Однополостный гиперболоид построение в ворде
ЗАНЯТИЕ 2. Поверхности второго порядка. Эллипсоид. Эллиптический и гиперболический параболоиды. Однополостный и двуполостный гиперболоиды. Конус. Цилиндрические поверхности. Приведение уравнений к каноническому виду. Построение эскизов поверхностей.
Ауд. | Л-3. Гл. 1 | № 372-377, 393-396. |
Пример 1–372: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.
1). Задано каноническое уравнение трёхосного эллипсоида.
2). Центр фигуры находится в точке (0,0,0), причём: =3, =2, =5.
3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 27 в ответах задачника (внимательно посмотрите!).
Ответ: трёхосный эллипсоид с центром в точке (0,0,0), при: =3, =2, =5.
Пример 2–373: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.
1). Задано каноническое уравнение однополостного гиперболоида.
2). Центр фигуры находится в точке (0,0,0), причём: =4, =2, =6.
3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 28 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).
Ответ: однополостный гиперболоид с центром в точке (0,0,0), при: =3, =2, =6.
Пример 3–374: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.
1). Задано каноническое уравнение двуполостного гиперболоида вращения, ось вращения .
2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,0). При этом: = = =1.
3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 28 б) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).
Ответ: двуполостный гиперболоид вращения с центром (0,0,0), при = = =1.
Пример 4–375: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.
1). Задано каноническое уравнение конуса вращения второго порядка, ось вращения .
2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,0). При этом: = = =1.
3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 29 в ответах задачника (внимательно посмотрите!). Учесть, что ось вращения .
Ответ: конуса вращения второго порядка (ось вращения ), центр (0,0,0), при = = =1.
Пример 5–376: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.
1). Задано каноническое уравнение параболоида вращения, ось вращения .
2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,0), причём: .
3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 30 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).
Ответ: параболоид вращения: центр в точке (0,0,0); , не определено.
Пример 6–377: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.
1). Задано каноническое уравнение гиперболического параболоида.
2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,0), причём: = =1, = .
3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 30 б) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).
Ответ: гиперболический параболоид: центр в точке (0,0,0); , не определено.
Пример 7–393: Построить цилиндрическую поверхность: .
1). Уравнение определяет цилиндр, направляющей которого является окружность радиуса 2, а образующая параллельна оси .
2). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 31 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!), учитывая, что образующая параллельна оси .
Пример 8–394: Построить цилиндрическую поверхность: .
1). Уравнение определяет цилиндр, направляющей которого является гипербола =4, =3, а образующая параллельна оси .
2). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 31 б) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).
Пример 9–395: Построить цилиндрическую поверхность: .
1). Уравнение определяет цилиндр, направляющая которого: − окружность, а образующая параллельна оси .
2). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 31 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!), учитывая найденную образующую цилиндра.
Пример 10–396: Построить цилиндрическую поверхность: .
1). Уравнение определяет цилиндр, направляющая которого: − парабола, а образующая параллельна оси .
2). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 31 в) в ответах задачника (внимательно посмотрите!), учитывая, что образующая параллельна оси .
Домашнее задание
Пример 1–378: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.
1). Имеем каноническое уравнение эллиптического параболоида, ось вращения .
2). Центр геометрической фигуры в точке (0,0,0), При этом: =1, = и =1.
3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 30 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).
Ответ: эллиптический параболоид, центр в точке (0,0,0), при: =1, = и =1.
Пример 2–379: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.
1). Задано каноническое уравнение параболического цилиндра, образующая параллельна .
2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,0), При этом: не определено.
3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 31 в) с соответствующей заменой оси на ось (только по-честному!).
Ответ: параболический цилиндр, образующая параллельна , не определено.
Пример 3–380: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.
1). Задано уравнение параболоида вращения, ось вращения .
2). Центр геометрической фигуры в точке (0,0,2), при этом: = =1 и = .
3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 30 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).
Ответ: параболоид вращения с центром в точке (0,0,2), при: = =1 и = .
Пример 4–381: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.
1). Задано каноническое уравнение гиперболического параболоида.
2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,2), При этом: = , =2 и =3.
3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 30 а) (только по-честному!).
Ответ: параболоид гиперболический с центром (0,0,0), при: = , =2 и =3.
Пример 5–382: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.
1). Перепишем уравнение: – это каноническое уравнение однополостного гиперболоида вращения, ось вращения .
2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,0), При этом: = = =2.
3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 28 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).
Ответ: однополостный гиперболоид вращения с центром (0,0,0), при: = = =2.
Пример 6–383: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.
1). Перепишем уравнение: – это каноническое уравнение двуполостного гиперболоида вращения, ось вращения .
2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,0), При этом: = = =2.
3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 28 б) с соответствующей заменой оси на ось (только по-честному!).
Ответ: двуполостный гиперболоид вращения с центром в точке (0,0,0), при: = = =2.
Пример 7–397: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.
1). Перепишем уравнение: Задано уравнение параболического цилиндра, образующая параллельна .
2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,4), При этом: При этом: =– .
3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 31 в) с соответствующей заменой оси на ось и учётом =– (только по-честному!).
Ответ: параболический цилиндр, образующая параллельна , =– .
Пример 8–398: Построить цилиндрическую поверхность: .
1). Уравнение определяет цилиндрическую поверхность, направляющие которой могут быть заданы прямыми: и , а образующая параллельна оси .
2). Выполнение рисунка не представляет труда, учитывая образующую цилиндра.
Пример 9–399: Построить цилиндрическую поверхность: .
1). Уравнение определяет цилиндрическую поверхность, направляющие которой могут быть заданы прямыми: и , а образующая параллельна оси .
2). Выполнение рисунка не представляет труда, учитывая образующую цилиндра.
Пример 10–400: Построить цилиндрическую поверхность: .
1). Уравнение определяет вырожденную поверхность: ось .
2). Выполнение рисунка не представляет труда.
Пример 11–401: Построить цилиндрическую поверхность: .
1). Уравнение определяет цилиндрическую поверхность, направляющая которой − гипербола, расположенная в плоскости , а образующая параллельна оси .
2). Выполнение рисунка не представляет труда, учитывая образующую цилиндра.
Пример 12–402: Построить цилиндрическую поверхность: .
1). Уравнение определяет цилиндр, направляющая которого: − окружность, а образующая параллельна оси .
2). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 31 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!), учитывая найденную образующую цилиндра.
Вопросы для самопроверки:
1. Как получают поверхности вращения 2-го порядка?
2. Как получают канонические уравнения поверхностей 2-го порядка?
3. Как применяют «метод сечений» для исследования поверхностей 2-го порядка?
4. Что такое «гиперболический параболоид», как получают его уравнение?
5. Мог ли инженер Гарин, используя гиперболоид, плавить руду и добывать золото?
1. Откройте файл под именем «Книга 1». На Листе 1 постройте поверхность, представляемую уравнением:
Такая поверхность называется однополосный гиперболоид.
2. Для построения этой поверхности решите заданное уравнение относительно z
3. Вам предстоит создать две таблицы для вычисления двух математических функций с двумя переменными
Первая функция представит однополосный гиперболоид в положительной полуплоскости, а вторая – в отрицательной.
Пусть и . Для упрощения формул примите: a = b = c =1.
4. В таблице для вычисления первой функции (рис. 1) приведена формула, которую следует копировать по строкам и столбцам
5. Аналогично будет выглядеть формула для вычисления второй функции. (См. рис. 2)
6. Постройте поверхности, выбрав диаграмму под названием «Поверхность» (Рис. 3, Рис. 4).
Задание 2. Постройте двуполостный гиперболоид
На Листе 3 постройте поверхность, представляемую уравнением
Такая поверхность называется двуполостный гиперболоид.
В таблице для вычисления первой функции (Рис. 5) приведена формула, которую следует скопировать по строкам и столбцам.
Аналогично будет выглядеть формула для вычислений второй функции. (См. рис. 6)
1. Построить верхнюю (четные варианты) или нижнюю (нечетные варианты) часть эллипсоида, заданного уравнением . Варианты заданий представлены в табл. 6.
2. Построить однополостный (четные варианты) или двухполостный (нечетные варианты) гиперболоид, заданный уравнением . Знак плюс относится к уравнению однополостного гиперболоида, знак минус – к уравнению двухполостного гиперболоида. Варианты заданий представлены в табл. 7.
3. Построить эллиптический (четные варианты) или гиперболический (нечетные варианты) параболоид, заданного уравнением . Знак плюсотносится к уравнению эллиптического параболоида, знак минус – к уравнению гиперболического параболоида. Варианты заданий представлены в табл.8.
Таблица 6. Варианты заданий
№ | a | b | с | № | a | b | c |
3.1 | 3.2 | 5.3 | |||||
0.9 | 1.1 | 1.25 | 1.95 | 1.5 | |||
1.5 | 1.25 | 1.95 | |||||
0.71 | 0.75 | 1.21 | |||||
1.72 | 2.9 | 3.1 | |||||
5.71 | 4.75 | 4.21 | 7.1 | 7.5 | 4.21 | ||
2.72 | 3.9 | 5.1 | 7.2 | 8.9 | |||
1.5 | 0.78 | 1.45 | 1.5 | 2.78 | 3.45 |
Таблица 7. Варианты заданий
№ | a | b | с | № | a | b | c |
3.1 | 3.2 | 5.3 | |||||
0.9 | 1.1 | 1.25 | 1.95 | 1.5 | |||
1.5 | 1.25 | 1.95 | |||||
0.71 | 0.75 | 1.21 | |||||
1.72 | 2.9 | 3.1 | |||||
5.71 | 4.75 | 4.21 | 7.1 | 7.5 | 4.21 | ||
2.72 | 3.9 | 5.1 | 7.2 | 8.9 | |||
1.5 | 0.78 | 1.45 | 1.5 | 2.78 | 3.45 |
Таблица 8. Варианты заданий
№ | p | q | № | p | q |
1.5 | 2.5 | ||||
2.5 | 1/5 | ||||
1.4 | 3.4 | ||||
3.4 | 1.4 | ||||
2.5 | 5.6 | ||||
5.4 | 2/5 | ||||
1.1 | 4.1 | ||||
4.1 | 1.2 | ||||
1.5 | 5.1 | ||||
5.5 | 1.5 | ||||
3.3 | 5.3 | ||||
5.1 | 3.7 | ||||
4.1 | 5.1 | ||||
5.3 | 4.2 | ||||
6.05 | 1.9 |
Рекомендации к выполнению лабораторной работы.
ПРИМЕР 1. Построить поверхность z=x 2 -y 2 при x, y Î[-1;1].
В диапазон B1:L1 введем последовательность значений переменной x: -1, -0.8, …,1, а в диапазон ячеек А2:А12 последовательность значений переменой y. В ячейку В2 введем формулу =$A2^2-B$1^2. Знак $, стоящий перед буквой в имени ячейки, дает абсолютную ссылку на столбец с данным именем, а знак $, стоящий перед цифрой – абсолютную ссылку на строку с этим именем. Поэтому при копировании формулы из ячейки В2 в ячейки диапазона B2:L12 в них будет найдено значение z для соответствующих значениях x, y. Таким образом, будет создана таблица значений z.
Для построения поверхности выделим диапазон ячеек A1:L12, содержащий таблицу значений функции. Далее обратимся к Мастеру диаграммивыберемтип диаграммы Поверхность. Затем заполним диалоговые окна в соответствии с вариантом задания и получим трехмерный график, показанный на рис 15.
Рис.15. Поверхность вида z=x 2 -y 2
ПРИМЕР 2. Построить верхнюю часть эллипсоида, заданного уравнением .
Выразим z через x и y.
Выражение описывает верхнюю часть эллипсоида.
Найдем область определения функции z(x,y).
Выполним построения как в предыдущем примере (рис. 16).
ПРИМЕР 3. Построить двухполосный гиперболоид, заданный уравнением .
Выразим z через x и y.
Функция определена везде. Выполним построения (рис. 17).
ПРИМЕР 3. Построить однополосный гиперболоид, заданный уравнением .
Выразим z через x и y.
Выражение описывает однополосный гиперболоид.
Найдем область определения функции z(x,y).
При построении однополостного гиперболоида, как линейчатой поверхности, главный (фронтальный меридиан) строится по точкам, чем больше точек, тем точнее построения. Рассмотрим алгоритм построения одной точки (Е), взятой на образующей.
Графический алгоритм построения одной точки
Графический алгоритм построения поверхности
1) Задать проекции определителя Y(i, l), i ^ П1 (рис. 2-95);
2) Распределить точки на l1, которые определят положение будущих параллелей на П1 и П2:
Точка 1(11) - определит положение горловой параллели (т.к. это ближайшая точка к оси вращения)
Точка 2(21) - определит положение верхней параллели;
Точка 3(31) - определит положение нижней параллели и одновременно будет экватором;
Точки 4, 5, 6(41, 51, 61) - промежуточные точки;
4). Далее все точки нужно ввести в плоскость фронтального меридиана (рис. 2-96), используя основное свойство поверхности вращения: каждая точка вращается вокруг оси по окружности (параллели),плоскость которой перпендикулярна оси,
6) Полученные точки соединить плавной кривой ® правый полумеридиан (рис. 2-97)
7) Все полумеридианы поверхностей вращения равны, поэтому симметрично правому достраиваем левый (рис. 2-98)
8) Определить видимость поверхности (см. рис. 2-98)
Точки находят так же, как на любой поверхности вращения.
а) Через точку А2 проводят параллель до пересечения с главным (фронтальным) меридианом (точка М2), М2 ® М1. Через М1 проводят горизонтальную проекцию этой параллели или замеряют радиус этой параллели на П2 и проводят на П1.
Проводят линию связи из точки А2, которая пересекает построенную параллель в двух точках, выбрать нужно верхнюю, т.к. точка А2 в скобках, значит она находится за фронтальным меридианом (сзади). Точку А1 нужно взять в скобки, т.к. она не расположена в зоне видимости (в не заштрихованной зоне).
б) Через точку В1 проводят параллель (вводят в плоскость фронтального меридиана ® N1), N1 ® N2. Через N2 проводят фронтальную проекцию этой параллели, из В1 проводят линию связи ® В2. Точка В2 - видима, т.к. В1 находится перед фронтальным меридианом.
Начальные знания о гиперболе становятся известны из школьного курса геометрии. В дальнейшем, изучая в вузе аналитическую геометрию, обучаемые получают дополнительные представления о гиперболе, гиперболоиде и их свойствах.
- Как построить гиперболоид
- Как построить параболоид
- Как построить гиперболу
Представьте, что имеется гипербола и некоторая линия, которая проходит через начало координат. Если гиперболу начать вращать вокруг этой оси, возникнет полое тело вращения, которое называется гиперболоидом. Существует два вида гиперболоидов: однополостный и двуполостный. Однополостный гиперболоид задается уравнением вида:x^2/a^2 +y^2/b^2-z^2/c^2=1Если рассматривать данную пространственную фигуру относительно плоскостей Oxz и Oyz, можно заметить, что основными ее сечениями являются гиперболы. Однако, сечением однополостного гиперболоида плоскостью Oxy является эллипс. Самый маленький эллипс гиперболоида называется горловым эллипсом. В этом случае, z=0, а эллипс проходит через начало координат. Уравнение горлового эллипса при z=0 записывается следующим образом:x^2/a^2 +y^2/b^2=1Остальные эллипсы имеют уравнения следующего вида:x^2/a^2 +y^2/b^2=1+h^2/c^2, где h - высота однополостного гиперболоида.
Построение гиперболоида начните с изображения гиперболы в плоскости Xoz. Начартите действительную полуось, которая совпадает с осью y и мнимую полуось, совпадающую с z. Постройте гиперболу, а затем задайте некоторую высоту h гиперболоида. После этого, на уровне заданной высоты проведите прямые, параллельные Ox и пересекающие график гиперболы в нижних и верхних точках.Затем аналогичным образом в плоскости Oyz постройте гиперболу, где b - действительная полуось, проходящая через ось y, а с - мнимая полуось, также совпадающая с c.Постройте в плоскости Oxy параллелограмм, который получается путем соединения точек графиков гипербол. Начертите горловой эллипс таким образом, чтобы он был вписан в этот параллелограмм. Аналогичным образом постройте остальные эллипсы. В результате получится чертеж тела вращения - однополостного гиперболоида, изображенного на рис.1
Двуполостный гиперболоид получил свое название из-за двух разных поверхностей, которые образованы осью Oz. Уравнение такого гиперболоида имеет следующий вид:x^2/a^2 +y^2/b^2 -z^2/c^2=-1Две полости получаются при построении гиперболы в плоскости Oxz и Oyz. У двуполостного гиперболоида сечения - эллипсы:x^2/a^2-y^2/b^2=h^2/c^2-1Также, как и в случае с однополостным гиперболоидом, постройте в плоскостях Oxz и Oyz гиперболы, которые будут располагаться таким образом, как показано на рисунке 2. Постройте внизу и наверху параллелограммы для построения эллипсов. Построив эллипсы, уберите все проекции построения, а затем начертите двуполостный гиперболоид.
Читайте также: