Равномерное распределение в excel
Напомним, что соответствие между отдельными возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан таблицей вида
При распределении, заданном таблично, математическое ожидание вычисляется по формуле:
Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
Среднеквадратичное отклонение дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
Пример 1 . Вероятностный прогноз для величины Х – процентного изменения стоимости акций по отношению к текущему курсу в течение шести месяцев дан в виде закона распределения
Требуется вычислить вероятность того, что покупка акций будет более выгодна, чем помещение денег на банковский депозит под 3% в месяц сроком на 6 месяцев.
Решение
Вычислим в MS Excel прирост суммы по депозиту за 6 месяцев (рис. 1).
Таким образом, прирост суммы по депозиту за 6 месяцев составит 19,41%.
Вероятность того, что покупка акций выгоднее депозита, определяется суммой вероятностей, соответствующих курсу акций более 19,41%:
Можно сделать вывод, что предпочтительнее покупка акций.
Биноминальное распределение
Биноминальное распределение – одно из самых распространенных дискретных распределений, которое служит моделью для многих процессов.
Для вычисления вероятности отдельного значения биноминального распределения или значения случайной величины по заданной вероятности в табличном процессоре есть функции БИНОМ.РАСП и БИНОМ.ОБР.
Функция БИНОМ.РАСП применяется для вычисления вероятности в задачах с фиксированным числом испытаний или тестов, когда результатом любого испытания может быть только успех или неудача.
Функция имеет параметры:
БИНОМ.РАСП ( число_успехов; число_испытаний; вероятность_успеха; интегральная ), где
• число_успехов- количество успешных испытаний;
• число_испытаний – к оличество независимых испытаний;
• вероятность_успеха – вероятность успеха каждого испытания;
• интегральная – логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент интегральная имеет значение ИСТИНА, то функция возвращает интегральную функцию распределения, т.е. вероятность того, что число успешных испытаний не менее значения аргумента число_успехов. Если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, то вычисляется значение функции плотности распределения, т.е. вероятность того, что число успешных испытаний равно значению аргумента число_успехов.
Функция БИНОМ.ОБР служит для вычисления наименьшего числа успешных исходов случайной величины, для которого интегральное биноминальное распределение больше или равно заданной величине (критерию). Функция имеет параметры:
БИНОМ.ОБР (число_испытаний; вероятность_успеха; альфа), где
• число_испытаний - к оличество независимых двухальтернативных испытаний;
• вероятность_успеха - вероятность успеха каждого испытания;
• альфа – значение критерия, которое является уровнем значимости.
Пример 2 . Банк выдает 5 кредитов различным заемщикам. Вероятность невозврата кредита равна 0,2 для каждого из заемщиков. Составить таблицу закона распределения количества заемщиков, не вернувших кредит по окончании срока кредитования.
Решение
1. На рабочем листе подготовим исходные данные для расчета:
· в ячейку A2 введем текст “Число испытаний”, а в ячейку B2 – количество выданных кредитов - число 5 (рис. 2);
· В ячейку A3 введем текст “Вероятность невозврата”, а в ячейку B3 – значение вероятности невозврата кредита – число 0,2;
· в ячейку А4 введем текст “Х” – обозначающий случайную величину. В ячейку B4 введем число 5 – число заемщиков, не вернувших кредит. Построим последовательность членов арифметической прогрессии до ячейки G4 (рис. 2);
· В ячейку A5 введем текст “Р”, обозначающий вероятность невозврата кредита.
2. Установим курсор в ячейку B5. Включим ленту Формулы > Вставить функцию . В открывшемся окне диалога выберем категорию Статистические и функцию БИНОМ.РАСП .
3. В соответствующие поля введем значения аргументов функции, делая ссылки на соответствующие ячейки, содержащие исходные данные (рис. 2). Аргументу Интегральная установим значение 0, что соответствует тому, что вероятность числа успешных испытаний будет равна значению аргумента Число_успехов .
4. Установим для соответствующих аргументов абсолютные адреса, используя клавишу F4.
5. Скопируем полученную формулу в диапазон C4: G4. В ячейках диапазона B4 : C4 будет вычислен результат.
6. По данным полученной таблицы построим график ( на ленте Вставка в группе Диаграммы выберем График > Все типы диаграмм > Точечная> Точечная с гладкими кривыми > ОК ) (рис. 3).
Из таблицы и графика следует, что вероятность невозврата четырех и пяти кредитов очень мала, а вероятность невозврата одного кредита является самой большой и составляет величину 0,4096.
Рассмотрим равномерное непрерывное распределение. Вычислим математическое ожидание и дисперсию. Сгенерируем случайные значения с помощью функции MS EXCEL СЛЧИС() и надстройки Пакет Анализа, произведем оценку среднего значения и стандартного отклонения.
Равномерно распределенная на отрезке [a; b] случайная величина имеет плотность распределения (вероятности) :
Функция распределения определяется следующим образом:
Равномерное непрерывное распределение (англ. Continuous uniform d istribution или Rectangular distribution ) часто встречается на практике.
Пример1. Например, известно, что гейзер извергается каждые 50 минут. Найти вероятность, того что турист увидит извержение, если будет ждать у гейзера 20 минут. В соответствии с вышеуказанными формулами вероятность увидеть извержение в течение времени наблюдения равна 20/50=0,4, т.е. 40%.
Пример2. Симметричный волчок после раскручивания падает набок. Вертикальная ось волчка после падения указывает на определенный угол от 0 до 360 градусов. Найти вероятность, того что ось волчка укажет на сектор от 90 до 180 градусов. Вероятность равна (180-90)/(360-0)=0,25.
В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .
Математическое ожидание и дисперсия
Математическое ожидание для равномерного непрерывного распределения вычисляется по формуле =(a+b)/2.
Генерация случайных чисел
Случайные числа, имеющие равномерное непрерывное распределение на отрезке [0; 1), можно сгенерировать с помощью функции MS EXCEL СЛЧИС() . В функции нельзя задать нижнюю и верхнюю границу интервала, но записав формулу =СЛЧИС()*(b-a)+a можно сгенерировать равномерно распределенные числа на любом интервале [a; b).
Примечание : Чтобы сгенерировать случайные числа, имеющие равномерное дискретное распределение , воспользуйтесь функцией СЛУЧМЕЖДУ() .
Сгенерировать случайные числа, извлеченные из непрерывного равномерного распределения, можно также с помощью надстройки Пакет анализа .
Сгенерируем массив из 50 чисел из диапазона [3,3; 7,5). Для этого в окне Генерация случайных чисел установим следующие параметры (см. файл примера лист Генерация ):
Как видно из рисунка выше, в поле Случайное рассеивание установлен необязательный параметр равный 2. Параметр Случайное рассеивание может принимать значение от 1 до 32767. Если установить этот параметр, то MS EXCEL будет каждый раз генерировать один и тот же массив чисел, соответствующий этот значению. Этот подход удобен для генерации одинаковых массивов, например, на различных компьютерах.
Оценка среднего и стандартного отклонения
Нижнюю и верхнюю границу интервала возьмем [3,3; 7,5) и разместим их в ячейках B4:B5 . Сгенерируем 50 чисел ( выборку ) и поместим их в диапазоне С14:С63 .
Математическое ожидание этого распределения =(B4+B5)/2 и равно 5,4. Стандартное отклонение распределения равно =КОРЕНЬ(((B5-B4)^2)/12)=1,21
Чтобы оценить математическое ожидание воспользуемся значениями выборки =СУММ(C14:C63)/СЧЁТ(C14:C63) .
Оценить стандартное отклонение можно с помощью формулы =СТАНДОТКЛОН.В(C14:C63) в MS EXCEL 2010 или =СТАНДОТКЛОН(C14:C63) для более ранних версий.
Чтобы оценить дисперсию используйте формулу =ДИСП.В(C14:C63) в MS EXCEL 2010 или =ДИСП(C14:C63) для более ранних версий. Также можно использовать формулу =СТАНДОТКЛОН.В(C14:C63)^2 .
СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .
Рассмотрим Равномерное дискретное распределение, построим график функции распределения, вычислим среднее значение и дисперсию. Сгенерируем случайные значения (выборку) с помощью функции MS EXCEL СЛУЧМЕЖДУ() . На основании выборки оценим среднее и стандартное отклонение распределения.
Равномерное дискретное распределение (англ. Discrete uniform distribution) имеет место, например, при подбрасывании симметричной монеты. Пусть если выпал «орёл», то случайная величина принимает значение 1, если выпала «решка» - то 0. Т.к. вероятность наступления событий одинакова и всего 2 возможных исхода, то вероятность случайной величины принять значение 1 (или 0) равна 1/2=0,5.
Распределение называется равномерным, т.к. вероятность любого исхода одинакова.
Примечание : В данном случае, когда возможно всего 2 исхода, равномерное распределение является частным случаем Распределения Бернулли с параметром p = q =1- p =0,5.
Другой пример. Результат бросания симметричной игральной кости является равномерной дискретной случайной величиной , т.к. количество точек на грани кубика принимает одно из 6 равновероятных значений. Вероятность выпадения каждой из шести граней равна 1/6.
Для этого примера функция распределения будет выглядеть следующим образом.
Примечание : Для построения графика использованы идеи из статьи про ступенчатый график .
СОВЕТ : Подробнее о Функции распределения см. статью Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL .
Математическое ожидание и дисперсия
В файле примера на листе График приведен расчет математического ожидания по формуле =(a+b)/2.
Дисперсия (квадрат стандартного отклонения) для равномерного дискретного распределения может быть вычислена по формуле =((b-a+1)^2-1)/12.
Генерация случайных значений
Случайные числа, имеющие равномерное дискретное распределение , можно сгенерировать с помощью функции MS EXCEL СЛУЧМЕЖДУ() . В функции можно задать нижнюю и верхнюю границу интервала [a; b]. Функцией будут сгенерированы целые случайные числа из указанного интервала (см. файл примера лист Генерация ).
Обратите внимание, что массив случайных чисел, сгенерированных с помощью функции СЛУЧМЕЖДУ() , автоматически обновится при пересчете листа. Пересчет листа в MS EXCEL производится при вводе нового значения в ячейку или при нажатии клавиши F9 .
Примечание : Подробнее про функцию СЛУЧМЕЖДУ() см. статью Функция СЛУЧМЕЖДУ() - Случайное число из заданного интервала в MS EXCEL .
Чтобы сгенерировать нецелые случайные числа, например из интервала [1,1; 2,5], необходимо записать формулу = СЛУЧМЕЖДУ(1,1*10;2,5*10)/10 .
Множитель 10 отражает тот факт, что нецелые случайные числа будут сгенерированы с точностью до десятых. Если интервал задан с точностью до сотых, то нужно использовать множитель 100.
Как видно из формулы - границы интервала также могут быть нецелыми числами. Хотя, конечно, можно сгенерировать числа, например, с точностью до сотых с помощью формулы = СЛУЧМЕЖДУ(10*100;20*100)/100 . В этом случае случайные числа будут принадлежать интервалу [10;20] и иметь вид 10,37; 16,08; 15,43 и т.д.
Оценка среднего и стандартного отклонения
Сгенерируем 50 чисел (выборку) и разместим их в диапазоне B17:B66 . Нижнюю и верхнюю границу интервала возьмем [1; 6] и разместим их в диапазоне B5:B6 .
Математическое ожидание этого распределения =(B5+B6)/2 и равно (6+1)/2=3,5. Стандартное отклонение распределения равно = КОРЕНЬ(((B6-B5+1)^2-1)/12) =1,71
Чтобы оценить математическое ожидание воспользуемся значениями выборки =СУММ(B17:B66)/СЧЁТ(B17:B66) .
Оценить стандартное отклонение можно с помощью формулы =СТАНДОТКЛОН.В(B17:B66) в MS EXCEL 2010 или = СТАНДОТКЛОН(B17:B66) для более ранних версий.
Чтобы оценить дисперсию используйте формулу =ДИСП.В(B17:B66) в MS EXCEL 2010 или =ДИСП(B17:B66) для более ранних версий. Также можно использовать формулу =СТАНДОТКЛОН.В(B17:B66)^2 .
СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .
Распределения вероятностей в MS EXCEL. Нормальное распределение, Биномиальное распределение, распределение Стьюдента, Вейбулла, Фишера и др. Оценка параметров распределения, вычисление математического ожидания и дисперсии. Функции MS EXCEL: НОРМ.РАСП(), СТЬЮДЕНТ.РАСП(), ХИ2.РАСП() и др. Рассмотрены ВСЕ распределения, имеющиеся в MS EXCEL 2010.
Генерация дискретного случайного числа с произвольной функцией распределения в MS EXCEL
Задана произвольная функция распределения дискретной случайной величины. Сгенерируем случайное число из этой генеральной совокупности. Также рассмотрим функцию ВЕРОЯТНОСТЬ() .
Нормальное распределение. Непрерывные распределения в MS EXCEL
Рассмотрим Нормальное распределение. С помощью функции MS EXCEL НОРМ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел, распределенных по нормальному закону, произведем оценку параметров распределения, среднего значения …
Логнормальное распределение. Непрерывные распределения в MS EXCEL
Рассмотрим Логнормальное распределение. С помощью функции MS EXCEL ЛОГНОРМ .РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел, распределенных по логнормальному закону, произведем оценку параметров распределения, среднего …
Равномерное дискретное распределение в MS EXCEL
Рассмотрим Равномерное дискретное распределение, построим график функции распределения, вычислим среднее значение и дисперсию. Сгенерируем случайные значения (выборку) с помощью функции MS EXCEL СЛУЧМЕЖДУ() . На основании выборки оценим среднее и …
Взаимосвязь некоторых распределений в MS EXCEL
Рассмотрим взаимосвязь Биномиального распределения, распределения Пуассона, Нормального распределения и Гипергеометрического распределения. Определим условия, когда возможна аппроксимация одного распределения другим, приведем примеры и графики.
Распределение Пуассона. Дискретные распределения в MS EXCEL
Рассмотрим распределение Пуассона, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, моду. С помощью функции MS EXCEL ПУАССОН.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Произведем оценку параметра распределения, его математического ожидания и …
Равномерное непрерывное распределение в MS EXCEL
Рассмотрим равномерное непрерывное распределение. Вычислим математическое ожидание и дисперсию. Сгенерируем случайные значения с помощью функции MS EXCEL СЛЧИС() и надстройки Пакет Анализа, произведем оценку среднего значения и стандартного отклонения.
Экспоненциальное распределение. Непрерывные распределения в MS EXCEL
Рассмотрим Экспоненциальное распределение, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, медиану. С помощью функции MS EXCEL ЭКСП.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел и произведем оценку параметра …
Гамма распределение. Непрерывные распределения в MS EXCEL
Рассмотрим Гамма распределение, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, моду. С помощью функции MS EXCEL ГАММА.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел и произведем оценку параметров …
Бета распределение. Непрерывные распределения в MS EXCEL
Рассмотрим Бета-распределение, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, моду. С помощью функции MS EXCEL БЕТА.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел и произведем оценку параметров распределения.
Распределение ХИ-квадрат. Распределения математической статистики в MS EXCEL
Рассмотрим Распределение ХИ-квадрат. С помощью функции MS EXCEL ХИ2.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности, поясним применение этого распределения для целей математической статистики.
Распределение Фишера (F-распределение). Распределения математической статистики в MS EXCEL
Рассмотрим распределение Фишера (F-распределение). С помощью функции MS EXCEL F .РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности, поясним применение этого распределения для целей математической статистики.
Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL
Гипергеометрическое распределение. Дискретные распределения в MS EXCEL
Рассмотрим Гипергеометрическое распределение, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, моду. С помощью функции MS EXCEL ГИПЕРГЕОМ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Приведем пример аппроксимации гипергеометрического распределения биномиальным.
Биномиальное распределение. Дискретные распределения в MS EXCEL
Рассмотрим Биномиальное распределение, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, моду. С помощью функции MS EXCEL БИНОМ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Произведем оценку параметра распределения p, математического ожидания распределения …
Отрицательное Биномиальное распределение. Дискретные распределения в MS EXCEL
Рассмотрим Отрицательное Биномиальное распределение, вычислим его математическое ожидание и дисперсию. С помощью функции MS EXCEL ОТРБИНОМ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности.
Геометрическое распределение. Дискретные распределения в MS EXCEL
Рассмотрим Геометрическое распределение, вычислим его математическое ожидание и дисперсию. С помощью функции MS EXCEL ОТРБИНОМ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности.
Распределение Вейбулла. Непрерывные распределения в MS EXCEL
Рассмотрим распределение Вейбулла, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, медиану. С помощью функции MS EXCEL ВЕЙБУЛЛ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел и произведем оценку параметров …
Распределение Стьюдента (t-распределение). Распределения математической статистики в MS EXCEL
Рассмотрим Распределение Стьюдента (t-распределение). С помощью функции MS EXCEL СТЬЮДЕНТ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности, поясним применение этого распределения для целей математической статистики.
Случайная выборка из генеральной совокупности в MS EXCEL
Инструмент Пакета анализа MS EXCEL «Выборка» извлекает случайную выборку из входного диапазона, рассматривая его как генеральную совокупность. Также случайную выборку можно извлечь с помощью формул.
Случайной называется переменная величина, принимающая различные числовые значения в зависимости от случая. В различных практических задачах используются два вида случайных величин – дискретные и непрерывные.
Случайная величина называется дискретной, если значения, которые она может принять можно пронумеровать, или, иначе говоря, которая может принимать значения, образующие счетные множества.
Законом распределения случайной величины Х называется соответствие между значениями случайной величины и вероятностями их реализации. Закон распределения может быть задан таблицей, формулой или графиком.
Генерация случайной величины, распределенной по равномерному закону
Дискретное равномерное распределение – это такое распределение, для которого вероятность каждого из значений случайной величины одна и та же, то есть
где N – количество возможных значений случайной величины
Для получения случайной величины, распределенной по равномерному закону, в библиотеке Мастера функций табличного процессора в категории Математические есть специальная функция СЛЧИС() , которая генерирует случайные вещественные числа в диапазоне 0 -1. Функция не имеет параметров
Если необходимо сгенерировать случайные числа в другом диапазоне, то для этого нужно использовать формулу:
= СЛЧИС() * (b – a) +a , где
a - число, устанавливающее нижнюю границу диапазона;
b – число, устанавливающее верхнюю границу диапазона.
Например, для генерации чисел распределенных по равномерному закону в диапазоне 10 – 20, нужно в ячейку рабочего листа ввести формулу:
Для генерации целых случайных чисел, равномерно распределенных в диапазоне между двумя заданными числами в библиотеке табличного процессора есть специальная функция СЛУЧМЕЖДУ. Функция имеет параметры:
СЛУЧМЕЖДУ(Нижн_гран; Верхн_гран) , где
Нижн_гран – число, устанавливающее нижнюю границу диапазона;
Верхн_гран - число, устанавливающее верхнюю границу диапазона. Применение функций СЛЧИС и СЛУЧМЕЖДУ рассмотрим на примере.
Пример 1 . Требуется создать массив из 10 чисел, распределенных равномерно в диапазоне 50 – 100.
Решение
1. Выделим диапазон, включающий десять ячеек рабочего листа, например B2:B11 (рис. 1).
2. На ленте Формулы в группе Библиотека функций кликнем на пиктограмме Вставить функцию .
3. В открывшемся окне диалога Мастер функций выберем категорию Математические , в списке функций – СЛЧИС , кликнем на ОК - появится окно диалога Аргументы функции .
4. Нажмем комбинацию клавиш + + - в выделенном диапазоне будут помещены числа, распределенные по равномерному закону в диапазоне 0 – 1 (рис. 1).
Читайте также: