С помощью компьютерных технологий можно абсолютно точно закодировать число пи
В 2012 году вышел фильм «Жизнь Пи». Тогда в фильме была сцена, которая каждый раз озадачивала меня. Это та часть, где Писцин Патель пытается и преуспевает, чтобы установить сокращенную форму своего имени как «Пи». Я помню, как думал каждый раз, когда видел это: «Итак, он написал на доске сотни цифр, это легко. Вы просто продолжаете делить 22 на 7 в уме. Я мог бы это сделать! »
Но когда я стал старше, я понял, насколько ошибался. Он не просто разделил 22 на 7 в своей голове. Он запомнил значение до сотен цифр (см. что впечатляет). 22/7 - это просто приближение и дает точное значение только до двух десятичных знаков (= 3,14159265 ……., Тогда как 22/7 = 3,1428571 ……).
Как работают компьютеры?
Компьютеры в основном работают на алгоритмы. Компьютер - это просто машина. И машина не принимает решений сама по себе, как мы. Он работает в соответствии с набором инструкций или шагов, которые мы ему вводим. И он следует этим инструкциям, пока мы скажи ему остановиться. Конечно, он не сможет остановиться самостоятельно, поскольку не имеет возможности принять это решение.
Также помните, что это число с бесконечным числом десятичных знаков. Это означает, что если мы хотим рассчитать ценность использования компьютера, ему придется выполнять набор инструкций бесконечное количество раз, поскольку цифры будут продолжаться бесконечно.
Итак, это означает, что если каким-то образом мы сможем вычислить этот набор инструкций, которые генерируют точное значение, если оно вычисляется бесконечное количество раз, то компьютер может выполнить все вычисления сам. И он будет считать, пока мы не дадим команду остановиться.
И все-таки, наверное, совпадение
Попытаемся понять, что происходит: действительно ли мы получаем число Пи или это какое-то иное трансцендентное число.
Все это будем делать вокруг точки c = 0.25 (просто в силу отсутствия у него комплексной части — так легче).
Рассмотрим рекурсивную функцию . При ее итерации от нуля заметим, что она очень медленно стремится к значению 0.5.
Чтобы не дать ей "застрять" на этом значении, мы подвинем данную функцию на ε единиц вверх (ε бесконечно мало, не равно нулю). Тогда она примет вид .
Данная функция медленно стремится к значению 0.5, а после того, как проходит его, быстро убегает в бесконечность.
Будем копать дальше.
Пусть x = y + 0.5. Наша задача — найти ноль.
Делая замену в исходной функции, получим:
Взяв в качестве ε любое малое значение, проитерируем функцию от нуля:
y |
---|
0.001 ( = ε) |
0.002001 |
0.0030050040010000004 |
0.004014034050046026 |
0.005030146519400955 |
0.006055448893407596 |
0.007092117354708267 |
0.00814241548328122 |
0.009208714413183598 |
0.010293514834327173 |
Видим, что она достаточно плавно и медленно возрастает возле нуля. Исходя из этого, мы в праве предположить, что разность (n+1)-го и n-го значений функции близка к её производной: - y_ = y" />
.
Учитывая это, наша исходная функция примет вид: , что является простейшим дифференциальным уравнением первого порядка. Решая его (например, методом разделения переменных), получим:
Вспоминаем нашу цель — поиск нуля. Данное выражение равно нулю только в двух случаях: либо квадратный корень из ε равен нулю — невозможно по определению, либо тангенс равен нулю. Пренебрегая константой C: . Это подтверждает то, что мы сегодня увидели:
ε | n√ε |
---|---|
0.01 | 3.0 |
0.0001 | 3.12 |
0.000001 | 3.140 |
0.00000001 | 3.1414 |
Видно, что множитель √ε ставит ту самую запятую в нужное место.
Почему у нас нет точного значения числа Пи?
На самом деле мы не знаем точного значения, потому что это иррациональный номер.
Иррациональное число - это число, которое нельзя представить в виде дроби. Цифры после десятичной дроби бесконечны и не повторяются, т. Е. Не появляются в определенной последовательности. Это также причина, по которой 22/7 - это только приблизительное, а не реальное значение.
Итак, если мы даже не знаем всех цифр, как компьютеры могут их вычислить за нас? Ведь компьютеры находятся запрограммированы самими людьми, верно?
Ответ на этот вопрос - да, компьютеры программируются людьми. Но нам нужно точно понимать, как работают компьютеры, чтобы понять этот ответ.
Заключение
Построение числа Пи данным методом является, наверное, самым неэффективным способом: нужно проделать 314160 итераций для того, чтобы получить 3,14160. Кроме того, метод не обладает высокой точностью в силу больших погрешностей вычислений.
Однако нам удалось соединить две, казалось бы, несоединимые точки: фрактал и отношение длины окружности к длине её диаметра.
Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Число «Пи» и способы его вычисления на компьютере. Презентация на заданную тему содержит 16 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!
Число «Пи» и способы его вычисления на компьютере Автор: Орехова Екатерина, ученица 11 класса, МКОУ Плесской СОШ, обучающаяся в объединении «Программирование» МКОУ ДОД ЦДЮТ Научный руководитель: Юдин Андрей Борисович, учитель математики МКОУ Плесской СОШ, педагог дополнительного образования МКОУ ДОД ЦДЮТ
Цель работы: Выяснить, каким способом можно составить алгоритмы для нахождения числа Пи с помощью компьютера и узнать, какой способ поможет более точно вычислить это число.
Задачи работы Ознакомиться с историей числа Пи Найти необходимые формулы для вычисления числа Пи Преобразовать найденные формулы в алгоритмы в системе программирования PascalABC Узнать, какой способ вычисления наиболее точный
Формулы для нахождения числа пи Ряд Мадхавы Формула Джона Валлиса Формула Вильгельма Лейбница Формула Леонарда Эйлера Нахождение числа Пи с помощью рядов Формула Джона Мэчина Алгоритм Брента-Саламина
Формула Вильгельма Лейбница Формула: Вычисления на компьютере: Количество верных знаков после запятой: 11
Нахождение числа Пи с помощью рядов Формула: Вычисления на компьютере: Количество верных знаков после запятой: 7
Нахождение числа Пи с помощью рядов Формула: Вычисления на компьютере: Количество верных знаков после запятой: 4
Нахождение числа Пи с помощью рядов Формула: Вычисления на компьютере: Количество верных знаков после запятой: 3
Вывод Проанализировав решенные мною задачи, я выяснила, что наиболее точными способами нахождения числа Пи на компьютере являются: Ряд Мадхавы (15 знаков) Формула Лейбница (11 знаков) Алгоритм Брента-Саламина (15 знаков) Классические системы программирования, к которым относится Pascal, не пригодны для вычислений больших и очень маленьких чисел, поэтому, в приведенных мною примерах, я не достигла точности, описанной в литературе.
Заключение Благодаря данной работе: Я научилась составлять программы для вычисления числа Пи различными способами; из этих способов я выбрала наиболее точные Познакомилась с историей числа Пи Узнала основные способы нахождения числа Пи
В 2006 году на 72-м Всемирном библиотечном и информационном конгрессе /Генеральной конференции ИФЛА/ состоялся Открытый форум ЮНЕСКО, по итогам которого было составлено «Руководство по информационной грамотности для образования на протяжении всей жизни». Совокупность технологических средств информационных и коммуникационных технологий /ИКТ/: компьютеры, иное ИКТ-оборудование, коммуникационные каналы, позволяют студентам овладеть азами знаний.
Цели, которые должен достигнуть студент, в такого вида работах, отчасти сформулирована в Международных стандартах по информационной грамотности, предназначенных для организации обучения в этой области, в которых также названы три важнейших компонента информационной грамотности: способность человека получать, оценивать и использовать информацию.
Актуальность выбранной темы в том, что специальность «Производство летательных аппаратов» требует, прежде всего, технических знаний, умения использовать формулы, таблицы, константы и т. д. все они в том или ином виде содержат число Пи.
Число «пи» выражает отношение длины окружности к своему диаметру, в этом качестве оно известно с древних времен. В 3-ем веке до нашей эры Архимедом была написана работа «измерение круга» посвященная числу «пи». В 5 веке нашей эры китайский математик Цэу Чунжи нашел самое точное значение на тот период времени пи=3,1416927. .В первой половине 15-века нашей эры в обсерватории Улугбека, возле Самарканда астроном и математик аль-Каши вычислил число «пи» с 16 десятичными знаками. Европейский математик Виет первым связал некоторые числовые ряды и число «пи». В двадцатом веке с помощью электронно-вычислительной машины это удивительное число вычислено с точностью до 500 миллиардов знаков.
Вопрос о том для чего нужна такая колоссальная точность десятичных знаков только придает еще большей загадочности объекту нашего изучения. Проникновение науки в космическое пространство и внутрь материи требует для большей точности больше десятичных значений. Для исследований в пределах земли достаточно 11 знаков после запятой, а при расчете длины Земной орбиты при вращении вокруг Солнца для такой же точности достаточно использовать «пи» с четырнадцатью знаками после запятой. Для вычисления длины орбиты Плутона с ошибкой в несколько миллиметров достаточно шестнадцати знаков «пи». Диаметр нашей Галактики около 100.000 световых лет, так вот для этих вычислений необходимо 26 знаков после запятой, что было сделано еще в семнадцатом веке.
Цифры после запятой не имеют цикличности и системы, включая очень редко встречающуюся в математике последовательности из миллиона нетривиальных нулей, предсказанную немецким математиком Бернгардном Риманом в 1859 году. Ясумаса Канада недавно вычислил «Пи «до 12411-трилионного знака после запятой и тут же вся эта информация была засекречена.
Нам знакомы многие константы, некоторые из них ,такие как альфа, константа золотой пропорции, техническое число - е могут быть вычислены через число «пи». Также через «пи» можно вычислить местоположение элементарных частиц в таблице Чарльза Кэнтона, под руководством которого и было расшифровано ДНК, считает что, число «пи» контролирует все известные нам процессы. Кто же контролирует само число? Ответа пока нет.
Методы уточнения «пи» настолько разнообразны: от строго математических ,до методов с философским уклоном, что не позволяют скучать истинным любителям математических загадок.
Праздники бывают разными, наверное, один из самых удивительных, праздник числа «пи». Зная всего лишь несколько цифр после запятой, нетрудно угадать, когда же его отмечают.
Где применяется значения «пи», ответ на этот вопрос можно сформулировать двумя словами «все круглое». Все формулы связанные с телами вращения содержат это удивительное число; сфера, цилиндр, усеченный цилиндр и т.д.
Физики и лирики, нет математики и лирики, потому что именно объекту нашего исследования числу «пи» посвящены стихи позволяющие, запомнить шесть чисел после запятой.
Любое значимое событие или знание окружает два неизменных спутника: таинственность и невежество. Так вот «невежества» не удалось избежать и нашему «герою». В штате Индиана сто лет назад был принят закон утверждающий, что «пи» = 4,правдо просуществовал он не долго.
1.1.Уникальное свойство окружности.
Дело в том, что π выражает соотношение длины окружности к длине ее диаметра. И для абсолютно всех окружностей в мире это соотношение одинаково и примерно равно 3,14!
На такое удивительное свойство окружностей люди обратили внимание еще в глубокой древности. Так, оно было известно еще в древнем Вавилоне и Египте. Вычисленное древними учеными соотношение по точности отличается от известной сегодня величины всего лишь на 1%! На протяжении всей истории научной мысли люди не прекращали попыток вычислить значение этого соотношения, которое тогда еще не называлось числом π, самыми разными способами.
1.2. История числа Пи от древнего Египта до наших дней.
История числа пи выражающего отношение длины окружности к её диаметру, началась в Древнем Египте. Площадь круга диаметром d египетские математики определяли как (d-d/9)2 (эта запись дана здесь в современных символах). Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число p считали равным дроби (16/9)2, или 256/81, т.е. p =3,160.
В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число p в то время принимали равным √10, что даёт дробь 3,162.
Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата. Следует заметить, что на протяжении многих столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение длины окружности к диаметру рациональным числом.
Архимед в III в. до н.э. обосновал в своей небольшой работе "Измерение круга" три положения:
Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;
Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14;
Отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 1/7 и больше 3 10/71.
Последнее предложение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. Сначала он удвоил число сторон правильных описанного и вписанного шестиугольников, затем двенадцатиугольников и т.д., доведя вычисления до периметров правильного вписанного и описанного многоугольников с 96 сторономи. По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3*10/71 и 3*1/7, а это означает, что p = 3,1419. Истинное значение этого отношения 3,1415922653.
В V в. до н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение этого числа: 3,1415927.
Впервой половине XV в. обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик аль-Каши вычислил p с 16 десятичными знаками. Он сделал 27 удвоений числа сторон многоугольников и дошёл до многоугольника, имеющего 3*228 углов. Аль-Каши произвёл уникальные расчёты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом в 1'. Эти таблицы сыграли важную роль в астрономии.
Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виет нашёл число p только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Ф.Виет первым заметил, что p можно отыскать, используя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое значение, так как позволило вычислить p с какой угодно точностью. Только через 250 лет после аль -Каши его результат был превзойдён.
Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом Пи английский математик У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова "periferia", что в переводе означает "окружность". Введённое У.Джонсоном обозначение стало общеупотребительным после опубликования работ Л.Эйлера, который воспользовался введённым символом впервые в 1736 г.
В конце XVIII в. А.М.Лажандр на основе работ И.Г.Ламберта доказал, что число пи иррационально. Затем немецкий математик Ф.Линдеман, опираясь на исследования Ш.Эрмита, нашёл строгое доказательство того, что это число не только иррационально, но и трансцендентно, т.е. не может быть корнем алгебраического уравнения. Из последнего следует, что с помощью только циркуля и линейки построить отрезок, равный по длине окружности, невозможно а следовательно, не существует решения задачи о квадратурекруга.
Поиски точного выражения Пи продолжались и после работ Ф.Виета. В начале XVII в. голландский математик из Кёльна Лудольфван Цейлен (1540-1610) (некоторое историки его называют Л.ван Кейлен) нашёл 32 правильных знака. С тех пор (год публикации 1615) значение числа p с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа.
К концу XIX в., после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа p. Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными.
После разработки методов дифференциального и интегрального исчисления было найдено много формул, которые содержат число "пи". Некоторые из этих формул позволяют вычислить "пи" приёмами, отличными от метода Архимеда и более рациональными. Например, к числу "пи" можно прийти, отыскивая пределы некоторых рядов. Так, Г.Лейбниц (1646-1716) получил в 1674 г. ряд
который дал возможность вычислить p более коротким путём, нежели Архимед. Всё же указанный ряд сходится очень медленно и поэтому требует довольно продолжительных расчётов. Для вычисления "пи" удобнее использовать ряд, получаемый от разложения arctgx при значении x=1/√3, при котором разложение функции arctg 1/√3=пи /6 в ряд даёт равенство
p/6 = 1/√3[1 - 1/3*1/3 + 1/5 * (1/3)2 - 1/7 * (1/3)3 + . ],
т.е.
p = 2√3[1 - 1/9 + 1/5 * (1/3)2 - 1/7 * (1/3)3 + . ]
Частично суммы этого ряда можно вычислять по формуле
Sn+1 = Sn + (2√3)/(2n+1) * (-1/3)n,
при этом "пи" будет ограничено двойным неравенством:
Ещё более удобную формулу для вычисления p получил Дж.Мачин. Пользуясь этой формулой, он вычислил p (в 1706 г.) с точностью до 100 верных знаков. Хорошее приближение для "пи" даёт выражение
Однако следует помнить, что это равенство надо рассматривать как приближённое, т.к. правая часть его - число алгебраическое, а левая - трансцендентное, следовательно, эти числа равными быть не могут.
Как указала в своих статьях Э.Я.Бахмутская (60-ые годы XX столетия), ещё в XV-XVI вв. южноиндийские учёные, в том числе Нилаканта, пользуясь приёмами приближённых вычислений числа p, нашли способ разложения arctgx в степенной ряд, подобный ряду, найденному Лейбницем. Индийские математики дали словесную формулировку правил для разложения в ряды синуса и косинуса. Этим они предвосхитили открытие европейских математиков XVII в. Тем не менее, их изолированные и ограниченные практическими потребностями вычислительные работы никакого влияния на дальнейшее развитие науки не оказали.
В наше время труд вычислителей заменили ЭВМ. С их помощью число "пи" вычислено с точностью более миллиона знаков после запятой, причём эти вычисления продолжались, только несколько часов.
В современной математике число p - это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул, в том числе и в формулы неевклидовой геометрии, и формулу Л.Эйлера, которая устанавливает связь числа пи и числа e следующим образом:
e2 pi = 1, где i = √-1.
Эта и другие взаимозависимости позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа p.
1.3.Методы вычисления числа Пи.
К известным методам уточнения Пи (подбором деления пар чисел, вписывания в круг многоугольника и вычисления сумм рядов) во второй половине прошлого века добавились еще три, которые можно назвать экспериментальными. Первый, так называемый "метод иглы Бюффона". В нем на разлинованную равноудаленными прямыми плоскость произвольно бросается игла, длина которой равна половине расстояния между соседними прямыми. (Так что игла либо не пересекает прямые, либо пересекает ровно одну при каждом бросании). Можно доказать, что отношение числа пересечений иглы с какой-нибудь линией к общему числу бросаний стремится к Пи при увеличении числа бросаний до бесконечности. Нужно сделать очень много испытаний, чтобы получить более-менее приличную точность приближения полученной дроби к Пи, а кроме того, при эксперименте надо внимательно следить, чтобы бросание иглы было "равновероятным": метод иглы Бюффона существенным образом базируется на методах теории вероятностей.
Второй метод, придуманный Г.А. Гальпериным, и называемый Пи-биллиардом, основан на оригинальной модели. При столкновении двух шаров, меньший из которых находится между большим и стенкой, и больший движется к стенке, число соударений шаров позволяет вычислить Пи со сколь угодно большой наперед заданной точностью. Надо только запустить процесс (можно и на компьютере) и посчитать число ударов шаров.
Для третьего метода предлагаю воспользоваться известным предположением теории чисел: вероятность, что два числа взаимно просты, равна 6/ Взаимно простыми называются числа, не имеющие общих делителей (для строгости обычно добавляют "кроме единицы"). Какой же алгоритм наших действий? Берем два случайных числа, находим их делители и сравниваем их. Повторяя процесс в цикле, вычисляем долю шагов цикла (от общего числа шагов), при которых числа не имели общих делителей. Разделив 6 на эту долю и извлеча (есть такое слово?) квадратный корень из частного, получим искомое значение Пи.
1.4. ПИ, РАЗУМНОЕ ЧИСЛО
В цифрах после запятой нет цикличности и системы, то есть в десятичном разложении Пи присутствует любая последовательность цифр, какую только можно себе представить (включая очень редко встречающуюся в математике последовательность из миллиона нетривиальных нулей, предсказанную немецким математиком Бернгардтом Риманом еще в 1859-м). Это значит, что в Пи, в закодированном виде, содержатся все написанные и ненаписанные книги, и вообще любая информация, которая существует. Именно поэтому вычисления японского профессора Ясумаса Канада, который недавно определил число Пи до 12411-триллионного знака после запятой, были тут же засекречены. С таким объемом данных не составляет труда воссоздать содержание любого секретного документа, напечатанного до 1956 года. Правда, этих данных недостаточно для определения местонахождения любого человека, для этого необходимо как минимум 236734 триллионов знаков после запятой. Предполагают, что такие работы сейчас ведутся в Пентагоне (с использованием квантовых компьютеров, тактовая частота процессоров которых уже сегодня приближается к звуковой скорости).
Как считает доктор Чарльз Кэнтор, под руководством которого ДНК и было расшифровано: "Такое впечатление, что мы подошли к разгадке некоей фундаментальной задачки, которую нам подкинуло мироздание. Число Пи - повсюду, оно контролирует все известные нам процессы, оставаясь при этом неизменным! Кто же контролирует само число Пи? Ответа пока нет."
«Пи» обладает репутацией несколько «противоречивого» числа, поддающегося нескольким интерпретациям. Согласно Майклу Хэйесу, автору книги «Герметический код ДНК: сакральные принципы организации Вселенной», число «пи» ассоциируется с музыкой, гармонией и с самой ДНК.
Связь «пи» с музыкой выражается, согласно Хэйесу, «в законе семи и законе трех - тройная октава, состоящая из 22 нот». Каждая из трех отдельных октав состоит из трех «внутренних» октав, говорит Хэйес, так что в общей сложности имеется девять октав и «в точности 64 основные ноты, что является квадратом постоянного числа пи. Хэйес называет это «герметическим кодом» и утверждает, что это универсальная формула, обнаруживаемая повсюду, в том числе и в структуре нашей собственной ДНК.
В преддверии самого замечательного праздника, дня числа Пи, отмечаемого, естественно, четырнадцатого числа третьего месяца, позвольте пригласить вас в Пи-клуб.
Рассмотрите внимательно, его первые тысячи знаков, проникнитесь поэзией этих цифр, ведь за ними стоят история нашей цивилизации, жизни сотен лучших умов человечества и тайна устройства мироздания. Есть гипотезы, предполагающие, что в числе Пи скрыта любая информация, которая когда-либо была или будет доступна людям.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953
1.7.Лирика и число Пи.
Для запоминания числа «пи» были придуманы такие стихи:
Про число "ПИ" - 3,1415926
Гордый Рим трубил победу
Над твердыней Сиракуз;
Но трудами Архимеда
Много больше я горжусь.
Надо нынче нам заняться,
Оказать старинке честь,
Чтобы нам не ошибаться,
Чтоб окружность верно счесть,
Надо только постараться
И запомнить все как есть
Три - четырнадцать - пятнадцать - девяносто два и шесть!
Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Надо только постараться
И запомнить всё как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Чтоб наукой заниматься,
Это каждый должен знать.
Можно просто постараться
И почаще повторять:
«Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, двадцать шесть и пять».
Запоминанию может помогать соблюдение стихотворного размера:
Три, четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три пять
Восемь девять, семь и девять, три два, три восемь, сорок шесть
Два шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль два
Восемь восемь и четыре, девятнадцать, семь, один
Существуют стихи, в которых первые цифры числа π зашифрованы в виде количества букв в словах:
Это я знаю и помню прекрасно:
Пи многие знаки мне лишни, напрасны.
Доверимся знаньям громадным
Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду.
Раз у Коли и Арины
Распороли мы перины.
Белый пух летал, кружился,
Куражился, замирал,
Ублажился,
Нам же дал
Головную боль старух.
Ух, опасен пуха дух!
В заключении хотелось бы отметить, что в результате выполнения работы данного вида я получил навыки работы с различными поисковыми системами, получил новые научные знания «добытые самостоятельно».
В ходе выполнения работы я ознакомился с историей и развитием одного из самых удивительных чисел. Об этом числе на протяжении многих веков не « забывают» не только математики и физики, но и обычные любители всего неизвестного. В этом удивительном числе скрыта информация о нашей истории и ,наверное будущем, зашифрованы тайны мироздания, да и нераскрытые еще секреты ДНК.
Пару слов о множестве
На самом деле на Хабре куча статей, описывающие множество Мандельброта (далее, множество М), рассматривающие его свойства, историю и удивительную красоту, подкрепляя всё это красочными картинками. Мне бы не хотелось останавливаться на его определении и прочих деталях, а сразу перейти к делу. Однако в силу того, что оно является центральным субъектом данной статьи, я все же освежу вашу память.
Множество М — это множество всех комплексных чисел с, для которых функция при ее итерации с ограничена. Настолько просто.
На практике мы применяем следующую теорему: если функция (вышеприведенная) в ходе итерации превосходит значение 2, то она 100% не ограничена. Поэтому, определить множество можно так:
= z_n * z_n + c" />
Я не буду затрагивать тему визуализации, туда мы сегодня копать не будем.
Каков алгоритм нашего расчета?
В нашем случае этот набор операций называется бесконечная серия. Бесконечный ряд - это бесконечная последовательность значений, которые повсюду подчиняются определенному правилу.
Например, у нас есть серия-
Каждый член здесь умножается на половину предыдущего члена.
Если мы их добавим,
Это называется бесконечной серией. Кратко это можно записать с помощью символа «сигма»: -
В этом случае сложение всех членов S составляет 1. Если вы не понимаете, как это может быть 1, вот иллюстрация доказательства:
Теперь, если мы сможем найти бесконечный ряд, в котором значение «S» в приведенном выше уравнении равно пи, мы найдем алгоритм для генерации значения пи. После этого все, что нам нужно сделать, это ввести этот алгоритм в компьютер.
Сегодня существует множество рядов, которые используются для вычисления числа пи. Один из наиболее известных и простых для расчета рядов - это ряд Грегори-Лейбница:
С помощью этой серии вы сможете точно вычислить / 4. Затем, если вы умножите это на 4, вы получите значение. Единственная проблема этой серии в том, что она не очень эффективна. Вам придется добавить много терминов, если вы хотите получить точное значение (около 300 терминов для вычисления до двух знаков после запятой). Это трудоемкая работа даже для компьютера.
Еще одна серия, которая более эффективна, чем та, что приведена выше, - это серия Nilakantha:
Это лишь некоторые из самых простых формул, которые можно использовать для вычислений. Есть и другие, более эффективные, серии, разработанные математиками, которые можно использовать для вычисления этого значения с помощью компьютеров, например, алгоритм Брента и Саламина.
Представьте себе чрезвычайно эффективную бесконечную серию и сверхбыстрый компьютер. Вот как сегодня исчисляется стоимость триллионов цифр. Мировой рекорд по вычислению наибольшего количества цифр принадлежит Тимоти Мулликану. Он вычислил на своем персональном компьютере 50 триллионов цифр (по состоянию на 30 января 2020 года).
Мы, безусловно, добились большого прогресса - от вычисления этого значения вручную до использования сверхмедленных компьютеров в 1950-х годах (которые были фактически самыми эффективными компьютерами того времени) и по сей день, когда компьютеры могут производить вычисления за считанные секунды.
14 марта — всемирный день числа Пи. Придуманный в 1989 году и официально признанный в 2009, этот день отмечают многими способами, из которых самые популярные — поедание круглых пирогов и обсуждение вещей, связанных с числом Пи. Было бы странно, если бы не нашлось пары-тройки языков программирования, основанных на числе Пи или хотя бы названных в его честь. О них я и расскажу — надо же поддержать традицию :-)
1. Pi — диалект Brainfuck
У Brainfuck множество диалектов практически на все случаи жизни, диалект Pi среди них тоже есть. Команды языка записываются в число Пи в виде неправильных цифр в случайных разрядах следующим образом.
Для каждой команды выбирается разряд, в который она будет записана (разряды упорядочены так же, как команды в исходном коде). Берется таблица соответствия команд и цифр
< >+ — . , [ ]
0 1 2 3 4 5 6 7 8
и в ней строка команд сдвигается на одну вправо, начиная с команды над цифрой, которая находится в выбранном разряде в правильном числе Пи. Например, если выбран второй разряд после десятичной точки, правильная цифра в нем — 4, и таблица соответствия принимает следующий вид:
< >+ — . , [ ]
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Теперь по нужной команде выбираем соответствующую ей цифру и заменяем на нее правильную в выбранном разряде. Результат записи программы — число, похожее на Пи, но местами отличающееся от него. Так, программа «Hello, World!», которая на Brainfuck записывается вот так:
на Pi запишется вот так:
3.141592653589793238462623382272502824197169299275107820904924592337816406386238
99262833482534311206728234808621328230264709314460935058223872535941812844111745
00841022019385311055296426229289549302819244388109726652334471204756422337867231
65221231909345628566933460342610454226248213391607264249148273720587036656315582
17288153092396282225439171532436789559536003133023024882044652108412695192151163
94330573703656595909530921261173839326137921051125420742623799227495273538857227
24892227938133011749109833675362442656243086321294946795024737130702479860343702
77453921711629317375838467480846766440513202056822724526351082178577132275778260
91736271767204684409312229532301462492853110307922896892089235450199501120290219
65862034218129813624774731309964518707241349993993372978039951049734732816036348
59504445345544690330263252250825304468003522193158817101
2. Another Pi Language
Необычный даже для эзотерических языков, этот язык существует только в виде теоретического описания. Идея языка основана на известной теории о том, что в числе Пи можно найти любую информацию, если подобрать правильную кодировку. В данном случае Пи записывается в двоичном представлении
11.
00100100 00111111 01101010 10001000 10000101 10100011 00001000 11010011
00010011 00011001 10001010 00101110 00000011 01110000 01110011 01000100
10100100 00001001 00111000 00100010 00101001 10011111 00110001 11010000
00001000 00101110 11111010 10011000 11101100 01001110 01101100 10001001
Исходный код программы на Another Pi Language представляет собой пару чисел: индекс бита, с которого следует начинать чтение, и количество байт, которые следует прочитать. Прочитанные байты переводятся в символы с соответствующими ASCII-кодами, и полученный текст интерпретируется как исходный код на каком-то другом языке (язык должен быть указан вместе с парой чисел).
Теоретически в числе Пи можно найти любую последовательность битов любой длины, то есть код любой, сколь угодно сложной программы. Этот язык даже будет Тьюринг-полным (поскольку на нем можно выполнить любое задание, которое можно выполнить на других языках). Другое дело, что по сложности программирования на нем он сможет поспорить с Malbolge. Впрочем, в отличие от Malbolge, «Hello, World!» на Another Pi Language пишется легко и изящно:
- читаем 1 байт, начиная с 3-го бита записи. Первая единица считается нулевым байтом, поэтому начинаем со второго нуля после запятой: 01001000;
- переводим в десятичное число (72) и в символ с таким ASCII-кодом (H);
- интерпретируем полученный символ как код программы на HQ9+ — а для этого замечательного языка это и есть команда вывода «Hello, World!» на печать. Удачно, правда?
- канонический пример «99 бутылок пива»
113 1 HQ9+ (9) - прочитать символ и вывести его же на печать
102168614(+-1) 2 Brainfuck (,.) - бесконечный цикл
3234901746(+-1) 3 Boolfuck (*[])
3. Язык паттернов Pi
Нечто среднее между инструментом разработки и философией создания новых языков программирования. Основан на идее расширяемости семантики и синтаксиса языков программирования средствами самих языков.
4. Бонус :-)
Небольшой подарок ко дню Пи: Pi Day Challenge 2011 — ежегодно обновляющаяся серия загадок, связанных с числом Пи.
Я всегда говорил своему другу, что математика со своими изящными абстракциями обладает той магической силой, потенциал которой до сих пор полностью не раскрыт. Сегодня я хочу поговорить о том, как можно приблизить число Пи с помощью множества Мандельброта.
Как рассчитать значение Пи?
Допустим, у вас есть круг (если нет, просто конструируйте его). Измерьте его диаметр с помощью шкалы и его окружность с помощью веревки. Теперь, если вы разделите значение длины окружности на диаметр, вы, вероятно, получите частное как 3,1415… (приблизительно). Вы также заметите, что разделение бесконечно. Это значение называется Число Пи (). Если представить это математически,
Окружность круга = 2 р
Диаметр круга = 2 р
Итак, Окружность / Диаметр = (2 r) / (2 r) =
Используемый выше метод измерений - это то, как вавилоняне и греки открыли его тысячи лет назад. С тех пор было сделано много приближений к значению этого числа.
Однако даже сегодня, когда мы вычислили около 2,7 триллиона цифр, мы далеко не приблизились к точному значению. В ряде книг дробь 22/7 используется в качестве значения, но даже это просто приближение (на самом деле 22/7 ближе к действительному значению, чем 3,14).
Число Пи?
Действительно, каким-таким образом?
ix (где x ∈ ℚ). Проверим её принадлежность ко множеству М: начнем итерировать функцию = z_n * z_n + c" />
n-раз от нуля и проверять, превосходит ли полученное значение 2. Если да, то функция разошлась, и значение с не принадлежит множеству при данном n. Иначе — принадлежит.
x | c | n (кол-во итераций до расхода функции) |
---|---|---|
0.1 | -0.75 + 0.1i | 33 |
0.01 | -0.75 + 0.01i | 315 |
0.001 | -0.75 + 0.001i | 3143 |
0.0001 | -0.75 + 0.0001i | 31417 |
0.00001 | -0.75 + 0.00001i | 314160 |
Именно. Если поставить запятую на нужном месте, цифры напоминают число Пи.
Наверное, совпадение
Не будем заморачиваться с комплексной частью и возьмем число c = 0.25. Оно принадлежит множеству при бесконечно большом количестве итераций. Поэтому, будем "приближаться" к этой точке справа: возьмем c = 0.26, проверим его; c = 0.2501, проверим его, и т. д.
c | n (кол-во итераций до расхода функции) |
---|---|
0.26 | 30 |
0.2501 | 312 |
0.25001 | 991 |
0.250001 | 3140 |
0.2500001 | 9933 |
0.25000001 | 31414 |
Последовательность колеблется между двумя значениями, однако эхо числа Пи (поставив запятую в нужное место) никуда не исчезло.
Немного истории
Само множество М, названное в честь математика Бенуа Мандельброта — совсем недавное открытие. Бенуа даже выступал на TEDx, говоря в том числе и о нем.
В 1991 Дейв Болл изучал, действительно ли "соприкосновение двух частей множества" М около c = -0.75 "бесконечно тонко". В ходе своего исследования он и обнаружил то, о чем мы сейчас говорим.
Читайте также: