Численные методы решения нелинейных уравнений в excel
Одним из наиболее эффективных способов численного решения уравнений является метод итерации. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение f(x)=0 .
Заменим его равносильным уравнением
Выберем начальное приближение корня x0 и подставим его в правую часть уравнения (1). Тогда получим некоторое число
Подставляя теперь в правую часть (2) вместо x0 число x1 получим число x2=φ(x1). Повторяя этот процесс, будем иметь последовательность чисел
Если эта последовательность сходящаяся, то есть существует предел , то переходя к пределу в равенстве (3) и предполагая функцию φ(x) непрерывной найдем
или ξ=φ(ξ).
Таким образом, предел ξ является корнем уравнения (1) и может быть вычислен по формуле (3) с любой степенью точности.
На рис.1а, 1б в окрестности корня |φ′(x)|1, то процесс итерации может быть расходящимся (см. рис.2).
Достаточные условия сходимости метода итерации
Теорема 7. Пусть функция φ(x) определена и дифференцируема на отрезке [a,b], причем все ее значения φ(x)∈[a,b] и пусть |φ′(x)|≤qn = φ(xn-1) сходится независимо от начального значения x0∈[a,b] и предельное значение является единственным корнем уравнения x= φ(x) на отрезке [a,b].
Доказательство: Рассмотрим два последовательных приближения xn = φ(xn-1) и xn+1= φ(xn) и возьмем их разность xn+1-xn=φ(xn)-φ(xn-1). По теореме Лагранжа правая часть может быть представлена как
Из (4) в силу условия qn> сходится к некоторому числу ξ, то есть , и следовательно,
(в силу непрерывности функции φ(x))
или ξ= φ(ξ) ч.т.д.
Для погрешности корня ξ можно получить следующую формулу.
Имеем xn=φ(xn-1).
Далее ξ-xn=ξ-φ(xn-1) = φ(ξ)-φ(xn-1) →
Теперь φ(xn-1)=φ(xn)-φ′(c)(xn-xn-1) →
φ(ξ)-φ(xn)+φ′(c)(xn-xn-1)
В результате получим
откуда видно, что при q близком к 1 разность |ξ -xn| может быть очень большой несмотря на то что |xn-xn-1|
Сходимость метода итерации линейная с коэффициентом сходимости α=q. Действительно, имеем
ξ-xn=φ(ξ)-φn-1 = φ′(c)·(ξ-xn-1), отсюда |ξ-xn|≤q·|ξ-xn-1|.
Замечание. Пусть в некоторой окрестности корня ξ∈(a,b) уравнения x= φ(x) производная φ’(x) сохраняет постоянный знак и выполнено неравенство |φ’(x)|≤qn = φ(xn-1) сходятся к корню монотонно.
Если же φ’(x) отрицательна, то последовательные приближения колеблются около корня.
Рассмотрим способ представления уравнения f(x)=0 в форме x= φ(x).
Функцию φ(x) необходимо задать такую, чтобы |φ’(x)| была малой величиной в окрестности корня.
Пусть известно m1 и M1 - наименьшее и наибольшее значения производной f’(x)
01≤f’(x) ≤M1 (7)
Заменим уравнение f(x)=0 эквивалентным ему уравнением
x = x - λf(x).
Положим φ(x) = x- λf(x). Подберем параметр λ таким образом, чтобы в окрестности корня ξ выполнялось неравенство
Метод итераций в Excel
В ячейку B2 заносим начало интервала a , в ячейку B3 заносим конец интервала b . Строку 4 отводим под заголовок таблицы. Сам процесс итераций организуем в ячейках A5:D5 .
Приближенно найти корни некоторых систем из двух нелинейных уравнений можно графическим способом.
Для того, чтобы графически решить систему из двух уравнений c двумя неизвестными, представленными в виде
нужно выполнить следующие действия:
1. Привести уравнения системы к виду y=φ(x):
2. Создать последовательность значений аргумента x в заданном диапазоне.
3. Рассчитать значения функций для каждого значения аргумента (табулировать функции).
4. По полученным табличным значениям построить графики функций f1(x) и f2(x) .
5. Найти точку пересечения построенных графиков, навести указатель мыши на точку пересечения - появится всплывающая надпись с указанием искомых (приближенных) значений координат точки пересечения.
Заметим, что точность вычисления корней при графическом методе решения определяется величиной шага последовательности х . Если, например, шаг равен 0,2, то абсолютная погрешность вычисления равна +/- 0,2.
Технологию графического решения систем уравнений рассмотрим на примере.
Пример . Найти графически приближенное решение системы :
в диапазоне [0,2 - 3] с шагом 0,2.
- представим приведенные уравнения в виде:
- табулируем функции f1(x) и f2(x) в заданном диапазоне х 1 и с указанным шагом (рис. 1);
- по данным полученной таблицы построим график (рис. 1);
- подведем указатель мыши к узловой точке, которая расположена ближе других к точке пересечения графиков функций – отобразятся координаты точки пересечения с точностью, определяемой шагом табуляции (0,8; -0,22).
На графике видно, что система имеет только одно решение.
Таким образом, приближенное решение системы получено. Если подставить полученное решения в уравнения, то их правые части не обращаются в ноль. Это говорит о том, что решения только очень приблизительные.
Рассмотренный метод имеет, по крайней мере два недостатка:
- можно решать только системы из двух уравнений;
- решение получается неточным с абсолютной погрешностью (+/-) шаг табуляции.
Решение систем нелинейных уравнений с заданной относительной погрешностью
Рассмотрим технологию решения систем нелинейных уравнений на примере.
Пример 1. Требуется найти решение выше приведенной системы с относительной погрешностью 0,000001.
Решение.
Для решения системы применим надстройку Excel Поиск решения. Для этого:
1. На рабочем листе создадим модель для вычисления как на рис. 2.
В качестве целевой функции будем использовать первое уравнение системы, а в качестве функции ограничения - второе уравнение.
Понятно, что целевая функция в результате решения должна принять значение ноль, а второе уравнение также должно принять значение ноль.
2. Включим инструмент Поиск решения ( Данные> Анализ > Поиск решения ).
3. В диалоговом окне Параметры поиска решения установим опции:
- Оптимизировать целевую функцию - ссылка на ячейку, где записано первое уравнение;
- До Значени е=0;
- изменяя значения ячеек - ссылка на диапазон, где будет сохраняться решение ;
- Ограничения - ссылка на ячейку, содержащую второе уравнение, она должна принимать значение ноль (рис. 3).
4. В диалоговом окне Параметры поиска решения кликнем на кнопке Параметры и в открывшемся окне Параметры укажем погрешность вычисления (рис. 4), кликнем на кнопке ОК..
6. В диалоговом окне Параметры поиска решения кликнем на кнопке Найти решение. На рабочем листе отобразится результат (рис. 5)
Обратим внимание, что значения, принятые первым и вторым уравнением системы близки к нулевым значениям с заданной погрешностью вычислений. Значит решение верное и оно единственное.
Пример 2 . Требуется найти хотя бы одно решение системы двух нелинейных уравнений с относительной погрешностью |ε |< 0,00001 (решений у системы может быть несколько):
Тема урока: «Решение нелинейных уравнений в MS Excel».
Цель урока: изучение возможностей MS Excel по решению нелинейных уравнений и практическое освоение соответствующих умений и навыков.
Тип урока: комбинированный – урок изучения нового материала и практического закрепления полученных знаний, умений и навыков.
Вид урока: сдвоенный, продолжительность – 1,5 часа.
- обучающая – научить учащихся решать нелинейные уравнения в среде электронных таблиц MS Excel;
- развивающая – познакомить учащихся с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений;
- воспитательная – выработать у учащихся умение рационально использовать время и возможности компьютерных технологий при решении задач.
- Компьютеры с OS MS Windows;
- Программа Microsoft Excel;
- Программа Turbo Pascal;
- Презентация по теме, выполненная в программе Power Point;
- Карточки с заданиями для самостоятельной работы.
В данном уроке особое внимание уделено визуальному представлению информации – в ходе урока с помощью проектора демонстрируются слайды, подготовленные в пакете презентационной графики Microsoft Power Point.
I. Организационный момент
Учитель объявляет тему и цели урока.
II. Актуализация знаний, умений и навыков учащихся – повторение материала прошлого урока по теме «Решение нелинейных уравнений методом половинного деления»
Учащиеся повторяют указанный метод с помощью слайдов, подготовленных в пакете презентационной графики Microsoft Power Point метод половинного деления
- Всегда ли существуют формулы для «точного» решения уравнений?
- Сформулируйте основное условие существования корня на заданном отрезке.
- Запишите уравнение, позволяющее определить координаты середины отрезка.
- Почему алгоритм решения этой задачи можно назвать циклическим?
- Какое действие в алгоритме повторяется?
- Определите условие, при котором действие алгоритма должно остановиться.
III. Изобразите блок-схему алгоритма. блок-схема
IV. Практическое задание с использованием программы на языке Turbo Pascal (Учащимся разрешено использовать программу, составленную на предыдущем уроке. Было решено уравнение y = x 3 – cos(x)) метод половинного деления TP
Задания для учащихся первой группы
Найти решение уравнения y = x 3 – cos(x) на отрезке [–1;1], при = 0,0001
Задания для учащихся второй группы
Найти решение уравнения y = x 3 – cos(x) на отрезке [–1;1], определить на каком шаге циклического алгоритма будет получено решение.
V. Изучение нового материала «Решение нелинейных уравнений методом хорд»
VI. Объяснить алгоритм решения уравнения f(x)=0 на отрезке [а;в] методом хорд с помощью слайдов, подготовленных в пакете презентационной графики Microsoft Power Point. метод хорд
Персональные компьютеры (рабочее место ученика); мультимедийный проектор; ОС Windows XP; пакет MS Office 2007, карточки с алгоритмом применения надстроек.
ХОД УРОКА
Объявление темы и целей урока
Тема нашего сегодняшнего урока: “Использование пакета анализа MS Excel для решения нелинейных уравнений”.
Цель изучения данной темы заключается в том, чтобы научиться применять процедуры поиска решения и подбора параметра для решения нелинейных уравнений.
Сообщить ход урока
Сначала мы вспомним основные приемы работы в таблицах MS Excel. После чего приступим к изучению новой темы, закрепив теоретические знания практической работой. Завершим урок анализом полученных результатов.
Вопросы на повторение
- Каким образом производится редактирование текста в ячейке? (несколько вариантов:непосредственно в строке формул; двойной щелчок ЛКМ; F2).
- Как изменить формат ячейки (дата, текст)? (ПКМ –>формат ячеек).
- Чем отличается процедура ввод формулы в ячейку от ввода данных? (формула начинается со знака =).
- Как объединить/разбить ячейки? (выделить все ячейки и на ленте “Главная” нажать кнопку объединения; либо на области выделения нажать ПКМ, выбрать в контекстом меню Формат ячеек, открыть вкладку “Выравнивание” и поставить флажок в строке “Объединить ячейки”).
- Как оптимизировать ввод номера по порядку? (автозаполнение).
- На какой ленте находится значок вставки функции? (Формулы)
- Как из списка функций найти нужную? (набрать в строке поиска примерное значение функции или, если уверены, название, напр. ЕСЛИ, СРЗНАЧ).тозаполнение).либо кнопки на панели инструментов)
- Как удалить неправильно введенную формулу или функцию? (выделить ячейку и кл. Delete).
- Как включить/отключить режим проверки формул? (Сервис –>Зависимости формул –>Режим проверки формул).
Объяснение нового материала
Разберем работу процедур на примере нелинейного уравнения 2х 3 –2х+1=0. Наша задача найти один из его корней.
Демонстрация на экране.
На первом этапе решения определим корни графическим методом, для чего рассчитаем таблицу значений функции Y=2х 3 –2х+1 для Х, изменяющегося от -3 до 3 с шагом 0,5, и построим её график.
Напоминаю вам, что заполнение таблицы происходит следующим образом: в ячейку А2 вносится первоначальное значение Х (–3), в ячейку А3 вносится формула =А2+0,5; методом протягивания заполняются ячейки А4:А14; в ячейку В2 записывается формула для расчета функции =2*A2^3-2*A2+1, которая затем копируется в ячейки В3:В14. Строится график функции через мастер построения диаграмм.
Ученикам предлагается провести анализ графика.
Анализируя график 1, можно сделать следующие выводы: 1) уравнение имеет один действительный корень, поскольку график только один раз пересекает ось Х между значениями –2 и –1; 2) вместо первоначально выбранного отрезка от –3 до 3 для уточнения корня можно взять меньший отрезок от –2 до –1 (график 2).
Для уточнения решения используем два специальных средства – “Подбор параметра” и “Поиск решения”.
Чтобы использовать средство “Подбор параметра”, произведем следующие действия:
1) В ячейку С5 запишем граничное значение Х — (–2), а в ячейку D5 — формулу для расчета функции =2*C5^3-2*C5+1
2) Выполним команду “Подбор параметра”, которая находится на вкладке “Данные”.После щелчка по кнопке “ОК” производится подбор подходящего значения аргумента (–1,192), которое записывается в ячейку С5, при этом в ячейке D5 появится значение функции 0,000. Это говорит о том, что подбор прошёл успешно и корень равен –1,192.
Решить уравнение с помощью средства “Поиск решения” вам предстоит самостоятельно. Для этого вам будут розданы подробные алгоритмы.
Цель урока: Совершенствование умений и навыков по теме «Решение алгебраических и трансцендентных уравнений», применяя возможности MS Excel по решению алгебраических и трансцендентных уравнений. Отработать практическое освоение соответствующих умений и навыков.
Задачи урока:
- Образовательные – совершенствование умений студентов при решении алгебраических и трансцендентных уравнений в среде электронных таблиц MS Excel. Выработать умение применять теоретические знания в практических расчетах;
- Развивающие – познакомить студентов с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений. Развивать у студентов математическую речь: создать ситуацию для применения основных понятий в речи; абстрактное мышление: создать ситуацию предъявления материала от общего к частному и от частного к общему, стимулировать самостоятельное обобщение материала сильными студентами;творческого мышления через создание условий для самореализации творческого потенциала обучающихся;
- Воспитательные – выработать у студентов умение рационально использовать время и возможности компьютерных технологий при решении задач. Воспитывать интерес к предмету через ситуацию успеха и взаимодоверия;ответственность перед самим собой.
Тип урока: комбинированный урок.
Вид урока: практическое занятие, продолжительность – 2 часа.
Оборудование урока:
- Компьютеры с OS MS Windows;
- Программа Microsoft Excel;
- Презентация по теме, выполненная в программе PowerPoint;
- Карточки с заданиями для самостоятельной работы.
Структура урока:
1.1. Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок;
1.2.Фронтальный опрос с целью выявления основных этапов решения задач с использованием ЭВМ;
1.3. Постановка задачи с целью повторения алгоритма решения уравнения f(x)=0 на отрезке [а;в] различными методами;
1.4.Подведение итогов 1 этапа урока.
2.Применение знаний, формирование умений и навыков:
2.1.Беседа с целью формулировки задания для самостоятельной работы и инструктажа по ее организации;
2.2.Самостоятельная работа в группах по выполнению задания различными методами решения алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel.
2.3.Подведение итога урока.
В данном уроке особое внимание уделено визуальному представлению информации – в ходе урока с помощью проектора демонстрируются слайды, подготовленные в пакете презентационной графики Microsoft PowerPoint.
ХОД УРОКА
1. Актуализация знаний
Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок.
На прошлых уроках мы с вами рассмотрели алгебраические и трансцендентные уравнения, выделили методы их решения и решали данные уравнения ручным счетом. А на сегодняшнем занятии мы будем совершенствовать умения и навыки при решении алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel.
Поэтому нам необходимо вспомнить и повторить знания, которые потребуются на этом уроке. В чем заключается процесс решения задачи с использованием ЭВМ?
В общем случае процесс решения задачи с использованием ЭВМ состоит из следующих этапов:
- 1.Постановка задачи и построение математической модели (этап моделирования);
- 2.Выбор метода и разработка алгоритма (этап алгоритмизации);
- 3.Запись алгоритма на языке, понятном ЭВМ (этап программирования);
- 4.Отладка и использования программы на ЭВМ (этап реализации);
- 5.Анализ полученных результатов (этап интерпретации).
- В чем заключается постановка задачи?
- Постановка задачи: Пусть дано уравнение f(x) = 0, (a, b) - интервал, на котором f(x) имеет единственный корень. Нужно приближенно вычислить этот корень с заданной точностью.
- В чем заключается общая постановка задачи?
- Общая постановка задачи. Найти действительные корни уравнения f(x) =0, где f(x) – алгебраическая или трансцендентная функция.
- Точные методы решения уравнений подходят только к узкому классу уравнений (квадратные, биквадратные, некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические)
- В чем заключается задача численного нахождения корней уравнения?
- Задача численного нахождения корней уравнения состоит из двух этапов:
1. Отделение (локализация) корня;
2. Приближенное вычисление корня до заданной точности(уточнение корней)
- Какая задача называется уточнения корня?
-Уточнение корня. Если искомый корень уравнения f(x)=0, отделен, т.е. определен отрезок [a,b], на котором существует только один действительный корень уравнения, то далее необходимо найти приближенное значение коня с заданной точностью.
- Какими методами можно производить уточнения корня?
- Уточнения корня можно производить различными методами:
1) Метод половинного деления (бисекции);
2) Метод итераций;
3) Метод хорд (секущих);
4) Метод касательных (Ньютона);
5) Комбинированные методы.
- Объясните алгоритм решения уравнения f(x)=0 на отрезке [а;в] различными методами.
Применение знаний, формирование умений и навыков:
Практическое задание «Решение алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel»
- Ознакомиться с теоретической частью задания;
- Провести расчет для своего варианта индивидуального задания в Microsoft Excel
- Оформить презентацию в Ms PowerPoint, включающую:
- постановку задачи;
- алгоритм расчета;
- таблицу с расчетом из Ms Excel, график исходной функции;
- результат расчета и его анализ.
Индивидуальное расчетное задание
Дано: x 3 + 8x + 10 = 0
Найти: Отделить корень заданного уравнения, пользуясь графическим методом, и по методам вычислите один корень с точностью 0,001 при помощи программы на ПК
Графический метод: Для отделения корней уравнения естественно применять графический метод. График функции у = f (х) с учетом свойств функции дает много информации для определения числа корней уравнения f (х) = 0.
До настоящего времени графический метод предлагалось применять для нахождения грубого значения корня или интервала, содержащего корень, затем применять итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений для уточнения значения корня. С появлением математических пакетов и электронных таблиц стало возможным вычислять таблицы значений функции с любым шагом и строить графики с высокой точностью.
Это позволяет уточнять очередной знак в приближенном значении корня при помощи следующего алгоритма:
- если функция f(x) на концах отрезка [а,b] значения разных принимает значения разных знаков то делим отрезок на 10 равных частей и находим ту часть, которая содержит корень (таким способом мы можем уменьшить длину отрезка, содержащего корень, в 10 раз);
- повторим действия предыдущего пункта для полученного отрезка.
Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной погрешности.
Задания для студентов первой группы
- Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001
- Представьте графически поставленную задачу в среде Microsoft Excel;
Метод половинного деления:Постановка задачи: Пусть дано уравнение f(x) = 0, (a, b) - интервал, на котором f(x) имеет единственный корень. Нужно приближенно вычислить этот корень с заданной точностью.
Примечание: Заметим, что если f(x) имеет k корней, то нужно выделить соответственно k интервалов.
Метод половинного деления или дихотомии (дихотомия - сопоставленность или противопоставленность двух частей целого). Метод основан на той идее, что корень лежит либо на середине интервала (a, b), либо справа от середины, либо - слева, что следует из существования единственного корня на интервале (a, b).
Алгоритм для программной реализации:
- а:=левая граница b:= правая граница
- m:= (a+b)/2 середина
- определяем f(a) и f(m)
- если f(a)*f(m)
- если (a-b)/2>e повторяем, начиная с пункта 2
- m - искомый корень.
Задания для студентов второй группы
- Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001.
- Расчет уравнения по методу половинного деления в среде Microsoft Excel.
Метод простой итерации: Смысл метода простой итерации состоит в том, что мы представляем уравнение f(x) в виде ) и по формуле будем строить итерации, которые сходятся к искомому корню с интересующей степенью точности, но тут есть проблемы: возможно f(x) очень сложно представить в таком виде, да и не факт, что любая будет строить сходящиеся итерации, поэтому алгорим сводится к тому, чтобы оптимально найти .
Подготовка:
1. Ищем числа m и M такие, что на (a, b);
2. Представляем , где ;
Алгоритм:
1. Выбираем х0 из (a, b);
2. Вычисляем ;
3. Проверяем условие , где q=(M-m)/(M+m);4. Если оно ложно, то переходим к пункту 7;
6. Переходим к пункту 2;
7. х1 – искомый корень.
Задания для студентов третьей группы
- Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001
- Расчет уравнения по методу простой итерации в среде Microsoft Excel.
Метод хорд: Метод хорд заключается в замене кривой у = f(x) отрезком прямой, проходящей через точки (а, f(a)) и (b, f(b)). Абсцисса точки пересечения прямой с осью ОХ принимается за очередное приближение.
Чтобы получить расчетную формулу метода хорд, запишем уравнение прямой, проходящей через точки (a, f(a)) и (b, f(b)) и, приравнивая у к нулю, найдем х:
,
Алгоритм метода хорд:
2) Вычислим следующий номер итерации: k = k + 1.
Найдем очередное k-e приближение по формуле: xk = a - f(a)(b - a)/(f(b) - f(a)). Вычислим f(xk);
3) Если f(xk)= 0 (корень найден), то переходим к п. 5.
4) Если |xk – xk–1| > ε, то переходим к п. 2;
5) Выводим значение корня xk;
Задания для студентов четвертой группы
- Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001.
- Расчет уравнения по методу хорд в среде Microsoft Excel.
- Метод касательных: В точке пересечения касательной с осью Оx переменная у = 0. Приравнивая у к нулю, выразим х и получим формулу метода касательных:
Теорема. Пусть на отрезке [а, b]выполняются условия:
1) функция f(x)и ее производные f'(х)и f''(x) непрерывны;
2) производные f'(x) и f''(x)отличны от нуля и сохраняют определенные постоянные знаки;
Тогда существует отрезок [α, β], содержащий искомый корень уравнения f(x) = 0, на котором итерационная последовательность сходится. Если в качестве нулевого приближения х0 выбрать ту граничную точку [α, β], в которой знак функции совпадает со знаком второй производной, т.е. f(x0)× f"(x0)>0, то итерационная последовательность сходится монотонно
Задания для студентов пятой группы
- Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001.
- Расчет уравнения по методу касательных в среде Microsoft Excel.
Студенты выполняют задания в группах и показывают полученное решение у доски (один представитель от группы), делают выводы о проделанной работе.
В данном уроке мы познакомились с решением алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel.
Уточнения корня производилось различными методами:
1) методом бисекции;
2) методом итераций;
3) методом секущих;
4) методом Ньютона;
1. Самый простейший из методов уточнения корня является метод половинного деления и используется во многих стандартных программных средствах.
2. Метод хорд в отличие от метода дихотомии, обращающего внимание лишь на знаки значений функции, но не на сами значения. Он требует , чтобы один конец отрезка, на котором ищется корень был не подвижен. Берется один из концов отрезка. Метод является двухточечным, его сходимость монотонная и односторонняя. Метод хорд использует пропорциональное деление интервала.
3. В методе касательных в отличие от методов дихотомии и хорд задается не начальный интервал местонахождения корня, а его начальное приближение .
4. У метода хорд и у метода Ньютона имеется общий недостаток: на каждом шаге проверяется точность значения.
Читайте также: