Для чего используется компьютерная графика в компьютерном математическом моделировании
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей
Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения
Столичный центр образовательных технологий г. Москва
Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца
от 3 170 руб. 1900 руб.
Количество часов 300 ч. / 600 ч.
Успеть записаться со скидкой
Форма обучения дистанционная
- Онлайн
формат - Диплом
гособразца - Помощь в трудоустройстве
Видеолекции для
профессионалов
- Свидетельства для портфолио
- Вечный доступ за 120 рублей
- 311 видеолекции для каждого
Тема: « Компьютерное моделирование и его виды: расчетные, графические, имитационные модели »
1 . Познакомить с понятием компьютерного моделирования и его видах: расчетных, графических, имитационных моделей.
2. Развивать логическое мышление, память, внимание.
3. Расширить общеобразовательный кругозор учащихся.
2. Проверка домашнего задания.
Тест по теме моделирование
3. Изучение нового материала (лекция).
Информационное моделирование на компьютере
Основное преимущество компьютера перед человеком
Современным инструментом для информационного моделирования является компьютер. Конечно, на компьютере можно писать тексты (строить вербальные модели), рисовать карты и схемы (графические модели), строить таблицы (табличные модели). Но при таком использовании компьютера в моделировании его возможности проявляются не в полной мере.
Главное преимущество компьютера перед человеком - способность к быстрому счету. Современные компьютеры считают со скоростями в сотни тысяч, миллионы и даже миллиарды операций в секунду!
Учитывая, что расчеты производятся над многозначными числами (10-20 десятичных цифр), вычислительные способности человека нельзя даже сравнивать с компьютерными. Эти феноменальные вычислительные возможности проявляются, прежде всего, в компьютерном математическом моделировании.
Для чего нужны математические модели
Многие процессы, происходящие в природе, в технике, в экономических и социальных системах, описываются сложными математическими соотношениями. Это могут быть уравнения, системы уравнений, системы неравенств и пр., которые являются математическими моделями описываемых процессов.
Математическая модель - это описание моделируемого процесса на языке математики.
В прежние времена, до появления ЭВМ, ученые стремились создавать такие математические модели, которые можно было бы просчитать вручную или с помощью несложных вычислительных механизмов. Поэтому математические модели были относительно простыми. Но простая модель не всегда хорошо описывает процесс. Ошибка расчетов по такой модели может быть слишком большой и полностью обесценить результат.
Еще в XVIII-XIX веках ученые-математики начали изобретать методы решения таких математических задач, которые не удавалось решить точно, аналитически. Например, вы знаете, что квадратное уравнение всегда можно решить точно, а вот кубическое - уже не всегда. Такие методы называются численными методами. Они сводят решение любой задачи к последовательности арифметических операций. Но эта цепочка арифметических вычислений может быть очень длинной. И чем точнее мы хотим получить решение, тем она длиннее.
Может оказаться так, что для решения сложной задачи численным методом ученому потребуется вся жизнь. А может и этого не хватить! Например, какой смысл начинать расчет прогноза погоды на завтрашний день, если для этого потребуется несколько лет работы?
Компьютерная математическая модель
Появление компьютеров сняло эти проблемы. Стало возможным проводить расчеты сложных математических моделей за приемлемое время. Например, рассчитать погоду на завтрашний день до его наступления. Ученые перестали себя ограничивать в сложности создаваемых математических моделей, полагаясь на быстродействие компьютеров.
Компьютерная математическая модель - это программа, реализующая расчеты состояния моделируемой системы по ее математической модели.
Расчетное моделирование
Использование компьютерной математической модели для исследования поведения объекта моделирования называется вычислительным экспериментом. Говорят также: "численный эксперимент".
Вычислительный эксперимент в некоторых случаях может заменить реальный физический эксперимент.
Впечатляющий пример использования такой возможности - прекращение испытаний ядерного оружия, которые сопровождались значительным экологическим ущербом. Благодаря очень точным математическим моделям и мощным компьютерам стало возможно просчитать все последствия, к которым приводит изменение в конструкции ядерной бомбы. Образно говоря, удалось "взорвать бомбу" внутри компьютера, ничего не разрушив.
Графическое моделирование
Важным свойством компьютерных математических моделей является возможность визуализации результатов расчетов. Этим целям служит использование компьютерной графики.
Представление результатов в наглядном виде - важнейшее условие для их лучшего понимания. Например, результаты расчетов распределения температуры в некотором объекте представляются в виде его разноцветного изображения: участки с самой высокой температурой окрашиваются в красный цвет, а с самой холодной - в синий. Участки с промежуточными значениями температуры окрашиваются в цвета спектра, равномерно переходящие от красного к синему.
Для изображения изменяющихся со временем (динамических) результатов используют графическую анимацию.
Компьютерная графика позволяет человеку в процессе проведения численного эксперимента "заглянуть" в недоступные места исследуемого объекта. Можно получить изображение любого сечения объекта сложной формы с отображением рассчитываемых характеристик: температурных полей, давления и пр. В реальном физическом эксперименте такое можно сделать далеко не всегда. Например, невозможно выполнить измерения внутри работающей доменной печи или внутри звезды. А на модели это сделать можно.
Управление на основе моделей
Еще одно важное направление компьютерного математического моделирования связано с использованием компьютеров в управлении. Компьютеры используют для управления работой химических реакторов на заводах, атомных реакторов на электростанциях, ускорителей элементарных частиц в физических лабораториях, полета автоматических космических станций и т. д.
Управляя производственной или лабораторной установкой, компьютер должен просчитывать ее I характеристики для того, чтобы вовремя снять показания с датчиков или оказать управляющее воздействие: включить реле, открыть клапан и т. п.
Все расчеты производятся по заложенным в программу управления математическим моделям. Важно, чтобы результаты этих расчетов получались в режиме реального времени управляемого процесса.
Имитационное моделирование
Имитационное моделирование - особая разновидность моделирования на компьютере.
Имитационная модель воспроизводит поведение сложной системы, элементы которой могут вести себя случайным образом. Иначе говоря, поведение которых заранее предсказать нельзя .
К имитационным моделям относятся модели систем массового обслуживания: например, системы торговли, автосервиса, скорой помощи, в которых появление заявок на обслуживание и длительность обслуживания одной заявки - события случайные.
Задачи, решаемые с помощью имитационных моделей систем массового обслуживания, заключаются в поиске режимов работы служб сервиса (магазинов, автозаправок и пр.), уменьшающих время ожидания клиентов.
Еще одним популярным объектом для имитационного моделирования являются транспортные системы: сеть городских дорог, перекрестки, светофоры, автомобили. Модель имитирует движение транспортных потоков по городским улицам. Эксперименты на такой модели позволяют найти режимы управления движением (работа светофоров), уменьшающие возможность возникновения пробок. Работа имитационной модели всегда визуализируется на экране компьютера.
4. Итог урока (ЕГЭ)
1. Что общего и в чем различие понятий "математическая модель" и "компьютерная математическая модель"?
2. Расчет прогноза погоды на современном компьютере с быстродействием 1 млн операций в секунду длится в течение 1 часа. Оцените, сколько времени понадобилось бы для этого человеку, имеющему в своем распоряжении арифмометр (механический калькулятор)?
3. В чем состоит особенность компьютерного математического моделирования в процессе управления техническим устройством?
4. Самолет находится на высоте 5000 метров. Обнаружилась неисправность работы двигателя. Самолет начал падать. Бортовой компьютер производит диагностику неисправности и сообщает пилоту о необходимых действиях. Для решения этой задачи ему нужно выполнить 108 вычислительных операций. Быстродействие компьютера - 1 млн оп/сек. Успеет ли летчик спасти самолет, если минимальная высота, на которой самолет можно вывести из пике, - 2000 метров?
5. В каких ситуациях используется имитационное моделирование?
6. Придумайте по одному примеру формы использования компьютерной графики для вычислительного эксперимента, для компьютерного управления и для имитационной модели.
Учебник по Информатике 8 класс Семакин
of your page -->
Задание 1. Что общего и в чем различие понятий «математическая модель» и «компьютерная математическая модель»?
Математическая модель – описание моделируемого процесса на языке математики.
Компьютерная математическая модель – программа, которая проводит расчеты состояния моделируемой системы по ее математической модели.
Общее: в компьютерной математической модели проводятся расчеты по математической модели.
Различие: в компьютерной математической модели программно проводятся расчеты, а математическая модель является лишь описанием моделируемого процесса.
Задание 2. Расчет прогноза погоды на современном компьютере с быстродействием 1 млн операций в секунду длится 1 час. Замерьте, сколько в среднем времени вы затрачиваете на выполнение с помощью калькулятора одной математической операции с многозначными числами, и оцените ваши временные затраты на подобный прогноз при условии, что вы считали бы вручную (используя только калькулятор).
Замерим, сколько потребуется времени на вычисление одной математической операции (562*587). Примерно потребовалось 5 секунд на одну операцию и 1 секунда для перехода к следующей операции. Будем считать, что потребуется 6 секунд на операцию.
1 час = 3600 секунд
То есть за 1 час компьютер выполнит 3 600 * 1 000 000 = 3 600 000 000 операций.
Так как нам нужно выполнить столько же операций, умножим количество операций на время, которое нам потребуется выполнить одну операцию.
3 600 000 000 * 6 = 21 600 000 000 секунд = 6 000 000 часов = 250 000 дней ≈ 685 лет
Ответ: нам бы потребовалось примерно 685 лет, по сравнению с компьютером, который это выполнит за 1 час.
Задание 3. В чем состоит особенность компьютерного математического моделирования в процессе управления техническим устройством?
В процессе управления техническим устройством происходит расчёт по математическим моделям в режиме реального времени.
Задание 4. Самолет находится на высоте 5000 метров. Обнаружилась неисправность работы двигателя. Самолет начал быстро снижаться со скоростью 20 м/с. Бортовой компьютер производит диагностику неисправности и сообщает пилоту о необходимых действиях. Для решения этой задачи ему нужно выполнить 108 вычислительных операций. Быстродействие компьютера — 1 млн оп./с. Сколько времени займут компьютерные вычисления? Сколько времени будет у летчика на спасение самолета, если минимальная высота, на которой самолет можно вывести из аварийного снижения, — 2000 метров?
Дано:
Высота – 5000 метров
Скорость снижения самолета – 20 м/с
Необходимо выполнить 10 8 вычислительных операций для пилота
Быстродействие компьютера – 1 миллион операций в секунду
Решение:
Вычислим время на компьютерные вычисления:
Найдем время, которое есть у летчика на спасение самолета. Для этого мы вычтем из высоты, на которой находится самолет, высоту, с которой возможно вывести из аварийного снижения.
То есть летчик успеет спасти самолёт и пассажиров на борту.
Ответ: 100 секунд на компьютерные вычисления, 150 секунд на спасение самолёта.
Задание 5. В каких ситуациях используется имитационное моделирование?
Задание 6. Придумайте по одному примеру формы использования компьютерной графики для вычислительного эксперимента, для компьютерного управления и для имитационной модели.
Вычислительный эксперимент: график изменений.
Компьютерное управление: схема управления, блок-схема.
Имитационная модель: изображение модели.
Общую цель здесь можно сформулировать так: сделать невидимое и абстрактное «видимым». Берем последнее слово в кавычки, так как часто эта «видимость» весьма условна. Можно ли увидеть распределение температуры внутри неоднородно нагретого тела сложной формы без введения в него сотен микродатчиков, т.е., по существу, его разрушения? — да, если есть соответствующая математическая модель, и, что очень важно — договоренность о восприятии определенных условностей на рисунке. Можно ли увидеть распределение металлических руд под землей без раскопок? Строение поверхности чужой планеты по результатам радиолокации? На эти и множество других вопросов ответ — да, можно, с помощью машинной графики и предшествующей ей математической обработки.
Более того, можно «увидеть» и то, что, строго говоря, вообще плохо соответствует слову «видеть». Так, возникшая на стыке химии и физики наука — квантовая химия — дает нам возможность «увидеть» строение молекулы. Эти изображения — верх абстракции и системы условностей, так как в атомном мире обычные наши понятия о частицах (ядрах, электронах и т.д.) принципиально не применимы. Однако, многоцветное «изображение» молекулы на экране компьютера для тех, кто понимает всю меру его условности, приносит большую пользу, чем тысячи чисел, являющихся плодом квантовохимического расчета.
Приведем несколько конкретных примеров, привязанных к нашему курсу.
Траектории движения тел, графики. В ряде рассмотренных ниже задач уместно иллюстрировать процесс моделирования изображениями движущихся объектов и их траекториями. Мы сознательно ограничивались случаями плоских (двумерных) движений, которые легко отобразить на плоском экране компьютера.
Поскольку основные графические команды языка Turbo Pascal известны, опишем лишь общие моменты построения графиков и траекторий. Пусть численные расчеты уже закончены и нам известны границы значений координат [xmin, xmax] и [ymin, ymax] и есть таблица значений х и у в некоторые моменты времени, разделенные равными промежутками: 0, . Требуется построить графики зависимости и траекторию. Проиллюстрируем это, используя графические процедуры Turbo Pascal.
С помощью директивы Uses Graph и процедуры InitGraph осуществляется переход в графический режим, в котором можно строить изображения. Необычная ориентация «экранной» системы координат создает определенные проблемы при построении графиков и траекторий. Мы хотим выводить их и задавать координаты точек в «естественной» системе координат х, у, изображенной на рис. 1, а графические процедуры (Сiгсlе, Linе, ОutText и др.) воспринимают аргументы в «экранной» системе Сделаем разметку так, как показано на рисунке, и произведем линейное преобразование координат
Если известны разрешающая способность экрана — М точек по оси и N точек по оси , то для нахождения коэффициентов достаточно связать любые две точки в разных системах координат, например
(отступ на 10 позиций от краев экрана позволит создавать подписи, разметку осей и др.). Имеем
Таким образом, перевод одних координат в другие осуществляется по формулам
Рис. 1. Экранная и «естественная» системы координат
Теперь для изображения графика или траектории достаточно ставить точки с помощью процедуры PutPixel. Если же требуется изобразить движение тела, то перед выводом на экран очередной точки достаточно стереть предыдущую.
Изолинии. В задачах моделирования достаточно стандартная проблема — построение линий (поверхностей), вдоль которых некоторая функция имеет одинаковое значение, называемых изолиниями (изоповерхностями). Это очень распространенная задача визуализации характеристик некоторого скалярного поля в приближении сплошной среды: изотермы — линии равной температуры, изобары — линии равного давления, изолинии функции тока жидкости или газа, по которым легко можно представить себе их потоки, изолинии численностей экологической популяции на местности, изолинии концентрации вредных примесей в окружающей среде и т.д.
Опишем типичную процедуру построения изолиний на экране компьютера. На старте мы имеем двумерную таблицу значений некоторой величины А, полученную в ходе математического моделирования; числа в этой таблице соответствуют значениям этой величины в узлах пространственной сетки (рис. 2).
Зададим некоторый, совершенно условный, пространственный шаг h между соседними узлами по горизонтали и вспомогательную систему координат, в которой узел (1, 1) имеет координату (0, 0), узел (1, 2) — координату (h, 0), узел (1, 3) — координату (2h, 0) и т.д. Если шаг по вертикали h*, то узел (i, j) в этой системе имеет координату .
Предварительно найдем в таблице наибольшее и наименьшее значения величин aij — допустим, это amin и amax. Пусть b — некоторое промежуточное значение: amin < b < amax. Обсудим в общих чертах, как построить изолинию А = b. Будем для этого (в цикле) просматривать вначале все пары ближайших чисел в первой строке таблицы в поисках такой пары, для которой b находится «внутри». Допустим, число b находится между а1k и a1,k+1, т.е. либо a1kb a1,k+1, либо a1k>b> a1,k+1.
Рис. 2. Пространственная сетка и соответствующая ей таблица значений величины А
С помощью линейной интерполяции найдем соответствующую горизонтальную координату точки, в которой А = b:
(координата y определяется номером горизонтальной линии; в данном случае y = 0).
a11 | a12 | a13 | … | a1m |
a21 | a22 | a23 | … | a2m |
¼ | ¼ | ¼ | ¼ | ¼ |
an1 | an2 | an3 | … | anm |
Найденные координаты запомним и просмотрим первую строку в таблице до конца, затем просмотрим вторую строку и т.д. Покончив с просмотром строк, мы получим часть точек, соответствующих изолинии A = b.
После этого займемся просмотром столбцов. Допустим, во втором столбце нашлась пара чисел, для которой число b находится между и . Она дает следующую точку для изолинии. Закончив просмотр всех столбцов, мы получим максимально возможный набор координат точек, принадлежащих данной изолинии. Выведя их на экран в нужном масштабе, получим точечное изображение изолинии A = b, после чего можем, взяв другое значение b, построить следующую изолинию. Более детально эта процедура будет изложена ниже на примере построения линий равного потенциала электрического поля.
Условные цвета, условное контрастирование. Еще один интересный прием современной научной графики — условная раскраска. Она находит широчайшее применение в самых разных приложениях науки и представляет собой набор приемов по максимально удобной, хотя и очень условной, визуализации результатов компьютерного моделирования.
Приведем примеры. В различных исследованиях температурных полей встает проблема наглядного представления результатов. Самый простой (и самый неудобный для восприятия) способ — привести карту, в некоторых точках которой обозначены значения температур.
Другой способ, описанный выше (набор изотерм) — гораздо нагляднее. Но можно добиться еще большей наглядности, учитывая, что большинству людей свойственно, сравнивая разные цвета, воспринимать красный как «горячий», голубой как «холодный», а все остальные — между ними. Допустим, что на некоторой территории температура в данный момент имеет в разных местах значения от –25°С до + 15°С. Разделим этот диапазон на участки с шагом, равным, например, 5°
и закрасим первый из них в ярко-голубой, последний — в ярко-красный, а все остальные — в промежуточные оттенки голубого и красного цветов. Получится замечательная наглядная картина температурного поля.
А что делать, если дисплей монохромный? Или если изображение надо перенести с цветного дисплея на бумагу при отсутствии возможности цветной печати? Тогда роль цвета может сыграть контраст. Сделаем самый «горячий» участок самым темным, самый «холодный» — прозрачным, а остальные — промежуточными.
Есть достаточно много моделей, в которых естественно прибегнуть к подобному приему визуализации. В частности, в задаче о теплопроводности в стержне, при моделировании распределения электрических полей. Если заниматься имитационным моделированием конкурирующих популяций, то, раскрасив их в разные цвета, можно получить на экране причудливые картины, передающие ход конкурентной борьбы.
Условные раскраски бывают и гораздо более абстрактными, чем в описанных выше случаях. При моделировании сложных органических молекул компьютер может выдавать результаты в виде многоцветной картины, на которой атомы водорода изображены одним цветом, углерода — другим и т.д., причем атом представлен шариком (кружочком), в пределах которого плотность цвета меняется в соответствии с распределением электронной плотности.
При поиске полезных ископаемых методами аэрофотосъемки с самолетов или космических спутников компьютеры строят условные цветовые изображения распределений плотности ископаемых под поверхностью Земли.
Подведем итог: изображения в условных цветах и контрастах — мощнейший прием научной графики. Он позволяет понять строение не только плоских, но и объемных (трехмерных) объектов, дает в руки исследователя один из замечательных методов познания. Приведем в качестве иллюстрации пример программы условной раскраски неравномерно нагретого стержня в разные моменты времени (по заранее заготовленным данным).
Program Stergen;Uses Crt_ii, Graph;Type Mas2 = array[0..10,0..4] of Real;Const U : Mas2 =((3.000, 3.667, 4.333, 5.000, 3.000), (3.000, 3.628, 4.128, 3.952, 3.000),(3.000, 3.514, 3.783, 3.593, 3.000), (3.000, 3.377, 3.546, 3.396, 3.000),(3.000, 3.267, 3.381, 3.272, 3.000), (3.000, 3.187, 3.266, 3.188, 3.000),(3.000, 3.131, 3.185, 3.131, 3.000), (3.000, 3.091, 3.129, 3.091, 3.000),(3.000, 3.064, 3.090, 3.064, 3.000), (3.000, 3.044, 3.063, 3.044, 3.000),(3.000, 3.031, 3.044, 3.031, 3.000));Var M,I,J,Nl,Nt: Integer; MaxF,L,T,Hl,Ht: Real;Procedure Initialize; Var GraphDriver, GraphMode : Integer;Begin GraphDriver:=Detect; InitGraph(GraphDriver, GraphMode,'c:\bp\bgi');End;Procedure Postanovka (U : Mas2; Nt, Nl : Integer; Hl, L, MaxF : Real);Var X_N, Shag, Y_N, Shir, Dlin, Color, I, J, K, Y : Integer; Flag : Boolean; Ff : String; Col : Array [0..15] Of Byte;Begin Initialize; X_N:= GetMaxX Div 6; If Nt Col[3]:= 9; Col[4]:= 3; Col[5]:= 11; Col[6]:= 2; Col[7]:= 10; Col[8]:= 14; Col[9]:= 13; Col[10]:= 5; Col[11]:= 12; Col[12]:= 4; For I:= 0 To M-1 Do Begin For J := 0 To Nl-1 Do Begin Flag := False; For K := 0 To Shag Do Begin For y := 0 To Shir Do Begin Color :=1 + Round((U[I, J] + (U[I,J + 1] - U[I,J]) * K/Shag-U[0,0])/3*16); If Random(64) > 32 Then If Random(64) > 32 Then Color:= Color + 1 Else Color := Color - 1; If Not Flag Then Begin Str((U[I, J] + (U[I, J]) * K / Shag) : 5 : 3, Ff); OutTextXY(K+X_N+Shag * J, Y_N * (1+I) - 19, Ff); Flag := True End; PutPixel(K+X_N+Shag * J, Y + Y_N * (1+I), Col[Color]); End; End End End; SetColor(White); SetTextStyle(1,0,2); OutTextXY(150, 420, 'нажмите любую клавишу'); Repeat Until Keypressed; CloseGraph; End; Begin L:= 4; T:= 10; Hl:= 1; Ht := 1; Nl := Trunc(L / Hl); Nt := Trunc(T / Ht); MaxF := 5; Postanovka (U, Nt, Nl, Hl, L, MaxF)End.
Тема 2. Основные этапы построения математических моделей. Типовые прикладные результаты решения задач математического моделирования
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.
- Разновидности компьютерных моделей.
- Компьютерная математическая модель и вычислительный эксперимент.
- Имитационное моделирование.
Основные темы параграфа:
- вычислительные возможности компьютера;
- для чего нужны математические модели;
- компьютерная математическая модель;
- что такое вычислительный эксперимент;
- управление на основе моделей;
- имитационное моделирование.
Вычислительные возможности компьютера
Современным инструментом для информационного моделирования является компьютер. Конечно, на компьютере можно писать тексты (строить вербальные модели), рисовать карты и схемы (графические модели), строить таблицы (табличные модели). Но при таком использовании компьютера в моделировании его возможности проявляются не в полной мере.
Для моделирования на компьютере главной является его способность к быстрому счету. Современные компьютеры считают со скоростями в сотни тысяч, миллионы и даже миллиарды операций в секунду.
Учитывая, что расчеты производятся над многозначными числами (10-20 десятичных цифр), вычислительные возможности компьютера феноменальны. Эти возможности проявляются, прежде всего, при компьютерном математическом моделировании.
Для чего нужны математические модели
Многие процессы, происходящие в природе, технике, экономических и социальных системах, описываются сложными математическими соотношениями. Это могут быть уравнения, системы уравнений, системы неравенств и пр., которые являются математическими моделями описываемых процессов.
Математическая модель — это описание моделируемого процесса на языке математики.
В прежние времена, до появления ЭВМ, ученые стремились создавать такие математические модели, которые можно было бы просчитать вручную или с помощью несложных вычислительных механизмов. Поэтому математические модели были относительно простыми. Но простая модель не всегда хорошо описывает процесс. Ошибка расчетов по такой модели может быть слишком большой и полностью обесценить результат.
Еще в XVIII-XIX веках ученые-математики начали изобретать методы решения таких математических задач, которые не удавалось решить точно, аналитически. Например, вы знаете, что квадратное уравнение всегда можно решить точно, а вот кубическое — уже не всегда. Такие методы называются численными методами. Они сводят решение любой задачи к последовательности арифметических операций. Но эта цепочка арифметических вычислений может быть очень длинной. И чем точнее мы хотим получить решение, тем она длиннее.
Может оказаться, что для решения сложной задачи численным методом ученому потребуется вся жизнь. А может и этого не хватить! И какой смысл, например, начинать расчет прогноза погоды на завтрашний день, если для этого потребуется несколько лет работы?
Компьютерная математическая модель
Появление компьютеров сняло эти проблемы. Стало возможным проводить расчеты сложных математических моделей за приемлемое время. Например, рассчитать погоду на завтрашний день до его наступления. Ученые перестали себя ограничивать в сложности создаваемых математических моделей, полагаясь на быстродействие компьютеров.
Компьютерная математическая модель — это программа, реализующая расчеты состояния моделируемой системы по ее математической модели.
Что такое вычислительный эксперимент
Использование компьютерной математической модели для исследования поведения объекта моделирования называется вычислительным экспериментом. Говорят также: численный эксперимент.
Вычислительный эксперимент в некоторых случаях может заменить реальный физический эксперимент.
Впечатляющий пример использования такой возможности — прекращение испытаний ядерного оружия, которые сопровождались значительным экологическим ущербом. Благодаря очень точным математическим моделям и мощным компьютерам стало возможно просчитать все последствия, к которым приводит изменение в конструкции ядерной бомбы. Образно говоря, удалось «взорвать бомбу» внутри компьютера, ничего не разрушив.
Важным свойством компьютерных математических моделей является возможность визуализации результатов расчетов. Этим целям служит использование компьютерной графики.
Представление результатов в наглядном виде — важнейшее условие для их лучшего понимания. Например, результаты расчетов распределения температуры в некотором объекте можно представить в виде его разноцветного изображения: участки с самой высокой температурой окрасить в красный цвет, а с самой холодной — в синий. Участки с промежуточными значениями температуры окрашиваются в цвета спектра, равномерно переходящие от красного к синему (рис. 2.7).
Для изображения изменяющихся со временем (динамических) результатов используют графическую анимацию.
Компьютерная графика позволяет человеку в процессе проведения численного эксперимента «заглянуть» в недоступные места исследуемого объекта. Можно получить изображение любого сечения объекта сложной формы с отображением рассчитываемых характеристик: температурных полей, давления и пр. В реальном физическом эксперименте такое можно сделать далеко не всегда. Например, невозможно выполнить измерения внутри работающей доменной печи или внутри звезды. А на модели это сделать можно.
Следующая страница Информационное моделирование на компьютере. Управление на основе моделей
1) область деятельности, в которой компьютеры используются как инструменты создания и обработки графических объектов;
2) разные виды графических объектов, созданных или обработанных с помощью компьютера.
По способу создания можно выделить следующие классы объектов компьютерной графики (рис. 5.4): двумерные изображения (растровые, векторные, фрактальные), трёхмерные изображения, анимацию.
Рис. 5.4. Объекты компьютерной графики
Растровое графическое изображение состоит из отдельных маленьких прямоугольников — пикселей. Размеры пикселей растрового изображения настолько малы, что при его просмотре в обычном масштабе они неразличимы. Зернистая структура растрового графического изображения становится заметной при увеличении масштаба его просмотра (рис. 5.5).
Рис. 5.5. Растровое и векторное изображения в обычном и увеличенном масштабе
Пиксель — наименьший элемент растрового изображения. Он может принимать любой цвет из палитры, содержащей миллионы цветов. Точность цветопередачи — основное достоинство растровых графических изображений. При сохранении растрового изображения в памяти компьютера сохраняется информация о цвете каждого входящего в него пикселя. Качество растрового изображения возрастает с увеличением количества пикселей в изображении и количества цветов в палитре. Но при этом возрастает и информационный объём всего изображения.
Растровая графика — универсальное средство для формирования и обработки любых плоских изображений. С помощью цветов и оттенков отдельных точек на плоском изображении могут быть показаны и пространственные (объёмные) сцены. В полиграфических и электронных изданиях растровые изображения используются в тех случаях, когда нужно качественно и чётко передать в изображении оттенки цветов и плавные переходы от одного цвета к другому.
Серьёзным недостатком растровой графики является существенное падение качества изображения в результате его масштабирования и различных геометрических преобразований. Это связано с тем, что при уменьшении растрового изображения несколько соседних пикселей преобразуются в один, что ведёт к потере чёткости мелких деталей изображения. При увеличении растрового изображения в него добавляются новые пиксели, причём соседние пиксели принимают одинаковый цвет и возникает ступенчатый эффект.
Растровые изображения можно получить, сканируя рисунки или фотографии, фотографируя объекты цифровым фотоаппаратом, создавая рисунки с использованием графического планшета или разнообразных растровых графических редакторов (Microsoft Paint, GIMP, Adobe Photoshop).
В последнем случае определённые трудности возникают при манипуляциях с отдельными фрагментами изображения. Чтобы лучше понять, о чём идёт речь, просто представьте свои действия при удалении одного из лепестков цветка (см. рис. 5.5) в графическом редакторе Microsoft Paint. Для преодоления этого недостатка более мощные программы работы с растровой графикой (GIMP, Adobe Photoshop) предусматривают средства создания составных изображений с помощью:
1) механизма слоёв (layers) — накладывающихся друг на друга плоскостей, в каждой из которых используется только часть точек;
2) механизма фильтров — преобразующих цвета пикселей с учётом некоторых параметров;
3) управления цветовыми каналами;
4) управления способом взаимодействия отдельных слоёв.
Векторное изображение — это изображение, построенное из геометрических примитивов (объектов): отрезков прямых, дуг, окружностей, эллипсов, многоугольников и кривых Безье. Примитив не нужно рисовать — выбрав на панели инструментов пиктограмму с его изображением или названием, вы просто задаёте необходимые параметры, по которым компьютер сам выполняет необходимые построения.
Объекты векторного изображения накладываются друг на друга, образуя независимые слои. Каждый слой векторного изображения содержит свой объект. При преобразовании векторного объекта исходное изображение удаляется, а вместо него строится новое — по тем же алгоритмам, но с учётом изменённых данных. Это позволяет без потерь качества масштабировать, поворачивать и трансформировать векторные изображения, оставляя при этом толщину линий неизменной (см. рис. 5.5).
Кривые Безье были разработаны в 60-х годах XX века независимо друг от друга Пьером Безье из автомобилестроительной компании «Рено» и Полем де Кастельжо из компании «Ситроен», где применялись для проектирования кузовов автомобилей. Математический аппарат кривых
Безье основан на многочленах Бернштейна, описанных Сергеем Натановичем Бернштейном в 1912 году.
В компьютерной графике в основном применяются кривые Безье второго и третьего порядка (рис. 5.6). Кривая Безье второго порядка описывается уравнением:
Рис. 5.6. Кривая Безье второго порядка
Вместе с тем не всякое изображение можно представить как совокупность простых геометрических фигур. Векторные графические изображения создают с помощью специальных программ (CorelDRAW, Inkscape) и широко используют в картографии, мультипликации, инженерной графике, при создании логотипов, схем, диаграмм — там, где важны чёткость контуров и возможность увеличения масштаба изображения без потери качества.
Ещё одним видом компьютерной графики является фрактальная графика. Термин «фрактал» (от лат. fractus — дроблёный) употребляется для обозначения объектов, обладающих свойством самоподобия, когда целое (в точности или приближённо) имеет ту же форму, что одна или более его частей (рис. 5.7).
Рис. 5.7. Примеры фрактальных изображений
В основе фрактальной графики лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций — копирования и масштабирования. На компьютере построение фрактального изображения происходит путём автоматической генерации изображений по некоторым алгоритмам или формулам, хранящимся в памяти компьютера.
В наши дни теория фракталов находит широкое применение в различных областях человеческой деятельности. Помимо фрактальной живописи, фракталы используются в теории информации для сжатия графических данных, в физике и географии для правдоподобного представления моделируемых объектов, в радиоэлектронике для качественного приёма сигнала, в экономике для описания кривых колебания курсов валют и т. д.
В последнее время всё большую популярность приобретает трёхмерная или ЗБ-графика (от англ. three dimensions — три измерения). В ней применяются технологии создания в виртуальном пространстве объёмных моделей, которые максимально приближены к реальным объектам.
Трёхмерная графика широко используется в инженерном проектировании, компьютерном моделировании физических объектов и процессов, в мультипликации, кинематографии и компьютерных играх.
Рассмотрим процесс создания трёхмерного изображения с помощью векторной графики.
Сначала в пределах некоторого пространства координат (на сцене) размещаются отдельные объекты, составленные из геометрических объёмных тел.
Далее, на этапе каркасной аппроксимации производится разбивка всех плавных криволинейных поверхностей на треугольники — минимальные плоские фигуры. В дальнейшем поверхности обрабатываются именно как наборы треугольников, заданных координатами своих вершин.
Стадия геометрических построений поверхностей включает заполнение поверхностей, создание перспективы, учёт влияния источников света и т. д.
На заключительном этапе рендеринга происходит раскраска поверхностей, а в более сложных случаях создания профессиональных изображений — ещё и учёт свойств поверхностей при отражении и поглощении света и влияния оптической плотности окружающей среды.
Анимация (от англ. animation — одушевление) — это «оживление» изображения. При анимации несколько рисунков (кадров) сменяют друг друга через заданные промежутки времени. Если кадры сменяют друг друга чаще, чем 24 раза в секунду, человеческий глаз воспринимает это как непрерывное движение. В настоящее время широкое распространение получила компьютерная анимация.
Компьютерная анимация — последовательный показ заранее подготовленных графических файлов, а также компьютерная имитация движения с помощью изменения формы объектов или показа последовательных изображений с фазами движения.
Рассмотрим основные виды компьютерной анимации. Анимация по ключевым кадрам наиболее близка к традиционной рисованной мультипликации. Прорисовку и расстановку ключевых кадров по временной шкале производит художник, а промежуточные кадры рассчитывает специальная программа.
Запись движения. Движения актёров в специальных костюмах с датчиками записываются камерами и анализируются специальным программным обеспечением. Итоговые данные о перемещении суставов и конечностей актёров применяют к трёхмерным скелетам виртуальных персонажей, чем добиваются высокого уровня достоверности изображения движения последних.
Процедурная анимация автоматически генерируется компьютером в режиме реального времени в соответствии с установленными правилами. Представляет собой симуляцию физического взаимодействия твёрдых тел; имитацию движения систем частиц, жидкостей и газов; расчёт движения персонажа под внешним воздействием и многое другое. Процедурная анимация часто используется в компьютерных играх.
Программируемая анимация. Движения анимируемых объектов программируются, например, на языке JavaScript.
Cкачать материалы урока
Читайте также: