Распределение вейбулла в excel
Распределения вероятностей в MS EXCEL. Нормальное распределение, Биномиальное распределение, распределение Стьюдента, Вейбулла, Фишера и др. Оценка параметров распределения, вычисление математического ожидания и дисперсии. Функции MS EXCEL: НОРМ.РАСП(), СТЬЮДЕНТ.РАСП(), ХИ2.РАСП() и др. Рассмотрены ВСЕ распределения, имеющиеся в MS EXCEL 2010.
Генерация дискретного случайного числа с произвольной функцией распределения в MS EXCEL
Задана произвольная функция распределения дискретной случайной величины. Сгенерируем случайное число из этой генеральной совокупности. Также рассмотрим функцию ВЕРОЯТНОСТЬ() .
Нормальное распределение. Непрерывные распределения в MS EXCEL
Рассмотрим Нормальное распределение. С помощью функции MS EXCEL НОРМ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел, распределенных по нормальному закону, произведем оценку параметров распределения, среднего значения …
Логнормальное распределение. Непрерывные распределения в MS EXCEL
Рассмотрим Логнормальное распределение. С помощью функции MS EXCEL ЛОГНОРМ .РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел, распределенных по логнормальному закону, произведем оценку параметров распределения, среднего …
Равномерное дискретное распределение в MS EXCEL
Рассмотрим Равномерное дискретное распределение, построим график функции распределения, вычислим среднее значение и дисперсию. Сгенерируем случайные значения (выборку) с помощью функции MS EXCEL СЛУЧМЕЖДУ() . На основании выборки оценим среднее и …
Взаимосвязь некоторых распределений в MS EXCEL
Рассмотрим взаимосвязь Биномиального распределения, распределения Пуассона, Нормального распределения и Гипергеометрического распределения. Определим условия, когда возможна аппроксимация одного распределения другим, приведем примеры и графики.
Распределение Пуассона. Дискретные распределения в MS EXCEL
Рассмотрим распределение Пуассона, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, моду. С помощью функции MS EXCEL ПУАССОН.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Произведем оценку параметра распределения, его математического ожидания и …
Равномерное непрерывное распределение в MS EXCEL
Рассмотрим равномерное непрерывное распределение. Вычислим математическое ожидание и дисперсию. Сгенерируем случайные значения с помощью функции MS EXCEL СЛЧИС() и надстройки Пакет Анализа, произведем оценку среднего значения и стандартного отклонения.
Экспоненциальное распределение. Непрерывные распределения в MS EXCEL
Рассмотрим Экспоненциальное распределение, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, медиану. С помощью функции MS EXCEL ЭКСП.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел и произведем оценку параметра …
Гамма распределение. Непрерывные распределения в MS EXCEL
Рассмотрим Гамма распределение, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, моду. С помощью функции MS EXCEL ГАММА.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел и произведем оценку параметров …
Бета распределение. Непрерывные распределения в MS EXCEL
Рассмотрим Бета-распределение, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, моду. С помощью функции MS EXCEL БЕТА.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел и произведем оценку параметров распределения.
Распределение ХИ-квадрат. Распределения математической статистики в MS EXCEL
Рассмотрим Распределение ХИ-квадрат. С помощью функции MS EXCEL ХИ2.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности, поясним применение этого распределения для целей математической статистики.
Распределение Фишера (F-распределение). Распределения математической статистики в MS EXCEL
Рассмотрим распределение Фишера (F-распределение). С помощью функции MS EXCEL F .РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности, поясним применение этого распределения для целей математической статистики.
Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL
Гипергеометрическое распределение. Дискретные распределения в MS EXCEL
Рассмотрим Гипергеометрическое распределение, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, моду. С помощью функции MS EXCEL ГИПЕРГЕОМ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Приведем пример аппроксимации гипергеометрического распределения биномиальным.
Биномиальное распределение. Дискретные распределения в MS EXCEL
Рассмотрим Биномиальное распределение, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, моду. С помощью функции MS EXCEL БИНОМ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Произведем оценку параметра распределения p, математического ожидания распределения …
Отрицательное Биномиальное распределение. Дискретные распределения в MS EXCEL
Рассмотрим Отрицательное Биномиальное распределение, вычислим его математическое ожидание и дисперсию. С помощью функции MS EXCEL ОТРБИНОМ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности.
Геометрическое распределение. Дискретные распределения в MS EXCEL
Рассмотрим Геометрическое распределение, вычислим его математическое ожидание и дисперсию. С помощью функции MS EXCEL ОТРБИНОМ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности.
Распределение Вейбулла. Непрерывные распределения в MS EXCEL
Рассмотрим распределение Вейбулла, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, медиану. С помощью функции MS EXCEL ВЕЙБУЛЛ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел и произведем оценку параметров …
Распределение Стьюдента (t-распределение). Распределения математической статистики в MS EXCEL
Рассмотрим Распределение Стьюдента (t-распределение). С помощью функции MS EXCEL СТЬЮДЕНТ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности, поясним применение этого распределения для целей математической статистики.
Случайная выборка из генеральной совокупности в MS EXCEL
Инструмент Пакета анализа MS EXCEL «Выборка» извлекает случайную выборку из входного диапазона, рассматривая его как генеральную совокупность. Также случайную выборку можно извлечь с помощью формул.
Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 for Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще. Меньше
Возвращает распределение Вейбулла. Это распределение используется при анализе надежности, например для вычисления среднего времени наработки на отказ какого-либо устройства.
Важно: Эта функция была заменена одной или несколькими новыми функциями, которые обеспечивают более высокую точность и имеют имена, лучше отражающие их назначение. Хотя эта функция все еще используется для обеспечения обратной совместимости, она может стать недоступной в последующих версиях Excel, поэтому мы рекомендуем использовать новые функции.
Дополнительные сведения о новом варианте этой функции см. в статье Функция ВЕЙБУЛЛ.РАСП.
Синтаксис
Аргументы функции ВЕЙБУЛЛ описаны ниже.
X — обязательный аргумент. Значение, для которого вычисляется функция.
Альфа — обязательный аргумент. Параметр распределения.
Бета — обязательный аргумент. Параметр распределения.
Интегральная Обязательный. Определяет форму функции.
Замечания
Уравнение для интегральной функции распределения Вейбулла имеет следующий вид:
Уравнение для функции плотности распределения Вейбулла имеет следующий вид:
Если альфа = 1, то функция ВЕЙБУЛЛ возвращает экспоненциальное распределение:
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
Значение, для которого рассчитывается функция
Параметр распределения альфа
Параметр распределения бета
Описание (результат)
Интегральная функция распределения Вейбулла в соответствии с приведенными выше условиями (0,929581)
Функция плотности распределения Вейбулла в соответствии с приведенными выше условиями (0,035589)
Функция ВЕЙБУЛЛ в Excel предназначена для определения интегральной функции распределения Вейбулла, а также плотность вероятности (в зависимости от значения, переданного в качестве последнего аргумента), и возвращает соответствующее числовое значение.
Коэффициенты и параметры функции распределения по закону Вейбулла
Интегральная функция распределения соответствует значению вероятности события, при котором некоторая величина X, распределенная по закону Вейбулла, будет принимать значение, которое
Формула функции ВЕЙБУЛЛ:
Формула плотности вероятности для данного распределения:
Данное распределение характеризуется двумя основными параметрами:
- α - характеризует форму распределения.
- β - характеризует масштаб.
Оба параметра указываются значениями из диапазона от 0 (не включительно) до бесконечности со знаком плюс (при этом для практического применения распределения рационально в качестве параметра β (бетта) указывать значение >=1).
Распределение Вейбулла может быть преобразовано к обычному экспоненциальному распределению, если параметр α (альфа) принимает значение 1.
- Определение времени наработки без отказа до момента выхода из строя самого уязвимого элемента системы.
- Определение времени работы до момента разрушения вследствие внутренних причин (физический износ материала). Если причина разрушения материала обусловлена внешними факторами, применяют экспоненциальное распределение (то есть, принимают α=1).
Рассматриваемая функция использовалась до выхода MS Office версии 2010 года. В последующих версиях она заменена аналогичной функцией ВЕЙБУЛЛ.РАСП, однако оставлена для обеспечения совместимости.
Плотность распределения Вейбулла в Excel
Пример 1. Определить интегральную функцию распределения Вейбулла и функцию плотности вероятности для некоторого значения x=85, если данная величина подчиняется закону распределения Вейбулла с α-параметром равным 17 и β-параметром равным 90.
Вид таблицы данных:
Для определения первого значения используем следующую запись:
Четвертый аргумент принимает значение ИСТИНА для расчета интегральной функции. Полученный результат:
Аналогичность определим функцию плотности:
В результате с помощью одной функции мы вычислили 2 коэффициента в Excel.
Распределение Вейбулла случайной величины в Excel
Пример 2. Сгенерировать 10 случайных величин, имеющих распределение Вейбулла. Определить интегральные значения при известных альфа- и бета-параметрах (8 и 35 соответственно).
Вид таблицы данных:
Для нахождения случайных чисел, имеющих распределение Вейбулла, используем обратную функцию:
Вместо значения (1-P) будем вводить результат выполнения функции СЛЧИС, которая возвращает числа из диапазона (0;1), соответствующих допустимым значениям вероятности.
Для заполнения столбца «значение» используем формулу:
Ячейки в формуле «закреплены» с помощью “$” для получения корректных результатов при растягивании формулы:
Поскольку при выполнении любого действия на листе функция СЛЧИС будет выполнять пересчет, выделим полученные числа и вставим в те же ячейки как значения (с помощью инструмента «Специальная вставка»).
Для определения искомых значений выделим ячейки C5:C14 и запишем следующую формулу:
Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 for Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще. Меньше
Возвращает распределение Вейбулла. Это распределение используется при анализе надежности, например для вычисления среднего времени наработки на отказ какого-либо устройства.
Важно: Эта функция была заменена одной или несколькими новыми функциями, которые обеспечивают более высокую точность и имеют имена, лучше отражающие их назначение. Хотя эта функция все еще используется для обеспечения обратной совместимости, она может стать недоступной в последующих версиях Excel, поэтому мы рекомендуем использовать новые функции.
Дополнительные сведения о новом варианте этой функции см. в статье Функция ВЕЙБУЛЛ.РАСП.
Синтаксис
Аргументы функции ВЕЙБУЛЛ описаны ниже.
X — обязательный аргумент. Значение, для которого вычисляется функция.
Альфа — обязательный аргумент. Параметр распределения.
Бета — обязательный аргумент. Параметр распределения.
Интегральная Обязательный. Определяет форму функции.
Замечания
Уравнение для интегральной функции распределения Вейбулла имеет следующий вид:
Уравнение для функции плотности распределения Вейбулла имеет следующий вид:
Если альфа = 1, то функция ВЕЙБУЛЛ возвращает экспоненциальное распределение:
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
Значение, для которого рассчитывается функция
Параметр распределения альфа
Параметр распределения бета
Описание (результат)
Интегральная функция распределения Вейбулла в соответствии с приведенными выше условиями (0,929581)
Функция плотности распределения Вейбулла в соответствии с приведенными выше условиями (0,035589)
Рассмотрим распределение Вейбулла, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, медиану. С помощью функции MS EXCEL ВЕЙБУЛЛ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел и произведем оценку параметров распределения.
Распределение Вейбулла (англ. Weibull distribution ) зависит от 2-х параметров: α ( альфа)>0 (определяет форму распределения) и b ( бета)>0 (определяет масштаб). Плотность вероятности этого распределения задается следующей формулой:
Если параметр альфа = 1, то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение . Параметр бета на практике обычно принимается >=1.
Функция распределения задается следующей формулой:
СОВЕТ : Подробнее о Функции распределения и Плотности вероятности см. статью Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL .
Математическое ожидание и дисперсия распределения задаются следующими выражениями:
где Г(r) – гамма-функция:
если r – положительное целое, то Г(r)=(r-1)!
Распределение Вейбулла является адекватной моделью для описания времени безотказной работы многих технических устройств:
- время отказа вследствие износа (wearout failure time). Отказ должен происходить из-за поломки наименее надежного комплектующего (weakest link principle);
- время отказа материала по причине разрушения (material strength). Отказ должен происходить по причине наличия внутреннего дефекта. Если параметр альфа = 1 ( экспоненциальное распределение ), то причиной отказа должна служить внешняя причина.
Распределение Вейбулла в MS EXCEL
В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для распределения Вейбулла имеется функция ВЕЙБУЛЛ.РАСП() , английское название - WEIBULL.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина X, имеющая распределение Вейбулла , примет значение меньше или равное x).
Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция ВЕЙБУЛЛ() , которая позволяет вычислить интегральную функцию распределения и плотность вероятности . ВЕЙБУЛЛ() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.
Графики функций
В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения при нескольких параметрах альфа и бета .
Распределение Вейбулла имеет обозначение Weibull (альфа; бета) или просто W (альфа; бета).
Примечание : Для построения функции распределения и плотности вероятности можно использовать диаграмму типа График или Точечная (со сглаженными линиями и без точек). Подробнее о построении диаграмм читайте статью Основные типы диаграмм .
Примечание : Для удобства написания формул в файле примера для параметров распределения альфа и бета созданы соответствующие Имена .
В файле примера также построены графики плотности вероятности и функции распределения с отмеченными значениями среднего , медианы и моды .
Генерация случайных чисел и оценка параметров
Используем обратную функцию распределения (или p - quantile , см. статью про Квантили ), которая для распределения Вейбулла может быть выражена в явном виде с использованием элементарных функций:
С помощью этой функции можно сгенерировать значения случайной величины, имеющей распределение Вейбулла . Для этого нужно использовать формулу MS EXCEL:
Функция СЛЧИС() генерирует непрерывное равномерное распределение от 0 до 1, что как раз соответствует диапазону изменения вероятности (см. файл примера лист Генерация ).
Теперь имея массив случайных чисел, сгенерированных с заданными параметрами распределения альфа и бета (пусть их будет 200), оценим параметры распределения.
Оценку параметров альфа и бета можно сделать с помощью линейной регрессии. Для этого необходимо привести функцию распределения Вейбулла к виду обычной прямой, задаваемой уравнением Y=aX+b. Для этого сделаем следующие преобразования:
Сравнивая выражение с уравнением прямой Y=ax+b получим, что:
- Y соответствует левая часть выражения,
- X – соответствует ln(x),
- параметр распределения бета соответствует коэффициенту a , отвечающего за наклон прямой к оси абсцисс.
- выражение –бета*ln(альфа) соответствует коэффициенту b (ордината точки пересечения с осью Oy).
По сути, мы практически построили Вероятностный график (probability plot) для распределения Вейбулла : если отсортированные значения ln(x), отложенные по оси Ох, лягут приблизительно вдоль прямой, то это будет означать, что значения выборки взяты из распределения Вейбулла. Осталось модифицировать ось Оу с помощью формулы =LN(-LN(1-Ui)), где Ui=(i-0,5)/200, а i=1; 2; . ; 200.
Заметим, что -LN(1-Ui) – это обратная функция распределения с параметрами альфа=1 и бета=1. Второй логарифм нам потребовался, т.к. по оси абсцисс отложены не сами x, а ln(x).
Примечание : Т.к. форма распределения Вейбулла существенно зависит от его параметров, то вместо альфа=1 и бета=1 для обратной функции лучше использовать точечные оценки этих параметров , полученные на основании выборки . О том как вычислить оценку параметров альфа и бета см. ниже.
В файле примера на листе Генерация построен соответствующий Вероятностный график .
С помощью функции НАКЛОН() вычислим наклон получившейся кривой (коэффициент прямой а, англ. slope ), который служит оценкой параметра бета .
Функция ОТРЕЗОК() вернет ординату точки пересечения с Оу (коэффициент прямой b ). Выражение =EXP(-b/бета) служит оценкой параметра альфа .
Построив частотную гистограмму по данным из выборки , сравним ее с плотностью вероятности модельного распределения, т.е. распределения, с помощью которого были сгенерированы сами значения выборки . Из-за наличия случайной ошибки выборки (sampling error) значения могут расходиться.
Процедура построения модельного распределения следующая:
- Значения плотности вероятности модельного распределения вычислены как P i - P i-1 , где P – значения интегральной функции распределения на границах интервалов гистограммы, аdx=1. (Обычно, плотность вероятности непрерывного распределения вычисляется как производная функции распределения dP/dx).
- Вследствие такого преобразования, мы перешли от непрерывного распределения к дискретному . Необходимо убедиться, что сумма плотностей вероятностей равна 1.
- Пронормировав модифицированные плотности вероятностей на количество значений в выборке (200), вычислим для каждого интервала частоты модельного распределения (можно обойтись без нормирования, использовав вспомогательную ось диаграммы).
В итоге получим:
Как видно из диаграммы выше, совпадение модельного распределения с гистограммой выборки достаточно хорошее.
Примечание : При построении диаграммы использована гистограмма и график с маркерами . Подробнее о построении диаграмм см. Основы построения диаграмм в MS EXCEL .
Также можно сравнить плотности вероятностей модельного распределения и распределения с параметрами, полученными в результате оценки.
Как видно из диаграммы выше, совпадение также достаточно хорошее.
СОВЕТ : Т.к. генерирование случайных чисел происходит с помощью функции СЛЧИС() , то нажимая клавишу F9 , можно каждый раз получать новую выборку и, соответственно, новую оценку параметров.
СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .
Читайте также: