Какие возможности компьютера являются важными при компьютерном математическом моделировании
С развитием вычислительной техники все важнее становится роль компьютерного моделирования в решении прикладных и научных задач. Для проведения компьютерных экспериментов строится подходящая математическая модель и подбираются соответствующие средства разработки программного обеспечения. Выбор языка программирования оказывает огромное влияние на реализацию полученной модели.
Традиционно под моделированием на ЭВМ понималось лишь имитационное моделирование. Можно, однако, увидеть, что и при других видах моделирования компьютер может быть весьма полезен, за исключением разве физического моделирования, где компьютер вообще-то тоже может использоваться, но, скорее, для целей управления процессом моделирования. Например при математическом моделировании выполнение одного из основных этапов - построение математических моделей по экспериментальным данным - в настоящее время просто немыслимо без компьютера. В последние годы, благодаря развитию графического интерфейса и графических пакетов, широкое развитие получило компьютерное, структурно-функциональное моделирование, о котором подробно поговорим ниже. Положено начало использованию компьютера даже при концептуальном моделировании, где он используется, например, при построении систем искусственного интеллекта.
Таким образом, мы видим, что понятие "компьютерное моделирование" значительно шире традиционного понятия "моделирование на ЭВМ" и нуждается в уточнении, учитывающем сегодняшние реалии.
Начнем с термина "компьютерная модель".
В настоящее время под компьютерной моделью чаще всего понимают:
- условный образ объекта или некоторой системы объектов (или процессов), описанный с помощью взаимосвязанных компьютерных таблиц, блок-схем, диаграмм, графиков, рисунков, анимационных фрагментов, гипертекстов и т. д. и отображающий структуру и взаимосвязи между элементами объекта. Компьютерные модели такого вида мы будем называть структурно-функциональными;
- отдельную программу, совокупность программ, программный комплекс, позволяющий с помощью последовательности вычислений и графического отображения их результатов, воспроизводить (имитировать) процессы функционирования объекта, системы объектов при условии воздействия на объект различных, как правило случайных, факторов. Такие модели мы будем далее называть имитационными моделями.
Компьютерное моделирование - метод решения задачи анализа или синтеза сложной системы на основе использования ее компьютерной модели.
Суть компьютерного моделирования заключена в получении количественных и качественных результатов по имеющейся модели. Качественные выводы, получаемые по результатам анализа, позволяют обнаружить неизвестные ранее свойства сложной системы: ее структуру, динамику развития, устойчивость, целостность и др. Количественные выводы в основном носят характер прогноза некоторых будущих или объяснения прошлых значений переменных, характеризирующих систему. Компьютерное моделирование для рождения новой информации использует любую информацию, которую можно актуализировать с помощью ЭВМ.
Основные функции компьютера при моделировании:
- выполнять роль вспомогательного средства для решения задач, решаемых обычными вычислительными средствами, алгоритмами, технологиями;
- выполнять роль средства постановки и решения новых задач, не решаемых традиционными средствами, алгоритмами, технологиями;
- выполнять роль средства конструирования компьютерных обучающе - моделирующих сред;
- выполнять роль средства моделирования для получения новых знаний;
- выполнять роль "обучения" новых моделей (самообучающиеся модели).
Разновидностью компьютерного моделирования является вычислительный эксперимент.
Компьютерная модель - это модель реального процесса или явления, реализованная компьютерными средствами. Если состояние системы меняется со временем, то модели называют динамическими, в противном случае - статическими.
Процессы в системе могут протекать по-разному в зависимости от условий, в которых находится система. Следить за поведением реальной системы при различных условиях бывает трудно, а иногда и невозможно. В таких случаях, построив модель, можно многократно возвращаться к начальному состоянию и наблюдать за ее поведением. Этот метод исследования систем называется имитационным моделированием.
Примером имитационного моделирование может служить вычисление числа = 3,1415922653. методом Монте-Карло. Этот метод позволяет определять площади и объемы фигур (тел), которые сложно вычислить другими методами. Предположим, что требуется определить площадь круга. Опишем вокруг него квадрат (площадь которого, как известно, равна квадрату его стороны) и будем случайным образом бросать в квадрат точки, проверяя каждый раз, попала ли точка в круг или нет. При большом числе точек отношение площади круга к площади квадрата будет стремиться к отношению числа точек, попавших в круг, к общему числу брошенных точек.
Теоретическая основа этого метода была известна давно, однако до появления компьютеров этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, ибо моделировать случайные величины вручную - очень трудоемкая работа. Название метода происходит от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами, ибо одним из механических приборов для получения случайных величин является рулетка.
Следует заметить, что данный метод вычисления площади круга будет давать корректный результат только если точки будут не просто случайно, но еще и равномерно разбросанными по всему квадрату. Для моделирования равномерно распределенных в интервале от 0 до 1 случайных чисел используется датчик случайных чисел - специальная компьютерная программа. На самом деле эти числа определяются по некоторому алгоритму и уже в силу этого они не являются вполне случайными. Получаемые таком способом числа часто называют псевдослучайными. Вопрос о качестве датчиков случайных чисел весьма непрост, однако для решения не слишком сложных задач обычно достаточно возможностей датчиков, встроенных в большинство систем программирования и электронных таблиц.
Заметим, что располагая датчиком равномерно распределенных случайных чисел, генерирующим числа r из интервала [0; 1), легко получить равномерно распределенные случайные числа на произвольном интервале [a; b) по формуле
Компьютерное моделирование, вычислительный эксперимент становится новым инструментом, методом научного познания, новой технологией также из-за возрастающей необходимости перехода от исследования линейных математических моделей систем .
Предметом компьютерного моделирования могут быть: экономическая деятельность фирмы или банка, промышленное предприятие, информационно-вычислительная сеть, технологический процесс, любой реальный объект или процесс, например процесс инфляции, и вообще - любая Сложная Система. Цели компьютерного моделирования могут быть различными, однако наиболее часто моделирование является, как уже отмечалось ранее, центральной процедурой системного анализа, причем под системным анализом мы далее понимаем совокупность методологических средств, используемых для подготовки и принятия решений экономического, организационного, социального или технического характера.
Компьютерная модель сложной системы должна по возможности отображать все основные факторы и взаимосвязи, характеризующие реальные ситуации, критерии и ограничения. Модель должна быть достаточно универсальной, чтобы по возможности описывать близкие по назначению объекты, и в то же время достаточно простой, чтобы позволить выполнить необходимые исследования с разумными затратами.
Все это говорит о том, что моделирование, рассматриваемое в целом, представляет собой скорее искусство, чем сформировавшуюся науку с самостоятельным набором средств отображения явлений и процессов реального мира.
Снова вернемся к теме математического моделирования, обсуждение которой было начато на уроках:
Реальную систему, для которой создается ми тематическая модель, принято называть объектом моделирования Объектами математического моделирования могут быть некоторые конструкции, например, железнодорожный мост или корабль; при родные объекты, например, месторождение полезных ископаемых водохранилище, а также процессы и явления, происходящие во времени, например, взлет космической ракеты с космодрома, изменение погодных условий в определенной географической точке, изменение со временем численности определенных популяций.
Для людей могут оказаться жизненно важными многие вопросы связанные с этими объектами и процессами. Например: на какой вы соте ракета достигнет первой космической скорости и выйдет и орбиту спутника Земли; до какой предельной температуры нагреется ее оболочка? Какой может быть максимальная нагрузка на железнодорожный мост, при которой не будет происходить его разрушение? Каким будет уровень воды в водохранилище в тех погодных условиях, которые предсказывают метеорологи? Не вымрет лишняя популяция животных через сто лет?
На эти вопросы желательно получить ответы теоретическим путем, поскольку экспериментальный путь либо невозможен, либо возможен, но опасен. Например, при перегрузке моста можно его разрушить, при перегреве корпуса ракеты ее можно сжечь; а экспериментально проверить, что будете с популяцией животных через сто лет, невозможно. В подобных ситуациях ни помощь человек приходят математическое моделирование и вычислительный эксперимент.
Этапы математического моделирования на компьютере
В математической модели используются количественные (числовые) характеристики объекта. Например, в математической модели полета ракеты учитываются масса и скорость ракеты, сила тяги двигателей, сопротивление атмосферного воздуха, теплоемкость обшивки ракеты, время полета, высота ракеты над поверхностью Земли, плотность атмосферы. Все эти величины связываются между собой через уравнения, отражающие физические законы движения тела в воздушной среде, нагревания тела в процессе трения. Из этих уравнений, зная одни величины — исходные данные, можно вычислить другие величины — результаты. Например, зная массу ракеты, силу тяги двигателей, скорость сгорания топлива, коэффициент трения воздуха о корпус, можно вычислить, какой будет высота и скорость ракеты в данный момент времени, а также температура обшивки ракеты. Часто такие расчеты бывает трудно осуществить вручную, и тогда используются компьютерные методы решения задачи.
Повторим определения понятий, которые были введены на уроках 11 - 14.
Реализованная на компьютере математическая модель называется компьютерной математической моделью, а проведение расчетов с помощью компьютерной модели с целью прогнозирования поведения моделируемой системы называется вычислительным экспериментом.
Таким образом, этапы компьютерного математического моделирования следующие:
1) выделение количественных характеристик моделируемой системы, существенных для решаемой задачи;
2) получение математических соотношений (формул, уравнений, систем уравнений и пр.), связывающих эти характеристики;
3) определение способа решения полученной математической задачи и реализация ее на компьютере с помощью прикладных программных средств или на языках программирования;
4) решение поставленной задачи путем проведения вычислительного эксперимента.
В результате вычислительного эксперимента можно получить прогноз поведения исследуемой системы; выяснить вопрос о том. как изменение одних характеристик системы отразится на других.
Одним из видов прикладных программных средств, пригодны для реализации математической модели на компьютере, являются табличные процессоры.
Следующая страница Электронные таблицы и математическое моделирование. Пример математического моделирования в электронных таблицах
- Разновидности компьютерных моделей.
- Компьютерная математическая модель и вычислительный эксперимент.
- Имитационное моделирование.
Основные темы параграфа:
- вычислительные возможности компьютера;
- для чего нужны математические модели;
- компьютерная математическая модель;
- что такое вычислительный эксперимент;
- управление на основе моделей;
- имитационное моделирование.
Вычислительные возможности компьютера
Современным инструментом для информационного моделирования является компьютер. Конечно, на компьютере можно писать тексты (строить вербальные модели), рисовать карты и схемы (графические модели), строить таблицы (табличные модели). Но при таком использовании компьютера в моделировании его возможности проявляются не в полной мере.
Для моделирования на компьютере главной является его способность к быстрому счету. Современные компьютеры считают со скоростями в сотни тысяч, миллионы и даже миллиарды операций в секунду.
Учитывая, что расчеты производятся над многозначными числами (10-20 десятичных цифр), вычислительные возможности компьютера феноменальны. Эти возможности проявляются, прежде всего, при компьютерном математическом моделировании.
Для чего нужны математические модели
Многие процессы, происходящие в природе, технике, экономических и социальных системах, описываются сложными математическими соотношениями. Это могут быть уравнения, системы уравнений, системы неравенств и пр., которые являются математическими моделями описываемых процессов.
Математическая модель — это описание моделируемого процесса на языке математики.
В прежние времена, до появления ЭВМ, ученые стремились создавать такие математические модели, которые можно было бы просчитать вручную или с помощью несложных вычислительных механизмов. Поэтому математические модели были относительно простыми. Но простая модель не всегда хорошо описывает процесс. Ошибка расчетов по такой модели может быть слишком большой и полностью обесценить результат.
Еще в XVIII-XIX веках ученые-математики начали изобретать методы решения таких математических задач, которые не удавалось решить точно, аналитически. Например, вы знаете, что квадратное уравнение всегда можно решить точно, а вот кубическое — уже не всегда. Такие методы называются численными методами. Они сводят решение любой задачи к последовательности арифметических операций. Но эта цепочка арифметических вычислений может быть очень длинной. И чем точнее мы хотим получить решение, тем она длиннее.
Может оказаться, что для решения сложной задачи численным методом ученому потребуется вся жизнь. А может и этого не хватить! И какой смысл, например, начинать расчет прогноза погоды на завтрашний день, если для этого потребуется несколько лет работы?
Компьютерная математическая модель
Появление компьютеров сняло эти проблемы. Стало возможным проводить расчеты сложных математических моделей за приемлемое время. Например, рассчитать погоду на завтрашний день до его наступления. Ученые перестали себя ограничивать в сложности создаваемых математических моделей, полагаясь на быстродействие компьютеров.
Компьютерная математическая модель — это программа, реализующая расчеты состояния моделируемой системы по ее математической модели.
Что такое вычислительный эксперимент
Использование компьютерной математической модели для исследования поведения объекта моделирования называется вычислительным экспериментом. Говорят также: численный эксперимент.
Вычислительный эксперимент в некоторых случаях может заменить реальный физический эксперимент.
Впечатляющий пример использования такой возможности — прекращение испытаний ядерного оружия, которые сопровождались значительным экологическим ущербом. Благодаря очень точным математическим моделям и мощным компьютерам стало возможно просчитать все последствия, к которым приводит изменение в конструкции ядерной бомбы. Образно говоря, удалось «взорвать бомбу» внутри компьютера, ничего не разрушив.
Важным свойством компьютерных математических моделей является возможность визуализации результатов расчетов. Этим целям служит использование компьютерной графики.
Представление результатов в наглядном виде — важнейшее условие для их лучшего понимания. Например, результаты расчетов распределения температуры в некотором объекте можно представить в виде его разноцветного изображения: участки с самой высокой температурой окрасить в красный цвет, а с самой холодной — в синий. Участки с промежуточными значениями температуры окрашиваются в цвета спектра, равномерно переходящие от красного к синему (рис. 2.7).
Для изображения изменяющихся со временем (динамических) результатов используют графическую анимацию.
Компьютерная графика позволяет человеку в процессе проведения численного эксперимента «заглянуть» в недоступные места исследуемого объекта. Можно получить изображение любого сечения объекта сложной формы с отображением рассчитываемых характеристик: температурных полей, давления и пр. В реальном физическом эксперименте такое можно сделать далеко не всегда. Например, невозможно выполнить измерения внутри работающей доменной печи или внутри звезды. А на модели это сделать можно.
Следующая страница Информационное моделирование на компьютере. Управление на основе моделей
Компьютерная математическая модель — это программа, реализующая расчеты состояния моделируемой системы по ее математической модели.
Высокое быстродействие компьютеров позволяет быстро решать достаточно сложные математические задачи в процессе моделирования.
Вычислительный эксперимент — использование компьютерной математической модели для исследования поведения моделируемой системы.
Компьютерное управление техническими устройствами происходит в процессе расчетов по математическим моделям в режиме реального времени.
Имитационная модель воспроизводит поведение сложной системы, элементы которой могут вести себя случайным образом.
Вопросы и задания
1. Что общего и в чем различие понятий «математическая модель» и «компьютерная математическая модель»?
2. Расчет прогноза погоды на современном компьютере с быстродействием 1 млн операций в секунду длится 1 час. Оцените, сколько времени понадобилось бы для этого человеку, имеющему в своем распоряжении арифмометр (механический калькулятор).
3. В чем состоит особенность компьютерного математического моделирования в процессе управления техническим устройством?
4. Самолет находится на высоте 5000 метров. Обнаружилась неисправность работы двигателя. Самолет начал падать. Бортовой компьютер производит диагностику неисправности и сообщает пилоту о необходимых действиях. Для решения этой задачи ему нужно выполнить 108 вычислительных операций. Быстродействие компьютера — 1 млн оп./с. Успеет ли летчик спасти самолет, если минимальная высота, на которой самолет можно вывести из пике, — 2000 метров?
5. В каких ситуациях используется имитационное моделирование?
6. Придумайте по одному примеру формы использования компьютерной графики для вычислительного эксперимента, для компьютерного управления и для имитационной модели.
Учебник по Информатике 8 класс Семакин
of your page -->
Задание 1. Что общего и в чем различие понятий «математическая модель» и «компьютерная математическая модель»?
Математическая модель – описание моделируемого процесса на языке математики.
Компьютерная математическая модель – программа, которая проводит расчеты состояния моделируемой системы по ее математической модели.
Общее: в компьютерной математической модели проводятся расчеты по математической модели.
Различие: в компьютерной математической модели программно проводятся расчеты, а математическая модель является лишь описанием моделируемого процесса.
Задание 2. Расчет прогноза погоды на современном компьютере с быстродействием 1 млн операций в секунду длится 1 час. Замерьте, сколько в среднем времени вы затрачиваете на выполнение с помощью калькулятора одной математической операции с многозначными числами, и оцените ваши временные затраты на подобный прогноз при условии, что вы считали бы вручную (используя только калькулятор).
Замерим, сколько потребуется времени на вычисление одной математической операции (562*587). Примерно потребовалось 5 секунд на одну операцию и 1 секунда для перехода к следующей операции. Будем считать, что потребуется 6 секунд на операцию.
1 час = 3600 секунд
То есть за 1 час компьютер выполнит 3 600 * 1 000 000 = 3 600 000 000 операций.
Так как нам нужно выполнить столько же операций, умножим количество операций на время, которое нам потребуется выполнить одну операцию.
3 600 000 000 * 6 = 21 600 000 000 секунд = 6 000 000 часов = 250 000 дней ≈ 685 лет
Ответ: нам бы потребовалось примерно 685 лет, по сравнению с компьютером, который это выполнит за 1 час.
Задание 3. В чем состоит особенность компьютерного математического моделирования в процессе управления техническим устройством?
В процессе управления техническим устройством происходит расчёт по математическим моделям в режиме реального времени.
Задание 4. Самолет находится на высоте 5000 метров. Обнаружилась неисправность работы двигателя. Самолет начал быстро снижаться со скоростью 20 м/с. Бортовой компьютер производит диагностику неисправности и сообщает пилоту о необходимых действиях. Для решения этой задачи ему нужно выполнить 108 вычислительных операций. Быстродействие компьютера — 1 млн оп./с. Сколько времени займут компьютерные вычисления? Сколько времени будет у летчика на спасение самолета, если минимальная высота, на которой самолет можно вывести из аварийного снижения, — 2000 метров?
Дано:
Высота – 5000 метров
Скорость снижения самолета – 20 м/с
Необходимо выполнить 10 8 вычислительных операций для пилота
Быстродействие компьютера – 1 миллион операций в секунду
Решение:
Вычислим время на компьютерные вычисления:
Найдем время, которое есть у летчика на спасение самолета. Для этого мы вычтем из высоты, на которой находится самолет, высоту, с которой возможно вывести из аварийного снижения.
То есть летчик успеет спасти самолёт и пассажиров на борту.
Ответ: 100 секунд на компьютерные вычисления, 150 секунд на спасение самолёта.
Задание 5. В каких ситуациях используется имитационное моделирование?
Задание 6. Придумайте по одному примеру формы использования компьютерной графики для вычислительного эксперимента, для компьютерного управления и для имитационной модели.
Вычислительный эксперимент: график изменений.
Компьютерное управление: схема управления, блок-схема.
Имитационная модель: изображение модели.
Читайте также: