При замене некоторой строки невырожденной квадратной матрицы на сумму этой строки
Какие элементы в матрице составляют главную диагональ, а какие – побочную?
Укажите, какие из матриц , , , , , являются диагональными, треугольными, трапециевидными?
Даны две матрицы и . Какое из соотношений верно?
а) A = B; б) A > B; в) ; г) A = B = E;
Найдите матрицу X, если: а) ; б) .
Укажите размеры матрицы A, если известно, что .
Найдите AB – BA, если , .
Найдите произведение , если .
Известно, что . Найдите m и n.
Даны матрицы , , . Существуют ли произведения: AB; AC; BA; CA; ABC?
§3. Обратная матрица
определение 1. Матрица А называется невырожденной (неособенной), если ее определитель не равен нулю, и вырожденной (особенной) в противном случае.
Перечислим некоторые свойства таких матриц:
а) произведение двух невырожденных матриц размерности иесть невырожденная матрица размера;
б) произведение любой невырожденной матрицы и вырожденной квадратной, той же размерности, есть вырожденная матрица.
OПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Квадратная матрица называется обратной по отношению к данной невырожденной квадратной матрице, если ее умножение как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу.
Для матрицы A обратная обозначается через A –1 . По определению обратной матрицы имеем
(1)
OПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Матрица называется союзной (присоединенной) для A, если
.
где Aij алгебраические дополнения элементов аij определителя A.
CВОЙСТВО ПРИСОЕДИНЕННОЙ МАТРИЦЫ .Рассмотрим произведение матрицы A на матрицу.Имеем
Диагональные элементы полученной матрицы есть сумма произведений элементов строки определителя на свои алгебраические дополнения . Поэтому все диагональные элементы полученной матрицы равны ,а внедиагональные элементы этой матрицы равны нулю, так как каждый внедиагональный элемент равен сумме произведений элементов строки определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки.
(2)
оПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Матрица A T размером называется транспонированной по отношению к матрице A размером если для всехi и j, кроме i = j.
Итак, в соответствие с определением , если в матрице
размером заменить строки соответствующими столбцами, то получится матрица
размером , которая называется транспонированной по отношению к матрице A.
ПРИМЕР. Найти A T для матрицы A, где
.
Для матрицы
размером 34 транспонированной является матрица
размером 43.
Имеют место соотношения:
а) , б),
в) , г)
Т е о р е м а. Для того, чтобы квадратная матрица A имела обратную A -1 необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы A был отличен от нуля, то есть, чтобы матрица A была неособенной.
Необходимость.
Пусть для матрицы A существует обратная A -1 , тогда
,
то есть матрица A невырожденная.
Достаточность. Предположим, что матрица A - невырожденная, то есть0. Построим присоединенную матрицу для матрицыA.
(3)
то есть для матрицы A существует обратная.
Теперь рассмотрим процесс обращения неособенной квадратной матрицы
n -го порядка
A=,
то есть нахождения A -1 .
Для этого сначала находим значение . Далее составляем матрицу, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов определителя, соответствующего данной матрице. Затем транспонируем ее и, в итоге, полученная матрица является союзной по отношению к исходной матрице.
Далее в соответствие с формулой (3) , получим
. (4)
Пример. Найти A -1 для матрицы
.
Сначала вычисляем данной матрицы A. Имеем .
.
Затем составляем союзную матрицу . Для этого находим алгебраические дополнения для всех элементов определителя исходной матрицыA.
Далее вычисляем обратную матрицу
.
Тема № 4 «ранг матрицы»
При каких значениях параметра λ ранг матрицы равен двум?
При каких значениях параметра λ ранг матрицы равен трём?
Найдите ранг матрицы:
При каких значениях λ система имеет единственное решение?
При каких значениях λ система несовместна?
При каких значениях λ система имеет бесконечное множество решений?
7. Сколько решений имеет система?
Найдите фундаментальную систему решений:
Образуют ли наборы чисел (3, −2, 0, 1, 0), (−2, 1, 0, 0, 1), (3, −1, 1, 0, 0) фундаментальную систему решений для системы
. Неизвестное найдено по формуле Крамера : .
Найдите второе неизвестное системы.
По заданным условиям найдите многочлен f(x): f(1) = – 1, f(–1) = 9, f(2) = – 3.
Тема №3 «обратная матрица»
При каких значениях параметра λ матрица имеет обратную?
При каких значениях параметра λ матрица имеет обратную?
Дана матрица . Найдите , .
Непосредственным подсчётом покажите, что , если , . Будет ли матрица B обратной A?
Тема 7 «векторы»
1. Может ли вектор составлять с осями координат углы 45, 60, 30?
3. Найдите длину вектора , если , , .
4. Найдите единичный вектор, образующий с осью Oy угол 60 и с осью Oz – угол 120.
6. Вычислите скалярное произведение векторов , , если , , .
8. Вектор составляет с осями Ox и Oz углы = 120 и = 45. Какой угол он составляет с осью Oy?
9. Вычислите проекции вектора на координатные оси, если , = 45, = 60, = 120.
11. Найдите направляющие косинусы вектора .
13. Найдите угол между векторами и .
14. Каким должно быть число , чтобы векторы и были перпендикулярны?
17. Вектор , коллинеарный вектору , образует тупой угол с осью Oz. Зная, что , найдите его координаты.
При каких значениях и векторы и коллинеарны?
Проверьте, лежат ли точки A(0, 2, −1), B(3, 1, 1), C(2, −1, 0) и D(−4, 1, 2) в одной плоскости.
Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.
1º. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых в этой строке записано первое слагаемое, во втором – второе, а все остальные строки (столбцы) этих двух определителей совпадают с соответствующими строками (столбцами) исходного определителя.
►Доказательство проводим для строк. Применяя разложение по i-й строке, получаем:
(здесь следует учесть, что во всех трех определителях алгебраические дополнения к соответствующим элементам i-й строки совпадают). ◄
2º. Если в определителе все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на число, то определитель умножится на это число (общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя).
►Доказательство снова проводим для строк. Разлагаем определитель по i-й строке:
Первое и второе свойства носят название линейности определителя.
3º. Если определитель содержит строку или столбец, полностью состоящий из нулей, то он равен нулю.
Доказательство вытекает из 2-го свойства.
4º. Если определитель содержит две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.
►Доказательство вытекает из леммы 1.5: если две одинаковые строки поменять местами, то, с одной стороны, определитель не изменится, с другой стороны, он поменяет знак.◄
5º. Если определитель содержит две пропорциональные строки (столбца), то он равен нулю.
Доказательство вытекает из второго и четвертого свойств.
6º (основное свойство определителей). Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить другую его строку (столбец), умноженную на число, то определитель при этом не изменится.
►Прибавим к i-й строке определителя k-ю строку, умноженную на . На основании 1-го свойства имеем:
(так как второй определитель обращается в 0 на основании 5-го свойства).◄
Следствие. Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить линейную комбинацию других его строк (столбцов), то определитель при этом не изменится.
7º. Определитель матрицы, комплексно сопряженной данной, равен числу, комплексно сопряженному ее определителю.
Доказательство легко проводится методом математической индукции, используя разложение, например, по первой строке.
8º. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей, т. е. .
►Для простоты доказательство проведем для квадратных матриц второго порядка (для матриц n-го порядка оно точно такое же). Пусть
квадратную матрицу четвертого порядка и преобразуем ее следующим образом: прибавим к первой строке третью, умноженную на , и четвертую, умноженную на , а ко второй – третью, умноженную на , а четвертую – на . Получим матрицу
Заметим, что в ее правом верхнем углу получилась именно матрица . Вычислим определители матриц и по теореме Лапласа, в обоих случаях выделяя первые две строки:
На основании 6-го свойства и следствия к нему определители матриц и совпадают, откуда и вытекает доказываемое утверждение. ◄
Теорема 1.3 (аннулирования). Сумма произведений какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой его строки (столбца) равна нулю.
►Доказательство опять проводим для строк. Наряду с исходным определителем
рассмотрим определитель, имеющий две одинаковые строки (i-ю и k-ю) и вычислим его разложением по k-й строке. Конечно же, он равен нулю, и поэтому
Замечание. Утверждения теорем 1.1 и 1.3 можно записать одной формулой:
Теорема 1.4 (замещения). Пусть заданы определитель n-го порядка и упорядоченный набор чисел
Сумма произведений чисел (1.13) на алгебраические дополнения соответствующих элементов какого-либо столбца (строки) определителя равна определителю, полученному из заменой этого столбца (строки) на столбец (строку ).
►На этот раз доказательство проведем для столбцов. Обозначим – определитель, полученный из заменой -го столбца на столбец и вычислим этот определитель разложением по j-му столбцу:
Пример. ▼ Вычислим определитель с использованием основного свойства. Стрелками обозначим проводимые действия. Так, например, если ко второй строке прибавляем четвертую, умноженную на (–1), то стрелка идет в направлении от четвертой строки ко второй, и рядом с ней написана (–1). Цель преобразований состоит в том, чтобы получить в какой-либо строке (или столбце) все нули, за исключением разве что одного элемента.
= [понижаем порядок определителя, разлагая его по первому столбцу] = = [разлагаем по второй строке] =
В заключение параграфа сформулируем
Определение.Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае квадратная матрица называется вырожденной.
1. Если матрицы и , то матрица 3A – 2B имеет вид
а) , б) , в) , г) ,д)
2. Для матриц указать те операции, которые можно выполнить:
а) АВ, б)ВА , в) А Т В, г) В Т А, д) АВ Т ,е) В Т А Т , ж) А Т В Т , з) ВА Т
3. При умножении матрицы A на матрицу B справа должно соблюдаться условие
а) число строк матрицы A равно числу строк матрицы B
б) число строк матрицы A равно числу столбцов матрицы B
в) число столбцов матрицы A равно числу столбцов матрицы B
г) если матрицы не квадратные, то они должны быть одинакового размера
д) верный ответ отсутствует
4. Для матриц элемент c23 произведения С = B A равен:
5. Квадратная матрица называется диагональной, если
а) элементы, лежащие на побочной диагонали, равны нулю
б) элементы, лежащие на главной диагонали, равны нулю
в) элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю
г) элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю
д) элементы, лежащие на главной диагонали, обязательно равны
6. Квадратная матрица называется верхнетреугольной, если
а) элементы, лежащие на побочной диагонали, равны нулю
б) элементы, лежащие на главной диагонали, равны нулю
в) элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю
г) элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю
д) элементы, лежащие на главной диагонали, обязательно равны
7. При каком a определитель равен 0
8. При замене некоторой строки невырожденной квадратной матрицы на сумму этой строки и какой-то другой, умноженной на число α, определитель.
б) поменяет знак
в) умножится на число α
г) станет равным нулю
д) увеличится в два раза
9. Указать верные утверждения, связанные с определением и существованием обратной матрицы:
а) обратная матрица A-1 существует, если матрица A – квадратная и det A ≠ 0
б) обратная матрица A-1 существует, если матрица A – квадратная
в) обратная матрица A-1 существует, если матрица A – квадратная и вырожденная, т.е. det A ≠ 0
г) A·A-1 = A-1·A = E, где E – единичная матрица соответствующего размера
10. Элемент обратной матрицы A – (в случае существования) вычисляется по формуле
а)
б)
в)
г)
д)
е)
11. Если матрица , то элемент матрицы, обратной к A, равен:
а)4, б)-4 в)1/4 ,г)-1/4 , д)2 , е)-2
12. Чему равен определитель матрицы B, где .
а)4, б)20 в)1 ,г)-1, д)2 , е) 21
13. Указать те преобразования строк (столбцов) матрицы, которые являются элементарными:
а) умножение строки (столбца) на ненулевое число
б) замена элементов строки (столбца) произвольными числами
в) замена строки (столбца) суммой этой строки (столбца) и другой строки (столбца), предварительно умноженной на некоторое число
г) поменять местами две строки (два столбца)
д) замена строки (столбца) нулевой строкой (столбцом)
е) транспонирование матрицы
14. Выбрать верные утверждения. Ранг матрицы равен.
а) числу ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы;
б) числу столбцов матрицы;
в) произведению числа строк на число столбцов матрицы;
г) максимальному число линейно независимых строк (столбцов) матрицы;
д) число строк матрицы.
15. Чему равен ранг матрицы
е) Ранг матрицы может измениться если
а) транспонировать матрицу,
б) переставить строки,
в) переставить столбцы,
г) умножить строку на ненулевое число,
д) добавить строку
16. Если матрица системы n уравнений квадратная и ее определитель не равен нулю, то система
а) не имеет решений
б) имеет единственное решение
в) имеет не более n решений
г) имеет ровно n решений
д) имеет бесконечно много решений
18. Число векторов в фундаментальной системе решений однородной системы равно.
а) рангу матрицы системы
б) числу ненулевых строк в ступенчатом виде
в) числу базисных переменных
г) числу свободных переменных
д) наивысшему порядку отличного от нуля минора
е) числу констант в общем решении
19. Чему равно b, при котором система совместна
20. Чему равно значение n, при котором система
имеет бесконечно много решений.
21. В системе базисными можно объявить переменные
а) ,
б)
в)
г)
д)
е)
22. В линейном пространстве определены операции:
а) Сложения и умножения на число,
б) Сложения, умножения и умножения на число,
в) Сложения, умножения, деления и умножения на число
23. Набор векторов образует базис линейного векторного пространства если
а) они линейно независимы
б) их количество равно размерности пространства
в) они линейно независимы и любой вектор пространства представим их линейной комбинацией
г) они линейно независимы и их количество равно размерности пространства
д) они линейно независимы, но добавление к ним еще одного делает их линейно зависимыми
24. Базисом линейной оболочки векторов являются векторы
б)
в)
г)
д)
25. Задача, характеризующаяся тем, что целевая функция является инейной функцией переменных, а область допустимых значений определяется системой линейных равенств или неравенств, называется
A. Задача математического программирования
B. Задача линейного программирования
C. Задача динамического программирования
D. Задача о составлении плана производства
26. Последовательное улучшение плана задачи линейного программирования, позволяющее осуществлять переход от одного допустимого базисного решения к другому, причем так, что значения целевой функции непрерывно возрастают и за конечное число шагов находится оптимальное решение это
Элементарными преобразованиями матриц являются:
• перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;
• умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;
• прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.
Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А-В.
При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической, например
Пример 1.4.Привести к каноническому виду матрицу
Решение: Выполняя элементарные преобразования, получаем
Произведение матриц
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Произведением матрицы А m x n = (aij) на матрицу Вт xp - ( bjk ) называется матрица Стхр = (cik) такая, что
т. е. элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен cумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.
Получение элемента сik схематично изображается так:
Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и В А всегда существуют. Легко показать, что А • Е = Е • А = А, где А — квадратная матрица, Е — единичная матрица того же размера.
Пример:
Пример:
Тогда изображение А-В не определено, так как число столбцов матрицы А(3) не совпадает с числом строк матрицы В(2). При этом определено произведение В х А, которое считают следующим образом:
Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = ВА. Умножение матриц обладает следующими свойствами:
1. А • (В • С) = (А • В) • С;
2. А(В + С) = АВ + АС;
3. (А + В) • С = АС + ВС;
если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл.
Для операции транспонирования верны свойства:
1. (А + В) Т = А Т + В Т ;
2. (АВ) Т = В Т • А Т .
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Основные понятия
Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число detA (или , или Δ), называемое ее определителем, следующим образом:
1. n = 1. A = ; det A =
2. n = 2. A = ; det A = = •
3. n = 3, A = ; det A = =
Определитель матрицы A также называют ее детерминантом. Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка N является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов основан на свойстве разложения определителя по элементам некоторого ряда (с. 23, свойство 7). При этом заметим, что определители невысоких порядков (1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласно определению.
Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:
Пример 2.1. Найти определители матриц
= 2 • 6 – 5 • (-3) = 12 – (-15) = 27;
= cos 2 α + sin 2 α = 1
При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать так:
Пример 2.2. Вычислить определитель матрицы
det А = 5•1(-3) + (-2) • (-4) •6 + 3•0•1 - 6•1•1 - 3•(-2)•(-3) - 0•(-4) •5 = -15 + 48 - 6 - 18 = 48 - 39 = 9.
Свойства определителей
Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним на определителях 3-го порядка.
Свойство 1(«Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.
В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами определителя.
Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.
Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.
Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.
Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.
Свойство 6. («Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.
Пример 2.3. Доказать, что
Решение: Действительно, используя свойства 5, 4 и 3, получим
Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения.
Миноромнекоторого элемента аij определителя n-го порядка называется определитель n - 1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается mij.
Алгебраическим дополнениемэлемента aij определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i+ j — четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается Aij; Aij = (-1) i+ j • mij.
Свойство 7. («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.
Проиллюстрируем и одновременно докажем свойство 7 на примере определителя 3-его порядка. В этом случае свойство 7 означает, что
В самом деле, имеем
Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителей высоких порядков.
Пример 2.4 .Вычислите определитель матрицы
Решение: Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд, где есть нулевые элементы, т. к. соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю.
= 3•(7•3•4 + (-1) •0•2 + 5•7•1 – (-1) •3•1 - 7•7•2 - 5•0•4) + (5•3•4 + (-1) •7•2 + 5•7•8 – (-1) • 3•8 –
- 5•7•4 - 5•7•2) – (5•0•2 + 7•1•5 + 7•3•8 - 5•0•8 - 3•1•5 -7•7•2) = 122
Свойство 8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда раина нулю.
НЕВЫРОЖДЕННЫЕ МАТРИЦЫ.
Основные понятия
Пусть А — квадратная матрица n-го порядка
Квадратная матрица A называется невырожденной, если определитель Δ = detA не равен нулю: Δ = detA≠0. В противном случае (Δ = 0) матрица А называется вырожденной.
Матрицей, союзной к матрице A , называется матрица
где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij данной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента
Матрица А -1 называется обратной матрице А, если выполняется условие
A•A -1 =A -1 •A = Е, (3.1)
где Е — единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица А имеет те же размеры, что и матрица А.
Обратная матрица
Теорема 3.1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть
A = , причём det A ≠ 0
Составим союзную матрицу
и найдем произведение матриц Aи A * :
= = det A = det A • E;
т.е. A • A* = det A•E
Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2).
Аналогично убеждаемся, что
Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде
Отметим свойства обратной матрицы:
2. (A • B) -1 = B -1 • A -1 ;
3. (A -1 ) T = (A T ) -1
Пример 3.1. Найти А 1 , если А =
Решение: 1) Находим detA:
det A = = 2+3 = 5 ≠ 0
Пример 3.2. Определить, при каких значениях А существует матрица, обратная данной:
Решение: Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Найдем определитель матрицы А:
∆A = = 3-0+2ℷ-12-0+2ℷ = 4ℷ - 9
Если 4λ – 9 ≠ 0, т. е. λ ≠ , то ΔA ≠0, т. е. матрица А невырожденная, имеет обратную.
Пример 3.3. Показать, что матрица А является обратной для В, если
Решение: Найдем произведение матриц A и В:
Аналогично В • A = Е. Следовательно, матрица А является обратной дня В.
Ранг матрицы
Рассмотрим матрицу А размера m х n.
Выделим и ней k прок и k столбцов (k ≤ min(m;n)). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице A пунктиром выделен минор 2-го порядка. (Заметим, что таких миноров можно составить • штук, где = - число сочетаний из n элементов по k.)
Наибольший из порядков миноров данной матрицы. отличных от нуля, называется рангомматрицы. Обозначается r, r(A) иди rang А.
Очевидно, что 0≤r≤min(m; n), где min(m; n) — меньшее из чисел m и n.
Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.
Пример 3.4. Найти ранг матрицы:
Решение: Все миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля
= -15 ≠ 0. Значит, r(A) = 2. Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами.
Отметим свойства ранга матрицы:
1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.
3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.
Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан одни из способов вычисления ранга матрицы.
Пример 3.5.Найти ранг матрицы
используя результаты примера 1.4.
Решение: В примере 1.4 показано,
Таким образом, ранг матрицы Aравен r(A) = 2.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Основные понятия
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и п неизвестных, называется система вида
где числа aij, i = , j = называются коэффициентами системы, числа bi — свободными членами. Подлежат нахождению числа xn.
Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме
Здесь А — матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:
X = - вектор-столбец из неизвестных ,
B = - вектор-столбец из свободных членов
Произведение матриц A•X определено, так как в матрице Aстолбцов столько же, сколько строк в матрице X (п штук).
Расширенной матрицей системы называется матрица А системы, дополненная столбцом свободных членов
Решением системы называется п значений неизвестных х1 = c1, x2 = c2, . хn= сn, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца
Система уравнений называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.
Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.
Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.
Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:
Однородная система всегда совместна, так как х1 = х2 = • • • = хn = 0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.
© 2014-2022 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.059)
=.
Это означает, что строки и столбцы определителя равноправны.
Из этого свойства вытекает, что определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы .
=.
2. Если одна из строк или один из столбцов определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю
=.
3. При перестановке двух строк или двух столбцов определитель меняет только знак.
detA=
4. Определитель, содержащий две одинаковые строки или два одинаковых столбца, равен нулю.
5. Если все элементы некоторой строки или некоторого столбца определителя умножить на число k 0, то сам определитель умножится на это число.
Иначе это свойство можно сформулировать так: общий множитель всех элементов некоторой строки или некоторого столбца можно вынести за знак определителя.
detA=.
6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
7. Если все элементы i-й строки определителя n-го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых; то данный определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кромеi-й, такие же, как и в заданном определителе, a i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов bij , а в другом - из элементов cij, то есть
8. Если одна из строк определителя представляет сумму каких-либо других строк или сумму произведений каких-либо других строк определителя на число k, то определитель равен нулю.
9. Определитель не изменится, если к элементам одной строки из его строк (столбцов) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
Умножим третью строку на 3 и прибавим ко второй строке, тогда:
Преобразования, не изменяющие величину определителя называются элементарными.
В заключение этого раздела отметим, что для вычисления определителя п-го порядка нужно вычислить выражение, состоящее из п! членов. Так, если порядок определителя равен 10, то он равен выражению состоящему из 10! членов. Количество арифметических действий для вычисления определителя порядка n равно nn!. При n=10 необходимо выполнить арифметическое действие равное 10 10! Что является очень громоздкой и трудоемкой операцией.
Тема №2 «определители и их свойства»
.Найдите значение элемента определителя
а) , б) ? Если «да», то с каким знаком?
7.Подберите i и k так, чтобы произведение входило в определитель 5го порядка со знаком «+».
Как изменится определитель 3го порядка, если у всех его элементов изменить знак на противоположный?
Читайте также: