Эпициклоида в excel как построить
Коткова Лидия Леонидовна
учитель информатики
ГОУ СОШ № 728 г.Москвы
Урок по теме «Моделирование физического процесса.Циклоида»
Цель: формирование умения построения графической модели в Excel .
Необходимые знания и умения к данному уроку.
Учащиеся должны знать понятия моделирования, модели, формы информационных моделей. Уметь в электронной таблице Excel заполнять ячейки, работать с формулами, строить диаграммы.
- Организационный момент.
- Постановка задачи.
- Эксперимент.
- Историческая справка о циклоиде.
- Практическая работа: построение графика кривой в Excel .
- Повторение.
- Задание на дом.
1. Организационный момент (учащиеся сидят за партами). Мы продолжаем изучение темы моделирование. Напомните, что означает моделирование, что называется моделью? Сегодня вы будете строить графическую модель, но сначала вспомним, какие графические модели нам известны? (графы, графики, чертежи, схемы и т.д.).
2. Постановка задачи. Возьмём колесо, обруч, круг. Зафиксируем точку круга. Будем катить круг по прямой. Какую кривую опишет зафиксированная точка круга? Следите внимательно за траекторией точки (в большинстве учащиеся отвечают, что точка опишет окружность , но кто-то догадается и скажет, что точка опишет дугу ).
У читель показывает на большом экране :
( нажмите кнопку "Движение" )
3. Эксперимент. Проверим наше предположение. Прикрепим к обручу или кругу кусок мела и покатим вдоль стены, мел будет вычерчивать «кругообразную» кривую, называемую циклоидой . Одному обороту обруча соответствует одна «арка» циклоиды, если обруч будет катиться дальше, то будут получаться еще и еще арки той же циклоиды.
У читель показывает на большом экране :
( нажмите кнопку "Движение" )
4. Историческая справка о циклоиде. Первым из учёных обратил внимание на циклоиду Николай Кузанский в XV веке, но серьёзное исследование этой кривой началось только в XVII веке. Название циклоида придумал Галилей (во Франции эту кривую сначала называли рулеттой). Содержательное исследование циклоиды провёл современник Галилея Мерсенн.
Паскаль писал о циклоиде: « … является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели её древние… ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздём колеса.».
Эта кривая быстро завоевала популярность и подверглась глубокому анализу, в котором участвовали Декарт, Ферма, Ньютон, Лейбниц, братья Бернулли и другие корифеи науки XVII—XVIII веков.
Циклоида имеет ряд удивительных свойств:
ü «Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска. Более того, она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.
ü Период колебаний материальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды, этот факт был использован Гюйгенсом для создания точных механических часов.
Итак, циклоида - плоская кривая, описываемая точкой Р окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой.
Координаты точки окружности в данный момент времени вычисляются по формулам:
x = a ( t - sin t ) ,
y = a (1- cos t ) ,
где а - радиус окружности.
Обратите внимание на то, как надо правильно ввести формулу (это для ячейки В2).
6. Повторение. Итак, вы сегодня построили графическую модель кривой, которую описывает некоторая точка окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой.
ü Как называется эта к ривая?
ü Какие интересные свойства циклоиды вы запомнили?
ü Предположем, что катится гимнастический обруч. Внешняя и внутренняя точки обруча будут описывать одинаковые кривые?
7. Домашнее задание . Поищите в справочниках, интернете, какие существуют ещё интересные кривые. Модели каких кривых мы можем построить в электронной таблице Excel ?
Пусть имеется функция двух переменных Z=f(X;Y). Изолинии (contour line) - это линии, в которой величина Z=const, т.е. изолинии соединяют точки, в которых функция сохраняет одинаковое значение. Часто изолинии используют для отображения 3D поверхностей второго порядка ( эллипсоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид) на плоскости. В этой статье решим гораздо более скромную задачу: построим изолинии образуемые плоскостью в MS EXCEL . Изолинии в этом случае представляют собой прямые линии.
Обычно изолинии для функции двух переменных Z=f(X;Y) имеют достаточно сложную конфигурацию, т.к. соответствующая пространственная фигура сложна.
В статье Трехмерные диаграммы (поверхности и изолинии) в MS EXCEL показано как построить изолинии для поверхности задаваемой функцией Z=-sin(X 2 +Y 2 )+1 с использованием штатных средств MS EXCEL (см. картинку ниже).
В этой статье рассмотрим построение изолиний для плоскости, которая наклонена к плоскости XY.
Плоскость задается уравнением A*X+B*Y+C*Z+D=0 или Z=d+a*Х+b*Y. Приравняв Z заданной постоянной величине (const), из предыдущего уравнения получим, что изолинии будут представлять собой прямые линии: Y=(const-d-a*Х)/b.
На картинке выше, изолинии построены на диаграмме типа Точечная .
В файле примера приведены формулы для построения таких изолиний, а также диаграмма типа Поверхность, которая помогает представить расположение плоскости относительно плоскости XY.
В принципе изолинии можно построить и штатными средствами MS EXCEL, но в этом случае не удается контролировать количество отображаемых изолиний и их значения Z.
Для полноты картины упомянем еще один способ построения изолиний (ну, почти изолиний? точнее "изо-областей") - с помощью Условного форматирования .
Как видно на рисунке выше, значения ячеек с Z принадлежащих различным интервалам выделяются разными цветами. Это, наверное, простейший способ построения изолиний.
Построение изолиний на диаграмме типа Точечная
Но, вернемся к построению изолиний на диаграмме типа Точечная. В качестве исходных данных используем уравнение плоскости A*X+B*Y+C*Z+D=0 и диапазон изменения Х и Y.
На диаграмме разместим 8 изолиний. Алгоритм построения изолиний следующий:
Названием ряда является соответствующее значение Z.
Покажем, как найти точку пересечения со сторонами красного прямоугольника. Для примера возьмем левую сторону. Нам известно: значение Z (=-16,3), уравнение плоскости (Z=5-0,5*Х-0,5*Y), значение X (для левой стороны Х равен минимальному значению, т.е. Х=0). Решая уравнение относительно Y получим значение 42,7 (см. ячейку Т49 ). Это значение больше максимального значения Y, поэтому делаем вывод, что изолиния с Z=-16,3 не пересекает левую сторону красного прямоугольника. Аналогично находятся точки пересечения изолинии с верхней, нижней и правой стороной (строка 49).
Если изолиния не пересекает сторону прямоугольника, то формула =И(T49$Y$61) вернет ЛОЖЬ, в противном случае - ИСТИНА. Т.к. изолиния пересекает только 2 стороны, то для каждой изолинии получим 2 значения ЛОЖЬ и 2 значения ИСТИНА. Для построения изолиний нам требуются только точки пересечения.
определяет позиции точек пересечения.
Примечание : В вышеуказанной формуле массива использованы идеи из статьи Массив последовательных чисел в MS EXCEL .
И, наконец, формула =СМЕЩ($S49;;(AF49-1)*2) выводит значения Х и Y этих точек в отдельную таблицу ( Q59:V67 ) для построения рядов данных.
В итоге получим следующую диаграмму.
При изменении уравнения плоскости или диапазона изменения Х и Y, изолинии будут перестроены автоматически.
Построение модели «Циклоида» в среде MS Excel, описывающей процесс вращения колеса с учетом различных факторов для проведения компьютерного эксперимента на уроках информатики и физики
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
В наш бурный 21 век мы редко задумываемся над тем, что значит слово – изобретение. Новые идеи и новые технологии внедряются в практику, новшества устаревают так быстро, что о многих из них мы забываем, едва успев к ним привыкнуть.
Но есть изобретения, которые не устареют никогда. К ним относится самое обычное, известное всем с раннего детства колесо. Оно является великим и древнейшим изобретением человечества.
Колесо – одно из важнейших открытий человечества в области механики. История колеса, по определению ученых-историков, начиналась еще в бронзовом веке. Первый датированный документ об использовании колеса для перевозки – месопотамская мозаика (3200 г. до н.э.). Вот только предназначалось оно не для транспортировки. Его использовали в бытовых целях.
Н а протяжении многих веков человечество использует для изготовления различных керамических приспособлений глину. Вместе с тем, раньше в далекой истории практически в каждом доме стоял гончарный круг, колесо. Без него глина так и осталась бы просто природным материалом. До сих пор остается непонятным, что из них было придумано первым – гончарный каменный круг, имеющий форму колеса, положенного горизонтально, или колесо в повозке для передвижения. Изобретение гончарного круга по времени также относится к бронзовому веку. Параллельно колесо начали использовать для изготовления посуды из глины и в Древнем Египте, через несколько сотен лет египтяне даже стали делать посуду на быстро вращающихся кругах, что повлияло на разнообразие формообразования древней посуды и ее качество.
Д авным-давно для перемещения громоздких грузов на относительно большие расстояния использовались обычные бревна. На первый взгляд, революционный по тем временам способ, но у него был один существенный недостаток – требовалось подкладывать под бревна много каменных роликов, небольших колес. При этом они все время выскальзывали из-под бревен. Но древние люди решили эту проблему – они соорудили специальную платформу из досок. Им удалось закрепить на ней ролики таким образом, что давящий сверху груз не выталкивал их из-под досок, а, наоборот, прижимал к земле.
Еще через 1500 лет наши предки оснастили колесо деревянными спицами. На такой шаг их подтолкнула военная необходимость. Не удивительно, что первыми, кто использовал колесо с деревянными спицами, были египтяне. Произошло это примерно в 2000 г. до нашей эры. Они применили его в своих знаменитых колесницах.
А вот идея заключить колеса в металлические обода и тем самым уберечь их от быстрого износа, принадлежит кельтам. В 1000 г. до н.э. они оснастили такими усовершенствованными колесами свои колесницы. Примечательно, что колеса, оснащенные спицами из дерева, оставались неизменными аж до начала 19 в. В то время изобретатель Ф. Бауэр запатентовал первые спицы, изготовленные из металла. Он просто взял длинную проволоку, продел ее много раз через обод колеса и закрепил на обоих концах ступицы. Классическим примером его изобретения является велосипедное колесо.
Следующим прорывом в эволюции колеса стало изобретение шины. Идея ее создания принадлежит У.Томпсону, свое изобретение он запатентовал в 1845 г. Однако, в 1888 г. его разработку усовершенствовал шотландский ветеринар Д. Данлоп. Для изготовления шин он использовал твердую резину.
П остепенно колесо стали применять и в других устройствах. Со временем оно нашло свое применение для водяных устройств. Использовались два вида таких колес: подливное (для медленно текущих рек) и наливное (на быстрых горных речках). При строительстве люди стали пользоваться грузоподъемным блоком, основу которого также составляет колесо. Позднее колесо нашло еще одно применение – для прядения шерсти была создана прялка. По историческим данным, она была изобретена около 1 тыс. до н. э. в Индии и близлежащих районах Азии.
Проблемная ситуация. В этом учебном году мне предстоит сдавать ОГЭ по математике и информатике, в ходе освоения которой важнейшим разделом является «Моделирование в электронных таблицах». Знания школьников проверяются в задании №14 КИМ ОГЭ по информатике на самом экзамене. Кроме того, эта программа пригодится мне в будущей профессии для проведения расчетов, составления таблиц и диаграмм. Для того, чтобы лучше разобраться и понять суть этой программы, узнать ее новые функции, я решила создать компьютерную модель физического процесса.
Цель проекта: создать компьютерную модель в среде электронных таблиц, для наглядного восприятия движения колеса и проведения компьютерного эксперимента на уроках информатики и физики.
Способ достижения цели (задачи).
Оценка информации и выбор плана создания модели.
Создание компьютерной модели в электронной таблице.
Контрольный расчет (проверка адекватности модели).
Вычисленный эксперимент и интерпретация результатов (получение решения задачи при помощи модели)
Провести занятия в 9-10 классах с использованием компьютерной модели (в том числе в рамках наставничества).
Начать работу над формированием пополняемый банк моделей физических процессов.
Результат проекта.
Разработана компьютерная модель движения колеса, в электронной таблице для практических занятий по информатике при изучении темы «Моделирование в электронных таблицах» в 9 классе.
Учащиеся смогут получить в динамике наглядные запоминающиеся иллюстрации физических экспериментов и явлений, воспроизвести их тонкие детали, которые могут ускользать при наблюдении реальных экспериментов.
Повысится мотивация к изучению урока информатики.
Критерии приемки результата проекта.
Компьютерная модель содержит практический материал для 9, 10 классов.
Материал разбит по степени сложности.
Модель достаточно наглядна.
В каждом классе проведены не менее 2-х занятий с использованием компьютерной модели.
Пользователи результата проекта: обучающиеся, учителя информатики, физики.
Основная часть
Это древнее изобретение человечества имеет некоторые тайны. Кроме того, оказывается, что его модель может быть применена к объекту, который весьма отличается от колеса как по внешнему виду, так и по некоторым свойствам. Построенная модель объяснит эти странные свойства. С каким объектом может быть связано колесо? Попробуем это установить путем моделирования.
1 этап. Постановказадачи. Что собой представляет колесо? Это плоский диск в форме цилиндра. Оно сплошное, жёсткое, идеально круглое. Что делает колесо? Катится по ровной горизонтальной поверхности равномерно без проскальзывания и трения.
2 этап. Создание формализованноймодели.
И спользуем чертёж. Пусть начало координат находится там, где в начале отсчёта времени находился центр колеса. Допустим, что колесо катится вправо без проскальзывания. Скорость, с которой центр колеса перемещается вперёд, равна V0 . Радиус колеса R0. Рассматривать будем точку А, отстоящую от центра колеса на расстоянии r. Существенные параметры: радиус; скорость перемещения оси в горизонтальном положении.
Положение материальной точки в пространстве описывается координатами. При вращательном движенииизменяютсядвекоординатыхи y. Свяжемкоординатысрадиусомокружности,покоторой движетсяточка.
Д вижение точки А можно разбить на два – вращательное (вокруг оси) и поступательное (вместе с осью колеса). Скорость вращения колеса через скорость поступательного движения вперёд V0 и его радиус R0:
Для ее координат можно записать уравнения:
Эта пара уравнений, которая выражает координаты одной точки через набор коэффициентов и параметр, называется уравнением, заданным в параметрической форме, или параметрическим уравнением.
3 этап. Создание компьютерной модели. Компьютерныйэксперимент.
В недавней публикации [1] была приведена программа, с помощью которой можно получить на экране изображение двух кривых — улитки Паскаля и кардиоиды. Существуют и другие кривые, которые называют “замечательными”. Они носят, как правило, “звучные” имена, например, “астроида”, “локон Аньези”, “окружность Аполлония”, “трактриса” и т.п.
В этой статье мы рассмотрим две замечательные кривые — эпициклоиду и гипоциклоиду. Они изображены соответственно на рис. 1 и 2.
Рис. 1 Рис. 2
Заметим, что это не просто красивые картинки. Оба изображения имеют “геометрический” смысл, — это линия, которую образует точка, закрепленная в плоскости некоторого круга радиуса r (производящий круг), когда круг катится без скольжения по неподвижной окружности радиуса R (направляющая). На рис. 3 показана часть АМ эпициклоиды, по которой перемещается точка М производящего круга.
Когда окружности касаются внешним образом, линия называется “эпициклоидой” (от греческих слов — на, над, при и — круг, окружность), когда касание внутреннее — “гипоциклоидой” (от gipo — на, над, при и ).
Обе кривые имеют также варианты в зависимости от того, где находится точка М [2]. Обозначим расстояние от этой точки до центра производящего круга — d. Если d = r (точка М расположена на окружности производящего круга), то такие эпициклоида и гипоциклоида называются “обыкновенными” (на рис. 3 как раз и показан такой вариант). Когда точка М взята внутри производящего круга (d < r) — линии называются “укороченными”, когда вне его (d < r) — “удлиненными”.
После такого теоретического введения приступим к разработке программ, с помощью которых можно получить изображения эпициклоиды и гипоциклоиды.
Как и в случае с улиткой Паскаля [1], это удобно делать с помощью параметрических уравнений кривой. Для эпициклоиды они следующие:
Напомним, что параметрическими такие уравнения называются потому, что определяют значения координат х и у каждой точки кривой в зависимости от некоторого параметра, в нашем случае от параметра j — угла наклона отрезка, соединяющего эту точку с началом координат.
Кроме того, в уравнениях есть величины R, r и d, смысл которых раскрыт выше.
Используя параметрические уравнения линии, можно получить ее изображение в программе — для этого надо рассчитать значения координат х и у для всех углов, скажем от 1 до 360 градусов через 1 градус, и поставить точку в соответствующем месте экрана. Программа на школьном алгоритмическом языке, решающая такую задачу для эпициклоиды, имеет вид:
нач цел x, y, угол, x0, y0,
вещ R, r, d, угол2
|Устанавливаем графический режим
|Координаты центра экрана
x0 := цел(максX/2); y0 := цел(максY/2)
|Для всех целых значений углов
нц для угол от 1 до 360
|Переводим угол в радианы
угол2 := 6.28 * угол/360
|соответствующей точки кривой
cos((R + r)/r * угол2))
y := y0 + цел((R + r) * sin(угол2) –
d * sin((R + r)/r * угол2))
|и изображаем эту точку
1. В школьном алгоритмическом языке учитывается регистр символов в именах переменных величин (r и R — разные величины).
2. х0 и у0 — координаты центра экрана (с учетом этих координат рассчитываются значения х и у); значения х0 и у0 зависят от величин максХ и максУ, равных соответственно максимальному значению координат х и у в выбранном режиме работы экрана.
3. угол2 — величина угла в радианах.
4. Функция цел возвращает целую часть ее вещественного аргумента.
Для построения эпициклоид и гипоциклоид можно использовать также электронную таблицу Microsoft Excel. Верхняя часть листа, на котором можно сделать это применительно к эпициклоиде, показана на рис. 4.
Задание для самостоятельной работы
1. На изучаемом вами языке программирования разработайте программу, с помощью которой можно получить изображение гипоциклоиды. Ее параметрические уравнения:
2. Оформите листы электронной таблицы Microsoft Excel для получения эпициклоид и гипоциклоид. Необходимые формулы и тип графика определите самостоятельно.
3. Установите, что определяют значения величин R, r и d на изображении наших линий.
4. Определите особенности обыкновенных, укороченных и удлиненных эпициклоид и гипоциклоид (см. выше).
Результаты, пожалуйста, присылайте в редакцию (можно выполнять не все задания). Фамилии всех приславших ответы будут опубликованы, а лучшие ответы мы поощрим.
В заключение приведем краткую историческую справку о рассмотренных замечательных кривых [2].
Чтобы объяснить попятные движения планет, древнегреческие астрономы, следуя Гиппарху (II в. до н.э.), приписывали им равномерное движение по окружности (эпицикл), центр которой равномерно движется по другой окружности (деферент). Линия, описываемая точкой при этих условиях, является эпициклоидой. Мы не знаем, однако, какие геометрические ее свойства были известны ученым древности. В середине XIII века выдающийся арабский астроном и математик Мухаммед Насирэддин ат-Туси (1201–1274) установил, что точка окружности, катящейся по неподвижной окружности, вдвое большего радиуса, касаясь ее изнутри, описывает диаметр неподвижной окружности. Это свойство независимо от Насирэддина было найдено великим польским астрономом Николаем Коперником (1473–1543); оно содержится в его знаменитом труде “Об обращениях небесных кругов”, опубликованном в 1543 г. Теорема Насирэддина – Коперника нашла широкое применение в прикладной механике.
Начало систематического изучения эпициклоид и гипоциклоид было положено в 1525 г. знаменитым немецким художником Альбрехтом Дюрером (1471–1528), широко применявшим геометрические методы в изобразительном искусстве. Однако математикам исследования Дюрера остались неизвестными.
В середине XVII века Ж.Дезарг (1593–1662), у которого глубина математических идей сочеталась с талантами конструктора, изучал свойства эпициклоид в связи с задачей создания зубчатых колес с наименьшим трением. Результаты этих, как и многих других, исследований Дезарга не были им опубликованы, но они были известны в кругу его друзей.
Ла Гир, продолживший исследования Дезарга, опубликовал в 1675 г. “Трактат об эпициклоидах и их применении в механике”. Здесь установлен ряд важных свойств эпициклоид.
1. Как выглядит кардиоида? / “В мир информатики” № 119 (“Информатика” № 1/2009).
2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 2000.
Кривые будем строить с помощью уравнений в параметрической форме, где х и y зависят от одного парамеметра t. Например, для кардиоиды запишем уравнения в виде (см. файл примера ):
Для построения использован тип диаграммы Точечная с гладкими кривыми.
В статье Эллипс и окружность в MS EXCEL построены окружность и эллипс.
СОВЕТ : Для начинающих пользователей EXCEL советуем прочитать статью Основы построения диаграмм в MS EXCEL , в которой рассказывается о базовых настройках диаграмм, а также статью об основных типах диаграмм .
Как построить эпициклоиду в excel
Ещё раз про морковь или возвращаясь к непечатному. Доброго здоровья, Денис.
Глядя на процедуру расчёта и вывода циклоиды (Sub DrawCycloide) я задался вопросом: какую часть времени занимает расчёт значений для её вывода, а какую — собственно, графический вывод. Профилировать процедуру напрямую по таймеру в контрольных точках смысла не имело: слишком маленькие интервалы приведут к слишком большим погрешностям. Поэтому решено было нивелировать (свести к нулю) время расчёта, чтобы осталось только время, занимаемое графическим выводом. Как нивелировать? Перевести в машинный код, естественно . Но всё по порядку.
Примечания.
1. Шаги 3 и 4 не имеют отношения к поднятому вопросу, но, раз были проделаны — решил выложить
2. Если у вас нет установленного VB, можно сразу смотреть результаты, вирусов в них нет
Итоги.
Преимущество в скорости компилятора над интерпретатором в доказательствах не нуждалось, вопрос был в количественной оценке. Считая, что время графического вывода в любом случае превалирует над временем расчёта, ожидал прироста быстродействия в 20%-30%. После запуска откомпилированного на шаге 2 проекта получил прирост в скорости в 2,5 раза на своей системе. Медленно: в два с половиной раза. То есть, в коде книги Excel расчёт шёл, примерно, в 1,5 раза дольше вывода. Во сколько именно раз поднялась скорость вычислений данные действия не показывают, но, оценочно — в 8 — 10 раз.
Практический вывод.
Если ваш код VBA содержит сложные расчёты — вынести их в отдельную внешнюю процедуру, подключаемую как DLL или OCX ещё как имеет смысл.
P. S. Всё вышенаписанное стоило писать месяца полтора назад. Руки дошли только сейчас, однако.
Читайте также: