Как построить годограф в excel
Использование Excel для расчета статистических характеристик случайной величины
Разделы: Математика
- Совершенствование умений и навыков нахождения статистических характеристик случайной величины, работа с расчетами в Excel;
- применение информационно коммутативных технологий для анализа данных; работа с различными информационными носителями.
- Сегодня на уроке мы научимся рассчитывать статистические характеристики для больших по объему выборок, используя возможности современных компьютерных технологий.
- Для начала вспомним:
– что называется случайной величиной? (Случайной величиной называют переменную величину, которая в зависимости от исхода испытания принимает одно значение из множества возможных значений.)
– Какие виды случайных величин мы знаем? (Дискретные, непрерывные.)
– Приведите примеры непрерывных случайных величин (рост дерева), дискретных случайных величин (количество учеников в классе).
– Какие статистические характеристики случайных величин мы знаем (мода, медиана, среднее выборочное значение, размах ряда).
– Какие приемы используются для наглядного представления статистических характеристик случайной величины (полигон частот, круговые и столбчатые диаграммы, гистограммы).
- Рассмотрим, применение инструментов Excel для решения статистических задач на конкретном примере.
Пример. Проведена проверка в 100 компаниях. Даны значения количества работающих в компании (чел.):
1. Занести данные в EXCEL, каждое число в отдельную ячейку.
23 | 25 | 24 | 25 | 30 | 24 | 30 | 26 | 28 | 26 |
32 | 33 | 31 | 31 | 25 | 33 | 25 | 29 | 30 | 28 |
23 | 30 | 29 | 24 | 33 | 30 | 30 | 28 | 26 | 25 |
26 | 29 | 27 | 29 | 26 | 28 | 27 | 26 | 29 | 28 |
29 | 30 | 27 | 30 | 28 | 32 | 28 | 26 | 30 | 26 |
31 | 27 | 30 | 27 | 33 | 28 | 26 | 30 | 31 | 29 |
27 | 30 | 30 | 29 | 27 | 26 | 28 | 31 | 29 | 28 |
33 | 27 | 30 | 33 | 26 | 31 | 34 | 28 | 32 | 22 |
29 | 30 | 27 | 29 | 34 | 29 | 32 | 29 | 29 | 30 |
29 | 29 | 36 | 29 | 29 | 34 | 23 | 28 | 24 | 28 |
2. Для расчета числовых характеристик используем опцию Вставка – Функция. И в появившемся окне в строке категория выберем — статистические, в списке: МОДА
В поле Число 1 ставим курсор и мышкой выделяем нашу таблицу:
Нажимаем клавишу ОК. Получили Мо = 29 (чел) – Фирм у которых в штате 29 человек больше всего.
Используя тот же путь вычисляем медиану.
Вставка – Функция – Статистические – Медиана.
В поле Число 1 ставим курсор и мышкой выделяем нашу таблицу:
Нажимаем клавишу ОК. Получили Ме = 29 (чел) – среднее значение сотрудников в фирме.
Размах ряда чисел – разница между наименьшим и наибольшим возможным значением случайной величины. Для вычисления размаха ряда нужно найти наибольшее и наименьшее значения нашей выборки и вычислить их разность.
Вставка – Функция – Статистические – МАКС.
В поле Число 1 ставим курсор и мышкой выделяем нашу таблицу:
Нажимаем клавишу ОК. Получили наибольшее значение = 36.
Вставка – Функция – Статистические – МИН.
В поле Число 1 ставим курсор и мышкой выделяем нашу таблицу:
Нажимаем клавишу ОК. Получили наименьшее значение = 22.
36 – 22 = 14 (чел) – разница между фирмой с наибольшим штатом сотрудников и фирмой с наименьшим штатом сотрудников.
Для построения диаграммы и полигона частот необходимо задать закон распределения, т.е. составить таблицу значений случайной величины и соответствующих им частот. Мы ухе знаем, что наименьшее число сотрудников в фирме = 22, а наибольшее = 36. Составим таблицу, в которой значения xi случайной величины меняются от 22 до 36 включительно шагом 1.
xi | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |
ni |
Чтобы сосчитать частоту каждого значения воспользуемся
Вставка – Функция – Статистические – СЧЕТЕСЛИ.
В окне Диапазон ставим курсор и выделяем нашу выборку, а в окне Критерий ставим число 22
Нажимаем клавишу ОК, получаем значение 1, т.е. число 22 в нашей выборке встречается 1 раз и его частота =1. Аналогичным образом заполняем всю таблицу.
xi | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |
ni | 1 | 3 | 4 | 5 | 11 | 9 | 13 | 18 | 16 | 6 | 4 | 6 | 3 | 0 | 1 |
Для проверки вычисляем объем выборки, сумму частот (Вставка – Функция – Математические — СУММА). Должно получиться 100 (количество всех фирм).
Чтобы построить полигон частот выделяем таблицу – Вставка – Диаграмма – Стандартные – Точечная (точечная диаграмма на которой значения соединены отрезками)
Нажимаем клавишу Далее, в Мастере диаграмм указываем название диаграммы (Полигон частот), удаляем легенду, редактируем шкалу и характеристики диаграммы для наибольшей наглядности.
Для построения столбчатой и круговой диаграмм используем тот же путь (выбирая нужный нам тип диаграммы).
Диаграмма – Стандартные – Круговая.
Диаграмма – Стандартные – Гистограмма.
4. Сегодня на уроке мы научились применять компьютерные технологии для анализа и обработки статистической информации.
Инструменты Excel для построения гистограмм, полигонов
Процедура «Гистограмма» пакета «Анализ данных. Вычисление частот и накопленных частот. Построение гистограмм.
В процедуре автоматически выполняются следующие вычисления:
выбирается число m интервалов группировки (7 £ m £ 20);
вычисляются середины интервалов группировки , , ;
для каждого интервала вычисляются частоты nj — количество выборочных значений, которые попали в j -й интервал;
для каждого интервала вычисляются накопленные частоты — количество выборочных значений, не превышающих верхней границы j -го интервала;
Строится гистограмма – график ступенчатой функции , , , D j = ( aj , bj ) , .
Для того чтобы вычислять накопленные частоты и отобразить гистограмму в листе в листе Excel , в окне процедуры следует пометить соответствующие поля.
Результаты вычислений процедуры представлены в виде таблицы (ниже приведены две таблицы, первая – когда поле «Интегральный процент» не помечено, вторая – когда помечено)
Чтобы найти точки пересечения годографа с осями координат, необходимо приравнять нулю вещественную и мнимую части и найти частоты, при которых они равны нулю.
Построение годографа ведется в следующем порядке:
1. В характеристическом уравнении замкнутой системы производим замену на :
2. Из уравнения выделяем вещественную и мнимую части:
— уравнение вещественной части — ;
— уравнение мнимой части — .
3. Приравняем нулю мнимую часть и находим частоты, при которых годограф пересекается с вещественной осью (точки 1 и 3):
4. Полученные значения частоты подставим в уравнение вещественной части, получаем точки 1 и 3:
5. Приравняем нулю уравнение вещественной части, получаем частоты, при которых годограф пересекается с мнимой осью:
Введем новую переменную и получим квадратное уравнение:
Решим квадратное уравнение:
Найдем и (только положительные значения):
6. Полученные значения частоты подставим в уравнение мнимой части и находим точки 2 и 4:
7. Задаются промежуточными частотами и частотой , для которых находят значения вещественной и мнимой части:
8. Все расчеты сводятся в таблицу:
0.23 | 0.46 | 0.68 | 0.89 | 1.2 | 1.51 | 1.6 |
0.74 | -0.88 | -1.71 | -2.1 | 1,31 | ||
0.86 | 1.35 | 1.15 | -3.84 | -11.17 | -14,08 |
9. По данным таблицы строится годограф (рисунок 1).
10. Вывод: Система устойчива, т.к. вектор годографа Михайлова начинает свое движение с положительной вещественной полуоси, вращается против часовой стрелки, нигде не обращается в ноль и обходит последовательно 4 квадранта комплексной плоскости.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Порядок построения годографа
Частотные критерии устойчивости
Частотные критерии позволяют сравнительно легко исследовать устойчивость систем высокого порядка и дают представления о качестве процесса регулирования.
Частотные критерии используют понятие годографа, т.е. кривой в плоскости с координатами (действительная и мнимые части АФЧХ), которую описывает конец вектора при увеличении частоты от 0 до .
Значения и получают, заменив в характеристическом уравнении (2) постоянную p на переменную .
Характеристическое уравнение представляет собой полином знаменателя передаточной функции замкнутой САР, т.е.
Записать передаточные функции разомкнутой и замкнутой САР. Например: регулятор – П (пропорциональный), объект – А (апериодическое звено).
Записываем характеристическое уравнение
T | 2T |
Критерий Михайлова
Линейная система n-го порядка устойчива, если при изменении от 0 до годограф Михайлова — последовательно обходит n — квадрантов комплексной плоскости против часовой стрелки, начинаясь в точке на положительной вещественной полуоси и нигде не проходя через начало координат.
Чем дальше годограф от нуля, тем система более устойчива.
Порядок построения годографа
1. Откладывается точка при .
2. Увеличивается частота и находятся другие точки.
3. Определяются точки пересечения с осями координат, как корни уравнений: ,
Особенности годографа устойчивых систем
1. Начало в точке , .
2. При вектор поворачивается против часовой стрелки на угол , поочередно обходя n — квадрантов.
3. Модуль вектора должен быть отличен от нуля при любых .
Если годограф проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости.
Найдем точки пересечения с осями координат.
С мнимой осью из уравнения
Подставив значение в мнимую часть, получим точку пересечения с (0;0,26).
С действительной осью из уравнения
. Подставив значение в действительную часть, получим точку пересечения с (0,1;0).
0,32 | 0,5 | 1,25 | |
0,1 | -0,15 | -0,9 | -1,46 |
0,26 | 0,4 | 0,8 |
Найдем точки пересечения с осями координат.
С мнимой осью из уравнения
Подставив значение в мнимую часть, получим точку пересечения с (0;-6,8).
С действительной осью из уравнения
Подставив значение в действительную часть, получим точки пересечения с (3,0) и (2,0)
0,5 | 1,73 | |
2,75 | -1 | |
0,75 | -6,8 | -12 |
| | следующая лекция ==> | |
Возможные виды корней и решения ДУ | | | Область применения частотных критериев |
Частотные критерии позволяют сравнительно легко исследовать устойчивость систем высокого порядка и дают представления о качестве процесса регулирования.
Частотные критерии используют понятие годографа, т.е. кривой в плоскости с координатами (действительная и мнимые части АФЧХ), которую описывает конец вектора при увеличении частоты от 0 до .
Значения и получают, заменив в характеристическом уравнении (2) постоянную p на переменную .
Характеристическое уравнение представляет собой полином знаменателя передаточной функции замкнутой САР, т.е.
Записать передаточные функции разомкнутой и замкнутой САР. Например: регулятор – П (пропорциональный), объект – А (апериодическое звено).
Записываем характеристическое уравнение
T | 2T |
Критерий Михайлова
Линейная система n-го порядка устойчива, если при изменении от 0 до годограф Михайлова — последовательно обходит n — квадрантов комплексной плоскости против часовой стрелки, начинаясь в точке на положительной вещественной полуоси и нигде не проходя через начало координат.
Чем дальше годограф от нуля, тем система более устойчива.
Порядок построения годографа
1. Откладывается точка при .
2. Увеличивается частота и находятся другие точки.
3. Определяются точки пересечения с осями координат, как корни уравнений: ,
Особенности годографа устойчивых систем
1. Начало в точке , .
2. При вектор поворачивается против часовой стрелки на угол , поочередно обходя n — квадрантов.
3. Модуль вектора должен быть отличен от нуля при любых .
Если годограф проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости.
Найдем точки пересечения с осями координат.
С мнимой осью из уравнения
Подставив значение в мнимую часть, получим точку пересечения с (0;0,26).
С действительной осью из уравнения
. Подставив значение в действительную часть, получим точку пересечения с (0,1;0).
0,32 | 0,5 | 1,25 | |
0,1 | -0,15 | -0,9 | -1,46 |
0,26 | 0,4 | 0,8 |
Найдем точки пересечения с осями координат.
С мнимой осью из уравнения
Подставив значение в мнимую часть, получим точку пересечения с (0;-6,8).
С действительной осью из уравнения
Подставив значение в действительную часть, получим точки пересечения с (3,0) и (2,0)
0,5 | 1,73 | |
2,75 | -1 | |
0,75 | -6,8 | -12 |
| | следующая лекция ==> | |
Возможные виды корней и решения ДУ | | | Область применения частотных критериев |
Практическое построение годографа Михайлова
Для примера рассмотрим систему 4 ой степени:
Чтобы найти точки пересечения годографа с осями координат, необходимо приравнять нулю вещественную и мнимую части и найти частоты, при которых они равны нулю.
Построение годографа ведется в следующем порядке:
1. В характеристическом уравнении замкнутой системы производим замену на :
2. Из уравнения выделяем вещественную и мнимую части:
— уравнение вещественной части — ;
— уравнение мнимой части — .
3. Приравняем нулю мнимую часть и находим частоты, при которых годограф пересекается с вещественной осью (точки 1 и 3):
4. Полученные значения частоты подставим в уравнение вещественной части, получаем точки 1 и 3:
5. Приравняем нулю уравнение вещественной части, получаем частоты, при которых годограф пересекается с мнимой осью:
Введем новую переменную и получим квадратное уравнение:
Решим квадратное уравнение:
Найдем и (только положительные значения):
6. Полученные значения частоты подставим в уравнение мнимой части и находим точки 2 и 4:
7. Задаются промежуточными частотами и частотой , для которых находят значения вещественной и мнимой части:
8. Все расчеты сводятся в таблицу:
0.23 | 0.46 | 0.68 | 0.89 | 1.2 | 1.51 | 1.6 |
0.74 | -0.88 | -1.71 | -2.1 | 1,31 | ||
0.86 | 1.35 | 1.15 | -3.84 | -11.17 | -14,08 |
9. По данным таблицы строится годограф (рисунок 1).
10. Вывод: Система устойчива, т.к. вектор годографа Михайлова начинает свое движение с положительной вещественной полуоси, вращается против часовой стрелки, нигде не обращается в ноль и обходит последовательно 4 квадранта комплексной плоскости.
Для добавления вопроса на сайт, блог или форум просто скопируйте и вставьте в html код:
Годограф это специальный график который будет отображать какое-либо изменение величины, таких годографов может быть довольно много и такие графики используются во многих областях науки.
Как построить годограф – для его построения можно пользоваться разнообразными утилитами, например в промышленности при проектировании каких-либо автоматических устройств например робота манипулятора используется утилита MatchCad.
1. После запуска утилиты, нужно в меню утилиты перейти в меню «математический пакет», если такого нет, то нужно скачать дополнительный программный модуль. Далее нужно создать пустой документ, и задать разрешение диапазона чисел, этот диапазон обозначается буквой i.
2. Далее нужно выставить шаг частоты, и задать вещественную часть и мнимую часть исходного уравнения, которая была рассчитана ранее. После всех расчетов получаются значения частоты, а так же данные из уравнения вещественная и мнимая.
3. Далее в утилите нужно выбрать раздел «Инструменты графика» и далее «декартов график», в раскрывшемся списке нужно выбрать раздел «формат» в который нужно внести необходимые данные. После чего утилита построит график, который называется годограф.
1. Для построения годографа нужно знать много определенных параметров, которые подставляются в соответствующие формулы. Причем в зависимости от требований, предъявляемых к годографу, используются разные формулы.
Для построения годографа можно пользоваться специальными утилитами, в которых после подставления данных из ранее полученных расчетов утилита сама нарисует необходимый график. Так же можно нарисовать годграф и вручную, так же точно подставляя необходимые данные в график.
2. Можно строить годограф с использованием такой всем известной утилиты как Excel, достаточно задать в нем в чистом документе формулу. В один столбец прописывается функция, а во втором столбце аргумент. Когда все параметры занесены, нужно перейти на вкладку «Диаграмма».
3. В разделе диаграммы нужно выбрать точечные диаграммы, далее выбрать во вкладке ряд, значения, ранее занесенные в ячейки, после чего годограф будет построен.
W (s) = ,
Построить годографы Михайлова и Найквиста. Определить частоту среза системы.
Определить критическое значение коэффициента усиления системы.
Решение.
А) Выписываем характеристический полином для замкнутой системы
A(s) = 50 + (30s+1) (0,4s+1)(0,01s+1) = 50+(900 +60s+1)(0,004 +0,41s+1) = 3,6 +369,24 +924,604 +60,41s+51.
Б) Преобразуем к виду s→ ωj
A(s) = 3,6 +369,24 +924,604 +60,41 +51 = 3,6ω -369,24jω -924,604ω +60,41jω+51
В) Выделим действительную и мнимую часть.
A= U( )+jV( ), где U( ) – действительная часть, а V( ) – мнимая часть.
U( ) = 3,6ω -924,604ω +51
V( ) = ω(60,41-369,24 ω )
Г) Построим годограф Михайлова:
Рис.1. Годограф Михайлова при ω = 0:000,1:0,1.
Рис.2. Годограф Михайлова при ω = 0:1:20.
Д) Проверим устойчивость системы с помощью критерия Михайлова:
Критерий Михайлова: Для устойчивой АСР необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова (см. рис.1 и рис.2), начинаясь при w = 0 на положительной вещественной полуоси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) при возрастании w от 0 до ∞ n квадрантов, где n - степень характеристического полинома.
Из решения видно (см. рис.1 и рис.2), что годограф удовлетворяет всем условиям критерия:
- Начинается на положительной вещественной полуоси при w = 0
- Обходит в положительном направлении все 4 квадранта (степень полинома n=4) при ω .
- Делаем вывод, что данная разомкнутая система устойчива.
- Построение годографа Найквиста.
А) Произведем замену в АФЧХ s→ ωj
W (s) = ,
Б) Раскроем скобки и выделим действительную и мнимую часть в знаменателе
W ( ) = ,
В) Умножим на сопряженное и выделим действительную и мнимую часть
,
где U( ) – действительная часть, а V( ) – мнимая часть.
Г) Построим годограф Найквиста:
Рис.3. Годограф Найквиста.
Д) Проверим устойчивость системы с помощью критерия Найквиста:
Критерий Найквиста: Для того чтобы система, которая в разомкнутом состоянии была устойчива, была устойчива и в замкнутом, необходимо, чтобы годограф Найквиста при изменении частоты от нуля до бесконечности не охватывал точку с координатами (-1; j0).
Из решения видно (см. рис.3), что годограф удовлетворяет всем условиям критерия:
- Годограф меняет свое направление по часовой стрелке
- Годографом не охватывается точка (-1; j0)
- Делаем вывод, что данная разомкнутая система устойчива.
- Определение критического значения коэффициента усиления системы.
А) В пункте 2 уже были выделены действительная и мнимая части
Б) Для того, чтобы найти критическое значение коэффициента усиления системы необходимо приравнять мнимую часть к нулю, а действительную к -1
= -1 (1)
= 0 (2)
В) Найдем из второго (2) уравнения
= 0
= 0
= 0
,
В) Подставляем в первое (1) уравнение и находим
-1
-1
-1
-1
- критическое значение коэффициента усиления системы.
- Определение частоты среза системы.
А) Приведем основные формулы
, где U( ) и V( ) – действительная и мнимая части соответственно.
Б) Подставляем в формулу имеющиеся данные и находим частоту среза системы
В) Найдем (при помощи Wolfram Alpha):
- частота среза системы.
1.Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 1.
Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления. М: Изд. МГТУ им Баумана. 2000 г.
2. Воронов А.А. Теория автоматического управления. Т. 1-3, М., Наука, 1992
Читайте также: