>\);
- Радиус вписанной окружности: \(r=\frac>\);
- Площадь: \(S=\frac<<^>\sqrt>\);
- Периметр: \(P=3a\);
Свойства высоты в равностороннем треугольнике
Свойство 4
Ортоцентр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружностей.
- R – радиус описанной окружности;
- r – радиус вписанной окружности;
- R = 2r (следует из Свойства 3).
Читайте также: