Метод койка в эксель
Можно выделить два основных типа динамических эконометрических моделей. К моделям первого типа относятся модели авторегрессии или модели с распределенным лагом, в которых значения переменной за прошлые периоды времени (лаговые переменные) непосредственно включены в модель. Модели второго типа учитывают динамическую информацию в неявном виде. В эти модели включены переменные, характеризующие ожидаемый или желаемый уровень результата, или одного из факторов в момент времени t.
При исследовании экономических процессов нередко приходится моделировать ситуации, когда значение результативного признака в текущий момент времени t формируется под воздействием ряда факторов, действовавших в прошлые моменты времени t-1,t-2. t-l. Величину, характеризующую запаздывание в воздействии фактора на результат, называют в эконометрике лагом, а временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один или более моментов времени, — лаговыми переменными.
Эконометрическое моделирование осуществляется с применением моделей, содержащих не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных. Эти модели называются моделями с распределенным лагом. Модель вида уt=а + bo*xt+b1*xt-1+b2*xt-2+et является примером модели с распределенным лагом.
Наряду с лаговыми значениями независимых, или факторных, переменных на величину зависимой переменной текущего периода могут оказывать влияние ее значения в прошлые моменты или периоды времени. Эти процессы обычно описывают с помощью моделей регрессии, содержащих в качестве факторов лаговые значения зависимой переменной, которые называются моделями авторегрессии. Модель вида уt=а + bo*xt+c1*yt-1+et относится к моделям авторегрессии.
Выразим все коэффициенты bj, в модели через bo и l:
Тогда для периода (t— 1) модель можно записать следующим образом: Уt-1=a+bo•xt-1+bo•l•xt-2+bo•l•xt-3+ . + l*et-1
Умножим обе части модели на l. Преобразования приводят, нас к получению модели Койка: уt=а •(1 - l) +bo*хt,+ (1 - l) •уt-1 + ut, где ut=et-l*et-1
Полученная модель есть модель двухфакторной линейной регрессии (точнее — авторегрессии). Определив ее параметры, мы найдем l и оценки параметров а и bo исходной модели. Далее с помощью соотношений несложно определить параметры, b1,b2. модели. Отметим, что применение обычного МНК к оценке параметров модели приведет к получению смешенных оценок ее параметров ввиду наличия в этой модели в качестве фактора лаговой результативной переменной yt-1
Описанный выше алгоритм получил название преобразования Койка. Это преобразование позволяет перейти от модели с бесконечными распределенными лагами к модели авторегрессии, содержащей две независимые переменные хt и yt-1
Основной проблемой применения этого метода является постоянное сокращение числа степеней свободы, из-за чего увеличиваются ошибки коэффициентов, а также часто возникающая проблема мультиколлинеарности.
2. Метод геометрической прогрессии
В этой модели предполагается, что коэффициенты при лагах в зависимой переменной убывают в геометрической прогрессии:
, где λ – коэффициент, характеризующий скорость убывания коэффициентов с увеличением лага (0)
В этом случае спецификация модели будет иметь вид:
то есть в модели будет 3 неизвестных параметра ().
Для расчета их значений используют два основных метода:
I. Произведя замену мы получаем линейную парную регрессию:
Как видно, значения zt зависят от неизвестного параметра λ, поэтому, прежде чем оценить параметры регрессии (6.9), следует определить, какое значение λ будет оптимальным. Однако строгого алгоритма для этого не существует, поэтому приходится действовать методом перебора: выбирают фиксированный шаг изменения λ (например, 0,01; 0,001; 0,0001) и для каждого λ от 0 до 1 рассчитывают значения zt. Для полученной модели вида (6.9) можно провести оценку параметров , а также рассчитать коэффициент детерминации. Из построенных моделей выбирается та, которая обеспечивает наибольшее значение R 2 .
Следует отметить, что количество лагов p задается таким образом, чтобы при увеличении их на единицу изменение zt было бы меньше заранее выбранного малого числа Δ (например, если xt описывает месячную заработную плату (в рублях), т.е. диапазоны ее изменения – от 500 до 10000, то Δ может быть порядка 1 – 10).
II. Преобразование Койка. Этот метод достаточно широко распространен в эконометрическом анализе. Он реализуется следующим образом: из уравнения (6.6) вычитается такое же уравнение, только рассчитанное для периода (t-1) и умноженное на λ:
после несложных преобразований:
где – скользящая средняя случайных остатков временного ряда – также случайная величина.
Преобразование модели вида (6.8) в модель вида (6.12) получила название преобразования Койка. Как видно из формулы, модель (6.12) является линейной регрессией с двумя объясняющими переменными и тремя неизвестными параметрами, оценить которые можно при помощи МНК.
Однако в этом случае возможны следующие проблемы, приводящие к несостоятельности и смещенности оценок, получаемых по МНК:
1. Переменная yt-1 носит случайный характер, и, кроме того, она, скорее всего, будет коррелировать с vt, что приводит к нарушению предпосылок МНК.
2. Для случайных отклонений vt вполне возможно наличие автокорреляции (см. ниже).
Для преодоления проблем, связанных с применением МНК, используют обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК). Основное отличие ОМНК в том, что для его применения необязательно выполнение предпосылок 2 и 3 МНК, касающихся взаимонезависимости случайных остатков и постоянства их дисперсии. Применение ОМНК требует знания дополнительной информации об остатках, получить которую чрезвычайно сложно, поэтому на практике часто используют частные случаи ОМНК – доступный метод наименьших квадратов [Кремер, Путко, стр. 185] и метод взвешенных наименьших квадратов.
Модель (6.12) можно применять для долгосрочного прогнозирования. Если предположить, что xстремится к своему равновесному значению x*, то:
Следовательно, мы можем определить равновесное значение зависимой переменной.
Вообще для временных рядов и динамических регрессионных моделей достаточно распространено явление автокорреляции (взаимозависимости) случайных остатков или просто автокорреляции.
Метод Койка обычно применяют, если в моделях с распределенным лагом величина максимального лага L бесконечна. При этом используют допущение о геометрической структуре лага, т.е. воздействие лаговых значений фактора на результат уменьшается с увеличением величины лага в геометрической прогрессии. Если имеется одна объясняющая переменная, то модель имеет вид:
(3.3)
где
В данной зависимости всего три параметра: а, b0 и l. Для их оценивания нельзя применять обычный МНК, так как:
1) возникает проблема мультиколлинеарности;
2) из полученных МНК-оценок не удалось бы вывести значения b0 и l. Здесь можно получить одно значение оценки b0 с помощью коэффициента при xt, и совершенно другое, возведя в квадрат коэффициент при xt-1 и разделив его на коэффициент при xt-2.
Для оценки параметров а, b0 и l можно использовать два метода: нелинейный МНК либо преобразование Койка.
Суть нелинейного МНК. Задаем для lзначения в пределах от 0 до 1 с шагом, например, 0,01 (чем меньше шаг, тем более точным будет результат).
Для каждого значения lрассчитывается переменная:
с таким значением L, при котором дальнейшие лаговые значения х не оказывают существенного воздействия на z.
С помощью обычного МНК оценивается уравнение регрессии:
(3.4)
и определяется теоретический коэффициент детерминации R 2 .
Такие расчеты проделывают для всех .
В качестве окончательных оценок а, b0 и l выбирают те, которые обеспечивают наибольшее значение R 2 для уравнения (3.4).
Суть метода Койка (преобразование Койка). Если выражение (3.3) выполняется для периода t, то оно должно выполняться и для периода (t – 1):
Умножив обе части этого уравнения на lи вычтя их из уравнения (3.3), получим:
или
.
Полученная модель относится к моделям авторегрессии.
Эта форма позволяет анализировать краткосрочные и долгосрочные динамические свойства модели.
В краткосрочном аспекте (в текущем периоде) значение уt-1 нужно рассматривать как фиксированное. Воздействие х на у характеризует коэффициент b0.
В долгосрочном периоде (без учета случайной составляющей) если хt стремится к некоторому равновесному значению , то уt и уt-1, будут также стремиться к равновесному уровню , определяемому как:
,
из которого следует: .
Таким образом, долгосрочное воздействие х на у отражается коэффициентом . Если , то этот коэффициент превысит b0, т.е. долгосрочное воздействие оказывается сильнее краткосрочного.
Модель преобразования Койка привлекательна с практической точки зрения, т.к. оценивание парной регрессии с помощью МНК позволяет получить оценки а, b0 и l. Метод Койка требует гораздо меньших усилий при оценивании параметров, чем нелинейный МНК. Однако применение данного метода сопряжено с серьезной эконометрической проблемой – нарушением 1-го условия нормальной линей ной модели регрессии: объясняющая переменная уt-1 частично зависит от ut-1 и поэтому коррелирует с одной из случайных составляющих . В итоге оценки, полученные с помощью МНК, оказываются смещенными и несостоятельными.
3.7. Оценивание параметров моделей авторегрессии.
Метод инструментальных переменных
При построении моделей авторегрессии:
(3.5)
возникает проблема: нарушается 1-я предпосылка нормальной линейной модели регрессии об отсутствии связи между факторным признаком и случайной составляющей. В модели авторегрессии факторный признак уt-1 связан со случайной составляющей ut-1. Поэтому применение обычного МНК для оценки параметров уравнения регрессии приводит к получению смещенной оценки параметра при переменной уt-1.
Для оценивания параметров уравнения регрессии может быть использован метод инструментальных переменных.
Суть метода инструментальных переменных состоит в следующем.
Переменную уt-1 из правой части уравнения, для которой нарушается предпосылка МНК, заменяют на новую переменную, удовлетворяющую следующим требованиям:
1) она должна тесно коррелировать с уt-1 ;
2) она не должна коррелировать со случайной составляющей иt.
Затем оценивают регрессию с новой инструментальной переменной с помощью обычного МНК.
Рассмотрим один из методов получения инструментальной переменной.
Так как уt зависит от хt, предположим, что имеет место зависимость уt-1 от xt-1, т. е. .
Оценка может быть найдена с помощью обычного МНК.
Новая переменная тесно коррелирует с уt-1 и не коррелирует со случайной составляющей иt, т. е. может служить инструментальной переменной для фактора уt-1 .
В результате модель авторегрессии примет вид:
(3.6)
.
Оценки параметров данной модели находят обычным МНК. Полученные оценки являются искомыми оценками модели авторегрёссии (3.5).
Отметим, что практическая реализация метода инструментальных переменных осложняется появлением проблемы мультиколлинеарности факторов в модели: функциональная связь между и xt-1 ( ) приводит к появлению высокой корреляционной связи между и хt В некоторых случаях эту проблему можно решить включением в модель (3.6) фактора времени t.
Рассмотренные выше модели были построены в предположении конечной величины лага l. Предположим теперь, что для описания некоторого процесса используется модель с бесконечным лагом вида:
Очевидно, что параметры такой модели обычным МНК или с помощью иных стандартных статистических методов определить нельзя, поскольку модель включает бесконечное число факторных переменных. Однако, приняв определенные допущения относительно структуры лага, оценки ее параметров все же можно получить. Эти допущения состоят в наличии геометрической структуры лага, т. е. такой структуры, когда воздействия лаговых значений фактора на результат уменьшаются с увеличением величины лага в геометрической профессии. На рис. 7.1 геометрической структуре лага соответствует вариант 7.1 б).
Впервые изложенный в этом разделе подход к оценке параметров моделей с распределенным лагом типа (7.16) был предложен J1.M. Койком. Койк предположил, что существует некоторый постоянный темп λ (0 < λ < 1) уменьшения во времени лаговых воздействий фактора на результат. Если, например, в период t результат изменялся под воздействием изменения фактора в этот же период времени на b0 ед., то под воздействием изменения фактора, имевшего место в период (t — 1), результат изменится на b0 • λ ед.; в период (t - 2) — на b0 • λ • λ = b0 • λ 2 ед., и т. д. Для некоторого периода (t — l) это изменение результата составит b0 • λ l ед. В более общем виде можно записать:
Тогда для периода (t — 1) модель (7.18)можно записать следующим образом:
Умножим обе части модели (7.19) на :
Вычтем найденное соотношение (7.20) из соотношения (7.18):
Преобразования (7.21) приводят нас к получению модели Койка:
Полученная модель есть модель двухфакторной линейной регрессии (точнее — авторегрессии). Определив ее параметры, мы найдем и оценки параметров а и b0 исходной модели. Далее с помощью соотношений (7.17) несложно определить параметры b1 b2. модели (7.16). Отметим, что применение обычного МНК к оценке параметров модели (7.22) приведет к получению смещенных оценок ее параметров ввиду наличия в этой модели в качестве фактора лаговой результативной переменной .
Описанный выше алгоритм получил название преобразования Койка. Это преобразование позволяет перейти от модели с бесконечными распределенными лагами к модели авторегрессии, содержащей две независимые переменные xt и yt-l. Несмотря на бесконечное число лаговых переменных в модели (7.16), геометрическая структура лага позволяет определить величины среднего и медианного лагов в модели Койка. Поскольку сумма коэффициентов регрессии в модели (7.16) есть сумма геометрической профессии, т. е.
– развитие учебных способностей, умений, навыков и принятия самостоятельных решений в профессиональной деятельности.
Вопросы для изучения:
Цель работы:
формирование навыков по решению систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя в MS Excel.
Методические указания:
1. Изучить предлагаемый вопрос по литературным источникам и предложенной лекции.
2. Составить конспект.
3. Ответить на вопросы для самоконтроля.
Тема: РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В MS EXCEL. МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ.
1. МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ.
Модификацией метода простых итераций Якоби можно считать метод Зейделя.
В методе Якоби на итерации значения вычисляются подстановкой в правую часть системы:
вычисленных на предыдущей итерации значений
В методе Зейделя при вычислении используются значения уже найденные на итерации, а не как в методе Якоби, т.е. приближение строится следующим образом:
Эти формулы являются расчетными формулами метода Зейделя.
Введем нижнюю и верхнюю треугольные матрицы:
Матричная запись расчетных формул метода Зейделя имеет вид:
Так как точное решение исходной системы удовлетворяет равенству:
Сходимость метода Зейделя. Достаточным условием сходимости метода Зейделя является выполнение неравенства:
Этонеравенство означает, что для сходимости метода Зейделя достаточно, чтобы максимальный по модулю элемент матрицы (полученной из расчётных формул метода Зейделя) был меньше единицы. Если выполнено условие, то справедлива следующая апостериорная оценка погрешности:
где – максимальный элемент матрицы максимальный элемент матрицы .
Правую часть апостериорной оценки погрешности легко вычислить после нахождения очередного приближения.
Критерий окончания. Если требуется найти решение с точностью , то в силу апостериорной оценки погрешности итерационный процесс следует закончить, как только на шаге выполнится неравенство:
Поэтому в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать неравенство:
где
Если выполняется условие то можно пользоваться более простым критерием окончания:
Метод Зейделя, как правило, сходится быстрее, чем метод Якоби. Однако возможны ситуации, когда метод Якоби сходится, а метод Зейделя сходится медленнее или вообще расходится.
Пример:применить метод Зейделя для решения системы линейных алгебраических уравнений
x1 | x2 | x3 | x4 | b | e |
0,79 | -0,12 | 0,34 | 0,16 | -0,64 | 0,001 |
-0,34 | 1,08 | -0,17 | 0,18 | -1,42 | |
-0,16 | -0,34 | 0,85 | 0,31 | -0,42 | |
-0,12 | 0,26 | 0,08 | 0,75 | 0,83 | |
x1 | x2 | x3 | x4 | b | |
1,0000 | -0,1519 | 0,4304 | 0,2025 | -0,8101 | |
-0,3148 | 1,0000 | -0,1574 | 0,1667 | -1,3148 | |
-0,1882 | -0,4000 | 1,0000 | 0,3647 | -0,4941 | |
-0,1600 | 0,3467 | 0,1067 | 1,0000 | 1,1067 | |
B | |||||
x1 | 0,0000 | 0,1519 | -0,4304 | -0,2025 | -0,8101 |
x2 | 0,3148 | 0,0000 | 0,1574 | -0,1667 | -1,3148 |
x3 | 0,1882 | 0,4000 | 0,0000 | -0,3647 | -0,4941 |
x4 | 0,1600 | -0,3467 | -0,1067 | 0,0000 | 1,1067 |
b=maxbij= | 0,4000 | < 1/2 | |||
ответ | |||||
x 0 1= | -0,8101 | x 1 1= | -1,02132 | - | |
x 0 2= | -1,3148 | x 1 2= | -1,89856 | - | |
x 0 3= | -0,4941 | x 1 3= | -1,8494 | - | |
x 0 4= | 1,1067 | x 1 4= | 1,798693 | - | |
x 1 1= | -1,02132 | x 2 1= | -0,66686 | - | |
x 1 2= | -1,89856 | x 2 2= | -2,11565 | - | |
x 1 3= | -1,8494 | x 2 3= | -2,1219 | - | |
x 1 4= | 1,798693 | x 2 4= | 1,959728 | - | |
x 2 1= | -0,66686 | x 3 1= | -0,61518 | - | |
x 2 2= | -2,11565 | x 3 2= | -2,1691 | - | |
x 2 3= | -2,1219 | x 3 3= | -2,19228 | - | |
x 2 4= | 1,959728 | x 3 4= | 1,994038 | - | |
x 3 1= | -0,61518 | x 4 1= | -0,59995 | - | |
x 3 2= | -2,1691 | x 4 2= | -2,18111 | - | |
x 3 3= | -2,19228 | x 4 3= | -2,20673 | - | |
x 3 4= | 1,994038 | x 4 4= | 2,002177 | - | |
x 4 1= | -0,59995 | x 5 1= | -0,59721 | - | |
x 4 2= | -2,18111 | x 5 2= | -2,18388 | - | |
x 4 3= | -2,20673 | x 5 3= | -2,21029 | - | |
x 4 4= | 2,002177 | x 5 4= | 2,003955 | - | |
x 5 1= | -0,59721 | x 6 1= | -0,59646 | Корень | |
x 5 2= | -2,18388 | x 6 2= | -2,1845 | Корень | |
x 5 3= | -2,21029 | x 6 3= | -2,21104 | Корень | |
x 5 4= | 2,003955 | x 6 4= | 2,004371 | Корень | |
Ответ: | x1= | -0,596 | |||
x2= | -2,184 | ||||
x3= | -2,211 | ||||
x4= | 2,004 |
Вопросы для самоконтроля
1. Суть метода итерации Зейделя.
2. Какой из итерационных методов сходится быстрее? Почему?
3. Критерий окончания метода Зейделя.
Список литературы
1. Численные методы: Учебно пособие для студентов вузов ∕ М. П. Лапчик, М. И. Рагулина, Е.К. Хеннер; под ред. М. П. Лапчика. — М.: Издательский центр «Академия», 2004.
2. Численные методы в примерах и задачах: Учебное пособие /В.И. Киреев, А.В. Пантелеев. — 3-е изд. стер. — М.: Высш. шк., 2008.
3. Вычислительная математика в примерах и задачах/ Н. В. Копченова, И. А. Марон. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1972.
Читайте также: