Что такое соотношение сторон в геометрии
2. Внешний угол треугольника (рис. \(1\)) равен разности \(180°\) и градусной меры смежного с ним угла треугольника, или сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.
∠ A + ∠ B + ∠ C = 180 ° ; ∠ DCB = 180 − ∠ ACB ; ∠ DCB = ∠ A + ∠ B ; P Δ ABC = AB + BC + AC .
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Сторона, стягивающая эти равные стороны, называется основанием.
б) Медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника, проведённые из вершины, противоположной основанию — один и тот же отрезок, делят равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника.
а) Стороны подобных треугольников соотносятся с равным коэффициентом, который называется коэффициент подобия.
г) Средняя линия треугольника проходит через середины двух его сторон, параллельна одному из оснований и равна его половине.
д) Медианы любого треугольника делятся точкой пересечения на отрезки, относящиеся как \(2 : 1\), считая от вершины.
Δ ABC ∼ Δ A 1 B 1 C 1 ; AB A 1 B 1 = BC B 1 C 1 = AC A 1 C 1 = k ; P Δ ABC P Δ A 1 B 1 C 1 = k ; S Δ ABC S Δ A 1 B 1 C 1 = k 2 ; B 1 O O O 1 = 2 1 ; MN ∥ AC , MN = 1 2 AC .
а) Стороны, выходящие из прямого угла, называются катетами, сторона, которая их стягивает — гипотенузой.
в) В прямоугольном треугольнике действует теорема Пифагора, по которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
г) Полезно знать основные соотношения в прямоугольном треугольнике. Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему, котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.
д) Основное тригонометрическое тождество гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса острого угла равна единице.
AB 2 = AC 2 + BC 2 ;
sin ∠ A = BC AB , cos ∠ A = AC AB ,
tg ∠ A = BC AC , ctg ∠ A = AC BC ;
sin 2 ∠ A + cos 2 ∠ A = 1 .
Таблица некоторых значений тригонометрических функций, которые используются на экзамене и должны быть выучены наизусть, доступна здесь.
Чтобы найти элементы четырёхугольника, часто необходимо провести дополнительные построения (диагональ, высоту, биссектрису угла или другие отрезки) и затем рассматривать полученные треугольники. Поэтому задача с четырёхугольником сводится к нахождению элементов треугольника.
Фигура треугольник является частым геометрическим объектом, с которым приходится сталкиваться в процессе решения задач. Известны многие формулы и правила, описывающие те или иные свойства треугольника, соотношения между сторонами и углами, его площадь. Знание этих выражений позволяет решать любые задачи с этим многоугольником.
О многоугольнике с тремя сторонами
Соотношение углов и сторон в треугольнике интуитивно можно понять, если хорошо представлять эту фигуру. Речь идет о плоском объекте, который состоит всего из трех отрезков. Они расположены таким образом, что начало первого совпадает с концом последнего, то есть они пересекаются. Каждый отрезок представляет собой независимую сторону фигуры. Точка пересечения является вершиной, а соответствующий ей угол является внутренним.
Таким образом, два ключевых элемента образуют рассматриваемую фигуру:
И вершин, и сторон в любом треугольнике по три, поэтому его принято обозначать большими латинскими буквами, например, ABC или MNK. Малые буквы резервируют для обозначения длин сторон, например, a, b, c.
На первый взгляд может показаться, что рассматриваемый объект является несложным, и в нем нечего изучать. Действительно, он является самым простым по построению многоугольником, однако, он обладает большим количеством свойств, количественное и качественное знание которых требуют понимания многих теорем.
Теорема косинусов
Чтобы решать задачи на треугольники, недостаточно знать лишь главные их свойства. Последние позволяют лишь дать качественный, но не количественный ответ. Теорем и формул для рассматриваемых многоугольников известно много (синусов, Пифагора, медиан, Герона и др.). Однако, теорема косинусов является одной из основополагающих, поскольку позволяет по двум сторонам и углу определить значение длины третьей стороны (справедливости ради следует отметить, что теорема синусов является не менее важной, поскольку она по двум углам и стороне позволяет вычислить неизвестные стороны).
Соответствующее выражение имеет следующий вид:
c 2 = a 2 + b 2 — 2*a*b*cos (α).
Здесь a, b, c — длины сторон фигуры, α - угол между a и b. Нетрудно догадаться, что это выражение является обобщение пифагоровой теоремы для треугольника с прямым углом.
По сути, записанное равенство заключает в себе второе главное свойство треугольников. Действительно, значение угла α может изменяться от 0 ° до 180 °. При этом тригонометрическая функция cos пробегает значения от 1 до -1. Для всех них длина одного отрезка будет меньше суммы двух других. Лишь для значений -1 и +1 получается равенство, что свидетельствует о полном вырождении треугольника в отрезок.
Прямоугольный треугольник
Этот особый случай следует рассмотреть подробнее. Каждый школьник знает знаменитую теорему, позволяющую сравнить соответствие отрезков друг другу в этом типе фигуры. Она гласит, что сумма квадратов катетов соответствует квадрату гипотенузы, и называется пифагоровой теоремой, то есть можно записать:
Работать с прямоугольными треугольниками удобно по одной простой причине: через их геометрические параметры вводятся в математику тригонометрические функции. Последние легко использовать при вычислении сторон и углов фигуры. Например, если фигура является не только прямоугольной, но и равнобедренной, то ее катеты равны, а углы напротив них составляют по 45 °. При этом любой из катетов всегда в 2 0,5 раза меньше гипотенузы:
sin (45 °) = a/c = ½ 0,5 .
Это соотношение можно получить также из теоремы Пифагора.
Другая ситуация, когда один из острых углов равен 30 °. Для лежащего напротив него катета a можно записать следующее выражение:
Иными словами, лежащий против 30 ° катет составляет ровно половину длины гипотенузы.
Таким образом, в любом треугольнике существует прямая пропорциональность между длиной стороны и противолежащим ей углом. Для количественного решения задач по геометрии с этой фигурой следует пользоваться выражениями синусов, косинусов и теоремой Пифагора.
Одной из фигур, которая часто встречается в геометрических задачах у школьников, является треугольник. Какими могут быть стороны его, зависит от соотношения длин отрезков, из которых составлен этот многоугольник. В общем случае задачи с использованием рассматриваемой фигуры являются простыми и предполагают использование известных формул для их решения.
Два основных свойства
В некоторых геометрических задачах можно встретить проблемы, которые формулируются так: можно ли построить треугольник со сторонами a, b, c, если известны их длины. Либо другой тип задач, которые предполагают знание некоторых сторон и углов, и требуют определить возможность существования такой фигуры.
Ответ на все эти проблемы заключается всего в одном слове: либо «да» и такой треугольник действительно существует, либо «нет» и из заданных элементов его построить не представляется возможным. Разобраться со всеми этими задачами поможет знание двух главных свойств, которые всегда справедливы для треугольников любых типов:
- Равенство всех углов 180 °. Если их обозначить буквами A, B и C, тогда будет выполняться следующее выражение: A + B + C = 180 °. Из него можно сделать множество важных выводов. Например, если три угла равностороннего треугольника одинаковые, то мера каждого из них составит 60 ° (A=B=C=180 °/3=60 °). Также это свойство позволяет понять, почему в рассматриваемом многоугольнике может существовать лишь один тупой или прямой угол.
- Длины двух сторон в сумме всегда больше длины третьей стороны. Это второе важное свойство любого типа треугольников. Независимо от того, идет речь о тупоугольной фигуре или о прямоугольной, одна сторона в ней по своей длине будет всегда меньше суммы двух других.
Оба свойства с успехом можно и необходимо применять, чтобы проверить или узнать возможность существования того или иного треугольника. Важно понимать, что невыполнение любого из свойств говорит о невозможности построения рассматриваемой фигуры.
Типы фигуры
Их классификация является достаточно развитой. В ее основу положены принципы взаимоотношения длин сторон друг с другом, а также численные значения углов. В общем случае в геометрии рассматривают следующие типы треугольников:
- Равносторонний или равноугольный. Это самая симметричная фигура рассматриваемого класса, поскольку ее образуют три равные по длине стороны. Все ее углы также являются одинаковыми, каждый из них составляет 60 °. Специальные отрезки в таком треугольнике (медиана, биссектриса, медиатриса или серединный перпендикуляр и высота) совпадают друг с другом независимо от того, через какую сторону или угол они проходят.
- Равнобедренный. Этот тип многоугольников является менее симметричным, чем равносторонний, однако, некоторая симметрия все же сохраняется. У этой фигуры имеются две одинаковые стороны и, как следствие, два одинаковых угла. Третий угол и сторона имеют отличные значения. Биссектриса, медиана, высота и медиатриса, которые проведены из вершины, где пересекаются одинаковые стороны, совпадают между собой. Равнобедренный треугольник может иметь как тупой, так и острый угол.
- Прямоугольный. Каждому школьнику известна знаменитая теорема Пифагора, которая применима только к данному типу многоугольников. В прямоугольной фигуре имеется один (и только один) угол, мера которого составляет 90 °. Лежащий против него отрезок называется гипотенузой, она имеет самую большую длину. Оставшиеся отрезки называются катетами. Они могут быть как одинаковыми, так и иметь разную длину.
- Общего типа. Именно этот вид фигур встречается чаще всего в задачах, поскольку его углы и стороны могут иметь произвольные значения. По этой причине работать с ним гораздо сложнее, чем с симметричными и прямоугольными многоугольниками. Тем не менее теоремы синусов и косинусов остаются справедливыми всегда.
Соотношение отрезков и углов
Задачи на соотношение отрезков и угловых мер в рассматриваемой фигуре могут требовать либо качественный, либо количественный ответ. В первом случае следует провести определенное доказательство, опираясь на известные аксиомы и теоремы о сторонах треугольника и их следствия. Во втором же случае следует пользоваться формулами и выражениями, которые содержат тригонометрические функции. В действительности оба типа задач связаны между собой. Так, прежде чем использовать какую-либо формулу, следует доказать возможность ее применения в конкретной ситуации.
Вопрос вырождения
В свете изучения возможности существования треугольников важно рассмотреть вопрос их вырождения. В математике придумали универсальную формулу, которая позволяет оценить качество треугольника. Она имеет вид:
Каждый из трех множителей числителя является положительным числом, что следует из главного свойства треугольников. Величина качества CT является положительной и лежит в пределах значений 0 и 1. Возможны следующие случаи:
- CT = 1. Такое качество имеют лишь равносторонние треугольники. Это легко проверить, если подставить в формулу a=b=c.
- CT>0,5. Эти фигуры называют высококачественными, все три угла в них являются острыми или один из них прямой. Под качеством имеется в виду более-менее близкое соотношение длин сторон, поэтому фигура выглядит «скругленной».
- CT
- CT => 0. Абсолютно вырожденный треугольник. В нем тупой угол приближается к 180 °. Это означает, что два других угла должны быть равны нулю. Подобная ситуация возможна лишь в одном случае: вершина тупого угла приближается к противоположной стороне, и вся фигура вырождается в отрезок нулевой толщины («сплющивается»). Важно отметить, что второе главное свойство для этого треугольника будет говорить о том, что длины двух малых сторон в сумме равны третьей.
Решение задач
Для закрепления полученных знаний полезно привести пару примеров решения типичных геометрических задач с треугольниками, в которых нужно будет либо дать качественный ответ, либо получить некоторое количественное значение.
Первая задача требует получить качественный ответ. Пусть имеется треугольник со сторонами 1, 2, 4. Существует ли такая фигура, требуется выяснить.
Для решения этой проблемы абсолютно неважно измеряются стороны в метрах, в сантиметрах, в дюймах или в других величинах. Важно лишь взаимоотношение между ними. Для каждой из длин отрезков следует проверить свойство существования рассматриваемой фигуры. Если получится хотя бы одна ложь, то треугольник построить нельзя:
Таким образом, не существует треугольник со сторонами 1−2-4. Длин сторон 1 и 2 недостаточно даже для построения абсолютно вырожденной фигуры. Следует отметить, что является необязательным проверка всех трех неравенств, если встретилась «ложь», то есть уже по одному неравенству можно сказать о невозможности начертить фигуру.
Вторая задача требует дать не только качественный ответ, но и получить количественные характеристики фигуры. Нужно узнать, возможно ли построить треугольник со сторонами 3, 4 и 6, и, если да, то какой должен быть угол между сторонами с длинами 3 и 4.
Сначала следует проверить существующие неравенства:
α = arccos ((a 2 + b 2 — c 2 )/(2*a*b)) = arccos ((3 2 + 4 2 — 6 2 )/(2*3*4)) ≈ 51,38 °.
Таким образом, для определения возможности существования того или иного треугольника на плоскости необходимо проверить тот факт, что каждая из его сторон имеет меньшую длину, чем сумма двух других отрезков. Теорема косинусов является удобным инструментом для определения количественных характеристик рассматриваемого типа фигур.
2. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
3. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
4. Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:
5. Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету:
6. Секанс острого угла равен отношению гипотенузы к прилежащему катету:
7. Косеканс острого угла равен отношению гипотенузы к противолежащему:
8. Катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла:
9. Катет, прилежащий углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла:
10. Катет, противолежащий углу, равен произведению второго катета на тангенс угла:
11. Катет, прилежащий углу, равен произведению второго катета на котангенс угла:
12. Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, и/или частному отношению катета и косинуса прилежащего угла (угла между ними):
13. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
14. Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треугольника:
15. Медиана, проведенная к гипотенузе:
16. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника:
17. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:
18. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов треугольника:
Сумма углов треугольника равна 180 ° , а прямой угол равен 90 ° , поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника ∡ \(1\) \(+\) ∡ \(2 =\) 90 ° .
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 ° , равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в \(\) 30 ° \(\)).
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\), в котором ∡ \(A\) — прямой, ∡ \(B =\) 30 ° , и значит, что ∡ \(C =\) 60 ° .
Докажем, что \(BC = 2 AC\).
Приложим к треугольнику \(ABC\) равный ему треугольник \(ABD\), как показано на рисунке.
Получим треугольник \(BCD\), в котором ∡ \(B =\) ∡ \(D =\) 60 ° , поэтому \(DC = BC\). Но \(DC = 2 AC\). Следовательно, \(BC = 2 AC\).
Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30 ° .
Основываясь на общих признаках равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства, потому что в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны.
1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
Существование фигуры
Пусть имеется три отрезка, и необходимо понять, возможно ли из них построить треугольник. Это можно сделать с помощью одного простого правила, которое можно сформулировать следующим образом: любая сторона треугольника всегда меньше суммы длин двух других.
Знание этого правила является очень важным и эффективным инструментом при решении задач. Например, из отрезков с условными длинами 1, 2 и 4 построить треугольник невозможно, а из 2, 3, 4 это сделать можно.
Помимо соотношения длин сторон существует также еще одна теорема, которая гласит, что во всяком треугольнике сумма его внутренних углов всегда равна 180 °. Благодаря знанию этой теоремы можно все рассматриваемые фигуры разделить на три типа:
- Остроугольные. В них все три угловые меры меньше 90 °. При этом возможны случаи взаимного их равенства, то есть каждый будет составлять 60 °. Такие треугольники называются равносторонними или правильными. Равны могут быть между собой также два угла, это будет уже равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны имеют одинаковую длину.
- Тупоугольные. Поскольку сумма составляет 180 °, то по определению в рассматриваемом многоугольнике не может быть больше одного тупого угла. Тупоугольные фигуры могут иметь либо произвольный тип, когда все их отрезки различаются, либо являться равнобедренными.
- Прямоугольные. Это специальный тип треугольников, о котором известно многое, и который разграничивает два предыдущих типа. В них один угол равен 90 °, а два других являются острыми.
Полноты ради следует сказать о вырожденных фигурах. К ним относятся такие многоугольники, у которых тупой стремится к 180 °. Несложно представить, что в этом случае два других будут обращаться в ноль, а сумма противолежащих им сторон окажется равной длине отрезка, расположенного напротив тупого угла. На плоскости вырожденный треугольник представляет отрезок, его площадь стремится к нулю.
Многоугольник с тремя сторонами
Прежде чем рассматривать задачу о том, как проверить, существует ли треугольник, следует подробно изучить эту фигуру. Согласно общепринятому определению, любой замкнутый многоугольник на плоскости, который состоит из трех отрезков, пересекающихся своими концами друг с другом, является треугольником. Эта фигура имеет две группы образующих ее элементов:
Сторонами являются три отрезка, длины которых могут быть либо известны по условию задачи, либо их предстоит рассчитать. Касательно вершин следует сказать, что у любого рассматриваемого многоугольника их три. Каждую принято обозначать одной латинской буквой, например, A, B, C и так далее. Поскольку два отрезка пересекаются в вершине, то они образуют некоторый угол. Их у фигуры три, поэтому становится понятным, откуда происходит название «треугольник».
Теоремы косинусов и синусов
Количественной характеристикой соотношения сторон и углов являются знаменитые формулы, содержащие зависимость длин отрезков и угловых мер. Первая из них называется теоремой косинусов. Соответствующая формула имеет вид:
c 2 = a 2 + b 2 — 2*a*b*cos©.
Здесь величины a, b, c — это длины, C — угол напротив стороны c. Формула позволяет вычислить третью сторону по известным двум другим и углу между ними. Однако, возможности выражения шире, с его помощью можно посчитать всякий внутренний угол фигуры, если известны три ее стороны.
Следующая по счету, но не по важности теорема синусов. Ее математическое выражение записывается так:
a/sin (A) = b/sin (B) = c/sin©.
Эти равенства говорят о том, что отношение стороны к синусу противоположного ей угла является постоянной характеристикой конкретного треугольника. Зная связь двух углов и стороны или двух отрезков и одного угла можно рассчитать все остальные характеристики фигуры. Следует запомнить, что для любого рассматриваемого типа многоугольников однозначное вычисление всех его свойств требует знания минимум трех элементов (кроме трех углов).
Важные линии
Несмотря на всю простоту построения треугольника, при решении задач могут понадобиться дополнительные отрезки. Внутри фигуры существует целая гамма типов этих отрезков, наиболее важными из них являются следующие:
- Медиана — делящий на две равные по площади части исходный треугольник. Отрезок проводится из вершины к середине противоположной стороны.
- Биссектриса. Ею называют отрезок, который на две половины делит угол при произвольной вершине.
- Высота. Этот элемент проводится также из вершины, но по отношению к противоположной стороне он является перпендикуляром. Таким образом, высота делит исходную фигуру на два прямоугольных геометрических объекта, которые в общем случае между собой не равны.
- Медиатриса — это серединный перпендикуляр, то есть он сочетает свойства медианы и высоты, однако, через вершину треугольника он может не проходить. Медиатрисами пользуются при построении описанной окружности.
- Средняя линия — это отрезок, который посередине пересекает две стороны треугольника. Его длина всегда будет в два раза меньше стороны фигуры, которой он параллелен. Средняя линия приводит к созданию подобной исходной фигуры, которая в два раза меньше.
Для правильных, равнобедренных и прямоугольных треугольников некоторые из названных отрезков могут совпадать друг с другом, а также со сторонами фигуры. Например, в прямоугольном треугольнике две малые стороны (катеты) также являются высотами.
Большие и меньшие длины
Основная теорема о соотношении между элементами в рассматриваемом типе многоугольников гласит, что против большего угла лежит большая сторона. Ее доказательство провести несложно, если построить треугольник, например, тупоугольный. Из тупого провести отрезок к противоположной стороне таким образом, чтобы он образовывал новый равнобедренный треугольник внутри исходного. После этого следует воспользоваться тем свойством, что внешний угол треугольника всегда больше внутреннего.
Следуя условию равенства углов в построенном равнобедренном треугольнике, легко показать, что против тупого всегда находится самый длинный отрезок.
Обратно эта теорема также справедлива, то есть против большей стороны треугольника лежит больший угол. Ее справедливость понятна каждому школьнику на интуитивном уровне, а доказательство заключается в переборе возможных трех вариантов соотношения между отрезками (больше, меньше, равно) и в привлечении уже доказанной теоремы.
Рассмотренные теоремы приводят к двум важным следствиям:
- Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. Следствие актуально для равносторонних и равнобедренных фигур.
- Гипотенуза в треугольнике с прямым углом является самой длинной стороной, поскольку она лежит напротив самого большого угла.
Рассмотренные теоремы и их следствия активно используются при изучении подобных фигур. Поскольку напротив равных углов двух треугольников лежат соответствующие им длины отрезков, то последние будут попарно относиться друг к другу с определенным коэффициентом подобия.
Читайте также: