Решение тригонометрических уравнений в excel
В данной работе представлен обучающий тренажер, созданный в программе Excel, по решению тригонометрических уравнений, которые в силу дополнительных условий, связанных с ОДЗ, предполагают необходимость производить отбор корней.
-
формирование навыков решения тригонометрических уравнений с отбором корней;
- систематизация возможных ограничений, связанных с ОДЗ и влияющих на отбор корней;
- расширение видов деятельности по подготовке к ЕГЭ (в частности, ведение “диалога с компьютером”)
-
способствовать развитию внимания, логического мышления, математической интуиции, умению анализировать и применять знания,
- побудить у учащихся осознание необходимости системной подготовки к ЕГЭ.
Выполнение тренажера рассчитано на 45-60 минут.
Рекомендуемый класс: 10-11
Средства обучения: персональные компьютеры для каждого учащегося.
Среда - Excel 2003
Тренажер предлагает три основных задания (в соответствии с традиционной методикой изучения нового материала).
В первом задании учащимся предлагается заполнять желтые клетки- пропуски по ходу решения основного уравнения и ответить на дополнительные вопросы. При этом тренажер осуществляет проверку каждого шага решения и предлагает некоторые комментарии к предложенным ответам.
Далее ученик должен выполнить свое индивидуальное задание - 12 тригонометрических уравнений, созданных на основе одного базового квадратного уравнения, с различными условиями на ОДЗ. В тренажере они названы структурами.
В тренажере предложено 28 вариантов-клонов. Вариант каждого ученика соответствует его номеру в классном журнале. Подставляя индивидуальные параметры в структуры уравнений, ученик получает свое индивидуальное задание.
Для корректной работы тренажера НЕ ЗАБУДЬТЕ ЗАПОЛНИТЬ ЯЧЕЙКУ N2 на странице “Домашнее задание”. Так как соответствующее квадратное уравнение может иметь только один подходящий для данного задания корень, то именно он называется “хорошим”, его надо ввести в виде обыкновенной дроби с использованием символа “/”.
Форма записи ответа обуславливается спецификой программы Excel,в которой создан тренажер. Но недостатки программы можно легко превратить в ее достоинства, если просто обратить особое внимание на необходимость писать коэффициенты 0 или 1 перед множителем и на знаменатель 1 в записи целого числа.
В третьем задании учащимся предлагается оценить решение 10 уравнений данной тематики по критериям ЕГЭ. Для этого им следует просто поставить балл в желтую клетку рядом с соответствующим решением.
При правильном выставлении балла появляется комментарий поясняющий логику выставления данного балла с точки зрения его соответствия критериям ЕГЭ.
На итоговой странице тренажера автоматически выставляется отметка в зависимости от количества выполненных заданий
В завершении работы с заданиями данного типа можно предложить учащимся на уроке традиционную самостоятельную работу, содержащую 3 уравнения из разных структур с разными параметрами. Данный тренажер позволяет составить избыточное количество вариантов для подобной работы. А поскольку “хороших” корней основного квадратного уравнения всего два, то заполнив обе страницы ОТВЕТЫ 1 и ОТВЕТЫ 2 можно получить “ответник” для всех таких заданий.
PPS В дальнейшем в проект “Компьютерный учитель №1” планируется включить дополнительные вопросы, связанные со значениями тригонометрических функций и , и создать страницы ОТВЕТЫ 3,4,5 и 6, увеличив тем самым количество вариантов для индивидуальной работы.
Приложение 1. Обучающий тренажер “Компьютерный учитель №1”
Приложение 2. “Ответник-1” на варианты “КУ_ №1” с “хорошим” корнем -1/2
Приложение 3. “Ответник-2” на варианты “КУ_ №1” с “хорошим” корнем 1/2
Функция SIN в Excel используется для вычисления синуса угла, заданного в радианах, и возвращает соответствующее значение.
Функция SINH в Excel возвращает значение гиперболического синуса заданного вещественного числа.
Функция COS в Excel вычисляет косинус угла, заданного в радианах, и возвращает соответствующее значение.
Функция COSH возвращает значение гиперболического косинуса заданного вещественного числа.
Примеры использования функций SIN, SINH, COS и COSH в Excel
Пример 1. Путешественник движется вверх на гору с уклоном в 17°. Скорость движения постоянная и составляет 4 км/ч. Определить, на какой высоте относительно начальной точке отсчета он окажется спустя 3 часа.
Для решения используем формулу:
- B2*B3 – произведение скорости на время пути, результатом которого является пройденное расстояние (гипотенуза прямоугольного треугольника);
- SIN(РАДИАНЫ(B1)) – синус угла уклона, выраженного в радианах с помощью функции РАДИАНЫ.
В результате расчетов мы получили величину малого катета прямоугольного треугольника, который характеризует высоту подъема путешественника.
Таблица синусов и косинусов в Excel
Пример 2. Ранее в учебных заведениях широко использовались справочники тригонометрических функций. Как можно создать свой простой справочник с помощью Excel для косинусов углов от 0 до 90?
Заполним столбцы значениями углов в градусах:
Для заполнения используем функцию COS как формулу массива. Пример заполнения первого столбца:
Вычислим значения для всех значений углов. Полученный результат:
Примечание: известно, что cos(90°)=0, однако функция РАДИАНЫ(90) определяет значение радианов угла с некоторой погрешностью, поэтому для угла 90° было получено отличное от нуля значение.
Аналогичным способом создадим таблицу синусов в Excel:
Построение графика функций SINH и COSH в Excel
Пример 3. Построить графики функций sinh(x) и cosh(x) для одинаковых значений независимой переменной и сравнить их.
Формула для нахождения синусов гиперболических:
Формула для нахождения косинусов гиперболических:
Таблица полученных значений:
Построим графики обеих функций на основе имеющихся данных. Выделите диапазон ячеек A1:C12 и выберите инструмент «ВСТАВКА»-«Диаграммы»-«Вставь точечную (X,Y) или пузырьковую диаграмму»-«Точечная с гладкими кривыми и маркерами»:
Как видно, графики совпадают на промежутке (0;+∞), а в области отрицательных значений x части графиков являются зеркальными отражениями друг друга.
Особенности использования тригонометрических функций в Excel
Синтаксис функции SIN:
Синтаксис функции SINH:
Синтаксис функции COS:
Синтаксис функции COSH:
Каждая из приведенных выше функций принимает единственный аргумент число, который характеризует угол, заданный в радианах (для SIN и COS) или любое значение из диапазона вещественных чисел, для которого требуется определить гиперболические синус или косинус (для SINH и COSH соответственно).
В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.
Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.
Решение уравнений методом подбора параметров Excel
Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.
Путь к команде: «Данные» - «Работа с данными» - «Анализ «что-если»» - «Подбор параметра».
Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х 2 + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:
- Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.
- Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» - ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» - В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.
- После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».
Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».
Как решить систему уравнений матричным методом в Excel
Дана система уравнений:
- Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.
- Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.
- Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
- Умножим обратную матрицу Ах -1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.
- Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.
Получены корни уравнений.
Решение системы уравнений методом Крамера в Excel
Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:
Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.
Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.
Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).
Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (Dx / |A|).
Для расчета Х1: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х2: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:
Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel
Для примера возьмем простейшую систему уравнений:
3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9
Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.
Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.
- Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.
- Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.
- Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.
- Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: .
- В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки (). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты (). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.
Примеры решения уравнений методом итераций в Excel
Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:
Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х 3 + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:
M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:
f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.
Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х 3 – 1. М = 11.
В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).
В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.
Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:
Microsoft Office Excel может здорово помогать студентам и магистрантам в решении различных задач из высшей математики. Не многие пользователи знают, что базовые математические методы поиска неизвестных значений в системе уравнений реализованы в редакторе. Сегодня рассмотрим, как происходит решение уравнений в excel.
Первый метод
Суть этого способа заключается в использовании специального инструмента программы – подбор параметра. Найти его можно во вкладке Данные на Панели управления в выпадающем списке кнопки Анализ «что-если».
1. Зададимся простым квадратичным уравнением и найдем решение при х=0.
2. Переходите к инструменту и заполняете все необходимые поля
3. После проведения вычислений программа выдаст результат в ячейке с иксом.
4. Подставив полученное значение в исходное уравнение можно проверить правильность решения.
Второй метод
Используем графическое решение этого же уравнения. Суть заключается в том, что создается массив переменных и массив значений, полученных при решении выражения. Основываясь на этих данных, строится график. Место пересечения кривой с горизонтальной осью и будет неизвестной переменной.
1. Создаете два диапазона.
На заметку! Смена знака результата говорит о том, что решение находится в промежутке между этими двумя переменными.
2. Переходите во вкладку Вставка и выбираете обычный график.
3. Выбираете данные из столбца f (x), а в качестве подписи горизонтальной оси – значения иксов.
Важно! В настройках оси поставьте положение по делениям.
4. Теперь на графике четко видно, что решение находится между семеркой и восьмеркой ближе к семи. Чтобы узнать более точное значение, необходимо изменять масштаб оси и уточнять цифры в исходных массивах.
Такая исследовательская методика в первом приближении является достаточно грубой, однако позволяет увидеть поведение кривой при изменении неизвестных.
Третий метод
Решение систем уравнений можно проводить матричным методом. Для этого в редакторе есть отдельная функция МОБР. Суть заключается в том, что создаются два диапазона: в один выписываются аргументы при неизвестных, а во второй – значения в правой стороне выражения. Массив аргументов трансформируется в обратную матрицу, которая потом умножается на цифры после знака равно. Рассмотрим подробнее.
1. Записываете произвольную систему уравнений.
2. Отдельно выписываете аргументы при неизвестных в каждую ячейку. Если нет какого-то из иксов – ставите ноль. Аналогично поступаете с цифрами после знака равно.
3. Выделяете в свободной зоне диапазон ячеек равный размеру матрицы. В строке формул пишете МОБР и выбираете массив аргументов. Чтобы функция сработала корректно нажимаете одновременно Ctrl+Shift+Enter.
4. Теперь находите решение при помощи функции МУМНОЖ. Также предварительно выделяете диапазон размером с матрицу результатов и нажимаете уже известное сочетание клавиш.
Четвертый метод
Методом Гаусса можно решить практически любую систему уравнений. Суть в том, чтобы пошагово отнять одно уравнение из другого умножив их на отношение первых коэффициентов. Это прямая последовательность. Для полного решения необходимо еще провести обратное вычисление до тех пор, пока диагональ матрицы не станет единичной, а остальные элементы – нулевыми. Полученные значения в последнем столбце и являются искомыми неизвестными. Рассмотрим на примере.
Важно! Если первый аргумент является нулевым, то необходимо поменять строки местами.
1. Зададимся произвольной системой уравнений и выпишем все коэффициенты в отдельный массив.
2. Копируете первую строку в другое место, а ниже записываете формулу следующего вида: =C67:F67-$C$66:$F$66*(C67/$C$66).
Поскольку работа идет с массивами, нажимайте Ctrl+Shift+Enter, вместо Enter.
3. Маркером автозаполнения копируете формулу в нижнюю строку.
4. Выделяете две первые строчки нового массива и копируете их в другое место, вставив только значения.
5. Повторяете операцию для третьей строки, используя формулу
=C73:F73-$C$72:$F$72*(D73/$D$72). На этом прямая последовательность решения закончена.
6. Теперь необходимо пройти систему в обратном порядке. Используйте формулу для третьей строчки следующего вида =(C78:F78)/E78
7. Для следующей строки используйте формулу =(C77:F77-C84:F84*E77)/D77
8. В конце записываете вот такое выражение =(C76:F76-C83:F83*D76-C84:F84*E76)/C76
9. При получении матрицы с единичной диагональю, правая часть дает искомые неизвестные. После подстановки полученных цифр в любое из уравнений значения по обе стороны от знака равно являются идентичными, что говорит о правильном решении.
Метод Гаусса является одним из самых трудоемких среди прочих вариантов, однако позволяет пошагово просмотреть процесс поиска неизвестных.
Как видите, существует несколько методов решения уравнений в редакторе. Однако каждый из них требует определенных знаний в математике и четкого понимания последовательности действий. Однако для упрощения можно воспользоваться онлайн калькулятором, в который заложен определенный метод решения системы уравнений. Более продвинутые сайты предоставляют несколько способов поиска неизвестных.
Электронные таблицы EXCEL можно использовать при изучении многих разделов физики, математики и других предметов. Одной из тем, является математическая тема: «Анализ тригонометрических функций». Данная работа будет посвящена использованию электронных таблиц EXCEL в анализе тригонометрических функций. В ней, используя знания и навыки работы с мастером функций и диаграмм Excel, будет проведен анализ тригонометрических функций с проведением расчетов по формулам и с построением графиков, используя ссылки.
Для анализа элементарных функций необходимо уметь решать следующие задачи:
- определение возрастания или убывания функции на заданном интервале,
- определение максимума (минимума) данной функции на заданном интервале,
- определение четности данной функции на заданном интервале,
- определение периодичности данной функции на заданном интервале,
Каждая из этих задач может быть решена разным способом. В данной работе рассмотрен один из вариантов их решения.
ЗАДАЧА №1. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ВОЗРАСТАНИЕ.
Признаком возрастания или убывания заданной функции на заданном отрезке можно предложить результат действия функции EXCEL – ЗНАК(…) –, определяющей знак числа: =ЗНАК(f(x2) – f(x1)),
где
x1, x2 – значения концов заданного интервала,
f(x2) – последующее значение функции,
f(x1) – предыдущее значение функции.
При результате действия функции ЗНАК(…) равном 1 функция возрастает; а если результат равен (–1), то функция убывает на заданном отрезке.
ЗАДАЧА №2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ.
- выделить ячейку для результата,
- задать соответствующую функцию в мастере функций,
- замаркировать диапазон значений, для которых определяем максимальное или минимальное значение,
- запустить на выполнение.
ЗАДАЧА №3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ЧЕТНОСТЬ И НЕЧЕТНОСТЬ.
- проверка равенства модулей f(x) и f(–x) для всех значений аргумента,
- определение четности или нечетности заданной функции.
Проверку равенства модулей можно проводить на основе следующей формулы: ABS(ABS(f(x)) – ABS( f(–x)))
Значение данной сумы для всех без исключения строк должно быть равно «0», в противном случае не может быть речи о четности или нечетности заданной функции.
Очевидно, что для четной или нечетной функции автосумма столбца значений данной функции равна «0».
Для определения четности заданной функции воспользуемся формулой:
ABS (f(x) – f(–x))
И определим для полученных по этой формуле значений автосумму. Если автосумма равна нулю, то заданная функция – четная, иначе – не четная.
Просматривая результаты расчетов, можно сделать вывод, что функция Y=SIN(X) НЕЧЕТНАЯ.
ЗАДАЧА №4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ПЕРИОДИЧНОСТЬ.
Для полученных значений определяем для каждого значения аргумента значение формулы: =ABS(Sin(x) – Sin(x+Pi))
И для всех, полученных по данной формуле значений, определяем автосумму. Если автосумма равна нулю, то данная функция действительно имеет период равный 2*Pi.
Просматривая результаты расчетов, можно сделать вывод, что функция Y=SIN(X) ПЕРИОДИЧЕСКАЯ, период этой функции T=2*PI .
Практические задания для выполнения в электронных таблицах
ЗАДАНИЕ N 1: "АНАЛИЗ ФУНКЦИИ Y=SIN(X) НА МАКСИМУМ, МИНИМУМ"
Фамилия Класс
Написать на 1 листе, начиная в ячейке A1, А2 тему урока, A3 задание, в А4 фамилию, класс.
В пятой строке сделать надписи:Номер; Угол X; SIN(X).
С помощью автозаполнения с шестой строки ввести в столбец A номера точек (17) от 0 до 16, в столбец B значение углов X от –360 градусов до +360 через 45 градусов, по которым будут рассчитаны значения функции в этих точках и построен график функции Y=SIN(X).
В ячейке E24 сделать надпись: Конст. ПИ, в F24 ввести значение константы ПИ, выбрав его с помощью мастера функций из категории "Математические".
В столбце С посчитать значения функции Y=SIN(X) , задав относительные ссылки (B6, B7. B22) на значения угла в градусах для столбца В, и абсолютную ссылку $F$24 на ячейку F24,при переводе значений углов из градусов в радианы.
Пример формулы расчета в ячейке С6: =SIN(B6*$F$24/180)
В ячейке B23 сделать надпись МАКС=, в C23 определить значение максимума для функции SIN(X) по столбцу С от C6 до C22.
В ячейке B24 сделать надпись МИН=, в C24 определить значение минимума для функции SIN(X) по столбцу С от C6 до C22.
Внизу под вычислениями построить точечный график функции Y=SIN(X) по диапазону B6:C22.
ЗАДАНИЕ N 2: « АНАЛИЗ ФУНКЦИИ Y=SIN(X) НА ПЕРИОДИЧНОСТЬ».
Фамилия Класс
ЗАДАНИЕ N 3: «АНАЛИЗ ФУНКЦИИ Y=SIN(X) НА ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ».
Фамилия Класс
ЗАДАНИЕ N 4: «АНАЛИЗ ФУНКЦИИ Y=SIN(X) НА ЧЕТНОСТЬ».
Фамилия Класс
Данная работа посвящена исследованию тригонометрических функций. Именно на примере функции SIN(X) продемонстрированы возможности электронных таблиц Excel для анализа функций. Было показано, как можно определить участки возрастания или убывания функции, как определить их максимальное и минимальное значения на заданном интервале аргумента, как можно определить периодичность функции, ее четность или нечетность.
В школе был проведен открытый интегрированный урок: Информатика – Математика по теме: «Исследование тригонометрических функций с помощью электронных таблиц». На этом уроке участники каждой группы с помощью демонстрационной презентации рассказали о постановке своих задач, а в Excel показали, как они решаются.
Данная работа может использоваться в школах, как дополнительное пособие при изучении соответствующих разделов математики и информатики.
Читайте также: