Моделирование случайных величин с заданным законом распределения в excel
На практике часто бывают ситуации, когда полное исследование каждого объекта из интересующей совокупности по различным причинам невозможно. В этих случаях из всей совокупности объектов случайным образом отбирают ограниченное число объектов и подвергают их исследованию. Вся совокупность объектов, из которых производится выборка называется генеральной совокупностью. Совокупность случайно отобранных из генеральной совокупности объектов называется выборочной совокупностью. Число объектов в совокупности называется ее объемом. На практике сведения о законе распределения случайной величины получают независимыми многократными повторениями опыта. На основе полученной информации из полученной выборки можно вычислить приблизительные значения для функции распределения и другие характеристики случайной величины. Выборочной или эмпирической функцией распределения случайной величины называют функцию равную частоте появления событий F (x)= nx/n.
Для построения выборочной функции распределения весь диапазон изменения случайной величины Х разбивают на ряд интервалов одинаковой ширины (от 5 до 15) и затем вычисляют количество значений случайной величины Х, попав-ших в каждый интервал.
Построение выборочной функции распределения
В табличном процессоре для построения выборочной функции распределения используется специальная функция ЧАСТОТА и инструмент пакета анализа Гистограмма . Функция ЧАСТОТА вычисляет частоты появления случайных величин в интервалах значений и выводит их как массив чисел. Функция имеет параметры:
ЧАСТОТА ( массив_данных; массив_интервалов ),
где:
- массив_данных – массив или ссылка на диапазон данных, для которых вычисляются частоты;
- массив_интервалов – массив или ссылка на множество интервалов, в которые группируются значения аргумента массив_данных . Количество элементов в возвращаемом массиве на единицу больше, чем в задано в параметре массив_интервалов. Дополнительный элемент содержит количество значений больших, чем максимальное значение в интервалах.
Инструмент Гистограмма служит для вычисления выборочных и интегральных частот попадания данных в указанные интервалы значений. Выходным результатом является таблица и гистограмма. Чтобы включить инструмент Гистограмма следует на ленте Данные в группе Анализ выбрать Анализ данных (Data Analysis) .
В раскрывшемся диалоговом окне Анализ данных из списка следует выбрать Гистограмма (Histogram) (рис. 1) – откроется диалоговое окно Гистограмма . Вид диалогового окна Гистограмма приведен на рис. 2.
Решение с применением функции ЧАСТОТА
1. В ячейку A2 рабочего листа введем текст “Наблюдения”, а в диапазон A3:A16 – числа из заданной выборки (см рис. 3).
2. В ячейке B2 запишем текст “ Шкала баллов ”, а в ячейки диапазона B3:B6 – баллы, соответствующие шкале для вывода пятибалльной оценки – 50, 70, 85, 100. Это означает, что баллы диапазона 1 – 50 эквивалентны оценке “неудовлетворительно”, баллы, находящиеся в диапазоне 51 – 70 – оценке “удовлетворительно” и т.д.
3. В ячейки C2, D2 и E2 введем тексты “ Абсолютные частоты ”, “ Относительные частоты ” и “ Накопленные частоты ” соответственно. Абсолютные частоты – это частота попадания случайной величины из выборки в соответствующий интервал. Относительная частота представляет собой частное от деления значения относительной частоты на количество элементов выборки. Накопленные частоты – это сумма относительных частот.
4. Выделим диапазон C3:C7 и на ленте Формулы выберем Вставить функцию . В открывшемся окне диалога Мастер функций выберите категорию Статистические , а в списке функций – функцию ЧАСТОТА (рис. 4).
Раскроется диалоговое окно функции ЧАСТОТА .
5. Установим параметры функции:
- массив_данных – установим ссылку на диапазон, содержащий выборку случайных величин (A3:A16);
- массив_интервалов – установим ссылку на диапазон, содержащий шкалу для вывода оценки (B3:B6).
6. Так как функция ЧАСТОТА возвращает результат в виде массива, нажмем комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter. В ячейки диапазона C3:C7 будет выведен результат – абсолютные частоты попадания случайных величин в интервалы, заданные в ячейках диапазона B3:B6 (рис. 3).
Таким образом, в результате проведенного исследования получены статистические оценки частот по случайной выборке: неудовлетворительно – 2, удовлетворительно – 4, хорошо – 5, отлично – 3.
Решение с применением инструмента Гистограмма
1. В ячейку A2 рабочего листа введем текст “Наблюдения”, а в диапазон A3:A16 – числа из заданной выборки (см. рис. 5).
Перед прочтением данной статьи рекомендуется освежить в памяти понятие Функция распределения случайной величины .
Часто случайная величина моделируется определенным распределением. Например, вес куска мыла, изготавливаемого на фабрике, может быть распределен по нормальному закону , а число автомобилей, прибывающих на стоянку в определенный период времени - распределению Пуассона .
Однако, бывают ситуации, когда форма распределения неизвестна, известно лишь, что дискретная случайная величина принимает некие значения с определенной вероятностью. Назовем такую функцию распределения "произвольной" функцией распределения , т.е. которая не соответствует известным законам распределения, а задана пользователем из опыта.
Зададим вероятности, что дискретная случайная величина Х примет определенное значение, с использованием таблицы (см. файл примера ).
Для вычисления Функции распределения используем функцию ВЕРОЯТНОСТЬ() .
Формула =ВЕРОЯТНОСТЬ($A$7:$A$10;$B$7:$B$10;$A$7;A7) вернет Функцию распределения . Того же результата можно добиться с помощью формулы =СУММ($B$6:B7) .
Функция ВЕРОЯТНОСТЬ() удобна тем, что она выполняет проверку:
- сумма вероятностей в столбце В должна быть равна 1;
- вероятность для каждого значения должна быть в пределе от 0 до 1;
- количество значений должно соответствовать вероятностям (в нашем случае 4 значениям случайной величины сопоставлены 4 значения вероятности).
Для генерации случайного числа создадим дополнительный столбец E .
Этот столбец практически совпадает со значениями функции распределения, но он начинается с 0 и не содержит 1.
Теперь запишем формулу для генерации случайного числа:
Разберем ее работу:
- Функция СЛЧИС() возвращает равномерно распределенное случайное число в интервале от 0 до 1 (см. эту статью ). Результат соответствует вероятности (ось y на графике функции распределения);
- Функция ПОИСКПОЗ () возвращает позицию из диапазона Е7:Е10 , в которой содержится наименьшее значение Е7:Е10 ). Подробнее о функции ПОИСКПОЗ() см. в статье Функция ПОИСКПОЗ() в MS EXCEL ;
- Функция ИНДЕКС () возвращает значение из диапазона A7:A10, у которого позиция совпадает с найденной функцией ПОИСКПОЗ() . Подробнее о функции ИНДЕКС () см. в статье Функция ИНДЕКС() в MS EXCEL .
Почему это работает? Рассмотрим интервал между 0,3 и 0,8, который равен половине интервала вероятностей (т.е. равен 0,5). На графике плотности вероятности видно, что этот интервал соответствует числу 2. Следовательно, результат функции СЛЧИС() будет в среднем в 50% случаях соответствовать именно этому числу.
Чтобы убедиться в этом, вычислим математическое ожидание нашего распределения =СУММ(F7:F10) . Оно равно 1,8. Теперь сгенерируем массив случайных чисел в столбце W и вычислим оценку среднего (математического ожидания). В файле примера видно, что оценка, вычисленная по формуле =СРЗНАЧ(W6:W55) , близка к истинному значению 1,8.
Задача
Для 50% покупателей время обслуживания 14 минут, для 25% - 8 минут и для оставшихся 25% - 11. Используя функцию СЛЧИС() сделать генератор, который будет случайно выдавать значения в этом интервале.
Решением вышеуказанной задачи является формула = ВПР(СЛЧИС();;2)
Если случайное число меньше 0,5 (50%), то время обслуживания составляет 14 минут, если от 0,5 до 0,75 (25%), то 11 минут, если от 0,75 до 1, то 8 минут (см. файл примера ).
Примечание : Про функцию ВПР() можно прочитать здесь .
СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .
Рассмотрим Нормальное распределение. С помощью функции MS EXCEL НОРМ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел, распределенных по нормальному закону, произведем оценку параметров распределения, среднего значения и стандартного отклонения .
Нормальное распределение (также называется распределением Гаусса) является самым важным как в теории, так в приложениях системы контроля качества. Важность значения Нормального распределения (англ. Normal distribution ) во многих областях науки вытекает из Центральной предельной теоремы теории вероятностей.
Определение : Случайная величина x распределена по нормальному закону , если она имеет плотность распределения :
СОВЕТ : Подробнее о Функции распределения и Плотности вероятности см. статью Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL .
Нормальное распределение зависит от двух параметров: μ (мю) — является математическим ожиданием (средним значением случайной величины) , и σ ( сигма) — является стандартным отклонением (среднеквадратичным отклонением). Параметр μ определяет положение центра плотности вероятности нормального распределения , а σ — разброс относительно центра (среднего).
Примечание : О влиянии параметров μ и σ на форму распределения изложено в статье про Гауссову кривую , а в файле примера на листе Влияние параметров можно с помощью элементов управления Счетчик понаблюдать за изменением формы кривой.
Нормальное распределение в MS EXCEL
В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Нормального распределения имеется функция НОРМ.РАСП() , английское название - NORM.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу выше) и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина X, распределенная по нормальному закону , примет значение меньше или равное x). Вычисления в последнем случае производятся по следующей формуле:
Вышеуказанное распределение имеет обозначение N (μ; σ). Так же часто используют обозначение через дисперсию N (μ; σ 2 ).
Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL была только функция НОРМРАСП() , которая также позволяет вычислить функцию распределения и плотность вероятности. НОРМРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.
Стандартное нормальное распределение
Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием μ=0 и дисперсией σ=1. Вышеуказанное распределение имеет обозначение N (0;1).
Примечание : В литературе для случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону, закреплено специальное обозначение z.
Любое нормальное распределение можно преобразовать в стандартное через замену переменной z =( x -μ)/σ . Этот процесс преобразования называется стандартизацией .
Примечание : В MS EXCEL имеется функция НОРМАЛИЗАЦИЯ() , которая выполняет вышеуказанное преобразование. Хотя в MS EXCEL это преобразование называется почему-то нормализацией . Формулы =(x-μ)/σ и =НОРМАЛИЗАЦИЯ(х;μ;σ) вернут одинаковый результат.
В MS EXCEL 2010 для стандартного нормального распределения имеется специальная функция НОРМ.СТ.РАСП() и ее устаревший вариант НОРМСТРАСП() , выполняющий аналогичные вычисления.
Продемонстрируем, как в MS EXCEL осуществляется процесс стандартизации нормального распределения N (1,5; 2).
Для этого вычислим вероятность, что случайная величина, распределенная по нормальному закону N(1,5; 2) , меньше или равна 2,5. Формула выглядит так: =НОРМ.РАСП(2,5; 1,5; 2; ИСТИНА) =0,691462. Сделав замену переменной z =(2,5-1,5)/2=0,5 , запишем формулу для вычисления Стандартного нормального распределения: =НОРМ.СТ.РАСП(0,5; ИСТИНА) =0,691462.
Естественно, обе формулы дают одинаковые результаты (см. файл примера лист Пример ).
Обратите внимание, что стандартизация относится только к интегральной функции распределения (аргумент интегральная равен ИСТИНА), а не к плотности вероятности .
Примечание : В литературе для функции, вычисляющей вероятности случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону, закреплено специальное обозначение Ф(z). В MS EXCEL эта функция вычисляется по формуле =НОРМ.СТ.РАСП(z;ИСТИНА) . Вычисления производятся по формуле
В силу четности функции плотности стандартного нормального распределения f(x), а именно f(x)=f(-х), функция стандартного нормального распределения обладает свойством Ф(-x)=1-Ф(x).
Обратные функции
Функция НОРМ.СТ.РАСП(x;ИСТИНА) вычисляет вероятность P, что случайная величина Х примет значение меньше или равное х. Но часто требуется провести обратное вычисление: зная вероятность P, требуется вычислить значение х. Вычисленное значение х называется квантилем стандартного нормального распределения .
В MS EXCEL для вычисления квантилей используют функцию НОРМ.СТ.ОБР() и НОРМ.ОБР() .
Графики функций
В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .
Как известно, около 68% значений, выбранных из совокупности, имеющей нормальное распределение , находятся в пределах 1 стандартного отклонения (σ) от μ(среднего или математического ожидания); около 95% - в пределах 2-х σ, а в пределах 3-х σ находятся уже 99% значений. Убедиться в этом для стандартного нормального распределения можно записав формулу:
которая вернет значение 68,2689% - именно такой процент значений находятся в пределах +/-1 стандартного отклонения от среднего (см. лист График в файле примера ).
В силу четности функции плотности стандартного нормального распределения: f ( x )= f (-х) , функция стандартного нормального распределения обладает свойством F(-x)=1-F(x). Поэтому, вышеуказанную формулу можно упростить:
Для произвольной функции нормального распределения N(μ; σ) аналогичные вычисления нужно производить по формуле:
Вышеуказанные расчеты вероятности требуются для построения доверительных интервалов .
Примечание : Для построения функции распределения и плотности вероятности можно использовать диаграмму типа График или Точечная (со сглаженными линиями и без точек). Подробнее о построении диаграмм читайте статью Основные типы диаграмм .
Примечание : Для удобства написания формул в файле примера созданы Имена для параметров распределения: μ и σ.
Генерация случайных чисел
С помощью надстройки Пакет анализа можно сгенерировать случайные числа, распределенные по нормальному закону .
СОВЕТ : О надстройке Пакет анализа можно прочитать в статье Надстройка Пакет анализа MS EXCEL .
Сгенерируем 3 массива по 100 чисел с различными μ и σ. Для этого в окне Генерация случайных чисел установим следующие значения для каждой пары параметров:
Примечание : Если установить опцию Случайное рассеивание ( Random Seed ), то можно выбрать определенный случайный набор сгенерированных чисел. Например, установив эту опцию равной 25, можно сгенерировать на разных компьютерах одни и те же наборы случайных чисел (если, конечно, другие параметры распределения совпадают). Значение опции может принимать целые значения от 1 до 32 767. Название опции Случайное рассеивание может запутать. Лучше было бы ее перевести как Номер набора со случайными числами .
В итоге будем иметь 3 столбца чисел, на основании которых можно, оценить параметры распределения, из которого была произведена выборка: μ и σ . Оценку для μ можно сделать с использованием функции СРЗНАЧ() , а для σ – с использованием функции СТАНДОТКЛОН.В() , см. файл примера лист Генерация .
Примечание : Для генерирования массива чисел, распределенных по нормальному закону , можно использовать формулу =НОРМ.ОБР(СЛЧИС();μ;σ) . Функция СЛЧИС() генерирует непрерывное равномерное распределение от 0 до 1, что как раз соответствует диапазону изменения вероятности (см. файл примера лист Генерация ).
Задачи
Задача1 . Компания изготавливает нейлоновые нити со средней прочностью 41 МПа и стандартным отклонением 2 МПа. Потребитель хочет приобрести нити с прочностью не менее 36 МПа. Рассчитайте вероятность, что партии нити, изготовленные компанией для потребителя, будут соответствовать требованиям или превышать их. Решение1 : = 1-НОРМ.РАСП(36;41;2;ИСТИНА)
Задача2 . Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Согласно техническим условиям, трубы признаются годными, если диаметр находится в пределах 20,00+/- 0,40 мм. Какая доля изготовленных труб соответствует ТУ? Решение2 : = НОРМ.РАСП(20,00+0,40;20,20;0,25;ИСТИНА)- НОРМ.РАСП(20,00-0,40;20,20;0,25) На рисунке ниже, выделена область значений диаметров, которая удовлетворяет требованиям спецификации.
Решение приведено в файле примера лист Задачи .
Задача3 . Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Внешний диаметр не должен превышать определенное значение (предполагается, что нижняя граница не важна). Какую верхнюю границу в технических условиях необходимо установить, чтобы ей соответствовало 97,5% всех изготавливаемых изделий? Решение3 : = НОРМ.ОБР(0,975; 20,20; 0,25) =20,6899 или = НОРМ.СТ.ОБР(0,975)*0,25+20,2 (произведена «дестандартизация», см. выше)
Задача 4 . Нахождение параметров нормального распределения по значениям 2-х квантилей (или процентилей ). Предположим, известно, что случайная величина имеет нормальное распределение, но не известны его параметры, а только 2-я процентиля (например, 0,5- процентиль , т.е. медиана и 0,95-я процентиль ). Т.к. известна медиана , то мы знаем среднее , т.е. μ. Чтобы найти стандартное отклонение нужно использовать Поиск решения . Решение приведено в файле примера лист Задачи .
Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL были функции НОРМОБР() и НОРМСТОБР() , которые эквивалентны НОРМ.ОБР() и НОРМ.СТ.ОБР() . НОРМОБР() и НОРМСТОБР() оставлены в MS EXCEL 2010 и выше только для совместимости.
Линейные комбинации нормально распределенных случайных величин
Известно, что линейная комбинация нормально распределённых случайных величин x ( i ) с параметрами μ ( i ) и σ ( i ) также распределена нормально. Например, если случайная величина Y=x(1)+x(2), то Y будет иметь распределение с параметрами μ (1)+ μ(2) и КОРЕНЬ(σ(1)^2+ σ(2)^2). Убедимся в этом с помощью MS EXCEL.
С помощью надстройки Пакет анализа сгенерируем 2 массива по 100 чисел с различными μ и σ.
Теперь сформируем массив, каждый элемент которого является суммой 2-х значений, взятых из каждого массива.
С помощью функций СРЗНАЧ() и СТАНДОТКЛОН.В() вычислим среднее и дисперсию получившейся выборки и сравним их с расчетными.
Кроме того, построим График проверки распределения на нормальность ( Normal Probability Plot ), чтобы убедиться, что наш массив соответствует выборке из нормального распределения .
Прямая линия, аппроксимирующая полученный график, имеет уравнение y=ax+b. Наклон кривой (параметр а) может служить оценкой стандартного отклонения , а пересечение с осью y (параметр b) – среднего значения.
Для сравнения сгенерируем массив напрямую из распределения N (μ(1)+ μ(2); КОРЕНЬ(σ(1)^2+ σ(2)^2) ).
Как видно на рисунке ниже, обе аппроксимирующие кривые достаточно близки.
В качестве примера можно провести следующую задачу.
Задача . Завод изготавливает болты и гайки, которые упаковываются в ящики парами. Пусть известно, что вес каждого из изделий является нормальной случайной величиной. Для болтов средний вес составляет 50г, стандартное отклонение 1,5г, а для гаек 20г и 1,2г. В ящик фасуется 100 пар болтов и гаек. Вычислить какой процент ящиков будет тяжелее 7,2 кг. Решение . Сначала переформулируем вопрос задачи: Вычислить какой процент пар болт-гайка будет тяжелее 7,2кг/100=72г. Учитывая, что вес пары представляет собой случайную величину = Вес(болта) + Вес(гайки) со средним весом (50+20)г, и стандартным отклонением =КОРЕНЬ(СУММКВ(1,5;1,2)) , запишем решение = 1-НОРМ.РАСП(72; 50+20; КОРЕНЬ(СУММКВ(1,5;1,2));ИСТИНА) Ответ : 15% (см. файл примера лист Линейн.комбинация )
Аппроксимация Биномиального распределения Нормальным распределением
Если параметры Биномиального распределения B(n;p) находятся в пределах 0,1 10, то Биномиальное распределение можно аппроксимировать Нормальным распределением .
При значениях λ >15 , Распределение Пуассона хорошо аппроксимируется Нормальным распределением с параметрами: μ =λ , σ 2 = λ .
Подробнее о связи этих распределений, можно прочитать в статье Взаимосвязь некоторых распределений друг с другом в MS EXCEL . Там же приведены примеры аппроксимации, и пояснены условия, когда она возможна и с какой точностью.
СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .
Распределение вероятностей – одно из центральных понятий теории вероятности и математической статистики. Определение распределения вероятности равносильно заданию вероятностей всех СВ, описывающих некоторое случайное событие. Распределение вероятностей некоторой СВ, возможные значения которой x 1, x 2, … xn образуют выборку, задается указанием этих значений и соответствующих им вероятностей p 1, p 2,… pn . ( pn должны быть положительны и в сумме давать единицу).
В данной лабораторной работе будут рассмотрены и построены с помощью MS Excel наиболее распространенные распределения вероятности: биномиальное и нормальное.
1 Биномиальное распределение
Представляет собой распределение вероятностей числа наступлений некоторого события («удачи») в n повторных независимых испытаниях, если при каждом испытании вероятность наступления этого события равна p . При этом распределении разброс вариант (есть или нет события) является следствием влияния ряда независимых и случайных факторов.
П римером практического использования биномиального распределения может являться контроль качества партии фармакологического препарата. Здесь требуется подсчитать число изделий (упаковок), не соответствующих требованиям. Все причины, влияющие на качество препарата, принимаются одинаково вероятными и не зависящими друг от друга. Сплошная проверка качества в этой ситуации не возможна, поскольку изделие, прошедшее испытание, не подлежит дальнейшему использованию. Поэтому для контроля из партии наудачу выбирают определенное количество образцов изделий ( n ). Эти образцы всестороннее проверяют и регистрируют число бракованных изделий ( k ). Теоретически число бракованных изделий может быть любым, от 0 до n .
В Excel функция БИНОМРАСП применяется для вычисления вероятности в задачах с фиксированным числом тестов или испытаний, когда результатом любого испытания может быть только успех или неудача.
Функция использует следующие параметры:
БИНОМРАСП (число_успехов; число_испытаний; вероятностъ_успеха; интегральная) , где
число_успехов — это количество успешных испытаний;
число_испытаний — это число независимых испытаний (число успехов и число испытаний должны быть целыми числами);
вероятность_ успеха — это вероятность успеха каждого испытания;
интегральный — это логическое значение, определяющее форму функции.
Если данный параметр имеет значение ИСТИНА (=1), то считается интегральная функция распределения (вероятность того, что число успешных испытаний не менее значения число_ успехов);
если этот параметр имеет значение ЛОЖЬ (=0), то вычисляется значение функции плотности распределения (вероятность того, что число успешных испытаний в точности равно значению аргумента число_ успехов).
Пример 1. Какова вероятность того, что трое из четырех новорожденных будут мальчиками?
1. Устанавливаем табличный курсор в свободную ячейку, например в А1. Здесь должно оказаться значение искомой вероятности.
2. Для получения значения вероятности воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции ( fx ) .
3. В появившемся диалоговом окне Мастер функций - шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Статистическая. Справа в поле Функция выбираем функцию БИНОМРАСП и нажимаем на кнопку ОК.
Появляется диалоговое окно функции. В поле Число_ s вводим с клавиатуры количество успешных испытаний (3). В поле Испытания вводим с клавиатуры общее количество испытаний (4). В рабочее поле Вероятность_ s вводим с клавиатуры вероятность успеха в отдельном испытании (0,5). В поле Интегральный вводим с клавиатуры вид функции распределения — интегральная или весовая (0). Нажимаем на кнопку ОК.
В ячейке А1 появляется искомое значение вероятности р = 0,25. Ровно 3 мальчика из 4 новорожденных могут появиться с вероятностью 0,25.
Если изменить формулировку условия задачи и выяснить вероятность того, что появится не более трех мальчиков, то в этом случае в рабочее поле Интегральный вводим 1 (вид функции распределения интегральный). Вероятность этого события будет равна 0,9375.
Задания для самостоятельной работы
1. Какова вероятность того, что восемь из десяти студентов, сдающих зачет, получат «незачет». (0,04)
2 . Нормальное распределение
Нормальное распределение - это совокупность объектов, в кото рой крайние значения некоторого признака — наименьшее и наибольшее — появ ляются редко; чем ближе значение признака к математическому ожиданию, тем чаще оно встречается. Например, распределение студентов по их весу приближается к нормальному распределению. Это распределение имеет очень широкий круг приложений в статистике, включая проверку гипотез.
Диаграмма нормального распределения симметрична относительно точки а (математического ожидания). Медиана нормального распределения равна тоже а. При этом в точке а функция f(x) достигает своего максимума, который равен
В Excel для вычисления значений нормального распределения используются функция НОРМРАСП, которая вычисляет значения вероятности нормальной функции распределения для указанного среднего и стандартного отклонения.
Функция имеет параметры:
НОРМРАСП (х; среднее; стандартное_откл; интегральная) , где:
х — значения выборки, для которых строится распределение;
среднее — среднее арифметическое выборки;
стандартное_откл — стандартное отклонение распределения;
интегральный — логическое значение, определяющее форму функции. Если интегральная имеет значение ИСТИНА(1), то функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если это аргумент имеет значение ЛОЖЬ (0), то вычисляет значение функция плотности распределения.
Если среднее = 0 и стандартное_откл = 1, то функция НОРМРАСП возвращает стандартное нормальное распределение.
Пример 2 . Построить график нормальной функции распределения f ( x ) при x , меняющемся от 19,8 до 28,8 с шагом 0,5, a =24,3 и
1. В ячейку А1 вводим символ случайной величины х, а в ячейку B 1 — символ функции плотности вероятности — f ( x ) .
2. Вводим в диапазон А2:А21 значения х от 19,8 до 28,8 с шагом 0,5. Для этого воспользуемся маркером автозаполнения: в ячейку А2 вводим левую границу диапазона (19,8), в ячейку A3 левую границу плюс шаг (20,3). Выделяем блок А2:А3. Затем за правый нижний угол протягиваем мышью до ячейки А21 (при нажатой левой кнопке мыши).
3. Устанавливаем табличный курсор в ячейку В2 и для получения значения вероятности воспользуемся специальной функцией — нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции ( fx ) . В появившемся диалоговом окне Мастер функций - шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Статистическая. Справа в поле Функция выбираем функцию НОРМРАСП. Нажимаем на кнопку ОК.
4. Появляется диалоговое окно НОРМРАСП. В рабочее поле X вводим адрес ячейки А2 щелчком мыши на этой ячейке. В рабочее поле Среднее вводим с клавиатуры значение математического ожидания (24,3). В рабочее поле Стандартное_откл вводим с клавиатуры значение среднеквадратического отклонения (1,5). В рабочее поле Интегральная вводим с клавиатуры вид функции распределения (0). Нажимаем на кнопку ОК.
5. В ячейке В2 появляется вероятность р = 0,002955. Указателем мыши за правый нижний угол табличного курсора протягиванием (при нажатой левой кнопке мыши) из ячейки В2 до В21 копируем функцию НОРМРАСП в диапазон В3:В21.
6. По полученным данным строим искомую диаграмму нормальной функции распределения. Щелчком указателя мыши на кнопке на панели инструментов вызываем Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне выбираем тип диаграммы График, вид — левый верхний. После нажатия кнопки Далее указываем диапазон данных — В1:В21 (с помощью мыши). Проверяем, положение переключателя Ряды в: столбцах. Выбираем закладку Ряд и с помощью мыши вводим диапазон подписей оси X: А2:А21. Нажав на кнопку Далее, вводим названия осей Х и У и нажимаем на кнопку Готово.
Рис. 1 График нормальной функции распределения
Получен приближенный график нормальной функции плотности распределения (см. рис.1).
Задания для самостоятельной работы
1. Построить график нормальной функции плотности распределения f ( x ) при x , меняющемся от 20 до 40 с шагом 1 при
3. Генерация случайных величин
Еще одним аспектом использования законов распределения вероятностей являет ся генерация случайных величин. Бывают ситуации, когда необходимо получить последовательность случайных чисел. Это, в частности, требуется для моделирования объектов, имеющих случайную природу, по известному распределению вероятно стей.
Процедура генерации случайных величин используется для заполнения диапазона ячеек случайными числами, извлеченными из одного или не скольких распределений.
В MS Excel для генерации СВ используются функции из категории Математические :
СЛЧИС () – выводит на экран равномерно распределенные случайные числа больше или равные 0 и меньшие 1;
СЛУЧМЕЖДУ (ниж_граница; верх_граница) – выводит на экран случайное число, лежащее между про извольными заданными значениями.
В случае использования процедуры Генерация случайных чисел из пакета Анализа необходимо заполнить следующие поля:
- число переменных вводится число столбцов значений, которые необходимо разместить в выходном диапазоне. Если это число не введено, то все столбцы в выходном диапазоне будут заполнены;
- число случайных чисел вводится число случайных значений, которое необ ходимо вывести для каждой переменной, если число случайных чисел не будет введе но, то все строки выходного диапазона будут заполнены;
- в поле распределение необходимо выбрать тип распределения, которое следует использовать для генерации случайных переменных:
1. равномерное - характеризуется вер x ней и нижней границами. Переменные из влекаются с одной и той же вероятностью для всех значений интервала.
2. нормальное — характеризуется средним значением и стандартным отклонени ем. Обычно для этого распределения используют среднее значе ние 0 и стандартное отклонение 1.
3. биномиальное — характеризуется вероятностью успеха (величина р) для неко торого числа попыток. Например, можно сгенерировать случайные двухальтер нативные переменные по числу попыток, сумма которых будет биномиальной случайной переменной;
4. дискретное — характеризуется значением СВ и соответствующим ему интервалом вероятности, диапазон должен состоять из двух столбцов: левого, содержаще го значения, и правого, содержащего вероятности, связанные со значением в дан ной строке. Сумма вероятностей должна быть равна 1;
5. распределения Бернулли, Пуассона и Модельное.
- в поле случайное рассеивание вводится произвольное значение, для которого необ ходимо генерировать случайные числа. Впоследствии можно снова использовать это значение для получения тех же самых случайных чисел.
Пример 3. Повар столовой может готовить 4 различных первых блюда (уха, щи, борщ, грибной суп). Необходимо составить меню на месяц, так чтобы первые блюда чередовались в случайном порядке.
1. Пронумеруем первые блюда по порядку: 1 — уха, 2 — щи, 3 — борщ, 4 — грибной суп. Введем числа 1-4 в диапазон А2:А5 рабочей таблицы.
2. Укажем желаемую вероятность появления каждого первого блюда. Пусть все блюда будут равновероятны (р=1/4). Вводим число 0,25 в диапазон В2:В5.
4. Указываем выходной диапазон и нажимаем ОК. В столбце С появляются случайные числа: 1, 2, 3, 4.
Задание для самостоятельной работы
1. Сформировать выборку из 10 случайных чисел, лежащих в диапазоне от 0 до 1.
2. Сформировать выборку из 20 случайных чисел, лежащих в диапазоне от 5 до 20.
3. Пусть спортсмену необходимо составить график тренировок на 10 дней, так чтобы дистанция, пробегаемая каждый день, случайным образом менялась от 5 до 10 км.
4. Составить расписание внеклассных мероприятий на неделю для случайного проведения: семинаров, интеллектуальных игр, КВН и спец. курса.
5. Составить расписание на месяц для случайной демонстрации на телевидении одного из четырех рекламных роликов турфирмы. Причем вероятность появления рекламного ролика №1 должна быть в два раза выше, чем остальных рекламных роликов.
Случайной называется переменная величина, принимающая различные числовые значения в зависимости от случая. В различных практических задачах используются два вида случайных величин – дискретные и непрерывные.
Случайная величина называется дискретной, если значения, которые она может принять можно пронумеровать, или, иначе говоря, которая может принимать значения, образующие счетные множества.
Законом распределения случайной величины Х называется соответствие между значениями случайной величины и вероятностями их реализации. Закон распределения может быть задан таблицей, формулой или графиком.
Генерация случайной величины, распределенной по равномерному закону
Дискретное равномерное распределение – это такое распределение, для которого вероятность каждого из значений случайной величины одна и та же, то есть
где N – количество возможных значений случайной величины
Для получения случайной величины, распределенной по равномерному закону, в библиотеке Мастера функций табличного процессора в категории Математические есть специальная функция СЛЧИС() , которая генерирует случайные вещественные числа в диапазоне 0 -1. Функция не имеет параметров
Если необходимо сгенерировать случайные числа в другом диапазоне, то для этого нужно использовать формулу:
= СЛЧИС() * (b – a) +a , где
a - число, устанавливающее нижнюю границу диапазона;
b – число, устанавливающее верхнюю границу диапазона.
Например, для генерации чисел распределенных по равномерному закону в диапазоне 10 – 20, нужно в ячейку рабочего листа ввести формулу:
Для генерации целых случайных чисел, равномерно распределенных в диапазоне между двумя заданными числами в библиотеке табличного процессора есть специальная функция СЛУЧМЕЖДУ. Функция имеет параметры:
СЛУЧМЕЖДУ(Нижн_гран; Верхн_гран) , где
Нижн_гран – число, устанавливающее нижнюю границу диапазона;
Верхн_гран - число, устанавливающее верхнюю границу диапазона. Применение функций СЛЧИС и СЛУЧМЕЖДУ рассмотрим на примере.
Пример 1 . Требуется создать массив из 10 чисел, распределенных равномерно в диапазоне 50 – 100.
Решение
1. Выделим диапазон, включающий десять ячеек рабочего листа, например B2:B11 (рис. 1).
2. На ленте Формулы в группе Библиотека функций кликнем на пиктограмме Вставить функцию .
3. В открывшемся окне диалога Мастер функций выберем категорию Математические , в списке функций – СЛЧИС , кликнем на ОК - появится окно диалога Аргументы функции .
4. Нажмем комбинацию клавиш + + - в выделенном диапазоне будут помещены числа, распределенные по равномерному закону в диапазоне 0 – 1 (рис. 1).
Читайте также: