Чему равно самое большое число если под целое число выделяется ячейка памяти размером 16 бит
Предположим, в компьютер встроили устройство, которое переводит числа из десятичной системы счисления в двоичную и обратно. Достаточно ли этого для представления чисел в памяти ЭВМ? Оказывается, нет. Мало научиться записывать числа, важно облегчить процесс автоматизированного выполнения арифметических действий над ними.
Вернемся к первым ЭВМ. Основным видом их «деятельности» были вычисления, но объём оперативной памяти и быстродействие процессора были невелики и инженерам приходилось придумывать разнообразные способы хранения и обработки чисел, чтобы даже сложные расчёты выполнялись за разумное время.
Учитель информатики
Почему множество целых чисел, представимых в памяти компьютера, дискретно, конечно и ограничено?
Дискретным называется счётное множество, то есть любое конечное множество по определению дискретно. А ограничено оно потому, что эта память сама по себе квантирована и не бесконечна.
Вычитание.
Единичка в старшем разряде «выпала» из ячейки, поэтому сумма получилась равной нулю. Но так и должно быть: N + (— N) = 0. Процессор компьютера операцию вычитания выполняет как сложение с дополнительным кодом вычитаемого числа. При этом переполнение ячейки (выход за предельные значения) не вызывает прерывания выполнения программы. Это обстоятельство программист обязан знать и учитывать!
С вещественными числами дело обстояло немного сложнее, поскольку надо было придумать способ, одинаковый для кодирования и больших, и маленьких чисел, то есть и миллион (1 000 000), и одну миллионную (0,000 001) хотелось бы кодировать посредством одного и того же алгоритма.
В соответствии с принципом позиционности любое десятичное число можно представить в виде произведения двух чисел, одно из которых меньше единицы, а другое представляет собой некоторую степень десяти.
Такое представление чисел называется записью с плавающей точкой (запись 123,45 — запись с фиксированной точкой). В этой записи число имеет четыре характеристики:
- Знак числа.
- Знак порядка.
- Порядок (степень числа 10).
- Мантисса (дробная часть числа).
При двоичном кодировании необходимо было все эти характеристики как-то отразить.
Максимальный порядок числа был равен 111111в двоичной = 63 в десятичной,следовательно, максимальным числом, которое можно было закодировать таким образом, было 10^63.
Формат представления вещественных чисел в компьютере называется форматом с плавающей точкой. Вещественное число R представляется в виде произведения мантиссы т на основание системы счисления п в некоторой целой степени р, которую называют порядком: R = т х п^р.
Чтобы не было неоднозначности, договорились в ЭВМ использовать нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в нормализованном представлении должна удовлетворять условию: 0,1п< т 1я. Иначе говоря, мантисса меньше единицы и первая значащая цифра — не ноль. В некоторых случаях условие нормализации принимают следующим: 1 с индексом и < т 10 с индексом п.
В памяти компьютера мантисса представляется как целое число, содержащее только значащие цифры (0 целых и запятая не хранятся). Следовательно, внутреннее представление вещественного числа сводится к представлению пары целых чисел: мантиссы и порядка.
Было решено отводить под вещественные числа 4 байта (32 бита). Три младших байта отводилось под запись мантиссы, а старший байт включал в себя:
- Один (старший) бит — знак числа: 0 — положительное,
1 — отрицательное. - Один бит — знак порядка: 0-положительный, 1-отрицательный.
- Младшие 6 битов — порядок числа.
В разных типах компьютеров применяются различные варианты представления чисел в форме с плавающей точкой. Рассмотрим один из вариантов внутреннего представления вещественного числа в четырехбайтовой ячейке памяти.
В ячейке должна содержаться следующая информация о числе: знак числа, порядок и значащие цифры мантиссы.
Машинный порядок | Мантисса |
---|---|
1-й байт. | 1-й, 2-й и 3-й байты. |
В старшем бите 1-го байта хранится знак числа: 0 обозначает плюс, 1 — минус. Оставшиеся 7 бит первого байта содержат машинный порядок. В следующих трех байтах хранятся значащие цифры мантиссы (24 разряда).
В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа в диапазоне от 0000000 до 1111111. Значит, машинный порядок изменяется в диапазоне от 0 до 127 (в десятичной системе счисления). Всего 128 значений. Порядок, очевидно, может быть как положительным, так и отрицательным. Разумно эти 128 значений разделить поровну между положительными и отрицательными значениями порядка: от —64 до 63.
Машинный порядок смещен относительно математического и имеет только положительные значения. Смещение выбирается так, чтобы минимальному математическому значению порядка соответствовал ноль. Связь между машинным порядком (Мр) и математическим (р) в рассматриваемом случае выражается формулой:
Мр = р + 64. Полученная формула записана в десятичной системе. В двоичной системе формула имеет вид: МР = Р +10000000.
Для записи внутреннего представления вещественного числа необходимо:
- Перевести модуль данного числа в двоичную систему счисления с 24 значащими цифрами.
- Нормализовать двоичное число.
- Найти машинный порядок в двоичной системе счисления.
- Учитывая знак числа, выписать его представление в четырехбайтовом машинном слове.
Диапазон вещественных чисел значительно шире диапазона целых чисел. Положительные и отрицательные числа расположены симметрично относительно нуля. Следовательно, максимальное и минимальное числа равны между собой по модулю.
Наименьшее по абсолютной величине число равно нулю. Наибольшее по абсолютной величине число в форме с плавающей точкой — это число с самой большой мантиссой и самым большим порядком.
Если при вычислениях с вещественными числами результат выходит за пределы допустимого диапазона, то выполнение программы прерывается. Такое происходит, например, при делении на ноль, или на очень маленькое число, близкое к нулю.
Вещественные числа, разрядность мантиссы которых превышает число разрядов, выделенных под мантиссу в ячейке памяти, представляются в компьютере приближенно (с «обрезанной» мантиссой). Например, рациональное десятичное число 0,1 в компьютере будет представлено приближенно (округленно), поскольку в двоичной системе счисления его мантисса имеет бесконечное число цифр. Следствием такой приближенности является погрешность машинных вычислений с вещественными числами.
Вычисления с вещественными числами компьютер выполняет приближенно. Погрешность таких вычислений называют погрешностью машинных округлений.
Множество вещественных чисел, точно представимых в памяти компьютера в форме с плавающей точкой, является ограниченным и дискретным. Дискретность является следствием ограниченного числа разрядов мантиссы, о чем говорилось выше.
В настоящее время, когда быстродействие процессоров и объём оперативной памяти достаточно велики, а обычной разрядностью компьютеров становится 32 или 64 бита, уже нет жёстких требований к использованию экономных кодов для записи чисел.
На этом данную статью я заканчиваю, надеюсь, вы полностью разобрались с темами: Вещественные числа, Вещественные числа в памяти компьютера.
Вещественные числа в памяти компьютера.
Операции над целыми числами выполнять проще, но на практике измерения в целых числах встречаются не так уж часто. Поэтому для целых чисел решено было отводить один или два байта. Один байт чаще всего отводился для всевозможных счётчиков, то есть для представления целых положительных чисел.
Максимальным десятичным числом, которое можно было закодировать таким образом, было 255 в десятичной = 11111111 в двоичной = 2^8 — 1.
Для представления положительных и отрицательных целых чисел отводилось два байта (16 битов). В качестве признака, передающего знак числа, было выбрано значение старшего бита: 0 означал, что закодировано положительное число, 1 — отрицательное.
Максимальным десятичным числом, которое можно было закодировать таким образом, было 32767 в десятичной = 01111111 11111111 в двоичной =2^15. Целые без знака — это множество положительных чисел в диапазоне 0, 2к-1, где к — это разрядность ячейки памяти, выделяемой под число. Например, если под целое число выделяется ячейка памяти размером в 16 разрядов (2 байта), то самое большое число будет таким: 0111111111111111. Например, десятичное число 255 после перевода в двоичную систему счисления и вписывания в 16-разрядную ячейку памяти будет иметь следующее внутреннее представление: 0000000011111111.
Отрицательные целые числа представляются в дополнительном коде. Дополнительный код положительного числа N — это такое его двоичное представление, которое при сложении с кодом числа N дает значение 2^к. Здесь к — количество разрядов в ячейке памяти. Например, дополнительный код числа 255 будет следующим: 1111111100000001.
Это и есть представление отрицательного числа -255. Сложим коды чисел 255 и —255:
Список вопросов теста
Вопрос 1
Какие числа называются целыми?
- Все числа из диапазона от (2-n; 2n)
- Это числа, которыми пользуются для счёта предметов
- Это натуральные числа, числа противоположные натуральным, и ноль
Вопрос 2
Перечислите свойства множества целых чисел, представимых в компьютере
- Неограниченно
- Конечно
- Ограничено
- Бесконечно
- Дискретно
Вопрос 3
Что относится к основным правилам представления чисел в компьютере?
- Представление данных в компьютере имеет дискретную структуру
- Данные и программы в памяти компьютера хранятся в двоичном виде
- Представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво
- Память компьютера не безгранична, и множество представимых в памяти компьютера величин ограничено и конечно
Вопрос 4
Какое число называют дополнительным кодом двоичного числа х в N-разрядной ячейке?
это новое число, дополняющее двоичное число до целого значения
это число, дополняющее двоичное число до значения 2 N -1
это число, дополняющее двоичное число до значения 2 N
Вопрос 5
Как выглядит внутреннее представление целого числа 248 в 2-байтовой ячейке?
- 0000000010111000
- 0000000011111001
- 1000000011111000
- 0000000011111000
Вопрос 6
Чему равно самое большое целое положительное число, если под целое число выделяется ячейка памяти размером в 16 бит?
11111111111111112 = 2 15 - 1 = 3276710
011111111111111112 = 2 15 - 1 = 3276710
1111111111111112 = 2 15 = 3276810
1111111111111112 = 2 15 - 1 = 3276710
Вопрос 7
Как выглядит число 1001010 в восьмиразрядном представлении?
- 001010
- 100001010
- 01001010
- 2001010
Вопрос 8
Как выглядит внутреннее представление числа -326 в 2-байтовой ячейке?
- 1000000010111011
- 0000000010111010
- 1000000010111010
Вопрос 9
Чему равно самое большое целое число, если под целое число выделяется ячейка памяти размером в 16 бит и формат представления чисел без знака?
Внимание! Все тесты в этом разделе разработаны пользователями сайта для собственного использования. Администрация сайта не проверяет возможные ошибки, которые могут встретиться в тестах.
Измерение информации. Содержательный подход. Представление чисел в компьютере. Целые числа.
Вещественные числа в памяти компьютера.
Операции над целыми числами выполнять проще, но на практике измерения в целых числах встречаются не так уж часто. Поэтому для целых чисел решено было отводить один или два байта. Один байт чаще всего отводился для всевозможных счётчиков, то есть для представления целых положительных чисел.
Максимальным десятичным числом, которое можно было закодировать таким образом, было 255 в десятичной = 11111111 в двоичной = 2^8 — 1.
Для представления положительных и отрицательных целых чисел отводилось два байта (16 битов). В качестве признака, передающего знак числа, было выбрано значение старшего бита: 0 означал, что закодировано положительное число, 1 — отрицательное.
Максимальным десятичным числом, которое можно было закодировать таким образом, было 32767 в десятичной = 01111111 11111111 в двоичной =2^15. Целые без знака — это множество положительных чисел в диапазоне [0, 2к-1], где к — это разрядность ячейки памяти, выделяемой под число. Например, если под целое число выделяется ячейка памяти размером в 16 разрядов (2 байта), то самое большое число будет таким: 0111111111111111. Например, десятичное число 255 после перевода в двоичную систему счисления и вписывания в 16-разрядную ячейку памяти будет иметь следующее внутреннее представление: 0000000011111111.
Отрицательные целые числа представляются в дополнительном коде. Дополнительный код положительного числа N — это такое его двоичное представление, которое при сложении с кодом числа N дает значение 2^к. Здесь к — количество разрядов в ячейке памяти. Например, дополнительный код числа 255 будет следующим: 1111111100000001.
Это и есть представление отрицательного числа -255. Сложим коды чисел 255 и —255:
Почему множество целых чисел, представимых в памяти компьютера, дискретно, конечно и ограничено?
Дискретным называется счётное множество, то есть любое конечное множество по определению дискретно. А ограничено оно потому, что эта память сама по себе квантирована и не бесконечна.
В математике ряд натуральных чисел бесконечен и не ограничен. С появлением в математике понятия отрицательного числа (Р. Декарт, XVII век в Европе; в Индии значительно раньше) оказалось, что множество целых чисел не ограничено как «справа», так и «слева».
Из сказанного следует вывод: множество целых чисел в математике дискретно и не ограничено. Ограниченность целого числа в компьютере возникает из-за ограничений на размер ячейки памяти. Отсюда же следует и конечность множества целых чисел.
Из всего сказанного делаем вывод: целые числа в памяти компьютера — это дискретное, ограниченное и конечное множество.
Любое вычислительное устройство (компьютер, калькулятор) может работать только с ограниченным множеством целых чисел.
Дискретное счётное множество представляет собой любое конечное множество, которое и так по определению дискретно. Ограничено оно потому, память и так сама по себе квантирована и не бесконечна. Можно представить память неограниченной. Но адресное пространство не может быть большим до бесконечности. То есть компьютер работает только с ограниченной разрядной сеткой.
2.10.1. Представление чисел в формате с фиксированной запятой
Целые числа со знаком
Для хранения целых чисел со знаком отводится две ячейки памяти (16 битов), а для хранения больших целых чисел со знаком отводится четыре ячейки памяти (32 бита). Старший (левый) разряд отводится под знак числа (если число положительное, то в знаковый разряд записывается 0, если число отрицательное — записывается 1).
Представление в компьютере положительных чисел с использованием формата «знак-величина» называется прямым кодом числа. Например, число 200210 = 111110100102 будет представлено в 16-разрядном представлении следующим образом:
При представлении целых чисел в n-разрядном представлении со знаком максимальное положительное число (с учетом выделения одного разряда на знак) равно А = 2 n-1 - 1.
Минимальное отрицательное число равно А = -2 n-1 .
Задание «Диапазон хранения целых чисел со знаком и больших целых чисел со знаком»
Определить диапазон чисел, которые могут храниться в оперативной памяти в формате:
• целых чисел со знаком,
• больших целых чисел со знаком.
а) Максимальное положительное целое число в формате целых чисел со знаком равно:
Минимальное отрицательное целое число равно
б) Максимальное положительное целое число в формате больших целых чисел со знаком равно
А10 = 2 31 - 1 = 2 147 483 64710.
Минимальное отрицательное целое число равно
А10 = -2 31 = -2 147 483 64810.
Следующая страница Дополнительный код. Задание «Дополнительный код числа»
Cкачать материалы урока
Множество целых чисел представленных в памяти компьютера
Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.
ГДЗ Информатика 10 класс Семакин §5 Представление чисел в компьютере
Дискретное счётное множество представляет собой любое конечное множество, которое и так по определению дискретно. Ограничено оно потому, память и так сама по себе квантирована и не бесконечна. Можно представить память неограниченной. Но адресное пространство не может быть большим до бесконечности. То есть компьютер работает только с ограниченной разрядной сеткой.
2. Определите диапазон целых чисел, хранящихся в 1 байте памяти в двух вариантах: со знаком и без знака.
1 байт это 8 бит соответственно в нем может хранится 2^8 = 256 значений
если в нем хранить числа без знака, то мы сможем записать 256 неотрицательных чисел это числа от 0 до 255
если же со знаком, то тогда половина диапазона будет отрицательным, а половина неотрицательным поэтому будет 256 / 2 = 128 отрицательных чисел и столько же неотрицательных поэтому получится диапазон от -128 до 127
5. Почему множество действительных (вещественных) чисел, представимых в памяти компьютера, дискретно, конечно и ограничено?
Дискретное счётное множество представляет собой любое конечное множество, которое и так по определению дискретно. Ограничено оно потому, память и так сама по себе квантирована и не бесконечна. Можно представить память неограниченной. Но адресное пространство не может быть большим до бесконечности. То есть компьютер работает только с ограниченной разрядной сеткой.
6. На какие две части делится число в формате с плаваю щ ей запятой?
Список вопросов теста
Вопрос 1
Вопрос 2
- 1 байт
- 16 бит
- 8 бит
- 4 бита
Вопрос 3
- 4 бита
- 10 бит
- 2 бита
- 8 бит
Вопрос 4
При угадывании целого числа в диапазоне от 1 до N было получено 9 бит информации. Чему равно N?
Вопрос 5
Какие числа называются целыми?
- Это числа, которыми пользуются для счёта предметов
- это натуральные числа, числа противоположные натуральным, и ноль
Вопрос 6
Перечислите свойства множества целых чисел, представимых в компьютере
- Неограниченно
- Конечно
- Ограничено
- Бесконечно
- Дискретно
Вопрос 7
Что относится к основным правилам представления чисел в компьютере?
- Представление данных в компьютере имеет дискретную структуру
- Данные и программы в памяти компьютера хранятся в двоичном виде
- Представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво
- Память компьютера не безгранична, и множество представимых в памяти компьютера величин ограничено и конечно
Вопрос 8
Как выглядит внутреннее представление целого числа 248 в 2-байтовой ячейке?
- 0000000010111000
- 0000000011111001
- 1000000011111000
- 0000000011111000
Вопрос 9
Как выглядит внутреннее представление числа -326 в 2-байтовой ячейке?
- 1000000010111011
- 0000000010111010
- 1000000010111010
Вопрос 10
Чему равно самое большое целое число, если под целое число выделяется ячейка памяти размером в 16 бит и формат представления чисел без знака?
Множество целых чисел представленных в памяти компьютера
Вопрос:
Почему множество целых чисел, представимых в памяти компьютера, дискретно, конечно и ограничено?
Подробный ответ:
Дискретное счётное множество представляет собой любое конечное множество, которое и так по определению дискретно. Ограничено оно потому, память и так сама по себе квантирована и не бесконечна. Можно представить память неограниченной. Но адресное пространство не может быть большим до бесконечности. То есть компьютер работает только с ограниченной разрядной сеткой.
Читайте также: