Компьютерная алгебра это что за предмет
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей
Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения
Столичный центр образовательных технологий г. Москва
Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца
от 3 170 руб. 1900 руб.
Количество часов 300 ч. / 600 ч.
Успеть записаться со скидкой
Форма обучения дистанционная
- Онлайн
формат - Диплом
гособразца - Помощь в трудоустройстве
311 лекций для учителей,
воспитателей и психологов
Получите свидетельство
о просмотре прямо сейчас!
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»
Кафедра математики и методики обучения математике
Реферат на тему:
«Системы компьютерной алгебры»
Выполнила: С. А. Курышова
Проверила: Лемясева Н.А.
Компьютерная алгебра – это наука об эффективных алгоритмах вычислений математических объектов.
Компьютерная алгебра — область математики, лежащая на стыке алгебры и вычислительных методов.
Компьютерная алгебра есть та часть информатики, которая занимается разработкой, анализом, реализацией и применением алгебраических алгоритмов.
Компьютерная алгебра – это новая, быстро развивающиеся область, ориентированная на использовании ЭВМ для выполнения аналитических(нечисленных) преобразований математический выражений: полиномов, рядов, рациональных функций и т.д.
В последнее время в широких кругах пользователей вычислительных машин различного класса стал достаточно популярным и широко используемым термин « компьютерная математика ». Данное понятие включает совокупность как теоретических и методических средств, так и современных программных и аппаратных средств, позволяющих производить все математические вычисления с высокой степенью точности и производительности, а также строить сложные цепочки вычислительных алгоритмов с широкими возможностями визуализации процессов и данных при их обработке.
Компьютерная математика – это новое направление в математике, появившееся на пересечении классической математики и информатики. Оно возникло на рубеже нового столетия и связано с успехами внедрения персональных компьютеров (ПК) в практику решения математических задач.
Система компьютерной алгебры (СКА, англ. computer algebra system, CAS) — это прикладная программа для символьных вычислений, то есть выполнения преобразований и работы с математическими выражениями в аналитической (символьной) форме.
На рынке современных математических систем в настоящее время присутствует целый ряд крупных фирм: Macsyma, Inc., Waterloo Maple Software, Inc., Wolfram Research, Inc., MathWorks, Inc., MathSoft, Inc., SciFace GmbH и др.
Maple позволяет выполнять как численные, так и аналитические расчеты с возможностью редактирования текста и формул на рабочем листе.
Основные качественные отличия MuPAD — невысокие требования к ресурсам PC, наличие собственного ядра символьной математики, способность к развитию самим пользователем и мощные средства визуализации решения математических задач.
S-PLUS представляет собой интерактивную компьютерную среду, обеспечивающую полнофункциональный графический анализ данных и включающую оригинальный объектно-ориентированный язык.
MATLAB — одна из старейших, тщательно проработанных и проверенных временем систем автоматизации математических расчетов, построенная на расширенном представлении и применении матричных операций. Это нашло отражение в названии системы — MATrix LABoratory — матричная лаборатория.
MATLAB как язык программирования был разработан Кливом Моулером (англ. Cleve Moler) в конце 1970-х годов, когда он был деканом факультета компьютерных наук в Университете Нью-Мексико. Целью разработки служила задача дать студентам факультета возможность использования программных библиотек Linpack и EISPACK без необходимости изучения Фортрана. Вскоре новый язык распространился среди других университетов и был с большим интересом встречен учёными, работающими в области прикладной математики.
В настоящее время система MATLAB далеко вышла за пределы специализированной матричной системы и стала одной из наиболее мощных универсальных интегрированных СКМ. Слово «интегрированная» указывает на то, что в этой системе объединены удобная оболочка, редактор выражений и текстовых комментариев, вычислитель и графический программный процессор.
В новой версии используются такие мощные типы данных, как многомерные массивы, массивы ячеек, массивы структур, массивы Java и разреженные матрицы, что открывает возможности применения системы при создании и отладке новых алгоритмов матричных и основанных на них параллельных вычислений и крупных баз данных.
Области применения системы MATLAB:
- математика и вычисление;
- вычислительный эксперимент, имитационное моделирование;
- анализ данных, исследования и визуализация результатов;
- научная и инженерная графика;
- разработка приложений, включая графический интерфейс пользователя и др.
Система MATLAB является одновременно операционной средой и языком программирования. Пользователь может написать специализированные функции и программы, которые оформляются в виде М-файлов.
Программы, написанные на MATLAB, бывают двух типов — функции и скрипты. Функции имеют входные и выходные аргументы, а также собственное рабочее пространство для хранения промежуточных результатов вычислений и переменных. Скрипты же используют общее рабочее пространство. Как скрипты, так и функции не компилируются в машинный код и сохраняются в виде текстовых файлов. Существует также возможность сохранять так называемые pre-parsed программы — функции и скрипты, обработанные в вид, удобный для машинного исполнения. В общем случае такие программы выполняются быстрее обычных, особенно если функция содержит команды построения графиков.
Основной особенностью языка MATLAB является его широкие возможности по работе с матрицами, которые создатели языка выразили в лозунге «думай векторно» (англ. Think vectorized).
Популярности системы способствует ее мощное расширение Simulink, предоставляющее удобные и простые средства, в том числе визуальное объектно-ориентированное программирование, для моделирования линейных и нелинейных динамических систем, а также множество других пакетов расширения системы.
В настоящее время система инженерных и научных расчетов MATLAB широко распространена в университетах всего мира. Она является интерактивной средой, имеет математический сопроцессор и допускает возможность обращения к программам на языках Fortran, C и С++. Система MatLab занимает одно из лидирующих мест на рынке специализированных систем компьютерной математики, наряду с MathCad, Maple, Mathematica и др.
Основные преимущества системы MatLab – удобство пользовательского интерфейса, высокие вычислительные возможности (богатая библиотека) и широкая область применение результатов расчета.
MATLAB предоставляет пользователю большое количество (несколько сотен) функций для анализа данных, покрывающие практически все области математики.
Компьютерная алгебра — область математики, лежащая на стыке алгебры и вычислительных методов. Для нее, как и для любой области, лежащей на стыке различных наук, трудно определить четкие границы. Часто говорят, что к компьютерной алгебре относятся вопросы, слишком алгебраические, чтобы содержаться в учебниках по вычислительной математике и слишком вычислительные, чтобы содержаться в учебниках по алгебре. При этом ответ на вопрос о том, относится ли конкретная задача к компьютерной алгебре, часто зависит от склонностей специалиста.
Термин «компьютерная алгебра» возник как синоним терминов «символьные вычисления», «аналитические вычисления», «аналитические преобразования» и т.д. Даже в настоящее время этот термин на французском языке дословно означает «формальные вычисления».
В чем основные отличия символьных вычислений от численных и почему возник термин компьютерная алгебра?
Когда говорим о вычислительных методах, то считаем, что все вычисления выполняются в поле вещественных или комплексных чисел. В действительности же всякая программа для ЭВМ имеет дело только с конечным набором рациональных чисел, поскольку только такие числа представляются в компьютере. Для записи целого числа отводится обычно 16 или 32 двоичных символа (бита), для вещественного — 32 или 64 бита. Это множество не замкнуто относительно арифметических операций, что может выражаться в различных переполнениях, например, приумножении достаточно больших чисел или при делении на маленькое число. Еще более существенной особенностью вычислительной математики является то, что арифметические операции над этими числами, выполняемые компьютером, отличаются от арифметических операций в поле рациональных чисел, более того, для компьютерных операций не выполняются основные аксиомы поля (ассоциативности, дистрибутивности). Эти особенности компьютерных вычислений выражаются в терминах погрешности или точности вычислений. Оценка погрешности представляет одну из основных проблем вычислительной математики. Каждую задачу требуется решить с использованием имеющихся ресурсов ЭВМ, за обозримое время, с заданной точностью.
Набор объектов, применяемых в символьных вычислениях, весьма разнообразен, в частности, в них используется значительно большее множество рациональных чисел. Это множество все равно остается конечным, но ограничения на допустимые размеры числа (количество знаков вего записи) связаны обычно с размерами оперативной памяти ЭВМ, что позволяет пользоваться практически любыми рациональными числами, операции над которыми выполняются за приемлемое время. При этом компьютерные операции над рациональными числами совпадают с соответствующими операциями в поле рациональных чисел. Таким образом, снимается одна из основных проблем вычислительных методов — оценка погрешности вычислений.
В компьютерной алгебре практически не применяются вещественныеи комплексные числа, зато широко используется алгебраические числа. Алгебраическое число задается своим минимальным многочленом, а иногда для его задания требуется указать интервал на прямой или область в комплексной плоскости, где содержится единственный корень данного многочлена. Многочлены играют в символьных вычислениях исключительно важную роль. На использовании полиномиальной арифметикиоснованы теоретические методы аналитической механики, они используются во многих областях математики, физики и других наук. Кроме того, в компьютерной алгебре рассматриваются такие объекты, как дифференциальные поля (функциональные поля), допускающие показательные, логарифмические, тригонометрические функции, матричные кольца (элементы матрицы принадлежат кольцам достаточно общего вида) и другие. Даже при арифметических операциях над такими объектами происходит разбухание информации, для записи промежуточных результатов вычислений требуется значительный объем памяти ЭВМ.
Ограничения на алгоритмы решаемых компьютерной алгеброй задач накладываются имеющимися ресурсами ЭВМ и обозримостью времени счета. Однако ограничения по времени счета и по используемой памяти в символьных вычислениях существенно более обременительны, чем в вычислительных методах.
В научных исследованиях и технических расчетах специалистам приходится гораздо больше заниматься преобразованиями формул, чем собственно численным счетом, однако с появлением ЭВМ основное внимание уделялось автоматизации последнего, хотя ЭВМ начали применяться для решения таких задач символьных вычислений, как, например, символьное дифференцирование, еще в 50-х годах прошлого века. Активная разработка систем компьютерной алгебры началась в конце 60-х годов. С тех пор создано значительное количество различных систем, получивших различную степень распространения; некоторые системы продолжают развиваться, другие отмирают, постоянно появляются новые.
Под системами компьютерной алгебры (или системами символьных вычислений) подразумевают такие программные продукты, как Maple, Maxima, Reduce, Derive и другие.
Система компьютерной алгебры (СКА, англ. computer algebra system, CAS ) — это программное приложение для символьных вычислений, то есть выполнения преобразований и работы с математическими выражениями в аналитической (символьной) форме.
Символьные вычисления
Системы компьютерной алгебры различаются по возможностям, но обычно поддерживают следующие символьные действия:
- упрощение выражений до меньшего размера или приведение к стандартному виду, включая автоматическое упрощение с использованием предположений и ограничений
- подстановка символьных и численных значений в выражения
- изменение вида выражений: раскрытие произведений и степеней, частичная и полная факторизация (разложение на множители)
- разложение на простые дроби, удовлетворение ограничений, запись тригонометрических функций через экспоненты, преобразование логических выражений
- дифференцирование в частных и полных производных
- нахождение неопределённых и определённых интегралов (символьное интегрирование)
- символьное решение задач оптимизации: нахождение глобальных экстремумов, условных экстремумов и т. д.
- решение линейных и нелинейных уравнений
- алгебраическое (нечисленное) решение дифференциальных и конечно-разностных уравнений
- нахождение пределов функций и последовательностей
- интегральные преобразования
- оперирование с рядами: суммирование, умножение, суперпозиция операции: обращение, факторизация, решение спектральных задач вычисления , формальная верификация
- синтез программ
Элементарная алгебра
Элементарная алгебра — раздел алгебры, который изучает самые базовые понятия. Обычно изучается после изучения основных понятий арифметики. В арифметике изучаются числа и простейшие (+, −, ×, ÷) действия с ними. В алгебре числа заменяются на переменные (a,b,c,x,y и так далее). Такой подход полезен, потому что:
Системы компьютерной математики (СКА) творят чудеса. Развитие математических пакетов достигло того уровня, когда невольно закрадывается мысль — а зачем нам теперь нужны классические методики преподавания математики (или физики, или механики) в школе или вузе, если большую часть «грязной» работы по преобразованию выражений можно переложить на плечи машины. А если нельзя, или трудно получить аналитическое решение задачи, то почему бы не «прощелкать» её численно в одном из популярных пакетов. Так что, давайте ограничим уровень понимания учеников составлением исходной системы уравнений, а решать учить не будем — всё легко и непринужденно сделает за них компьютер.
Не буду скрывать, что катализатором для написания данного поста послужила статья про задачу о двух старушках, любительницах пеших прогулок, взятая из книги В. И. Арнольда. В связи с этим, появилась мысль рассмотреть простую математическую задачу, решение которой показывает, что возможности СКА часто упираются в, довольно закономерный, верхний предел, и для получения компактного решения, пригодного для дальнейшего анализа, необходимо таки немного напрячь извилины.
Когда, в не слишком далеком 2003 году я начал работать над кандидатской диссертацией, я столкнулся с необходимостью решать систему тригонометрических уравнений вида
Параметры a, b, A, B — положительны. На корни уравнения накладываются условия
Где мы сталкиваемся с такими системами? При расчете кинематики замкнутых четырехзвенников, например. Такой замкнутый четырехзвенник был в моей работе, почти такой же попался мне около года назад, когда я взялся сделать «шабашку» (помог одному профессору в его работе).
Тогда, в 2003-м я только познакомился с системой Maple и был в восторге от её возможностей, естественно я поручил эту систему ей. И меня ждал «облом»… Посмотрим, какое решение дают Maple 18 и Mathematica 10 для этой задачи сегодня.
Классификация
Алгебру можно грубо разделить на следующие категории:
- Элементарная алгебра, которая изучает свойства операций с вещественными числами, где символами обозначаются постоянные и переменные, а также правила преобразования математических выражений и уравнений с использованием этих символов. Обычно преподаётся в школе под названием алгебра. Университетские курсы теории групп тоже можно назвать элементарной алгеброй.
- Абстрактная алгебра, иногда называемая современной алгеброй, где алгебраические структуры, такие как группы, кольца и поляаксиоматизируются и изучаются.
- Линейная алгебра, в которой изучаются свойства векторных пространств (включая матрицы).
- Универсальная алгебра, в которой изучаются свойства, общие для всех алгебраических структур.
- Алгебраическая теория чисел изучает свойства чисел в различных алгебраических системах. Теория чисел была создана путём расширения и обобщения алгебры.
- Алгебраическая геометрия применяет достижения алгебры для решения проблем геометрии.
- Алгебраическая комбинаторика, в которой методы абстрактной алгебры используются для изучения вопросов комбинаторики.
В некоторых напралениях углублённого изучения, аксиоматические алгебраические системы, такие как группы, кольца, поля и алгебры над полем на присутствие геометрических структур (метрик и топологий), совместимых с алгебраическими структурами. Список некоторых разделов функционального анализа:
История
Истоки алгебры уходят к временам глубокой древности. Ещё 4000 лет назад вавилонские учёные могли решать квадратные уравнения. Тогда никаких обозначений не было, и уравнения записывались в словесной форме. Первые обозначения появились в Древней Греции благодаря учёному Диофанту. Неизвестное число он назвал «ἀριθμός», вторую степень неизвестного — «δύναμις», третью «κύβος», четвёртую — «дюнамодюнамис», пятую — «дюнамокюбос», шестую — «кюбоккюбос». Все эти величины он обозначал сокращениями (ар, дю, кю, ддю, дкю, ккю). Ни вавилоняне, ни греки не знали и не признавали отрицательные числа.
За 2000 лет до нашего времени китайские учёные решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения. Они уже знали отрицательные и иррациональные числа. Поскольку в китайском языке каждый символ обозначает понятие, то сокращений не было. В 13 веке китайцы открыли закон образования биномиальных коэффициентов, ныне известный как «треугольник Паскаля». В Европе он был открыт лишь 250 лет спустя. [2]
Как наука, алгебра стала существовать благодаря мусульманскому учёному из Средней Азии Аль-Хорезми. Впервые термин «алгебра» встретился в 825 году в сочинении этого учёного «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы». Слово «аль-джабр» при этом означало операцию переноса вычитаемых из одной части уравнения в другую и его буквальный смысл «восполнение» [1] .
В 12 веке алгебра попала в Европу. С этого времени начинается её бурное развитие. Были открыты способы решения уравнений 3 и 4 степеней. Распространения получили отрицательные и комплексные числа. Было доказано, что любое уравнение выше 4 степени нельзя решить алгебраическим способом.
Вплоть до второй половины XX века практическое применение алгебры ограничивалось, в основном, решением алгебраических уравнений и систем уравнений с несколькими переменными. Во второй половине XX века началось бурное развитие ряда новых отраслей техники. Появились электронно-вычислительные машины, устройства для хранения, переработки и передачи информации, системы наблюдения типа радара. Проектирование новых видов техники и их использование немыслимо без применения современной алгебры. Так, электронно-вычислительные машины устроены по принципу конечных автоматов. Для проектирования электронно-вычислительных машин и электронных схем используются методы булевой алгебры. Современные языки программирования для ЭВМ основаны на принципах теории алгоритмов. Теория множеств используется в системах компьютерного поиска и хранения информации. Теория категорий используется в задачах распознавания образов, определении семантики языков программирования, и других практических задачах. Кодирование и декодирование информации производится методами теории групп. Теория рекуррентных последовательностей используется в работе радаров. Экономические расчеты невозможны без использования теории графов. Математическое моделирование широко использует все разделы алгебры.
Дополнительные возможности
Многие из СКА также включают:
-
, позволяющий пользователям составлять собственные алгоритмы
- числовые операции произвольной точности
- целочисленную арифметику для больших чисел и поддержку функции теории чисел в двумерной форме (с индексами, обычными дробями и т. д.)
- построение графиков функций в двух или трёх измерениях и их анимаций
- рисование графиков и диаграмм для использования внешними программами (базы данных) или в языках программирования для использования системы компьютерной алгебры (поиск подстроки)
- дополнительные модули прикладной математики для таких областей, как физика, биоинформатика, вычислительная химия и пакеты для инженерно-физических вычислений
Некоторые также включают:
- создание и редактирование графики (создание компьютерных изображений, а также обработку сигналов и анализ изображений)
- синтез звука
Некоторые СКА направлены на специфическую область использования; обычно такие программы разрабатываются академическим сообществом и распространяются бесплатно. Они могут быть не столь эффективны в численных расчетах, как системы для численных методов.
Содержание
2. Решение задачи в СКА «в лоб»
В моем любимом Maple задаем систему уравнений
и пробуем решить
и получаем…
Эта бяка не влезла в онлайн-LaTeX, поэтому пришлось привести скриншот. Такой результат получается из-за того, что постановка задачи слишком общая. Необходимо указать системе, какое решение нас интересует, воспользовавшись условием (3)
В этом случае результат выглядит получше
Ещё раз попрошу прощения у читателя за корявый скриншот и замечу, что мы получили два решения системы (1) — (3) и нам теперь ещё предстоит разобраться, какой ответ соответствует механическому смыслу задачи (он там есть, да), а учитывая, что за a, b, A и B могут таится довольно значительные выражения (не зависящие, естественно, от x и y) нам должно стать довольно грустно в этот момент.
У системы Mathematica 10 с этими уравнениями лучше дела обстоят в том смысле, что она получает конечную форму общего решения, часть которого на скрине
Если систему дополнить условием (3), то Вольфрам говорит нам, что Solve[. ] не имеет метода решения для такого случая (был бы признателен читателю за подсказку по этому вопросу, ибо считаю что сам я вопрос изучил не полностью, а пока продолжу повествование).
Кроме того, обе СКА выдают в решении богомерзкий арктангенс, который не всегда удобен по разным причинам, о которых говорить не буду — в каждом случае причины свои.
Когда мой покойный ныне «шеф» увидел эти решения в 2003 году, он задумался и изрек, что «эти крокодилы надо причесать», чем заставил меня погрузится в дальнейшие раздумья. И я снова вооружился листком бумаги и карандашом…
Чтобы получить достаточно компактное решение, надо преобразовать систему (1) — (3) к линейной относительно неизвестных. Для этого надо воспользоваться школьными знаниями по тригонометрии.
Итак, возведем уравнения (1) и (2) в квадрат и сложим, перенеся всё, что не зависит от x и y в правую часть уравнения
используя формулу «косинус суммы», получим новое уравнение
Теперь, разрешая его относительно суммы неизвестных приходим к линейному уравнению
Линейное уравнение оно и в Африке линейное — найдя одну неизвестную, получим и другую. Займемся другой неизвестной, исключив x из одного их уравнений. Так как у нас есть условие (3), то очевидно, что
а это дает нам возможность воспользоваться основным тригонометрическим тождеством без неоднозначности «плюс-минус»
Косинус икса берем из первого уравнения
получая, таким образом для синуса икс
Чтобы не пыхтеть над бумагой, поручим всё это Maple
имея на выходе уравнение
Уравнение (7) надо возвести в квадрат и провести некоторые преобразования
придя к уравнению вида
А теперь выполним, известный многим, «финт ушами»
то есть, делим обе части уравнения на и сворачиваем левую часть по формуле косинуса суммы, справедливо полагая что
Получаем новое уравнение,
которое успешно решаем относительно y
Как видим, игрек вышел довольно компактным. Возвращаемся к уравнению (5) и находим икс
А теперь сравнив полученное с вышеприведенными «крокодилами», сделаем
Системы компьютерной алгебры — незаменимый помощник современного ученого, упрощающий ему жизнь и избавляющий от необходимости зарываться в «простыни» решений на бумаге, избавляющий от досадных ошибок/описок, освобождающий мозг для продуктивной деятельности. Но, их успешное применение неотделимо от общей математической культуры и знания элементарных вещей. Иначе, решение лежащее на почти поверхности имеет шанс не увидеть свет никогда.
История
СКА появились в начале 1960-х и развивались, в основном, в двух направлениях: теоретическая физика и создание искусственного интеллекта.
Первым успешным примером была новаторская работа Мартина Велтмана (позднее удостоенная Нобелевской премии по физике), который в 1963 создал программу для символьных вычислений (для нужд физики высоких энергий), которая была названа Schoonschip.
Используя LISP, Карл Энгельман в 1964 создал MATHLAB в рамках проекта MITRE (по исследованию искусcтвенного интеллекта). Позже MATHLAB стал доступным в университетах для пользователей мейнфреймов PDP-6 и PDP-10 с такими ОС как TOPS-10 или TENEX. Сейчас он может быть всё ещё запущен на SIMH эмуляциях PDP-10. MATHLAB («mathematical laboratory») не стоит путать с MATLAB («matrix laboratory»), системой для численных расчётов, созданной 15 лет спустя в университете Нью-Мехико.
Первыми популярными системами компьютерной алгебры были muMATH, Reduce, Derive (основана на muMATH), Macsyma. Сейчас наиболее популярные коммерческие системы — это Mathematica и Maple, которые широко используются математиками, учёными и инженерами. Бесплатные альтернативы — Sage, Maxima.
В 1987 Hewlett-Packard представила первый карманный аналитический калькулятор (HP-28), и в нём впервые для калькуляторов были реализованы организация алгебраических выражений, дифференциирование, ограниченное аналитическое интегрирование, разложение в ряд Тейлора и поиск решений алгебраических уравнений.
Компания Texas Instruments в 1995 году выпустила калькулятор TI-92 с революционными на тот момент расширениями CAS на основе программного обеспечения Derive. Этот калькулятор и последовавшие за ним, в том числе TI-89 и серии TI-Nspire CAS, выпущенный в 2007 году, продемонстрировали возможность создания сравнительно компактных и недорогих систем компьютерной алгебры.
А́лгебра (от араб. الجبر , «аль-джабр» — восполнение [1] ) — раздел математики, который можно грубо охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «алгебра» также употребляется в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множества произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.
Алгебра — это наука, изучающая алгебраические системы с точностью до изоморфизма.
Алгебраическая система — упорядоченная пара множеств . Первое множество () — элементы какой либо природы (числа, понятия, буквы). Второе множество () — операции над первым множеством (сложение, умножение, возведение в степень). Примеры: группа, кольцо, поле.
Содержание
Читайте также: