Принцип неопределенности в физике и компьютерных науках
Квантовая механика, будучи разделом теоретической физики, описывает физические явления, где действие равнозначно по величине постоянной Планка.
Основополагающими принципами механики квантов считаются:
- принцип неопределенности (В. Гейзенберга);
- принцип дополнительности (Н. Бора);
- принцип суперпозиции.
Другие характеристики
Было развито множество дополнительных характеристик, включая описанные ниже:
Краткий обзор
Принцип неопределённости в квантовой механике иногда объясняется таким образом, что измерение координаты обязательно влияет на импульс частицы. По-видимому, сам Гейзенберг предложил это объяснение, по крайней мере первоначально. То, что влияние измерения на импульс несущественно, может быть показано следующим образом: рассмотрим ансамбль (невзаимодействующих) частиц приготовленных в одном и том же состоянии; для каждой частицы в ансамбле мы измеряем либо импульс, либо координату, но не обе величины. В результате измерения мы получим, что значения распределены с некоторой вероятностью, и для дисперсий dp и dq верно отношение неопределённости.
Отношения неопределённости Гейзенберга — это теоретический предел точности любых измерений. Они справедливы для так называемых электрический заряд) не может быть описана одновременно как «классическая точечная частица» и как волна. (Сам факт того, что какое-либо из этих описаний может быть справедливо, по крайней мере в отдельных случаях, называют корпускулярно-волновым дуализмом ). Принцип неопределённости, в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, верен в случае, когда ни одно из этих двух описаний не является полностью и исключительно подходящим, например частица в коробке с определённым значением энергии; то есть для систем, которые не характеризуются ни каким-либо определённым «положением» (какое-либо определённое значение расстояния от потенциальной стенки), ни каким-либо определённым значением импульса (включая его направление).
Существует точная, количественная аналогия между отношениями неопределённости Гейзенберга и свойствами волн или сигналов. Рассмотрим переменный во времени сигнал, например звуковую волну. Бессмысленно говорить о частотном спектре сигнала в какой-либо момент времени. Для точного определения частоты необходимо наблюдать за сигналом в течение некоторого времени, таким образом теряя точность определения времени. Другими словами, звук не может иметь и точного значения времени, как например короткий импульс, и точного значения частоты, как, например, в непрерывном чистом тоне. Временно́е положение и частота волны во времени походят на координату и импульс частицы в пространстве.
Принцип дополнительности Бора
Принцип дополнительности представляет собой один из важнейших эвристических и методологических принципов в квантовой механике. Сформулирован Н. Бором в 1927 г.
Согласно такому принципу, при полном описании квантово-механических явлений требуется применение двух дополнительных (взаимоисключающих) наборов классических понятий, совокупность которых позволяет получить исчерпывающую информацию о таких явлениях, как о целостных. Дополнительными в квантовой механике считаются энергетически-импульсная и пространственно-временная картины.
Принцип дополнительности положен в основу копенгагенской интерпретации механики квантов и анализа измерительного процесса характеристик микрообъектов. Согласно данной интерпретации, позаимствованные из классической физики, динамические характеристики микрочастицы (энергия, импульс и др.) вовсе не свойственны частице как самой по себе.
Смысл и определенные значения тех или иных характеристик электрона раскрываются в непосредственной взаимосвязи с классическими объектами. Для этих объектов такие величины одновременно могут иметь некоторое значение (условно подобный классический объект называется измерительным прибором). Роль вышеозначенного принципа дополнительности в физике оказалась настолько значимой, что Паули даже предложил назвать квантовую механик теорией дополнительности (как аналогия с теорией относительности).
Что такое принцип неопределенности Гейзенберга?
Представим себе снова электрон, размытый по атому. Теперь представим, что нам нужно определить его скорость и положение. Очевидно, что для этого нужно внести электрон на свет, и часть световых волн о него рассеется. Но ведь свет испускается квантами, а кванты подразумевают определенное расстояние между соседними волнами света - интенсивность. Отсюда возникает погрешность - точность измерений будет сопоставима с расстоянием между волнами света. Для предотвращения этого нужно использовать коротковолновый свет (расстояние между волнами будет меньше, но энергия кванта в таком случае будет больше). Этот квант света, рассеивающийся о частицу, передаст ей часть своей "лишней" энергии, став нормальным, а переданная энергия непредсказуемо изменит ее скорость. С другой стороны, раз электрон "расплывается" (ведет себя как волна) по пространству, то зная его точную скорость, его положение будет меняться в каждый миг времени, и чем точнее мы знаем скорость, тем за меньшее время будет меняться положение. Говоря проще, чем точнее мы будем измерять скорость, тем менее точно мы определим положение частицы, и наоборот. Именно это и является фундаментальным явлением в квантовой физике - принципом неопределенности Гейзенберга. Кстати говоря, да, этот принцип был сформулирован немецким ученым Вернером Гейзенбергом в 1926 г. (попробуйте найти отсылку к известному сериалу и поделитесь ей в комментариях). В математическом виде принцип неопределенности выглядит следующим образом:
так, что ^d_
^\geq <\frac <\hbar ^>>>" width="" height="" />
.
В общем смысле, соотношение неопределённости возникает между любыми переменными состояния, определяемыми некоммутирующими операторами. Это — один из краеугольных камней квантовой механики, который был открыт [
Содержание
Интерпретации
Альберту Эйнштейну принцип неопределённости не очень понравился, и он бросил вызов Нильсу Бору и Вернеру Гейзенбергу известным дебаты Бор-Эйнштейн для подробной информации): заполним коробку радиоактивным материалом, который испускает радиацию случайным образом. Коробка имеет открытый затвор, который немедленно после заполнения закрывается при помощи часов в определённый момент времени, позволяя уйти небольшому количеству радиации. Таким образом время уже точно известно. Мы все ещё хотим точно измерить сопряжённую переменную энергии. Эйнштейн предложил сделать это, взвешивая коробку до и после. Эквивалентность между массой и энергией по специальной теории относительности позволит точно определить, сколько энергии осталось в коробке. Бор возразил следующим образом: если энергия уйдет, тогда полегчавшая коробка сдвинется немного на весах. Это изменит положение часов. Таким образом часы отклоняются от нашей неподвижной системы отсчёта, и по специальной теории относительности, их измерение времени будет отличаться от нашего, приводя к некоторому неизбежному значению ошибки. Детальный анализ показывает, что неточность правильно дается соотношением Гейзенберга.
Именно эту интерпретацию Эйнштейн подвергал сомнению, когда писал Максу Борну: «я уверен, что Бог не бросает кости» (Die Theorie liefert viel. Aber ich bin überzeugt, das der Alte nicht würfelt) [1] . скрытые переменные в квантовой механике, которые лежат в основе наблюдаемых вероятностей.
Ни Эйнштейн, ни кто-либо ещё с тех пор не смог построить удовлетворительную теорию скрытых переменных, и Принцип неопределённости в популярной культуре
Принцип неопределённости часто неправильно понимается или приводится в популярной прессе. Одна частая неправильная формулировка в том, что наблюдение события изменяет само событие. Это может быть верным в некоторых случаях для некоторых событий, но это не имеет никакого отношения к принципу неопределённости в квантовой механике.
Другие (также вводящие в заблуждение) аналогии с макроскопическими эффектами были предложены для объяснения принципа неопределённости: одна из них рассматривает придавливание арбузной семечки пальцем. Эффект известен — нельзя предсказать, как быстро или куда семечка исчезнет. Этот случайный результат базируется полностью на хаотичности, которую можно объяснить в простых классических терминах.
Представляя раздел теоретической физики, квантовая механика описывает физические явления, где действие по величине равнозначно постоянной Планка. Основополагающие принципы этого раздела физики это:
- принцип неопределенности В. Гейзенберга);
- принцип дополнительности Н. Бора.
Готовые работы на аналогичную тему
Сделать анализ и выводы об этом опыте можно, благодаря следующему мысленному эксперименту. С целью определения местоположения для электрона, он должен быть освещен направленным на него фотоном.
Если столкнутся две элементарные частицы, станут возможными точные расчеты координат для электрона (можно определить место, где он пребывал на момент столкновения). При этом электрон при столкновении изменит собственную траекторию. Это объясняется тем, что при столкновении фотон передаст ему импульс. Поэтому если точно определяется координата электрона, становится невозможным узнать траекторию его последующего движения.
Пусть $\delta E$ будет среднеквадратическим отклонением при измерении энергии определенного состояния квантовой системы, а $\delta t$ — время жизни этого состояния. Тогда выполняется следующее неравенство,
Таким образом, состояние, которое остается неизменным непродолжительное время, не может иметь четко определяемую энергию. Несмотря на схожесть этих двух вышеописанных соотношений неопределенности, их природа будет совершенно различной.
Принцип суперпозиции
В квантовой механике важная роль отводится принципу суперпозиции. Данный принцип называется также принципом наложения.
Основная идея принципа суперпозиции такова: допускается версия о том, что результирующий эффект может представлять их сумму. При этом эффекты вызываются благодаря каждому воздействующему явлению в отдельности. Простейшим примером, который можно привести, считается правило параллелограмма, на основании которого суммируются две действующие на тело силы.
Принцип суперпозиции в микромире является фундаментальным, наряду с принципом неопределенности, составляющим основу для математического аппарата механики квантов. Релятивистская квантовая механика предполагает взаимное превращение для элементарных частиц, где принцип суперпозиции должен дополняться принципом суперотбора.
Так, при аннигиляции позитрона и электрона он дополняется принципом о сохранении электрического заряда: сумма зарядов частицы должна быть постоянной как до, так и после превращения. Так как заряды позитрона и электрона равнозначны и взаимно противоположны, должна возникать незаряженная частица, которую и представляет зарождающийся в данном процессе аннигиляции фотон.
Невозможно одновременно с точностью определить координаты и скорость квантовой частицы.
В обыденной жизни нас окружают материальные объекты, размеры которых сопоставимы с нами: машины, дома, песчинки и т. д. Наши интуитивные представления об устройстве мира формируются в результате повседневного наблюдения за поведением таких объектов. Поскольку все мы имеем за плечами прожитую жизнь, накопленный за ее годы опыт подсказывает нам, что раз всё наблюдаемое нами раз за разом ведет себя определенным образом, значит и во всей Вселенной, во всех масштабах материальные объекты должны вести себя аналогичным образом. И когда выясняется, что где-то что-то не подчиняется привычным правилам и противоречит нашим интуитивным понятиям о мире, нас это не просто удивляет, а шокирует.
В первой четверти ХХ века именно такова была реакция физиков, когда они стали исследовать поведение материи на атомном и субатомном уровнях. Появление и бурное развитие квантовой механики открыло перед нами целый мир, системное устройство которого попросту не укладывается в рамки здравого смысла и полностью противоречит нашим интуитивным представлениям. Но нужно помнить, что наша интуиция основана на опыте поведения обычных предметов соизмеримых с нами масштабов, а квантовая механика описывает вещи, которые происходят на микроскопическом и невидимом для нас уровне, — ни один человек никогда напрямую с ними не сталкивался. Если забыть об этом, мы неизбежно придем в состояние полного замешательства и недоумения. Для себя я сформулировал следующий подход к квантово-механическим эффектам: как только «внутренний голос» начинает твердить «такого не может быть!», нужно спросить себя: «А почему бы и нет? Откуда мне знать, как всё на самом деле устроено внутри атома? Разве я сам туда заглядывал?» Настроив себя подобным образом, вам будет проще воспринять статьи этой книги, посвященные квантовой механике.
Принцип Гейзенберга вообще играет в квантовой механике ключевую роль хотя бы потому, что достаточно наглядно объясняет, как и почему микромир отличается от знакомого нам материального мира. Чтобы понять этот принцип, задумайтесь для начала о том, что значит «измерить» какую бы то ни было величину. Чтобы отыскать, например, эту книгу, вы, войдя в комнату, окидываете ее взглядом, пока он не остановится на ней. На языке физики это означает, что вы провели визуальное измерение (нашли взглядом книгу) и получили результат — зафиксировали ее пространственные координаты (определили местоположение книги в комнате). На самом деле процесс измерения происходит гораздо сложнее: источник света (Солнце или лампа, например) испускает лучи, которые, пройдя некий путь в пространстве, взаимодействуют с книгой, отражаются от ее поверхности, после чего часть из них доходит до ваших глаз, проходя через хрусталик, фокусируется, попадает на сетчатку — и вы видите образ книги и определяете ее положение в пространстве. Ключ к измерению здесь — взаимодействие между светом и книгой. Так и при любом измерении, представьте себе, инструмент измерения (в данном случае, это свет) вступает во взаимодействие с объектом измерения (в данном случае, это книга).
В классической физике, построенной на ньютоновских принципах и применимой к объектам нашего обычного мира, мы привыкли игнорировать тот факт, что инструмент измерения, вступая во взаимодействие с объектом измерения, воздействует на него и изменяет его свойства, включая, собственно, измеряемые величины. Включая свет в комнате, чтобы найти книгу, вы даже не задумываетесь о том, что под воздействием возникшего давления световых лучей книга может сдвинуться со своего места, и вы узнаете ее искаженные под влиянием включенного вами света пространственные координаты. Интуиция подсказывает нам (и, в данном случае, совершенно правильно), что акт измерения не влияет на измеряемые свойства объекта измерения. А теперь задумайтесь о процессах, происходящих на субатомном уровне. Допустим, мне нужно зафиксировать пространственное местонахождение электрона. Мне по-прежнему нужен измерительный инструмент, который вступит во взаимодействие с электроном и возвратит моим детекторам сигнал с информацией о его местопребывании. И тут же возникает сложность: иных инструментов взаимодействия с электроном для определения его положения в пространстве, кроме других элементарных частиц, у меня нет. И, если предположение о том, что свет, вступая во взаимодействие с книгой, на ее пространственных координатах не сказывается, относительно взаимодействия измеряемого электрона с другим электроном или фотонами такого сказать нельзя.
В начале 1920-х годов, когда произошел бурный всплеск творческой мысли, приведший к созданию квантовой механики, эту проблему первым осознал молодой немецкий физик-теоретик Вернер Гейзенберг. Начав со сложных математических формул, описывающих мир на субатомном уровне, он постепенно пришел к удивительной по простоте формуле, дающий общее описание эффекта воздействия инструментов измерения на измеряемые объекты микромира, о котором мы только что говорили. В результате им был сформулирован принцип неопределенности, названный теперь его именем:
математическое выражение которого называется соотношением неопределенностей Гейзенберга:
Δx х Δv > h/m
где Δx — неопределенность (погрешность измерения) пространственной координаты микрочастицы, Δv — неопределенность скорости частицы, m — масса частицы, а h — постоянная Планка, названная так в честь немецкого физика Макса Планка, еще одного из основоположников квантовой механики. Постоянная Планка равняется примерно 6,626 x Дж·с, то есть содержит 33 нуля до первой значимой цифры после запятой.
Термин «неопределенность пространственной координаты» как раз и означает, что мы не знаем точного местоположения частицы. Например, если вы используете глобальную систему рекогносцировки GPS, чтобы определить местоположение этой книги, система вычислит их с точностью до 2-3 метров. (GPS, Global Positioning System — навигационная система, в которой задействованы 24 искусственных спутника Земли. Если у вас, например, на автомобиле установлен приемник GPS, то, принимая сигналы от этих спутников и сопоставляя время их задержки, система определяет ваши географические координаты на Земле с точностью до угловой секунды.) Однако, с точки зрения измерения, проведенного инструментом GPS, книга может с некоторой вероятностью находиться где угодно в пределах указанных системой нескольких квадратных метров. В таком случае мы и говорим о неопределенности пространственных координат объекта (в данном примере, книги). Ситуацию можно улучшить, если взять вместо GPS рулетку — в этом случае мы сможем утверждать, что книга находится, например, в 4 м 11 см от одной стены и в 1м 44 см от другой. Но и здесь мы ограничены в точности измерения минимальным делением шкалы рулетки (пусть это будет даже миллиметр) и погрешностями измерения и самого прибора, — и в самом лучшем случае нам удастся определить пространственное положение объекта с точностью до минимального деления шкалы. Чем более точный прибор мы будем использовать, тем точнее будут полученные нами результаты, тем ниже будет погрешность измерения и тем меньше будет неопределенность. В принципе, в нашем обыденном мире свести неопределенность к нулю и определить точные координаты книги можно.
И тут мы подходим к самому принципиальному отличию микромира от нашего повседневного физического мира. В обычном мире, измеряя положение и скорость тела в пространстве, мы на него практически не воздействуем. Таким образом, в идеале мы можем одновременно измерить и скорость, и координаты объекта абсолютно точно (иными словами, с нулевой неопределенностью).
В мире квантовых явлений, однако, любое измерение воздействует на систему. Сам факт проведения нами измерения, например, местоположения частицы, приводит к изменению ее скорости, причем непредсказуемому (и наоборот). Вот почему в правой части соотношения Гейзенберга стоит не нулевая, а положительная величина. Чем меньше неопределенность в отношении одной переменной (например, Δx), тем более неопределенной становится другая переменная (Δv), поскольку произведение двух погрешностей в левой части соотношения не может быть меньше константы в правой его части. На самом деле, если нам удастся с нулевой погрешностью (абсолютно точно) определить одну из измеряемых величин, неопределенность другой величины будет равняться бесконечности, и о ней мы не будем знать вообще ничего. Иными словами, если бы нам удалось абсолютно точно установить координаты квантовой частицы, о ее скорости мы не имели бы ни малейшего представления; если бы нам удалось точно зафиксировать скорость частицы, мы бы понятия не имели, где она находится. На практике, конечно, физикам-экспериментаторам всегда приходится искать какой-то компромисс между двумя этими крайностями и подбирать методы измерения, позволяющие с разумной погрешностью судить и о скорости, и о пространственном положении частиц.
На самом деле, принцип неопределенности связывает не только пространственные координаты и скорость — на этом примере он просто проявляется нагляднее всего; в равной мере неопределенность связывает и другие пары взаимно увязанных характеристик микрочастиц. Путем аналогичных рассуждений мы приходим к выводу о невозможности безошибочно измерить энергию квантовой системы и определить момент времени, в который она обладает этой энергией. То есть, если мы проводим измерение состояния квантовой системы на предмет определения ее энергии, это измерение займет некоторый отрезок времени — назовем его Δt. За этот промежуток времени энергия системы случайным образом меняется — происходят ее флуктуация, — и выявить ее мы не можем. Обозначим погрешность измерения энергии Δ Е. Путем рассуждений, аналогичных вышеприведенным, мы придем к аналогичному соотношению для Δ Е и неопределенности времени, которым квантовая частица этой энергией обладала:
Δ Е Δt > h
Относительно принципа неопределенности нужно сделать еще два важных замечания:
он не подразумевает, что какую-либо одну из двух характеристик частицы — пространственное местоположение или скорость — нельзя измерить сколь угодно точно;
принцип неопределенности действует объективно и не зависит от присутствия разумного субъекта, проводящего измерения.
Иногда вам могут встретиться утверждения, будто принцип неопределенности подразумевает, что у квантовых частиц отсутствуют определенные пространственные координаты и скорости, или что эти величины абсолютно непознаваемы. Не верьте: как мы только что видели, принцип неопределенности не мешает нам с любой желаемой точностью измерить каждую из этих величин. Он утверждает лишь, что мы не в состоянии достоверно узнать и то, и другое одновременно. И, как и во многом другом, мы вынуждены идти на компромисс. Опять же, писатели-антропософы из числа сторонников концепции «Новой эры» иногда утверждают, что, якобы, поскольку измерения подразумевают присутствие разумного наблюдателя, то, значит, на некоем фундаментальном уровне человеческое сознание связано с Вселенским разумом, и именно эта связь обусловливает принцип неопределенности. Повторим по этому поводу еще раз: ключевым в соотношении Гейзенберга является взаимодействие между частицей-объектом измерения и инструментом измерения, влияющим на его результаты. А тот факт, что при этом присутствует разумный наблюдатель в лице ученого, отношения к делу не имеет; инструмент измерения в любом случае влияет на его результаты, присутствует при этом разумное существо или нет.
Многие в жизни слышали словосочетание "принцип неопределенности" или даже "принцип неопределенности Гейзенберга", однако далеко не все знают, что это такое, и с чем его едят. Прежде чем читать дальше, предположите в комментариях, что же это может быть. А теперь давайте разберемся с этим воистину удивительным явлением, доказывающим, что люди могут точно судить о том, чего увидеть не в силу. Маленький спойлер: это фундаментальный принцип квантовой механики, но пугаться не стоит, ведь все все объясняется своими словами. Поехали!
Обобщённый принцип неопределённости
Принцип неопределённости не относится только к координате и импульсу. В своей общей форме, он применим к каждой паре сопряжённых переменных. В общем случае, и в отличие от случая координаты и импульса, обсуждённого выше, нижняя граница произведения неопределённостей двух сопряжённых переменных зависит от состояния системы. Принцип неопределённости становится тогда теоремой в теории операторов, которую мы здесь приведем
Теорема. Для любых
Следовательно, верна следующая общая форма принципа неопределённости, впервые выведенная в Эрвином Шрёдингером :
Это неравенство называют отношением Робертсона — Шрёдингера.
Оператор AB-BA называют коммутатором A и B и обозначают как [A,B]. Он определен для тех x, для которых определены оба ABx и BAx.
Из отношения Робертсона — Шрёдингера немедленно следует отношение неопределённости Гейзенберга:
Предположим, A и B — две переменные состояния, которые связаны с самосопряжёнными (и что важно — симметричными) операторами. Если ABψ и BAψ определены, тогда:
,
среднее значение оператора переменной X в состоянии ψ системы, и:
оператор стандартного отклонения переменной X в состоянии ψ системы
Приведённые выше определения среднего и стандартного отклонения формально определены исключительно в терминах теории операторов. Утверждение становится однако более значащим, как только мы заметим, что они являются фактически средним и стандартным отклонением измеренного распределения значений. См. квантовая статистическая механика .
Возможно также существование двух некоммутирующих самосопряжённых операторов A и B, которые имеют один и тот же Общие наблюдаемые переменные, которые повинуются принципу неопределённости
Предыдущие математические результаты показывают, как найти отношения неопределённости между физическими переменными, а именно, определить значения пар переменных A и B коммутатор которых имеет определённые аналитические свойства.
- самое известное отношение неопределённости — между координатой и импульсом частицы в пространстве:
- отношение неопределённости между двумя ортогональными компонентами оператора полного углового момента частицы:
- следующее отношение неопределённости между энергией и временем часто представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует осторожности, так как не существует оператора, представляющего время:
В чем заключается принцип неопределенности
Пусть $\delta x$ представляет среднеквадратическое отклонение для координаты частицы $M$. Она движется вдоль оси $x$.
$\delta p$ при этом будет среднеквадратическим отклонением для ее импульса.
Величины $\delta x$ и $\delta p$ связывает такое неравенство:
Здесь $h$ характеризует постоянную Планка, а $\bar h=\frac<2\pi>$
Согласно идеям принципа неопределенности Гейзенберга, одновременно точное определение местоположения частицы и ее импульса становится невозможным. Другими словами, чем более точным будет определение местоположения (координаты) для частицы, тем импульс становится более неопределенным. И обратно – чем точнее определяется импульс, тем неопределеннее будет местоположение частицы.
Иллюстрация этого принципа показана в опыте Т. Юнга по интерференции. Согласно этому опыту, когда свет проходит через систему двух малых отверстий (близко расположенных друг к другу в непрозрачном экране), его поведение будет характеризоваться не прямолинейно распространяющимися частицами, а взаимодействующими волнами.
Вследствие этого, на расположенной за экраном поверхности мы наблюдаем возникновение интерференционной картины. Ее составляют светлые и темные полосы, чередующие друг друга. Если только одно отверстие оставить поочередно открытым, то тогда мы наблюдаем исчезновение интерференционной картины распределения фотонов.
Определение
,
— постоянная Дирака. В некоторых случаях «неопределённость» переменной определяется как наименьшая ширина диапазона, который содержит 50 % значений, что, в случае нормального распределения переменных, приводит для произведения неопределённостей к большей нижней границе h/2π. Отметьте, что это неравенство даёт несколько возможностей — состояние может быть таким, что x может быть измерен с высокой точностью, но тогда p будет известен только приблизительно, или наоборот p может быть определён точно, в то время как x — нет. Во всех же других состояниях, и x и p могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.
В повседневной жизни мы обычно не наблюдаем неопределённость потому, что значение h чрезвычайно мало.
Выражение конечного доступного количества информации Фишера
Принцип неопределённости альтернативно выводится как выражение полная физическая информация .
Готовые работы на аналогичную тему
В математическом смысле соотношение неопределенностей в квантовой механике представляет прямое следствие свойства преобразования Фурье. Говорится о существовании точной количественной аналогии между соотношениями неопределенности Гейзенберга и свойствами сигналов или волн.
Если рассматривать переменный во времени сигнал (например, волну), то с целью точного определения частоты важно наблюдать за ним некоторое время. При этом теряется точность определения самого времени. Звук, таким образом, не может одновременно иметь:
- точное значение времени фиксации (как очень короткий импульс);
- точное значение частоты (как непрерывный чистый тон).
Частота волны и временное положение математически полностью аналогичны квантовому механическому импульсу частицы и координате. Если наличествует несколько идентичных копий системы в рассматриваемом состоянии, то в таком случае измеренные значения импульса и координаты будут подчиняться определенному порядку распределению вероятности (фундаментальный постулат квантовой механики). При измерении величины среднеквадратического отклонения импульса и также координаты, получаем следующую формулу:
Рисунок 1. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Для трехмерного осциллятора принцип неопределенности выражает формула:
Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Принцип неопределенности Гейзенберга
В квантовой механике принцип неопределенности Гейзенберга заключается в следующем: чем точнее будут измерения одной характеристики частицы, тем менее точным окажется измерение второй.
Соотношение неопределенностей задает нижний предел произведения среднеквадратичных отклонений для пары квантовых наблюдаемых. Принцип неопределенности открыт В. Гейзенбергом в 1927 г., представляя следствие принципа корпускулярно-волнового дуализма.
Соотношения неопределенностей справедливы не только в отношении идеальных измерений фон Неймана, но и для неидеальных измерений. Согласно этому принципу, у частицы не могут в одно и то же время точно измеряться скорость и положение. Принцип неопределенности применяется также в ситуации, когда не реализуется ни одна из двух крайних ситуаций: полностью неопределенная пространственная координата и импульс.
В качестве примера можно рассмотреть частицу с некоторым значением энергии. Эта частица находится в коробке с отражающими стенками, при этом она не характеризуется:
- определенным значением импульса (с учетом его направления);
- каким-либо определенным состоянием;
- пространственной координатой (волновая функция частицы делокализуется в пределах всего пространства коробки).
Соотношения неопределенностей не ограничивают точность единожды произведенного измерения для любой величины (для многомерных величин предусматривается в общем случае лишь одна компонента). Соотношение неопределенностей для свободной частицы, например, не препятствует точным измерениям ее импульса, но при этом точное измерение ее координаты становится невозможным. Такое ограничение называется стандартным квантовым пределом для координаты.
Принцип дополнительности
Еще одним, не менее важным, принципом считается в квантовой механике принцип дополнительности, выведенный Н. Бором. Этот принцип представляет собой частный случай более общего принципа неопределенности.
Согласно идее принципа дополнительности, в случае наблюдения нами в каком-либо эксперименте одной стороны физического явления, мы, в то же время, лишаемся возможности наблюдать сторону явления, дополняющую первую.
Дополнительными свойствами, проявляемыми в разных опытах, проводимых при взаимно исключающих условиях, считаются:
- положение и импульс частицы;
- корпускулярный и волновой характер излучения (или вещества).
Принцип дополнительности положен в основу копенгагенской интерпретации механики квантов, а также анализа процессов измерений характеристик для микрообъектов. Согласно такой интерпретации, позаимствованные из классической физики, динамические характеристики микрочастиц (ее импульс, координата, энергия) вовсе не присущи частице как самой по себе.
Определенное значение и смысл для той или иной характеристики электронов (его импульса, например) раскрывает взаимосвязь с классическими объектами. Для таких объектов эти величины обладают определенным смыслом и параллельно могут иметь некоторое значение. Условно такой классический объект носит название «измерительный прибор».
Значение этого принципа оказалось столь велико, что В. Паули даже предложил свое название для квантовой механики - «теория дополнительности», по аналогии, например, с теорией относительности.
Обобщение принципа дополнительности
Н. Бор предложил обобщение принципа дополнительности, придав ему гносеологический глубокий смысл. Так, всякое глубокое явление природы, к примеру, физическая система или атомный объект, не поддается однозначному определению с помощью слов нашего языка, поэтому требует для своего определения как минимум двух взаимоисключающих дополнительных понятий.
Физическая картина явления, например, и его математическое описание являются дополняющими друг друга. Физическая картина явления не придает важное значение деталям и достаточно далека от математической точности, в то время как точное математическое описание явления, напротив, затрудняет его ясное понимание.
Наука и искусство представляют два дополнительных способа исследования окружающего мира. Наука основывается на опыте и логике, а искусство - на прозрении и интуиции. Они не только не противоречат, но и дополняют друг друга.
Применение обобщающего принципа дополнительности способствовало формированию со временем концепции дополнительности, охватывающей такие сферы, как физика, психология, биология, культурология и гуманитарное знание в целом.
Немного о малых частицах
Чтобы логически вывести принцип неопределенности, давайте для начала поговорим о ничтожно малых частицах. Многим на ум придут молекулы и атомы (то, из чего состоят молекулы). Но нам нужны еще меньшие частицы, например, фотоны или электроны. Давайте сначала о фотонах.
Представим себе, как солнечный свет попадает на Землю. Он достигает ее в виде излучения, состоящего из волн. В 1900 г. ученый Макс Планк принял гипотезу, в которой говорилось, что все волны не могут испускаться как попало, с произвольной интенсивностью, а должны испускаться определенными "порциями". Он назвал их квантами. Фотон же представляет из себя квант света - "порцию", которыми излучается свет, например, Солнцем. Но давайте подумаем - если свет испускается в виде излучения, т. е. ведет себя как волна, но достигает Земли "порциями", что характерно для частиц, то можно сказать, что свет представляет собой и волну, и частицу одновременно? На самом деле, да. Это явление носит название частично-волнового дуализма и проявляется в том, что иногда частицы удобнее считать волнами, а иногда волны - частицами. Теперь поговорим об электронах.
Электрон - это частица с нулевой (на самом деле нет, просо так считается, но об этом в другой раз ) массой и единичным отрицательным зарядом. Из него в том числе состоят атомы. В ядре атома находятся протоны - частицы с единичной массой и единичным положительным зарядом, и нейтроны - частицы с единичной массой и нулевым зарядом, а электроны "вращаются" вокруг ядра. Попробуем визуализировать, используя самое типичное для sci-fi фильмов изображение атомов:
Обычно, в научных фильмах и журналах атомы изображаются именно так. Это позволяет легко визуализировать движение частиц внутри атома, однако, не совсем соответствует действительности из-за некоторых соображений квантовой механики
Обычно, в научных фильмах и журналах атомы изображаются именно так. Это позволяет легко визуализировать движение частиц внутри атома, однако, не совсем соответствует действительности из-за некоторых соображений квантовой механики
Электрон с очень высокой скоростью "вращается" (опять же, это не совсем так ) вокруг атомного ядра. На самом деле, он "размывается" вокруг атомного ядра, создавая так называемое электронное облако. Это можно представить как атмосферу Земли - сама Земля является ядром атома, а окружение вокруг нее - атмосфера - электронным облаком. Так происходит из-за того, что электрон, как и фотон, обладает частично-волновым дуализмом и ведет себя и как волна, и как частица.
Теперь мы знаем о частично-волновом дуализме, а принцип неопределенности является его следствием. Давайте выведем его.
Читайте также: