Распределение эрланга в excel
Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 for Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще. Меньше
Возвращает нормальную функцию распределения для указанного среднего и стандартного отклонения. Эта функция очень широко применяется в статистике, в том числе при проверке гипотез.
Важно: Эта функция была заменена одной или несколькими новыми функциями, которые обеспечивают более высокую точность и имеют имена, лучше отражающие их назначение. Хотя эта функция все еще используется для обеспечения обратной совместимости, она может стать недоступной в последующих версиях Excel, поэтому мы рекомендуем использовать новые функции.
Дополнительные сведения о новом варианте этой функции см. в статье Функция НОРМ.РАСП.
Синтаксис
Аргументы функции НОРМРАСП описаны ниже.
X Обязательный. Значение, для которого строится распределение.
Среднее Обязательный. Среднее арифметическое распределения.
Стандартное_откл Обязательный. Стандартное отклонение распределения.
Интегральная — обязательный аргумент. Логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент "интегральная" имеет значение ИСТИНА, функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается весовая функция распределения.
Замечания
Если среднее = 0, стандартное_откл = 1 и интегральная = ИСТИНА, то функция НОРМРАСП возвращает стандартное нормальное распределение, т. е. НОРМСТРАСП.
Уравнение для плотности нормального распределения (аргумент "интегральная" содержит значение ЛОЖЬ) имеет следующий вид:
Если аргумент "интегральная" имеет значение ИСТИНА, формула описывает интеграл с пределами от минус бесконечности до x.
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 for Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще. Меньше
Возвращает гамма-распределение. Эту функцию можно использовать для изучения переменных, которые имеют асимметричное распределение. Гамма-распределение широко используется при анализе систем массового обслуживания.
Важно: Эта функция была заменена одной или несколькими новыми функциями, которые обеспечивают более высокую точность и имеют имена, лучше отражающие их назначение. Хотя эта функция все еще используется для обеспечения обратной совместимости, она может стать недоступной в последующих версиях Excel, поэтому мы рекомендуем использовать новые функции.
Дополнительные сведения о новом варианте этой функции см. в статье Функция ГАММА.РАСП.
Синтаксис
ГАММА.РАСП(x; альфа; бета; интегральная)
Аргументы функции ГАММАРАСП:
X — обязательный аргумент. Значение, для которого требуется вычислить распределение.
Альфа — обязательный аргумент. Параметр распределения.
Бета — обязательный аргумент. Параметр распределения. Если аргумент "бета" = 1, функция ГАММАРАСП возвращает стандартное гамма-распределение.
Интегральная — обязательный аргумент. Логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент "интегральная" имеет значение ИСТИНА, функция ГАММАРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается функция плотности распределения вероятности.
Замечания
Уравнение для гамма-функции плотности распределения вероятности имеет следующий вид:
Стандартная гамма-функция плотности распределения вероятности имеет следующий вид:
Если альфа = 1, функция ГАММАРАСП возвращает экспоненциальное распределение:
Для целого положительного n, если альфа = n/2, бета = 2 и значение "интегральная" = ИСТИНА, функция ГАММАРАСП возвращает (1 - ХИ2РАСП(x)) с n степенями свободы.
Если значение аргумента "альфа" является положительным числом, функция ГАММАРАСП называется также распределением Эрланга.
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
Значение, для которого требуется вычислить распределение
Параметр распределения альфа
Параметр распределения бета
Плотность вероятности при использовании значений x, альфа и бета в ячейках A2, A3, A4 с интегральным аргументом ЛОЖЬ.
Интегральное распределение при использовании значений x, альфа и бета в ячейках A2, A3, A4 с интегральным аргументом ИСТИНА.
Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 for Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще. Меньше
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ГАММА.РАСПП в Microsoft Excel.
Возвращает гамма-распределение. Эту функцию можно использовать для изучения переменных, которые имеют асимметричное распределение. Гамма-распределение широко используется при анализе систем массового обслуживания.
Синтаксис
Аргументы функции ГАММА.РАСП описаны ниже.
X — обязательный аргумент. Значение, для которого требуется вычислить распределение.
Альфа — обязательный аргумент. Параметр распределения.
Бета — обязательный аргумент. Параметр распределения. Если аргумент "бета" = 1, функция ГАММА.РАСП возвращает стандартное гамма-распределение.
Интегральная — обязательный аргумент. Логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент "интегральная" имеет значение ИСТИНА, функция ГАММА.РАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается функция плотности распределения вероятности.
Замечания
Уравнение для гамма-функции плотности распределения вероятности имеет следующий вид:
Стандартная гамма-функция плотности распределения вероятности имеет следующий вид:
Если "альфа" = 1, функция ГАММА.РАСП возвращает экспоненциальное распределение:
Для целого положительного n, если "альфа" = n/2, "бета" = 2 и значение "интегральная" = ИСТИНА, функция ГАММА.РАСП возвращает (1 - ХИ2.РАСП.ПХ(x)) с n степенями свободы.
Если значение аргумента "альфа" является целым положительным числом, функция ГАММА.РАСП называется также распределением Эрланга.
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
Значение, для которого требуется вычислить распределение
Параметр распределения альфа
Параметр распределения бета
Плотность вероятности при использовании значений x, альфа и бета в ячейках A2, A3, A4 с интегральным аргументом ЛОЖЬ.
Интегральное распределение при использовании значений x, альфа и бета в ячейках A2, A3, A4 с интегральным аргументом ИСТИНА.
Рассмотрим Гамма распределение, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, моду. С помощью функции MS EXCEL ГАММА.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел и произведем оценку параметров распределения.
Гамма распределение (англ. Gamma distribution ) зависит от 2-х параметров: r (определяет форму распределения) и λ (определяет масштаб). Плотность вероятности этого распределения задается следующей формулой:
где Г(r) – гамма-функция:
если r – положительное целое, то Г(r)=(r-1)!
СОВЕТ : Подробнее о Функции распределения и Плотности вероятности см. статью Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL .
Вышеуказанная форма записи плотности распределения наглядно показывает его связь с Экспоненциальным распределением . При r=1 Гамма распределение сводится к Экспоненциальному распределению с параметром λ.
Если параметр λ – целое число, то Гамма распределение является суммой r независимых и одинаково распределенных по экспоненциальному закону с параметром λ случайных величин x . Таким образом, случайная величина y = x 1 + x 2 +… x r имеет гамма распределение с параметрами r и λ.
Экспоненциальное распределение , в свою очередь, тесно связано с дискретным распределением Пуассона . Если Распределение Пуассона описывает число случайных событий, произошедших за определенный интервал времени, то Экспоненциальное распределение, в этом случае,описывает длину временного интервала между двумя последовательными событиями.
Из этого следует, что, например, если время до наступления первого события описывается экспоненциальным распределением с параметром λ, то время до наступления второго события описывается гамма распределением с r = 2 и тем же параметром λ.
Гамма распределение в MS EXCEL
В MS EXCEL принята эквивалентная, но отличающаяся параметрами форма записи плотности гамма распределения .
Параметр α ( альфа ) эквивалентен параметру r , а параметр b ( бета ) – параметру 1/λ . Ниже будем придерживаться именно такой записи, т.к. это облегчит написание формул.
В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Гамма распределения имеется функция ГАММА.РАСП() , английское название - GAMMA.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу выше) и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина X, имеющая гамма распределение , примет значение меньше или равное x).
Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция ГАММАРАСП() , которая позволяет вычислить интегральную функцию распределения и плотность вероятности . ГАММАРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.
Графики функций
В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .
Гамма распределение имеет обозначение Gamma (альфа; бета).
Примечание : Для построения функции распределения и плотности вероятности можно использовать диаграмму типа График или Точечная (со сглаженными линиями и без точек). Подробнее о построении диаграмм читайте статью Основные типы диаграмм .
Примечание : Для удобства написания формул в файле примера для параметров распределения альфа и бета созданы соответствующие Имена .
Примечание : Зависимость от 2-х параметров позволяет построить распределения разнообразных форм, что расширяет применение этого распределения. Гамма распределение , как и Экспоненциальное распределение часто используется для расчета времени ожидания между случайными событиями. Кроме того, возможно использование применение этого распределения для моделирования уровня осадков и при проектировании дорог.
Как было показано выше, если параметр альфа = 1, то функция ГАММА.РАСП() возвращает экспоненциальное распределение с параметром 1/бета . Если параметр бета = 1, функция ГАММА.РАСП() возвращает стандартное гамма распределение .
Примечание : Т.к. ХИ2-распределение является частным случаем гамма распределения , то формула =ГАММА.РАСП(x;n/2;2;ИСТИНА ) для целого положительного n возвращает тот же результат, что и формула =ХИ2.РАСП(x;n; ИСТИНА) или =1-ХИ2.РАСП.ПХ(x;n) . А формула =ГАММА.РАСП(x;n/2;2;ЛОЖЬ) возвращает тот же результат, что и формула =ХИ2.РАСП(x;n; ЛОЖЬ) , т.е. плотность вероятности ХИ2-распределения.
В файле примера на листе Графики приведен расчет Среднего значения (математического ожидания) гамма распределения равного альфа*бета и дисперсии (квадрата стандартного отклонения) равного альфа*бета 2 . Там же построены графики функции распределения и плотности вероятности с отмеченными значениями среднего , медианы и моды .
Генерация случайных чисел и оценка параметров
Для генерирования массива чисел, имеющих гамма распределение , можно использовать формулу
=ГАММА.ОБР(СЛЧИС(); альфа; бета) Функция СЛЧИС() генерирует непрерывное равномерное распределение от 0 до 1, что как раз соответствует диапазону изменения вероятности (см. файл примера лист Генерация ).
Если случайные числа содержатся в диапазоне B15:B214 , то оценку параметра альфа можно сделать с использованием формулы =СРЗНАЧ(B15:B214)^2/ДИСП.В(B15:B214)
Для оценки параметра бета используйте формулу =ДИСП.В(B15:B214)/СРЗНАЧ(B15:B214)
СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .
Введем базовые понятия статистики, без которых невозможно объяснить более сложные понятия.
Генеральная совокупность и случайная величина
Пусть у нас имеется генеральная совокупность (population) из N объектов, каждому из которых присуще определенное значение некоторой числовой характеристики Х.
Примером генеральной совокупности (ГС) может служить совокупность весов однотипных деталей, которые производятся станком.
Поскольку в математической статистике, любой вывод делается только на основании характеристики Х (абстрагируясь от самих объектов), то с этой точки зрения генеральная совокупность представляет собой N чисел, среди которых, в общем случае, могут быть и одинаковые.
В нашем примере, ГС - это просто числовой массив значений весов деталей. Х – вес одной из деталей.
Если из заданной ГС мы выбираем случайным образом один объект, имеющей характеристику Х, то величина Х является случайной величиной . По определению, любая случайная величина имеет функцию распределения , которая обычно обозначается F(x).
Функция распределения
Функцией распределения вероятностей случайной величины Х называют функцию F(x), значение которой в точке х равно вероятности события X файл примера ):
В справке MS EXCEL Функцию распределения называют Интегральной функцией распределения ( Cumulative Distribution Function , CDF ).
Приведем некоторые свойства Функции распределения:
- Функция распределения F(x) изменяется в интервале [0;1], т.к. ее значения равны вероятностям соответствующих событий (по определению вероятность может быть в пределах от 0 до 1);
- Функция распределения – неубывающая функция;
- Вероятность того, что случайная величина приняла значение из некоторого диапазона [x1;x2): P(x 1 =0. Следовательно, плотность вероятности для непрерывной величины может быть, в отличие от Функции распределения, больше 1. Например, для непрерывной равномерной величины , распределенной на интервале [0; 0,5] плотность вероятности равна 1/(0,5-0)=2. А для экспоненциального распределения с параметром лямбда =5, значение плотности вероятности в точке х=0,05 равно 3,894. Но, при этом можно убедиться, что вероятность на любом интервале будет, как обычно, от 0 до 1.
Напомним, что плотность распределения является производной от функции распределения , т.е. «скоростью» ее изменения: p(x)=(F(x2)-F(x1))/Dx при Dx стремящемся к 0, где Dx=x2-x1. Т.е. тот факт, что плотность распределения >1 означает лишь, что функция распределения растет достаточно быстро (это очевидно на примере экспоненциального распределения ).
Примечание : Площадь, целиком заключенная под всей кривой, изображающей плотность распределения , равна 1.
Примечание : Напомним, что функцию распределения F(x) называют в функциях MS EXCEL интегральной функцией распределения . Этот термин присутствует в параметрах функций, например в НОРМ.РАСП (x; среднее; стандартное_откл; интегральная ). Если функция MS EXCEL должна вернуть Функцию распределения, то параметр интегральная , д.б. установлен ИСТИНА. Если требуется вычислить плотность вероятности , то параметр интегральная , д.б. ЛОЖЬ.
Примечание : Для дискретного распределения вероятность случайной величине принять некое значение также часто называется плотностью вероятности (англ. probability mass function (pmf)). В справке MS EXCEL плотность вероятности может называть даже "функция вероятностной меры" (см. функцию БИНОМ.РАСП() ).
Вычисление плотности вероятности с использованием функций MS EXCEL
Понятно, что чтобы вычислить плотность вероятности для определенного значения случайной величины, нужно знать ее распределение.
Найдем плотность вероятности для стандартного нормального распределения N(0;1) при x=2. Для этого необходимо записать формулу =НОРМ.СТ.РАСП(2;ЛОЖЬ) =0,054 или =НОРМ.РАСП(2;0;1;ЛОЖЬ) .
Напомним, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение x равна 0. Для непрерывной случайной величины Х можно вычислить только вероятность события, что Х примет значение, заключенное в интервале (а; b).
Вычисление вероятностей с использованием функций MS EXCEL
1) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению (см. картинку выше), приняла положительное значение. Согласно свойству Функции распределения вероятность равна F(+∞)-F(0)=1-0,5=0,5.
В MS EXCEL для нахождения этой вероятности используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(9,999E+307;ИСТИНА) -НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА) =1-0,5. Вместо +∞ в формулу введено значение 9,999E+307= 9,999*10^307, которое является максимальным числом, которое можно ввести в ячейку MS EXCEL (так сказать, наиболее близкое к +∞).
2) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению , приняла отрицательное значение. Согласно определения Функции распределения, вероятность равна F(0)=0,5.
В MS EXCEL для нахождения этой вероятности используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА) =0,5.
3) Найдем вероятность того, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению , примет значение, заключенное в интервале (0; 1). Вероятность равна F(1)-F(0), т.е. из вероятности выбрать Х из интервала (-∞;1) нужно вычесть вероятность выбрать Х из интервала (-∞;0). В MS EXCEL используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА) - НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА) .
Все расчеты, приведенные выше, относятся к случайной величине, распределенной по стандартному нормальному закону N(0;1). Понятно, что значения вероятностей зависят от конкретного распределения. В статье Распределения случайной величины в MS EXCEL приведены распределения, для которых в MS EXCEL имеются соответствующие функции, позволяющие вычислить вероятности.
Обратная функция распределения (Inverse Distribution Function)
Вспомним задачу из предыдущего раздела: Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению, приняла отрицательное значение.
Вероятность этого события равна 0,5.
Теперь решим обратную задачу: определим х, для которого вероятность, того что случайная величина Х примет значение =НОРМ.СТ.ОБР(0,5) =0.
Однозначно вычислить значение случайной величины позволяет свойство монотонности функции распределения.
Обратите внимание, что для вычисления обратной функции мы использовали именно функцию распределения , а не плотность распределения . Поэтому, в аргументах функции НОРМ.СТ.ОБР() отсутствует параметр интегральная , который подразумевается. Подробнее про функцию НОРМ.СТ.ОБР() см. статью про нормальное распределение .
В англоязычной литературе обратная функция распределения часто называется как Percent Point Function (PPF).
Примечание : При вычислении квантилей в MS EXCEL используются функции: НОРМ.СТ.ОБР() , ЛОГНОРМ.ОБР() , ХИ2.ОБР(), ГАММА.ОБР() и т.д. Подробнее о распределениях, представленных в MS EXCEL, можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .
Читайте также: