Кто описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1 на которой основана компьютерная техника
Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).
Системы счисления бывают:
- непозиционными (в этих системах значение цифры не зависит от ее позиции — положения в записи числа);
- позиционными (значение цифры зависит от позиции).
Непозиционные системы счисления
Примеры: унарная, римская, древнерусская и др.
Позиционные системы счисления
Основание системы счисления —
количество различных цифр, используемых в этой системе.
отношение количественного эквивалента цифры в этом разряде к количественному эквиваленту той же цифры в нулевом разряде
где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.
Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:
По определению веса разряда
где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.
Тогда, обозначив цифры числа как ai, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:
Например, для системы счисления с основанием 4:
1302.24 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1
Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:
1302.24 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1 =
= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =
= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5
Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:
- пронумеровать разряды исходного числа;
- записать сумму, слагаемые которой получаются как произведения очередной цифры на основание системы счисления, возведенное в степень, равную номеру разряда;
- выполнить вычисления и записать полученный результат (указав основание новой системы счисления — 10).
Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:
13024 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114
Иначе это можно записать так:
114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 13024
Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно
Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.
В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:
Готфрид Вильгельм фон Лейбниц (нем. Gottfried Wilhelm von Leibniz; 21 июня (1 июля) 1646, Лейпциг, Германия — 14 ноября 1716, Ганновер, Германия) — немецкий философ, математик, юрист, дипломат. Готфрид Вильгельм родился в семье профессора философии морали (этики) лейпцигского университета Фридриха Лейбница (нем. Friedrich Leibnütz) и Катерины Шмюк (нем. Catherina Schmuck). В это время Лейбниц изобретает собственную конструкцию арифмометра, гораздо лучше паскалевской — он умел выполнять умножение, деление и извлечение корней. Предложенные им ступенчатый валик и подвижная каретка легли в основу всех последующих арифмометров. 1673: Лейбниц в Лондоне, где на заседании Королевского общества демонстрирует свой арифмометр и избирается членом Общества. От Ольденбурга, президента Общества, он получает изложение ньютоновских открытий: анализ бесконечно малых и теория бесконечных рядов. Сразу оценив мощь метода, он сам начинает его развивать. В частности, он вывел первый ряд для числа π Лейбниц также описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1, на которой основана современная компьютерная техника
История
- Полный набор из 8 триграмм и 64 гексаграмм, аналог 3-битных и 6-битных цифр, был известен в древнем Китае в классических текстахкниги Перемен. Порядок гексаграмм в книге Перемен, расположенных в соответствии со значениями соответствующих двоичных цифр (от 0 до 63), и метод их получения был разработан китайским учёным и философом Шао Юн в XI веке. Однако нет доказательств, свидетельствующих о том, что Шао Юн понимал правила двоичной арифметики, располагая двухсимвольные кортежи в лексикографическом порядке.
-
математик Пингала (200 год до н. э.) разработал математические основы для описания поэзии с использованием первого известного применения двоичной системы счисления. [1][2]
- Прообразом баз данных, широко использовавшихся в Центральных Андах (Перу, Боливия) в государственных и общественных целях в I—II тысячелетии н. э., была узелковая письменность Инков — кипу, состоявшая как из числовых записей десятичной системы[3] , так и не числовых записей в двоичной системе кодирования [4] . В кипу применялись первичные и дополнительные ключи, позиционные числа, кодирование цветом и образование серий повторяющихся данных [5] . Кипу впервые в истории человечества использовалось для применения такого способа ведения бухгалтерского учёта, как двойная запись[6] .
- Наборы, представляющие собой комбинации двоичных цифр, использовались африканцами в традиционных гаданиях (таких как Ифа) наряду со средневековойгеомантией.
- В 1605 годуФренсис Бэкон описал систему, буквы алфавита которой могут быть сведены к последовательностям двоичных цифр, которые в свою очередь могут быть закодированы как едва заметные изменения шрифта в любых случайных текстах. Важным шагом в становлении общей теории двоичного кодирования является замечание о том, что указанный метод может быть использован применительно к любым объектам. [7] (См. Шифр Бэкона)
- Современная двоичная система была полностью описана Лейбницем в XVII веке в работе Explication de l’Arithmétique Binaire[8] . В системе счисления Лейбница были использованы цифры 0 и 1, как и в современной двоичной системе. Как человек, увлекающийся китайской культурой, Лейбниц знал о книге Перемен и заметил, что гексаграммы соответствуют двоичным числам от 0 до 111111. Он восхищался тем, что это отображение является свидетельством крупных китайских достижений в философской математике того времени. [9]
- В 1854 году английский математик Джордж Буль опубликовал знаковую работу, описывающую алгебраические системы применительно к логике, которая в настоящее время известна как Булева алгебра или алгебра логики. Его логическому исчислению было суждено сыграть важную роль в разработке современных цифровых электронных схем.
- В 1937 годуКлод Шеннон представил к защите кандидатскую диссертацию Символический анализ релейных и переключательных схем в MIT, в которой булева алгебра и двоичная арифметика были использованы применительно к электронным реле и переключателям. На диссертации Шеннона по существу основана вся современная цифровая техника.
- В ноябре 1937 годаДжордж Штибиц, впоследствии работавший в Bell Labs, создал на базе реле компьютер «Model K» (от англ. «Kitchen», кухня, где производилась сборка), который выполнял двоичное сложение. В конце 1938 года Bell Labs развернула исследовательскую программу во главе со Штибицом. Созданный под его руководством компьютер, завершённый 8 января 1940 года, умел выполнять операции с комплексными числами. Во время демонстрации на конференции American Mathematical Society в Дартмутском колледже 11 сентября 1940 года Штибиц продемонстрировал возможность посылки команд удалённому калькулятору комплексных чисел по телефонной линии с использованием телетайпа. Это была первая попытка использования удалённой вычислительной машины посредством телефонной линии. Среди участников конференции, бывших свидетелями демонстрации, были Джон фон Нейман, Джон Мокли и Норберт Винер, впоследствии писавшие об этом в своих мемуарах.
Преобразование методом Горнера
Для того, что бы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева-направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Например, двоичное число 1011011 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+0=22 >> 22*2+1=45 >> 45*2+1=91 То есть в десятичной системе это число будет записано как 91. Или число 101111 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+1=23 >> 23*2+1=47 То есть в десятичной системе это число будет записано как 47.
Преобразование двоичных чисел в десятичные
Допустим, вам дано двоичное число 110001. Для перевода в десятичное просто запишите его справа налево как сумму по разрядам следующим образом:
.
Можно записать это в виде таблицы следующим образом:
512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | ||||
+32 | +16 | +1 |
Точно так же, начиная с двоичной точки, двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа.
Таким образом, двоичное число 110001 равнозначно десятичному 49.
Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел
+ | 0 | 1 |
---|---|---|
0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 10 |
Пример сложения «столбиком» (14 + 5 = 19):
- | 0 | 1 |
---|---|---|
0 | 0 | 1 |
1 | (заём из старшего разряда) 1 | 0 |
× | 0 | 1 |
---|---|---|
0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 |
Пример умножения «столбиком» (14 × 5 = 70):
× | 1 | 1 | 1 | 0 | ||
1 | 0 | 1 | ||||
+ | 1 | 1 | 1 | 0 | ||
1 | 1 | 1 | 0 | |||
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Полезное
Использование двоичной системы при измерении дюймами
При указании линейных размеров в дюймах по традиции используют двоичные дроби, а не десятичные, например: 5¾″, 7 15 /16″, 3 11 /32″ и т. д.
В английской системе мер
При указании линейных размеров в дюймах по традиции используют двоичные дроби, а не десятичные, например: 5¾″, 7 15 /16″, 3 11 /32″ и т. д.
система счисления (См. Счисление), построенная на позиционном принципе записи чисел, с основанием 2. В Д. с. с. используются только два знака — цифры 0 и 1; при этом, как и во всякой позиционной системе, значение цифры зависит дополнительно от занимаемого ею места. Число 2 считается единицей 2-го разряда и записывается так: 10 (читается: «один, нуль»). Каждая единица следующего разряда в два раза больше предыдущей, т. е. эти единицы составляют последовательность чисел 2, 4, 8, 16. 2 n . Для того чтобы число, записанное в десятичной системе счисления, записать в Д. с. с., его делят последовательно на 2 и записывают получающиеся остатки 0 и 1 в порядке от последнего к первому, например: 43 = 21·2 +1; 21 = 10·2 +1; 10 = 5·2+0; 5=2·2+1; 2 = 1·2+ 0; 1 =0·2 + 1; итак, двоичная запись числа 43 есть 101011. Т. о., 101011 в Д. с. с. обозначает 1·2 0 +1·2 1 + 0․2 2 +1․2 3 + + 0·2 4 + 1·2 5 .
В Д. с. с. особенно просто выполняются все арифметические действия: например, таблица умножения сводится к одному равенству 1·1 = 1. Однако запись в Д. с. с. очень громоздка: например, число 9000 будет 14-значным. Но благодаря тому, что в Д. с. с. используются лишь две цифры, она часто бывает полезной в теоретических вопросах и при вычислениях на ЦВМ.
Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . 1969—1978 .
Преобразование чисел
Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:
512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1 называется двоичной точкой.
Смотреть что такое "Двоичная система" в других словарях:
ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА — ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА, в математике система счисления, имеющая ОСНОВАНИЕ 2 (десятичная система имеет основание 10). Она наиболее пригодна для работы с компьютерами, поскольку отличается простотой и соответствует двум положениям (открытое 0 и закрытое… … Научно-технический энциклопедический словарь
двоичная система — dvejetainė sistema statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. binary system vok. Binärsystem, n rus. двоичная система, f pranc. système binaire, m … Automatikos terminų žodynas
двоичная система — dvejetainė sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. binary system; dyadic system vok. Binärsystem, n; Dualsystem, n rus. двоичная система, f pranc. système binaire, m … Fizikos terminų žodynas
Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2, в которой для записи чисел используются цифры 0 и 1. См. также: Позиционные системы счисления Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь
ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ — ДВОИЧНАЯ система СЧИСЛЕНИЯ, способ записи чисел, при котором используются две цифры 0 и 1. Две единицы 1 го разряда (т.е. места, занимаемого в числе) образуют единицу 2 го разряда, две единицы 2 го разряда образуют единицу 3 го разряда и т.д.… … Современная энциклопедия
Двоичная система счисления — ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ, способ записи чисел, при котором используются две цифры 0 и 1. Две единицы 1 го разряда (т.е. места, занимаемого в числе) образуют единицу 2 го разряда, две единицы 2 го разряда образуют единицу 3 го разряда и т.д.… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
Двоичная система исчисления — система, использующая для представления буквенно цифровых и иных символов наборы комбинаций цифр 1 и 0, основа используемых в цифровых ЭВМ кодов … Издательский словарь-справочник
ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ — позиционная система счисления с основанием 2, в которой имеются две цифры 0 и 1, и их последовательностями записываются все натуральные числа. Напр. цифра 2 записывается как 10, цифра 4 = 22 как 100, число 900 как 11 значное число: 11 110 101 000 … Большая политехническая энциклопедия
ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ — см. в ст. Счисление … Большой Энциклопедический словарь
Преобразование чисел
Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:
512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.
Преобразование десятичных чисел к ближайшей степени двойки, неменьшей этого числа
Ниже приведена функция, возвращающая число, неменьшее аргумента, и являющееся степенью двух.
См. также
Преобразование методом Горнера
Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Например, двоичное число 1011011 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+0=22 >> 22*2+1=45 >> 45*2+1=91 То есть в десятичной системе это число будет записано как 91. Или число 101111 переводится в десятичную систему так: 0*2+1=1 >> 1*2+0=2 >> 2*2+1=5 >> 5*2+1=11 >> 11*2+1=23 >> 23*2+1=47 То есть в десятичной системе это число будет записано как 47. Перевод дробных чисел методом Горнера 1) 0,11012=0,X10 (рассматриваем цифры в обратном порядке)
1:2=0,5
0,5+0=0,5
0,5:2=0,25
0,25+1=1,25
1,25:2=0,625
0,625+1=1,625
1,625:2=0,8125
Ответ: 0,11012= 0,812510
2) 0,3568=0,X10 (рассматриваем цифры в обратном порядке)
6:8=0,75
0,75+5=5,75
5,75:8=0,71875
0,71875+3=3,71875
3,71875:8=0,46484375
Ответ: 0,3568=0,4648437510
3) 0,A6E16=0,X10 (рассматриваем цифры в обратном порядке)
14:16=0,875
0,875+6=6,875
6,875:16=0,4296875
0,4296875+10=10,4296875
10,4296875:16=0,65185546875
Ответ: 0,A6E16=0,6518554687510
Двоичная система счисления
Двоичная система счисления — это позиционная система счисления с целочисленным основанием 2. В этой системе счисления натуральные числа записываются с помощью всего лишь двух символов (в роли которых обычно выступают цифры 0 и 1). Полный набор из 8 триграмм и 64 гексаграмм, аналог 3-битных и 4-битных цифр, был известен в древнем Китае в классических текстах книги Перемен. Порядок гексаграмм в книге Перемен, расположенных в соответствии со значениями соответствующих двоичных цифр (от 0 до 63), и метод их получения был разработан китайским учёным и философом Шао Юн в XI веке. Однако нет доказательств, свидетельствующих о том, что Шао Юн понимал правила двоичной арифметики, располагая двухсимвольные кортежи в лексикографическом порядке. Индийский математик Пингала (200 год до н.э.) разработал математические основы для описания поэзии с использованием первого известного применения двоичной системы счисления. Наборы, представляющие собой комбинации двоичных цифр, использовались африканцами в традиционных гаданиях (таких как Ифа) наряду со средневековой геомантией. В 1605 году Френсис Бэкон описал систему, буквы алфавита которой могут быть сведены к последовательностям двоичных цифр, которые в свою очередь могут быть закодированы как едва заметные изменения шрифта в любых случайных текстах. Важным шагом в становлении общей теории двоичного кодирования является замечание о том, что указанный метод может быть использован применительно к любым объектам. Современная двоичная система была полностью описана Лейбницом в XVII веке в работе Explication de l'Arithmétique Binaire. В системе счисления Лейбница были использованы цифры 0 и 1, как и в современной двоичной системе. Как человек, увлекающийся китайской культурой, Лейбниц знал о книге Перемен и заметил, что гексаграммы соответствуют двоичным числам от 0 до 111111. Он восхищался тем, что это отображение является свидетельством крупных китайских достижений в философской математике того времени
Преобразование двоичных чисел в десятичные
Допустим, вам дано двоичное число 110011. Какому числу оно эквивалентно? Чтобы ответить на этот вопрос, прежде всего запишите данное число следующим образом:
512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | ||||
32 | +16 | +2 | +1 |
Затем, начиная с двоичной точки, двигайтесь влево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа. Таким образом, двоичное число 110011 равнозначно 51.
Либо .
Применения
Запись двоичных чисел
Двоичная система счисления является комбинацией двоичной системы кодирования и показательной весовой функции с основанием равным 2. Положительные целые числа (без знака) записываются в виде:
Количество записываемых кодов (чисел) зависит от основания системы кодирования — c, определяется в комбинаторике и равно числу размещений с повторениями:
Количество записываемых кодов (чисел) от основания показательной функции — b не зависит.
Основание показательной функции — b определяет диапазон представляемых числами x2,b величин и разреженность представляемых чисел на числовой оси.
Целые числа являются частными суммами степенного ряда:
в котором коэффициенты an берутся из множества R=a , X=2, n=k, а верхний предел в частных суммах ограничен с до — n-1.
Целые числа со знаком записываются в виде:
Дробные числа записываются в виде:
Следует отметить, что число может быть записано в двоичном коде, а система счисления при этом может быть не двоичной, а с другим основанием. Пример: двоично-десятичное кодирование, в котором десятичные цифры записываются в двоичном виде, а система счисления — десятичная.
Преобразование десятичных чисел в двоичные
Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой :
Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем в остаток 1 или 0. Продолжать деление надо пока в делимом не будет 1. Ставим числа из остатка друг за другом, начиная с конца. В результате получаем число 19 в двоичной записи (начиная с конца): 10011.
Двоичные цифры
В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов (0 и 1).
Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные
Нужно перевести число 1011010,101 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:
64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0.5 | 0.25 | 0.125 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0. | .1 | 0 | 1 |
+64 | +16 | +8 | +2 | +0.5 | +0.125 |
Таблица умножения двоичных чисел
Смотреть что такое "Двоичная система счисления" в других словарях:
Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2, в которой для записи чисел используются цифры 0 и 1. См. также: Позиционные системы счисления Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь
ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ — ДВОИЧНАЯ система СЧИСЛЕНИЯ, способ записи чисел, при котором используются две цифры 0 и 1. Две единицы 1 го разряда (т.е. места, занимаемого в числе) образуют единицу 2 го разряда, две единицы 2 го разряда образуют единицу 3 го разряда и т.д.… … Современная энциклопедия
Двоичная система счисления — ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ, способ записи чисел, при котором используются две цифры 0 и 1. Две единицы 1 го разряда (т.е. места, занимаемого в числе) образуют единицу 2 го разряда, две единицы 2 го разряда образуют единицу 3 го разряда и т.д.… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ — позиционная система счисления с основанием 2, в которой имеются две цифры 0 и 1, и их последовательностями записываются все натуральные числа. Напр. цифра 2 записывается как 10, цифра 4 = 22 как 100, число 900 как 11 значное число: 11 110 101 000 … Большая политехническая энциклопедия
ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ — см. в ст. Счисление … Большой Энциклопедический словарь
двоичная система (счисления) — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN binary system … Справочник технического переводчика
двоичная система счисления — — [В.А.Семенов. Англо русский словарь по релейной защите] Тематики релейная защита EN binary system … Справочник технического переводчика
Двоичная система счисления — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей … Википедия
двоичная система счисления — Binary Двоичная система счисления (Бинарная система счисления) Система счисления, основанная на степенях числа 2, в которой используются только цифры 0 и 1, именуемые «битами» … Толковый англо-русский словарь по нанотехнологии. - М.
двоичная система счисления — см. Счисление. * * * ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ, см. в ст. Счисление (см. СЧИСЛЕНИЕ) … Энциклопедический словарь
Двоичная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления натуральные числа записываются с помощью всего лишь двух символов (в роли которых обычно выступают цифры 0 и 1).
Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:
- Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток — нет тока, индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет и т. д.
- Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения, что не будет способствовать помехоустойчивости и надёжности хранения информации.
- Двоичная арифметика является довольно простой. Простыми являются таблицы сложения и умножения — основных действий над числами.
- Возможно применение аппарата алгебры логики для выполнения побитовых операций над числами.
В цифровой электронике одному двоичному разряду в двоичной системе счисления соответствует один двоичный логический элемент (инвертор с логикой на входе) с двумя состояниями (открыт, закрыт).
В цифровых устройствах
Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:
- Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) — нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д.
- Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора, что не будет способствовать помехоустойчивости и надёжности хранения информации. [источник не указан 770 дней]
- Двоичная арифметика является довольно простой. Простыми являются таблицы сложения и умножения — основных действий над числами.
В цифровой электронике одному двоичному разряду в двоичной системе счисления соответствует (очевидно) один двоичный разряд двоичного регистра, то есть двоичный триггер с двумя состояниями (0,1).
Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные
Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:
- Вначале переводится целая часть десятичной дроби в двоичную систему счисления;
- Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание двоичной системы счисления;
- В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в двоичной системе счисления;
- Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага.
Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.
Перевод целой части дает 20610=110011102 по ранее описанным алгоритмам; дробную часть умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:
0,116 • 2 = 0,232
0,232 • 2 = 0,464
0,464 • 2 = 0,928
0,928 • 2 = 1,856
0,856 • 2 = 1,712
0,712 • 2 = 1,424
0,424 • 2 = 0,848
0,848 • 2 = 1,696
0,696 • 2 = 1,392
0,392 • 2 = 0,784
и т. д.
Получим: 206,11610=11001110,00011101102
Содержание
Ссылки
Wikimedia Foundation . 2010 .
Другие системы счисления
В статье "Системы счисления (продолжение)" [1] описываются преимущества и недостатки 4-ричной системы счисления по сравнению с двоичной в компьютерах, созданных Хитогуровым.
Содержание
Преобразование десятичных чисел в двоичные
Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой :
Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справа налево. То есть нижнее число будет самым левым и.т.д. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.
Объяснение двоичной арифметики
Объяснение двоичной арифметики, в котором используются только символы 0 и 1, с некоторыми замечаниями относительно его полезности. Расплаты обычные арифметические производится в соответствии с прогрессией десятков. Десять используются символы, которые являются 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, которое означало ноль, один и последовательными числами до девяти включительно. И потом, при достижении десять, начинаешь снова Дать десять на "10", десять раз по десять, или сто, на "100", десять раз в сто или тысячу, на "1000", в десять раз тысячу с помощью "10000", и так далее. Но вместо того, прогресс в десятки, я на протяжении многих лет использовались простейшие прогрессия всего, доходы которых по двое, узнав, что это полезно для совершенствования [GM VII, p224] наука о числах. Таким образом, я не используют другие символы в этом баре 0 и 1, а при достижении два, я начал снова. Именно поэтому здесь два выраженных "10", и два раза два или четыре, на "100", два раза четыре или восемь, в "1000", в два раза восемь или шестнадцать лет, на "10000", и так далее. Вот таблица чисел таким образом, который может быть продлен, насколько это желаемый. Здесь одним взглядом делает очевидной причиной знаменитого собственности геометрической прогрессии по двое в целых числах, который считает, что если есть только одно из этих чисел для каждой степени, можно составить из них все другие целые числа ниже двойной в высшей степени. Ибо здесь, это как если бы кто сказал, например, что 111, или 7, представляет собой сумму четыре, два, а один, а 1101, или 13, представляют собой сумму восемь, четыре, и один. Это свойство позволяет испытатели взвесить все виды масс с нескольких весов и может служить в чеканке дать несколько значений с несколькими монетами. Создания этого выражения чисел позволяет очень легко делать все виды операций. И все эти операции очень легкий, что никогда не будет никакой необходимости, чтобы попытаться угадать или что-нибудь, как должно быть сделано в обычное разделение. Там уже не будет никакой необходимости, чтобы узнать что-либо наизусть, как это сделать в обычных расчетах, где надо знать, например, что 6 и 7 вместе взятые составляют 13, а 5 умноженное на 3 дает 15, в соответствии с таблицей один раз одна одним, который называется Pythagorean.1 Но здесь, все это обнаружили и доказали от источника, как это видно в предыдущих примеров, под знаками и. Однако я ни в коей мере рекомендовать это способ подсчета, с тем чтобы ввести его вместо обычной практики подсчета, десять. Ибо, помимо того, что мы привыкли к этому, у нас нет необходимости, чтобы узнать, что мы уже знаем наизусть. Практика подсчета десять короче, а цифры не так долго. И если мы привыкли, чтобы продолжить путь Twelves или Sixteens, было бы еще больше преимуществ. Но расплатой по двое, то есть 0 и 1, в качестве компенсации за его длины, является самым основным способом расплаты для науки, и предлагает новые открытия, которые затем оказались полезными даже для практики чисел и особенно для геометрии. Причиной этого является то, что число сводятся к простейшим принципам, как 0 и 1, замечательный тем очевидна во всем. Например, в таблицу чисел сам, очевидно, в каждом столбце, что он управляется циклами, которое всегда начинается снова. В первой колонке это 01, во втором 0011, в третьем 00001111, в четвертом 0000000011111111, и так далее. И мало нули были введены в таблицу, чтобы заполнить пробел в начале колонны, и подчеркнуть, эти циклы лучшего. Кроме того, линии были разработаны в рамках таблицы, которые показывают, что то, что содержится внутри линии всегда происходит под ними снова. И еще оказывается, что площади номеров, кубический числа и другие полномочиями, тоже треугольные числа, пирамидальными числами, и другие номера рисунка, имеют сходные циклы, так что таблицы из них могут быть записаны сразу же, без каких-либо расчет. И этот затянувшийся задачи в самом начале, которая затем предоставляет средства на ее счету экономической и приступить к бесконечности правило, бесконечно выгодно. Что удивительного в этом расчете, что эта арифметика 0 и 1, обнаружена тайна линии древних Король и философ Fuxi, который, как полагают, проживало более 4000 лет назад, и которого китайцев считают основателем своей империи, и их sciences.2 Есть несколько линейных цифры приписывали ему, все из которых вернуться к этой арифметике, но это достаточно, чтобы дать здесь рисунок из восьми Кова, как его называют, который сказал быть существенным, и присоединиться к их объяснение, очевидно, при условии, что не замечает, во-первых, что целая строка - означает единство, или 1, а во-вторых, ломаная линия - значит нуля, или 0. Китайский потерял значение Кова или Lineations из Fuxi, возможно, более чем на тысячу лет назад, и они имеют письменные комментарии по этому вопросу, в которых они стремились не знаю, что далеко от значений, так что их истинный объяснения теперь приходится приходят из Европы. Вот как: Это было едва ли больше, чем два года назад я послал к преподобному отцу Буве, 3 знаменитый французский иезуит, который живет в Пекине, мой метод подсчета, 0 и 1, и ничего более необходима, чтобы заставить его признать, что это является ключом к фигурам Fuxi. Дать мне 14 ноября 1701, он послал меня Grand фигурой этого философского князя, который доходит до 64, и не оставляет никаких дальнейших комнату сомневаться в истинности нашего толкования, такой, что можно сказать, что это отец расшифровал загадку Fuxi, с помощью того, что я сообщил ему. А так как эти цифры, возможно, являются самым древним памятником наука, которая существует в мире, это возвращение их смысл, после такой большой промежуток времени, будут выглядеть все более любопытно. Соглашение между фигурами Fuxi и мои таблицы чисел является более очевидным, когда первоначальные нули, представленная в таблице, они показаться излишним, но они полезны для лучшего шоу циклы колонки, как я представил их в силе немного с кольцами, чтобы отличить их от необходимости нулями. И это соглашение оставляет мне высокого мнения о глубине размышлений Fuxi, поскольку, что кажется легким для нас сейчас не так вообще в те далекие времена. Двоичные или двоичная арифметика, в сущности, очень просто сегодня, мало думали требуется, поскольку это во многом способствовали наши способ подсчета, из которой, кажется, удаляется только излишки. Но это обычное арифметическое десятками как представляется, не очень старый, и по крайней мере, греки и римляне не знали об этом, и были лишены своих преимуществ. Похоже, что Европа обязана своим Введение Герберт, который стал папой под именем Сильвестра II, который получил его от мавров из Испании.4 Сейчас, как он считал, что в Китае Fuxi даже автором китайские иероглифы, хотя они были сильно изменены в последующих времен, его эссе об арифметических приводит нас к выводу, что что-то значительное может даже найти в этих символов в отношении количества и идеи, если бы можно было обнаружить основой китайской письменности, тем более, что она верит в Китай, что он для рассмотрения номера при установлении их. Преподобный отец Буве сильно склонен к продвинуть эту точку, и очень способных преуспеть в ее различными способами. Однако, я не знаю, если когда-нибудь преимущества в этой китайской письменности аналогичной той, что обязательно должно быть в проекте характеристики I, которая является то, что каждое рассуждение выводимых из представлений могут быть получены из символов этих понятий ', автор способом расплаты, которая станет одним из наиболее важных средств оказания помощи человеческого разума.
ПРИМЕЧАНИЯ:
1. Лейбниц здесь ссылается на таблицу умножения.
2. Мифологическая фигура, говорят, жила в 3-м тысячелетии до н.э.
3. Йоахим Буве (1656-1730), французский миссионер-иезуит, который провел большую часть своей взрослой жизни в Китае. Он и Лейбница соответствовало между 1697 и 1707.
4. В его "Рассуждения о естественной теологии китайской '(1716), Лейбниц повторила свое утверждение о том, Герберт (т.е. Gerbert d'Aurillac), который был папой от 999 до 1003, введена десятичная система христианской Европы. См. Лейбниц, "Записки о Китае, транс. и ред. Дэниэл Дж. Кука и Генри Роземонт младшего (Chicago: Open Court, 1994), Р135. Ошибается претензии Лейбница, хотя Герберт традиционно считается, что внес арабскими цифрами в христианской Европе, он не вводится десятичная система.
Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2.
Читайте также: