Задача о замене оборудования excel
Задачи замены оборудования по наличию того или иного признака можно разделить следующим образом.
1. По характеру замены оборудования на три типа:
- по замене оборудования длительного использования из-за неуклонно возрастающих с увеличением срока службы эксплуатационных затрат. В этих задачах определяется оптимальный срок службы оборудования, минимизирующий эксплуатационные затраты;
- по замене оборудования с целью предупреждения отказов (поломки). Требуется найти такое время замены оборудования, чтобы суммарные издержки были минимальными.
- по выбору оптимального плана предупредительного ремонта и профилактического обслуживания оборудования для уменьшения вероятности отказа.
2. По характеру учета затрат на оборудование на дискретные и непрерывные. Если расходы по ремонту и уходу за оборудованием производятся через некоторые интервалы времени, то задача дискретная, в противном случае – непрерывная.
3. По выходу из строя оборудования на детерминированные и случайные. Если расходы по ремонту и уходу за оборудованием являются постоянными или известными функциями от времени, то мы имеем детерминированную задачу замены оборудования.
4. По стратегии замены оборудования на плановые и смешанные. Если замена оборудования производится строго по плану с учетом соотношения затрат на ремонт и уход за оборудованием, то имеем задачу с плановой стратегией замены оборудования. Смешанные задачи замены оборудования ¾ это задачи, в которых придерживаются плановой стратегии замены оборудования, но если оборудование вышло из строя раньше запланированного времени, то оно заменяется.
5. По времени учета затрат на оборудование с приведением затрат и без приведения затрат. Если затраты на эксплуатацию оборудования осуществляются в разные сроки или они изменяются во времени, то следует привести затраты более поздних лет к расчетному, в этом случае имеем задачу замены оборудования с приведением затрат, в противном случае ¾ без приведения затрат.
1.2 Задача замены оборудования длительного
Пусть в эксплуатации находится некоторое оборудование. Покупная цена оборудования S. Известны затраты на эксплуатацию оборудования (уход за ним, ремонт т.д.), производимые в начале (1,2, …, t,… n) периодов. Предположим, что периоды равны году. Обозначим затраты, производимые в t – й период, через Ct . В результате старения балансовая цена оборудования непрерывно падает и зависит от периода списания, обозначим ее St. Требуется определить период списания оборудования, чтобы затраты на единицу времени были минимальны.
2. Непрерывные задачи, в которых известны зависимости Ct=F(t) St=F(t):
a) Ct и St линейно зависят от t
b) Ct и St квадратично зависят от t
Это связано с заменой оборудования, подверженного износу.
Средние затраты для дискретной задачи:
Средние затраты для непрерывной задачи:
a) линейная зависимость
b) квадратичная зависимость
Для всех этих случаев b0=S, так как S0=S.
Для дискретной задачи затраты при замене оборудования через t периодов будут минимальными, если значение средних затрат на эксплуатацию оборудования в очередном периоде t меньше значения средних затрат за все предыдущие и последующие периоды, т.е. выполняется соотношение:
После соответствующих преобразований получим:
Данное условие при любых соотношениях между величинами Ct и St является необходимым условием оптимальности стратегии, а так как Ct+1>Ct и St+1t , то написанное условие является еще и достаточным условием оптимальности;
Для непрерывной задачи значение средних затрат Yt достигает оптимального значения в точке экстремума функции, выраженной одной из формул (7.4-7.5). Экстремум функции можно найти методами дифференциального исчисления (равенство нулю первой частной производной функции Yt по параметру t).
a) линейная зависимость
Оптимального периода списания нет. Если функции Ct и St линейные, то средние издержки эксплуатации оборудования будут постоянными, поэтому, если хотят произвести замену оборудования в любое время, достаточно обеспечить линейность характеристик Ct и St;
b) квадратичная зависимость
В этом случае средние издержки линейно зависят от периода эксплуатации.
1.3 Задача замены оборудования с учетом
приведения затрат к текущему моменту времени
Пусть в эксплуатации находится некоторое оборудование. Покупная цена нового оборудования известна и равна S. Допустим, что известны затраты на эксплуатацию оборудования в периоды 1, 2, …, n – С1, …, Сi, …, Cn. Для упрощения предположим, что цена St включена в затраты Ct. Требуется минимизировать затраты, приведенные к текущему моменту времени на единицу времени, т.е. определить, через какое время t следует производить замену оборудования, чтобы суммарные приведенные затраты на его эксплуатацию и на приобретение нового оборудования были минимальны.
Так, как капитальные вложения, связанные с заменой оборудования, осуществляются в разные сроки, то необходимо приводить более поздние затраты к текущим по формуле
где kt ¾ затраты в t периоде;
t ¾ период проведения ;
Eнп ¾ норматив для приведения разновременных затрат.
Обозначим через r = 1/(1+Енп); А тенге сегодня равны r t A=A/(1+Енп) t тенге в период t. Обозначим через Yt размер затрат, приведенных к текущему моменту времени, за все будущее время.
Чтобы затраты при замене оборудования были наименьшими должно выполняться условие (7.6) . Подставив (t+1) вместо t в целевую функцию Yt и выполнив ряд преобразований, получаем:
Аналогично, подставив (t-1) вместо t в целевую функцию Yt и выполнив ряд преобразований, находим:
Если теперь вместо Yt подставить его математическое выражение через искомый параметр, получим:
Из этого неравенства вытекают следующие правила замены оборудования:
1) если затраты на эксплуатацию оборудования в очередном периоде меньше средневзвешенных затрат за все предыдущие периоды, то оборудование не следует заменять;
2) если же затраты на эксплуатацию оборудования в очередном периоде превосходят средневзвешенные затраты за все предыдущие периоды, то оборудование следует заменять.
2 ПРИМЕР Выполнения лабораторной работы
2.1 постановка задачи
Для приведенных исходных данных определите оптимальный срок списания оборудования:
Покупная цена оборудования S=1500 у. е .
Затраты на эксплуатацию оборудования Ct= 30 *t
Норматив для приведения разновременных затрат Eнп=0,08
2.2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Решение задачи проводится по приведенному алгоритму.
Алгоритм 7.1. Решение задачи замены оборудования с учетом приведения затрат к текущему моменту времени.
1. Создание формы для ввода условий задачи.
Ø Откройте рабочий лист ЭТ Excel
Ø Сделать форму для ввода условий задачи (рисунок 7.1)
Весь текст на рисунке 7.1 и в дальнейшем является комментарием и на решение задачи не влияет.
2. Ввод исходных данных.
Ø В ячейки G2:G5 введите исходные данные S, Енп, А1, А2
Ø В ячейки А11:А25 введите значения t от 1 до 20, используя автозаполнение. На экране: Рисунок 7.2
3. Ввод зависимостей из математической модели (Рисунок 7.3)
3.1. Присвойте имена ячейкам G2:G5:
Ø М1
Ø Вставка, Имя, Присвоить…
На экране: диалоговое окно Присвоение имени
Ø Добавить
Ø Ок
Повторите действия для ячеек G3, G4, G5.
3.2. Заполните ячейку В8:
Ø В ячейку В8 введите формулу: = 1/(1+E).
Ø М1
Ø Формат, Ячейки…
На экране диалоговое окно Формат ячейки
Ø Курсор в окно Число десятичных знаков
Ø М1
Ø Введите: 3
Ø Ок
3.3. Заполните интервал В11:В25
Ø В ячейку В11 введите формулу: = A*A11+B*A11^2
Распространите формулу до ячейки B25
Ø Курсор в ячейку B11
Ø М1
Ø Курсор на правый нижний угол ячейки
Ø МН до В25
3.4. Заполните интервал С11:С25
Ø В ячейку С11 введите формулу: =$B$8^(A11-1)
Ø Распространите формулу до ячейки С25
3.5. Заполните интервал D11:D25
Ø В ячейку D11 введите формулу, для вычисления Y(t):
Распространите формулу до ячейки D25
3.6. Заполните интервал E11:E25
Ø В ячейку E11 введите формулу: = B11/(1-$B$8)
Ø Распространите формулу до ячейки E25
3.7. Заполните интервал F11:F24
Ø В ячейку F11 введите формулу:
Ø Распространите формулу до ячейки F24
3.8. Сделайте выводы по решению задачи.
Из таблицы, приведенной на рисунке 3 видно, что оптимальное время замены оборудования T= 12 лет. Минимальная величина целевой функции Y = 4754,309 у.е.
ЗАДАНИЕ
- Задача замены оборудования длительного пользования:
· По приведенным исходным данным определить уравнения регрессии Сt = F(t) и St = F(t) (выяснить тип зависимости: дискретная или функциональная; если функциональная, то линейная, квадратичная).
· Определить оптимальный период списания оборудования.
Для решения задачи можно воспользоваться методическими указаниями к лабораторной работе «Определение уравнения парной регрессии средствами ЭТ Excel».
- Задача замены оборудования с учетом приведения затрат к текущему моменту времени
· Для приведенных исходных данных определите оптимальный срок списания оборудования: покупная цена оборудования S=2000 у.е.; затраты на эксплуатацию оборудования Ct= 20 *t 2 +50*t; норматив для приведения разновременных затрат Eнп=0,08
Требования к отчету по лабораторной работе
Отчет должен содержать:
1. Условие задачи.
2. Результаты решения задачи.
3. Выводы по решению задачи.
Лабораторная работа N8
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).
© cyberpedia.su 2017-2020 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!
Ценность рассмотренных ранее задач состоит не только в их важном прикладном значении, но и в том, что многие другие реальные задачи, содержательно совершенно не связанные с условиями перечисленных задач, имеют аналогичные ММ и могут быть решены наиболее эффективными методами.
Пример такого типа задачи –
Задача о замене оборудования.
Пусть промышленное предприятие функционирует в течение некоторых промежутков времени с номерами . Для выполнения производственной программы предприятие арендует необходимое оборудование. Через какие-то промежутки времени оборудование заменяется на новое. Если оборудование эксплуатируется в промежутке времени (i, j), т.е. начинается эксплуатация в начале i-того периода и заменяется в начале j-того промежутка времени, то предприятие несет затраты (на аренду, тех. обслуживание, ремонт и т.п.).
Необходимо определить, в начале каких промежутков времени нужно заменять оборудование, чтобы суммарные затраты в течение рассматриваемых промежутков времени были бы минимальны.
Всевозможные случаи замены оборудования можно изобразить с помощью ориентированного графа:
Здесь узлы графа соответствуют номерам начала периодов. Если оборудование эксплуатируется в течение промежутка (i, j), то на графе ставится соответствующая дуга, взвешенная числом . Оборудование арендуется в начале 1-го периода, а процесс функционирования предприятия завершается в начале периода времени n.
Допустим, в процессе эксплуатации оборудование заменяется при i=2 и i=7, т.е. оборудование заменяется в начале первого, второго и седьмого периодов:
|
и эксплуатируется до узла n. Тогда, очевидно, общая сумма затрат будет равна . А это выражение есть ни что иное, как длина пути (1,2,7,n).Таким, образом, каждому варианту замены оборудования можно поставить в соответствие некоторый путь из узла 1 в узел n. Т.е. множество вариантов замены оборудования отражается множеством путей на рассматриваемом графе. Следовательно, задача оптимального плана замены оборудования эквивалентна задаче поиска кратчайшего пути из узла 1 в узел n на рассматриваемой сети. (Предложить студентам записать ММ самостоятельно.)
Одна задача календарного планирования трудовых ресурсов.
Рассматривается функционирование предприятия в условиях сурового климата, его производственная программа может быть связана дополнительно с сезонностью. В таких условиях предприятию невыгодно создавать постоянные производственные коллективы и соответствующую социально-экономическую инфраструктуру.
Пусть рассматривается функционирование предприятия в течение n-1 промежутка времени, причем известно потребное количество бригад рабочих Rk ( ) для выполнения производственной программы в течение к-того промежутка времени (периода). Если одна бригада рабочих на7имается в начале i-того промежутка и увольняется в начале j-того, т.е. используется в интервале (i,j), то затраты на содержание этой бригады равны .
Необходимо найти план найма и увольнения бригад, при котором в каждом промежутке времени должен выполняться заданный объем работ, а суммарные затраты на содержание бригад минимальны.
Всевозможные варианты найма и увольнения бригад можно изобразить в виде сети, в которой дуга (i,j) означает найм в начале i-того и увольнение в начале j-того периода.
Построение ММ.
Пусть - количество бригад, нанимаемых в начале i-того и увольняемых в начале j-того промежутков. Тогда ММ запишется:
(1)
(2)
, (3)
(4)
-целые (5)
В модели целевая функция (1) отражает суммарные затраты на содержание рабочих бригад. Ограничение (2) требует, чтобы в первом промежутке времени было ровно столько бригад, сколько требуется для выполнения работ на первом промежутке времени. Неравенство (3) допускает целесообразность содержания резервных бригад, т.к. они могут в конечном счете обойтись дешевле. Равенство (4) обеспечивает в последнем промежутке наличие ровно стольких бригад, сколько требуется. Условие (5) вытекает из физического смысла.
Модель (1)-(5) относится к классу задач линейного целочисленного программирования. Однако она тождественными преобразованиями сводится к модели транспортной задачи в сетевой постановке.
Неравенство (3) приводится к равенству введением доп. переменных:
, (6)
, (7)
Идея последующих тождественных преобразований заключается в следующем: из уравнений (7) и (4) соответственно вычитаем уравнения (2) и (7), записанные для участка с номером на единицу меньше. Запишем уравнение (7) для участка с номером к-1:
, (8)
Далее, вычтем (8) из (7):
Заметим: , и =
.
Проведя сокращения, можно записать:
, (9)
Если вычесть из уравнения (7) с номером к=2 уравнение (2), то получим:
, (10)
Теперь из уравнения (4) вычтем уравнение (7) с номером . Т.к. уравнение (4) аналогично (7) при и , то результат вычитания следует из формулы (9) при :
, (11)
К полученной системе уравнений (9)-(11) присоединим уравнения (2) и (4), умножив (4) слева и с права на –1:
, (12)
, (13)
Полученные уравнения (9)-(13) эквивалентны уравнениям исходной задачи, которая теперь свелась к задаче (1), (9)-(13) с условиями
,
-целые
Далее можно условно интерпретировать:
- объем перевозки по дуге (i,j).
R1- запас продукции в первом узле,
Rк- Rк-1 – запас продукции k-того узла ,
Rn-1 - запас продукции n-ого узла.
Тогда уравнение (12) интерпретируется как объем вывоза из первого узла, равный запасу продукции в этом узле, т.е. аналогично уравнению для истока транспортной сети. Уравнение (13) интерпретируется как объем продукции, привозимой в размере потребности в узел n, т.е. аналогичное уравнению для стока транспортной сети.
Рассмотрим уравнение (10):
- определяет объем продукции, вывозимый из узла 2,
- объем продукции, ввозимый в узел 2 по дуге (1,2).
В сеть вводится дополнительная дуга (3,2), по которой перевозится продукция в объеме . Тогда - суммарный объем продукции, привозимой в узел 2. Следовательно уравнение (10) можно интерпретировать как уравнение баланса для промежуточных узлов транспортной задачи в сетевой постановке.
Аналогично в сеть добавляются дуги (k,k-1) для всех с объемами перевозок .
Тогда уравнения (9) интерпретируются как уравнения баланса для промежуточных пунктов ТЗ в сетевой постановке: суммарный объем вывозимой продукции минус суммарный объем ввозимой продукции равняется запасу продукции в этих узлах.
Таким образом, задача календарного планирования трудовых ресурсов (1)-(5) тождественными преобразованиями и добавлением новых дуг свелась к модели транспортной задачи в сетевой постановке (1), (9)-(13).
Перечень документов по охране труда. Сроки хранения: Итак, перечень документов по охране труда выглядит следующим образом.
Социальное обеспечение и социальная защита в РФ: Понятие социального обеспечения тесно увязывается с понятием .
Поиск по сайту
Инструкция . Выберите количество лет (период эксплуатации), нажмите Далее . Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример).
Пример №1 . Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования на период продолжительностью 6 лет, если годовой доход r(t) и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста заданы в таблице, стоимость нового оборудования равна P = 13 , а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял 1 год.t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
r(t) | 8 | 7 | 7 | 6 | 6 | 5 | 5 |
s(t) | 12 | 10 | 8 | 8 | 7 | 6 | 4 |
I этап. Условная оптимизация (k = 6,5,4,3,2,1).
Переменной управления на k-м шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (С) или заменить (З) оборудование в начале k-го года.
1-й шаг: k = 6. Для 1-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5,6, а функциональные уравнения имеют вид:
F6(t) = max(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (З) )
F6(1) = max(7 ; 10 - 13 + 8) = 7 (C)
F6(2) = max(7 ; 8 - 13 + 8) = 7 (C)
F6(3) = max(6 ; 8 - 13 + 8) = 6 (C)
F6(4) = max(6 ; 7 - 13 + 8) = 6 (C)
F6(5) = max(5 ; 6 - 13 + 8) = 5 (C)
F6(6) = max(5 ; 4 - 13 + 8) = 5 (C)
2-й шаг: k = 5. Для 2-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5, а функциональные уравнения имеют вид:
F5(t) = max(r(t) + F6(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F6(1))
F5(1) = max(7 + 7 ; 10 - 13 + 8 + 7) = 14 (C)
F5(2) = max(7 + 6 ; 8 - 13 + 8 + 7) = 13 (C)
F5(3) = max(6 + 6 ; 8 - 13 + 8 + 7) = 12 (C)
F5(4) = max(6 + 5 ; 7 - 13 + 8 + 7) = 11 (C)
F5(5) = max(5 + 5 ; 6 - 13 + 8 + 7) = 10 (C)
F5(6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 7) = 6 (З)
3-й шаг: k = 4. Для 3-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4, а функциональные уравнения имеют вид:
F4(t) = max(r(t) + F5(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F5(1))
F4(1) = max(7 + 13 ; 10 - 13 + 8 + 14) = 20 (C)
F4(2) = max(7 + 12 ; 8 - 13 + 8 + 14) = 19 (C)
F4(3) = max(6 + 11 ; 8 - 13 + 8 + 14) = 17 (C/З)
F4(4) = max(6 + 10 ; 7 - 13 + 8 + 14) = 16 (C/З)
F4(5) = max(5 + 6 ; 6 - 13 + 8 + 14) = 15 (З)
F4(6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 14) = 13 (З)
4-й шаг: k = 3. Для 4-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3, а функциональные уравнения имеют вид:
F3(t) = max(r(t) + F4(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F4(1))
F3(1) = max(7 + 19 ; 10 - 13 + 8 + 20) = 26 (C)
F3(2) = max(7 + 17 ; 8 - 13 + 8 + 20) = 24 (C)
F3(3) = max(6 + 16 ; 8 - 13 + 8 + 20) = 23 (З)
F3(4) = max(6 + 15 ; 7 - 13 + 8 + 20) = 22 (З)
F3(5) = max(5 + 13 ; 6 - 13 + 8 + 20) = 21 (З)
F3(6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 20) = 19 (З)
5-й шаг: k = 2. Для 5-го шага возможные состояния системы t = 1,2, а функциональные уравнения имеют вид:
F2(t) = max(r(t) + F3(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F3(1))
F2(1) = max(7 + 24 ; 10 - 13 + 8 + 26) = 31 (C/З)
F2(2) = max(7 + 23 ; 8 - 13 + 8 + 26) = 30 (C)
F2(3) = max(6 + 22 ; 8 - 13 + 8 + 26) = 29 (З)
F2(4) = max(6 + 21 ; 7 - 13 + 8 + 26) = 28 (З)
F2(5) = max(5 + 19 ; 6 - 13 + 8 + 26) = 27 (З)
F2(6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 26) = 25 (З)
6-й шаг: k = 1. Для 6-го шага возможные состояния системы t = 1, а функциональные уравнения имеют вид:
F1(t) = max(r(t) + F2(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F2(1))
F1(1) = max(7 + 30 ; 10 - 13 + 8 + 31) = 37 (C)
F1(2) = max(7 + 29 ; 8 - 13 + 8 + 31) = 36 (C)
F1(3) = max(6 + 28 ; 8 - 13 + 8 + 31) = 34 (C/З)
F1(4) = max(6 + 27 ; 7 - 13 + 8 + 31) = 33 (C/З)
F1(5) = max(5 + 25 ; 6 - 13 + 8 + 31) = 32 (З)
F1(6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 31) = 30 (З)
Результаты вычислений по уравнениям Беллмана Fk(t) приведены в таблице, в которой k - год эксплуатации, а t - возраст оборудования.
Таблица – Матрица максимальных прибылей
k / t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
1 | 37 | 36 | 34 | 33 | 32 | 30 |
2 | 31 | 30 | 29 | 28 | 27 | 25 |
3 | 26 | 24 | 23 | 22 | 21 | 19 |
4 | 20 | 19 | 17 | 16 | 15 | 13 |
5 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 6 |
6 | 7 | 7 | 6 | 6 | 5 | 5 |
В таблице выделено значение функции, соответствующее состоянию (З) - замена оборудования.
При решении данной задачи в некоторых таблицах при оценке выбора нужного управления мы получали одинаковые значения F для обоих вариантов управления. В этом случае, в соответствии с алгоритмом решения подобных задач необходимо выбирать управление сохранения оборудования.
II этап. Безусловная оптимизация (k = 6,5,4,3,2,1).
По условию задачи возраст оборудования равен t1=1 годам. Плановый период N=6 лет.
К началу 1-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t1 = t0 + 1 = 0 + 1 = 1. Прибыль составит F1(1)=37.
Оптимальное управление при k = 1, x1(1) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 1-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 2-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t2 = t1 + 1 = 1 + 1 = 2. Прибыль составит F2(2)=30.
Оптимальное управление при k = 2, x2(2) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 2-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 3-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t3 = t2 + 1 = 2 + 1 = 3. Прибыль составит F3(3)=23.
Безусловное оптимальное управление при k = 3, x3(3)=(З), т.е. для получения максимума прибыли за оставшиеся годы необходимо в этом году провести замену оборудования.
К началу 4-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t4 = t3 + 1 = 0 + 1 = 1. Прибыль составит F4(1)=20.
Оптимальное управление при k = 4, x4(1) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 1-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 5-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t5 = t4 + 1 = 1 + 1 = 2. Прибыль составит F5(2)=13.
Оптимальное управление при k = 5, x5(2) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 2-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 6-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t6 = t5 + 1 = 2 + 1 = 3. Прибыль составит F6(3)=6.
Оптимальное управление при k = 6, x6(3) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 3-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
F1(1) → (C) → F2(2) → (C) → F3(3) → (З) → F4(1) → (C) → F5(2) → (C) → F6(3) → (C) →
Таким образом, за 6 лет эксплуатации оборудования замену надо произвести в начале 3-го года эксплуатации
Пример №2 . Задача планирования капитальных вложений. Интервал планирования Т=5 лет. Функция затрат на ремонт и дальнейшую эксплуатацию K(t)=t+2t 2 (р.); функция замены P(t)=10+0.05t 2 (р.). Определить оптимальную стратегию замены и ремонта для нового оборудования (t=0) и оборудования возраста t=1, t=2, t=3.
Определить оптимальные планируемые затраты по годам пятилетки, если количество оборудования по возрастным группам следующие: n(t=0)=10, n(t=1)=12, n(t=2)=8, n(t=3)=5
Правила ввода данных
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Поиск
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Важной практической задачей является определение оптимальных сроков замены старых станков, производственных зданий, агрегатов, машин и т.д., другими словами – старого оборудования, на новое. Критерием оптимальности при определении сроков замены может служить либо прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует максимизировать, либо суммарные затраты на эксплуатацию, подлежащие минимизации.
Рассмотрим модель динамического программирования задачи о замене оборудования.
Определить оптимальные сроки замены оборудования в течение n лет, при которых прибыль от эксплуатации оборудования максимальна, если известны: Р – начальная стоимость оборудования; f(t) – стоимость производимой продукции на оборудовании возраста t лет; r(t) – стоимость эксплуатационных издержек;φ(t) – ликвидная стоимость оборудования возраста t лет.
При составлении модели ДП процесс замены рассматривается как n-шаговый процесс. В начале каждого промежутка (года, месяца, недели и т.д.) принимается решение либо о сокращении оборудования, либо о сохранении оборудования, либо о его замене, поэтому управление на k-м шаге содержит всего лишь две альтернативные переменные. Функциональные уравнения благодаря этому содержат две величины: одна выражает условную прибыль (условные затраты) при сохранении оборудования, другая – тот же показатель при замене оборудования.
Состояние системы в начале k-го шага: ε k-1 = t – возраст оборудования. В конце k-го шага под влиянием управления u c (решение о сохранении оборудования) система перейдет в состояние ε k-1 = t+1, т.е. возраст оборудования увеличится на один год. Под влиянием управления u з (решение о замене оборудования) система из состояния ε k-1 = t перейдет в состояние ε k-1 = 1, т.е. произвели замену оборудования в начале k-го года, поэтому в конце k-го года возраст оборудования равен одному году.
Таким образом, уравнение состояния имеет вид (1)
Используя обратную вычислительную схему решения, составим функциональное уравнение. Для этого найдем зависимость между двумя величинами, входящими в условие задачи, на двух смежных этапах. Если сохранить оборудование, возраст которого t лет, то прибыль предприятия от его использования состоит из прибыли на n-м шаге, которая рассчитывается как разность [f(t) – r(t)] и прибыли, полученной на (n + 1)-м шаге, считая от конца процесса, при работе оборудования, возраст которого (t + 1) лет, т.е. Fn = f(t) – r(t) + Fn+1(t+1), (2) Если на n-м шаге оборудование, возраст которого t лет, заменить новым, то прибыль после такой замены будет рассчитываться по формуле (3), где f(0) – стоимость продукции, произведенной на оборудовании, возраст которого 0 лет, r(0) – эксплуатационные издержки, Fn+1(1) – прибыль полученная на (n + 1)-м шаге, рассчитывая от конца процесса, при работе оборудования, возраст которого (0+1) лет. Fn = φ(t) + f(0) – P - r(0) + Fn+1(1), (3) Таким образом, если величина прибыли (2) будет больше или равна величине прибыли (3), то нужно работать на старом оборудовании, в противном случае оборудование следует заменить.
Объединяя (2) и (3), получаем соотношения Беллмана: , (4) Для последнего шага, т.е. когда возраст оборудования равен n лет, слагаемые Fn+1*(t+1) и Fn+1*(1) из выражения (4) не имеют смысла, поэтому мы исключаем их из уравнения, которое запишется следующим образом: , (5) Уравнения Беллмана (4) и (5) позволяют определить величину Fk*( t) и Fk+1*(t+1), где при переходе от одного шага к другому возраст оборудования и число пройденных этапов увеличиваются от t до (t + 1) и от n до (n + 1) соответственно.
Пример. В начале планового периода продолжительностью в N лет имеется оборудование возраста t . Известны стоимость r(t) продукции, производимой в течение года с использованием этого оборудования; ежегодные расходы u(t) , связанные с эксплуатацией оборудования; его остаточная стоимость s; стоимость p нового оборудования (сюда же включены расходы, связанные с установкой, наладкой и запуском оборудования). Требуется:
1) пользуясь функциональными уравнениями, составить матрицу максимальных прибылей fn(t) за N лет;
2) сформировать по матрице максимальных прибылей оптимальные стратегии замены оборудования данных возрастов t и t1 лет в плановом периоде продолжительностью соответственно N и N1 лет.
Правила ввода данных
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Поиск
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Состояние системы (S) характеризуется возрастом оборудования
t = 0, 1, …. Значение t = 0 соответствует новому оборудованию.
В формулах максимальная прибыль на очередном шаге определяется с учетом всех возможных состояний системы, в которых она может находиться сразу после принятия решения в начале данного года.
Основное функциональное уравнение на последнем N-ом шаге:
FN(SN-1, xN) = max ZN(SN-1, xN)
При произвольном шаге (i
Прибыль на i-ом шаге будет определяться следующей парой формул:
- при управлении «сохранение»
Fi(S H i, xi) = r(Si, xi) - u(S H i)
- при управлении «замена»
Zi(S H i, xi) = s - p + r(0) - u(0)
Для нашего примера расчет начинается с последнего, четвертого года планового периода:
F4(S3, x4) = max Z4(S H 3, x4)
при этом:
- в случае «сохранения» оборудования:
Z4(S H 4, x4) = r(S H 4) - u(S H 4)
- в случае «замены»:
Z4(S H 4, x4) = 4 - 13 + 27 - 15 = 3
Составляется 1-ая таблица, рассматриваемая все возможные НАЧАЛЬНЫЕ состояния оборудования, т.е. его возраст S3 = 1 - 6 лет, начиная с конца - последнего шага.
Таблица 1. F4(S3, x4) = max Z4(S H 3, x4)
Шаг 4
Возраст S3 в конце 3-го шага | Управление x4 | Предполагаемый возраст S H 4 в начале 4-го шага | Прибыль Z4 | Max доход на F4 шаге |
1 | Сохранение | 1 | 11 | 11 |
Замена | 0 | 3 | ||
2 | Сохранение | 2 | 10 | 10 |
Замена | 0 | 3 | ||
3 | Сохранение | 3 | 9 | 9 |
Замена | 0 | 3 | ||
4 | Сохранение | 4 | 8 | 8 |
Замена | 0 | 3 | ||
55 | Сохранение | 5 | 6 | 6 |
Замена | 0 | 3 | ||
6 | Сохранение | 6 | 2 | 3 |
Замена | 0 | 3 |
Анализ таблицы показывает, что заменять оборудование выгодно только в том случае, если его возраст уже равен 6 годам, т.е. по условиям оборудование нельзя использовать далее.
Теперь анализируем ситуацию перед третьим годом исследуемого периода.
F3(S2, x4) = max 3(S H 3, x3) + F4(S3)>
при этом:
- в случае «сохранения оборудования»
Z3(S H 3, x3) = r(S H 3) - u(S H 3)
- в случае «замены»
Z3(S H 3, x3) = 4 - 13 + 27 - 15 = 3
Следует оптимизировать расходы за последний и предпоследний годы (за двухлетний период).
Оптимальная прибыль за 4-ый год берется из таблицы 1.
Учтем, что S H 2 - возраст оборудования в начале третьего года сразу после принятия решения о его «сохранении» или «замене»;
S3 - возраст оборудования к концу третьего года.
Данные в колонку F4 переносятся из предыдущей таблице в соответствии со значением параметра S3.
Таблица 2. F3(S2, x4) = max 3(S H 3, x3) + F4(S3)> Шаг 3
S1 | x3 | S H 2 | Z3 из таблицы 1 | Возраст S3 в конце 3 шага | F4 | Z3 + F4 | F3 |
1 | Сохранение | 1 | 11 | 2 | 10 | 21 | 21 |
Замена | 0 | 3 | 1 | 11 | 14 | ||
2 | Сохранение | 2 | 10 | 3 | 9 | 19 | 19 |
Замена | 0 | 3 | 1 | 11 | 14 | ||
3 | Сохранение | 3 | 9 | 4 | 8 | 17 | 17 |
Замена | 0 | 3 | 1 | 11 | 14 | ||
+4 | Сохранение | 4 | 8 | 5 | 6 | 14 | 14 |
Замена | 0 | 3 | 1 | 11 | 14 | ||
5 | Сохранение | 5 | 6 | 6 | 3 | 9 | 14 |
Замена | 0 | 3 | 1 | 11 | 14 | ||
6 | Сохранение | 6 | 2 | - | - | - | 14 |
Замена | 0 | 3 | 1 | 11 | 14 |
Также проводится условная оптимизация на начало второго года (шаг 2) и составляется таблица 3.
Таблица 3. F2 (S1,x4) = max 2(S H 2, x2) + F3(S2)> Шаг 2
S1 | x2 | S H 1 | Z2 | S2 | F3 | Z2 + F3 | F2 |
1 | Сохранение | 1 | 11 | 2 | 19 | 30 | 30 |
Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
2 | Сохранение | 2 | 10 | 3 | 17 | 27 | 27 |
Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
3 | Сохранение | 3 | 9 | 4 | 14 | 23 | 24 |
Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
4 | Сохранение | 4 | 8 | 5 | 14 | 22 | 24 |
Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
5 | Сохранение | 5 | 6 | 6 | 14 | 20 | 24 |
Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
6 | Сохранение | 6 | 2 | - | - | - | 24 |
Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 |
Также проводится условная оптимизация на начало первого года (шаг 1) и составляется таблица 4, которая завершает условную оптимизацию.
Таблица 4. F1 (S0, x4) = max 1(S H 1, x1) + F2(S1)> Шаг 1
S1 | x2 | S H 1 | Z2 | S2 | F3 | Z2 + F3 | F2 |
1 | Сохранение | 1 | 11 | 2 | 19 | 30 | 30 |
Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
2 | Сохранение | 2 | 10 | 3 | 17 | 27 | 27 |
Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
3 | Сохранение | 3 | 9 | 4 | 14 | 23 | 24 |
Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
4 | Сохранение | 4 | 8 | 5 | 14 | 22 | 24 |
Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
5 | Сохранение | 5 | 6 | 6 | 14 | 20 | 24 |
Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
6 | Сохранение | 6 | 2 | - | - | - | 24 |
Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 |
С помощью таблиц условной оптимизации можно сформулировать оптимальную политику в отношении оборудования любого возраста не старше 6 лет в течение 4-х летнего периода.
Для наглядности основные результаты, содержащиеся в последних столбцах четырех последних построенных таблиц, оформляются в виде сводной таблицы, которая называется матрицей максимальных прибылей, и выделяются элементы, ниже которых расположены показатели суммарной прибыли, соответствующие выбору управления «ЗАМЕНА».
Элементы, расположенные выше линии выделения, находятся в области «СОХРАНЕНИЯ» оборудования.
Матрица максимальных прибылей
t | ГОДЫ | |||
1-4 | 2-4 | 3-4 | 4 | |
0 | 42 | - | - | - |
1 | 38 | 30 | 21 | 11 |
2 | 34 | 27 | 19 | 10 |
3 | 33 | 24 | 17 | 9 |
4 | 33 | 24 | 14 | 8 |
5 | 33 | 24 | 14 | 6 |
6 | 33 | 24 | 14 | 3 |
Сформулируем оптимальную политику в отношении оборудования, возраст которого 2 года.
В матрице прибылей для t = 2 в первой колонке стоит суммарная прибыль 34 д.ед. за четыре года, при этом выбор управления «СОХРАНЕНИЕ».
К началу второго года возраст оборудования составит 3 года, поэтому в следующей колонке выбирается строка, соответствующая возрасту 3 года.
Оптимальная прибыль за второй - четвертый годы - 24 д.ед., и мы находимся в области «ЗАМЕНЫ» оборудования, следовательно, к началу 3-го года оборудование будет иметь возраст 1 год.
Прибыль за третий - четвертый годы для такого оборудования равна 21 д.ед., за последний четвертый год - 10 д.ед. (при возрасте t = 2).
ВЫВОД: рекомендуется замена оборудования в начале 2-го года эксплуатации.
Читайте также: