Численное решение уравнений с помощью электронных таблиц excel
Решение уравнения в Microsoft Excel x^3-8x-3=0 разными методами: графическим методом, методом половинного деления , хорд, касательных, простой итерации.
Вложение | Размер |
---|---|
Решение уравнений в Microsoft Excel | 1.01 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Решение уравнений в Microsoft Excel Выполнила Соколова М.А.
Вариант № 13 индивидуального расчетного задания Найдите приближенное значение уравнения с точностью 0,001 Представьте графически поставленную задачу;
Состав задания: Ознакомиться с теоретической частью задания; Провести расчет для своего варианта индивидуального задания в Microsoft Excel Оформить презентацию в Ms Power Point , включающую: § постановку задачи; § алгоритм расчета; § таблицу с расчетом из Ms Excel , график исходной функции; результат расчета и его анализ.
Постановка задачи: Пусть дано уравнение f(x) = 0, (a, b) - интервал, на котором f(x) имеет единственный корень. Нужно приближенно вычислить этот корень с заданной точностью. Примечание: Заметим, что если f(x) имеет k корней, то нужно выделить соответственно k интервалов.
Общая постановка задачи. Найти действительные корни уравнения f ( x ) =0 , где f ( x ) –алгебраическая или трансцендентная функция. Точные методы решения уравнений подходят только к узкому классу уравнений ( квадратные, биквадратные, некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические) Задача численного нахождения корней уравнения состоит из двух этапов: 1.Отделение(локализация) корня; 2.Приближенное вычисление корня до заданной точности (уточнение корней)
6 Уточнение корня . Если искомый корень уравнения f(x)=0 , отделен, т.е. определен отрезок [ a , b ], на котором существует только один действительный корень уравнения, то далее необходимо найти приближенное значение коня с заданной точностью. Такая задача называется уточнения корня. Уточнения корня можно производить различными методами: 1)Метод половинного деления(бисекции); 2)Метод итераций; 3)Метод хорд(секущих); 4)Метод касательных(Ньютона); 5)Комбинированные методы.
индивидуальное расчетное задание Дано: Найти: Отделить корень заданного уравнения, пользуясь графическим методом, и вычислите один корень с точностью 0,001 при помощи программы Microsoft Excel
Графический метод: Для отделения корней уравнения естественно применять графический метод. График функции у = f ( х ) с учетом свойств функции дает много информации для определения числа корней уравнения f ( х ) = 0. До настоящего времени графический метод предлагалось применять для нахождения грубого значения корня или интервала, содержащего корень, затем применять итерационные методы, т. е. методы последовательных приближений для уточнения значения корня. С появлением математических пакетов и электронных таблиц стало возможным вычислять таблицы значений функции с любым шагом и строить графики с высокой точностью. Это позволяет уточнять очередной знак в приближенном значении корня при помощи следующего алгоритма: 1) если функция f ( x ) на концах отрезка [ а , b ] значения разных принимает значения разных знаков то делим отрезок на 10 равных частей и находим ту часть, которая содержит корень (таким способом мы можем уменьшить длину отрезка, содержащего корень, в 10 раз); 2) повторим действия предыдущего пункта для полученного отрезка. Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной погрешности.
Метод половинного деления: Постановка задачи: Пусть дано уравнение f(x) = 0, (a, b) - интервал, на котором f(x) имеет единственный корень. Нужно приближенно вычислить этот корень с заданной точностью. Примечание: Заметим, что если f(x) имеет k корней, то нужно выделить соответственно k интервалов. Метод половинного деления или дихотомии ): Метод основан на той идее, что корень лежит либо на середине интервала (a, b) , либо справа от середины, либо - слева, что следует из существования единственного корня на интервале (a, b) . Алгоритм для программной реализации: а:=левая граница b:= правая граница m:= ( a+b )/2 середина определяем f(a) и f(m) если f(a)*f(m) e повторяем , начиная с пункта2 m- искомый корень.
Расчет уравнения по методу половинного деления:
Метод простой итерации: Смысл метода простой итерации состоит в том, что мы представляем уравнение f(x) в виде и по формуле будем строить итерации, которые сходятся к искомому корню с интересующей степенью точности, но тут есть проблемы: возможно f(x) очень сложно представить в таком виде, да и не факт, что любая будет строить сходящиеся итерации, поэтому алгорим сводится к тому, чтобы оптимально найт и . Подготовка: Ищем числа m и M такие, что на (a, b) ; Представляем , где ; Алгоритм: 1. Выбираем х 0 из (a, b) ; 2.Вычисляем ; 3.Проверяем условие , где q=(M-m)/( M+m ) ; 4.Если оно ложно, то переходим к пункту 7; 5. х 0 =х 1 ; 6.Переходим к пункту 2 ; 7. х 1 –искомый корень.
Расчет уравнения по методу простой итерации:
Метод хорд Метод хорд заключается в замене кривой у = f ( x ) отрезком прямой, проходящей через точки ( а , f ( a )) и ( b , f ( b )) . Абсцисса точки пересечения прямой с осью ОХ принимается за очередное приближение. Чтобы получить расчетную формулу метода хорд, запишем уравнение прямой, проходящей через точки ( a , f ( a )) и ( b , f ( b )) и, приравнивая у к нулю, найдем х : Алгоритм метода хорд : 1) П усть k = 0; 2) В ычислим следующий номер итерации: k = k + 1. Найдем очередное k -e приближение по формуле: x k = a - f ( a )( b - a )/( f ( b ) - f ( a )). Вычислим f ( x k ); 3) Е сли f ( x k )= 0 (корень найден), то переходим к п. 5. Если f ( x k ) × f ( b )>0, то b = x k , иначе a = x k ; 4) Е сли |x k – x k -1 | > ε , то переходим к п. 2; 5) В ыводим значение корня x k ; 6) К онец.
Расчет уравнения по методу хорд:
Метод касательных В точке пересечения касательной с осью Оx переменная у = 0. Приравнивая у к нулю, выразим х и получим формулу метода касательных: Теорема. Пусть на отрезке [а, b]выполняются условия: 1) функция f(x)и ее производные f '(х)и f ''(x)непрерывны; 2) производные f '(x)и f ''(x)отличны от нуля и сохраняют определенные постоянные знаки; 3) f(a)× f(b) 0, то итерационная последовательность сходится монотонно
Расчет уравнения по методу касательных:
Вывод о проделанной работе: Вывод: Решение уравнения в Microsoft Excel Было выполнено: графическим методом, методом половинного деления , хорд, касательных, простой итерации. Графический метод самый неточный, чем остальные методы. метод половинного деления быстрее графического метода, а метод простой итерации намного точнее предыдущих. Метод хорд более точный, чем все остальных методы. Метод касательный относительно быстрее и точнее всех методов.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по разделу «Электронные таблицы» Microsoft Excel
Учебное пособие является практическим руководством по электронным таблицам для студентов колледжа, в котором описаны основные приёмы и правила работы в Excel.Оно содержит систематизированную информаци.
Самостоятельная работа по Microsoft Excel (5 вариантов)
В каждом варианте пять заданий.Задание 1. Оформить рабочий лист по образцу и вычислить значение выражения в соответствующей ячейке. Проверяется умение набора формул в строку.Задание 2. Определить каки.
Методический материал для внеаудиторной работы студентов:"Интерфейс и объекты электронных таблиц Microsoft Excel".
Методический материал содержит теоретический материал, необходимый для выполнения практических работ: основные понятия и термины электронных таблиц, способы автоматизации ввода данных, ввода и копиров.
Курс занятий «Электронные таблицы Microsoft Excel. Теория и практика».
Цикл занятий для повышения компьютерной грамотности педагогов школы.
Методическая разработка занятия по предмету Элементы высшей математики по теме: "Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решение. Уравнения с разделенными переменными".
Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решение. Уравнения с разделенными переменными.Тип занятия: комбинированный, с элементами игры.Формы занятия: индивидуальная, группо.
Microsoft Excel - основы работы в программе
В презентации описаны основы работы в программе MS Excel 2007-2010:правила работы с ячейками и текстом, элементы их форматирования,работа с числами, создание простых формул,применение функций,сортиров.
Использование надстроек в Excel. Решение уравнений. 11 класс
В файле «Решение_урав.xls» (в книге Excel) находятся различные задание по работе с надстройкой Поиск решения и небольшой теоретический материал.
Microsoft Office Excel может здорово помогать студентам и магистрантам в решении различных задач из высшей математики. Не многие пользователи знают, что базовые математические методы поиска неизвестных значений в системе уравнений реализованы в редакторе. Сегодня рассмотрим, как происходит решение уравнений в excel.
Первый метод
Суть этого способа заключается в использовании специального инструмента программы – подбор параметра. Найти его можно во вкладке Данные на Панели управления в выпадающем списке кнопки Анализ «что-если».
1. Зададимся простым квадратичным уравнением и найдем решение при х=0.
2. Переходите к инструменту и заполняете все необходимые поля
3. После проведения вычислений программа выдаст результат в ячейке с иксом.
4. Подставив полученное значение в исходное уравнение можно проверить правильность решения.
Второй метод
Используем графическое решение этого же уравнения. Суть заключается в том, что создается массив переменных и массив значений, полученных при решении выражения. Основываясь на этих данных, строится график. Место пересечения кривой с горизонтальной осью и будет неизвестной переменной.
1. Создаете два диапазона.
На заметку! Смена знака результата говорит о том, что решение находится в промежутке между этими двумя переменными.
2. Переходите во вкладку Вставка и выбираете обычный график.
3. Выбираете данные из столбца f (x), а в качестве подписи горизонтальной оси – значения иксов.
Важно! В настройках оси поставьте положение по делениям.
4. Теперь на графике четко видно, что решение находится между семеркой и восьмеркой ближе к семи. Чтобы узнать более точное значение, необходимо изменять масштаб оси и уточнять цифры в исходных массивах.
Такая исследовательская методика в первом приближении является достаточно грубой, однако позволяет увидеть поведение кривой при изменении неизвестных.
Третий метод
Решение систем уравнений можно проводить матричным методом. Для этого в редакторе есть отдельная функция МОБР. Суть заключается в том, что создаются два диапазона: в один выписываются аргументы при неизвестных, а во второй – значения в правой стороне выражения. Массив аргументов трансформируется в обратную матрицу, которая потом умножается на цифры после знака равно. Рассмотрим подробнее.
1. Записываете произвольную систему уравнений.
2. Отдельно выписываете аргументы при неизвестных в каждую ячейку. Если нет какого-то из иксов – ставите ноль. Аналогично поступаете с цифрами после знака равно.
3. Выделяете в свободной зоне диапазон ячеек равный размеру матрицы. В строке формул пишете МОБР и выбираете массив аргументов. Чтобы функция сработала корректно нажимаете одновременно Ctrl+Shift+Enter.
4. Теперь находите решение при помощи функции МУМНОЖ. Также предварительно выделяете диапазон размером с матрицу результатов и нажимаете уже известное сочетание клавиш.
Четвертый метод
Методом Гаусса можно решить практически любую систему уравнений. Суть в том, чтобы пошагово отнять одно уравнение из другого умножив их на отношение первых коэффициентов. Это прямая последовательность. Для полного решения необходимо еще провести обратное вычисление до тех пор, пока диагональ матрицы не станет единичной, а остальные элементы – нулевыми. Полученные значения в последнем столбце и являются искомыми неизвестными. Рассмотрим на примере.
Важно! Если первый аргумент является нулевым, то необходимо поменять строки местами.
1. Зададимся произвольной системой уравнений и выпишем все коэффициенты в отдельный массив.
2. Копируете первую строку в другое место, а ниже записываете формулу следующего вида: =C67:F67-$C$66:$F$66*(C67/$C$66).
Поскольку работа идет с массивами, нажимайте Ctrl+Shift+Enter, вместо Enter.
3. Маркером автозаполнения копируете формулу в нижнюю строку.
4. Выделяете две первые строчки нового массива и копируете их в другое место, вставив только значения.
5. Повторяете операцию для третьей строки, используя формулу
=C73:F73-$C$72:$F$72*(D73/$D$72). На этом прямая последовательность решения закончена.
6. Теперь необходимо пройти систему в обратном порядке. Используйте формулу для третьей строчки следующего вида =(C78:F78)/E78
7. Для следующей строки используйте формулу =(C77:F77-C84:F84*E77)/D77
8. В конце записываете вот такое выражение =(C76:F76-C83:F83*D76-C84:F84*E76)/C76
9. При получении матрицы с единичной диагональю, правая часть дает искомые неизвестные. После подстановки полученных цифр в любое из уравнений значения по обе стороны от знака равно являются идентичными, что говорит о правильном решении.
Метод Гаусса является одним из самых трудоемких среди прочих вариантов, однако позволяет пошагово просмотреть процесс поиска неизвестных.
Как видите, существует несколько методов решения уравнений в редакторе. Однако каждый из них требует определенных знаний в математике и четкого понимания последовательности действий. Однако для упрощения можно воспользоваться онлайн калькулятором, в который заложен определенный метод решения системы уравнений. Более продвинутые сайты предоставляют несколько способов поиска неизвестных.
Численное решение уравнений с помощью электронных таблиц MS EXCEL
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Современное развитие науки, техники и технологий тесно связано с использованием математических методов, программного обеспечения и мощных ЭВМ, ставшим рабочим инструментом учёного, инженера, конструктора. Все это позволяет строить и исследовать математические модели сложных устройств, систем и процессов, при этом резко сократить время и стоимость инженерных разработок.
Широкое использование ЭВМ способствовало развитию вычислительной математики (прикладной математики). Как и любая наука, вычислительная математика представляет собой сплав "классической" (теоретической) науки и прикладной науки, в роли последней выступает область вычислительных методов.
Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. Последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в дальнейшем данная тенденция сохранится. Решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений. При этом актуальным является использование ЭВМ и специального программного обеспечения при решении линейных и нелинейных уравнений и их систем.
Одна из основных целей изучения школьного курса математики заключается в овладении способами решения алгебраических и трансцендентных уравнений. В школьном курсе изучаются формулы корней квадратных уравнений, методы аналитического решения показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений. При этом многие математические задачи, например, решение неравенств и их систем, нахождение области допустимых решений функции и т. п., включают в себя этап решения уравнений.
Цель работы: Освоение приемов численного решения алгебраических и трансцендентных уравнений в среде электронных таблиц MS Excel.
Задачи:
1) Ознакомиться с историей развития аналитических и численных методов решения уравнений.
2). Изучить особенности, достоинства и недостатки аналитических и численных методов.
3). Ознакомиться с вычислительными возможностями ЭТ MS Excel и изучить средства уточнения действительных корней нелинейных уравнений.
4) Освоить приемы отделения и уточнения действительных корней нелинейных уравнений в среде ЭТ MS Excel.
5) Решить задачи численного нахождения корней алгебраических и трансцендентных уравнений в среде электронных таблиц MS Excel.
Объект исследования: нелинейные уравнения с одной переменной.
Предмет исследования: возможности ЭТ MS Excel для численного решения нелинейные уравнения с одной переменной.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
1. Краткая история развития численных методов
Вычислительная математика начала свое развитие достаточно давно и в своем развитии прошла три этапа:
I. Первый этап начался 3-4 тысячи лет назад. Жители Вавилона в 2000 г. до н.э. уже умели решать квадратные уравнения и составлять таблицы для решения кубических уравнений путем приведения общего кубического многочлена к нормальному виду. В VII в. индийцы развили последовательную алгебраическую теорию уравнений первой и второй степени. Итальянский математик Ш. Ферро (1465-1526) нашел способ решения кубических уравнений специального вида [1]. Этот научный результат стал отправным пунктом для развития алгебры и математики вообще. Другим итальянским математиком, инженером, медиком и астрологом Дж. Кардано (1506-1576) было найдено решение приведенного кубического уравнения и опубликовано в 1545 г. в его научном труде «Великое искусство». В 1591 году великий французский математик Ф. Виет (1540-1603) впервые ввел символическое обозначение не только для неизвестных, но и для коэффициентов уравнений; указал на зависимость между корнями и коэффициентами уравнений (формулы Виета). Вычислительные средства этого этапа – палочки, пальцы, камешки и как вершина – счеты (абак).
II. Второй период начался с И. Ньютона (1642-1727). В этот период решались задачи астрономии, геодезии, баллистики и расчета механических конструкций, сводящиеся либо к обыкновенным дифференциальным уравнениям, либо к алгебраическим системам с большим числом неизвестных. В 1669 г. Ньютон предложил метод касательных для приближенного решения алгебраических уравнений, а в 1676 г. – способ приближенного вычисления определенных интегралов. Вычислительные средства – таблицы элементарных функций, арифмометры и логарифмические линейки.
2. Особенности, достоинства и недостатки аналитических и численных методов
С помощью математического моделирования решение научной задачи сводится к решению математической задачи, являющейся её моделью. Для решения математических задач используются две основные группы методов: аналитические и численные.
Аналитические методы, как правило, позволяют получить решение задачи в виде формул. В частности, если математическая задача состоит в решении нелинейных уравнений, то использование известных из курса средней школы приемов сразу приводит к цели. К сожалению, на практике это бывает достаточно редко. Например, если задача свелась к решению уравнения с одной переменной:
то при всей тривиальности этой задачи выразить корни уравнения путем аналитических преобразований не удается. Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Доказательство этого факта связано с именами математиков Абеля (1802-1829) и Галуа (1811-1832).
Аналогичные проблемы возникают также и при решении других математических задач. В частности, при вычислении определенных интегралов также часто не удается выразить первообразную через элементарные функции.
Для решения таких задач разрабатываются и применяются методы приближенных вычислений или численные методы, позволяющие свести решение математической задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами. Таким образом, численные методы позволяют найти решение в виде числа или таблицы значений, найденных с заданной точностью.
Важным отличием и преимуществом аналитических методов перед численными является то, что они позволяют получить общее решение задачи в виде формулы, по которой можно изучать качественные особенности решения, а также исследовать влияние начальных условий и параметров задачи на характер решения. Численные же методы позволяют найти только частное решение задачи с конкретными значениями параметров и исходных данных, при этом численные методы обладают большей общностью.
3. Численное решение уравнений с одной переменной
Нелинейное уравнение с одной переменной в общем случае может быть записано в виде
где функция F(x) определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале a < x < b.
Всякое значение [a, b], обращающее функцию F(x) в нуль, т.е. когда F() = 0, называется корнем уравнения (1) или нулем функции F(x).
Нелинейные уравнения с одной переменной подразделяются на алгебраические и трансцендентные.Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.
Как было сказано выше, методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:
аналитические (точные) методы;
численные (приближенные) методы.
Задача численного нахождения действительных корней нелинейного уравнения (1) обычно состоит из двух этапов [2]:
отделения корней, т.е. нахождения достаточно малых окрестностей рассматриваемой области, в которых содержится один и только один искомый корень;
уточнения отделенных на первом этапе корней, т.е. их нахождение численным методом с заданной степенью точности.
В связи с этим рассмотрим вначале задачу отделения корней, а затем возможности численных методов их уточнения.
На первом этапе необходимо исследовать уравнение и выяснить, имеются корни или нет. Если корни имеются, то сколько их, и затем определить интервалы, в каждом из которых находится единственный корень. Одним из самых распространенных и не очень точных является графический метод.
Принимая во внимание, что действительные корни уравнения (1) – это точки пересечения графика функции F(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции F(x) и отметить точки пересечения графикас осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив исходное уравнение (1) равносильным ему уравнением:
где функцииF1(x) и F2(x) – более простые, чем исходная функцияF(x). Тогда, построив графики функций у =F1(x) и у = F2(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.
Покажем теперь, что найденные графически отрезки содержат один и только один корень решаемого уравнения. Предположим, что найден отрезок [a, b] такой, что
функцияF(x) непрерывна на отрезке [a, b] вместе с производной первого порядка;
значения F(x) на концах отрезка имеют разные знаки (F(a)F(b) < 0);
первая производная F (x) сохраняет определенный знак на всем отрезке.
Условия 1) и 2) гарантируют, что на интервале [a, b] находится хотя бы один корень, а из 3) следует, что F(x) на данном интервале монотонна и поэтому корень будет единственным. Такой интервал называют интервалом изоляции искомого корня ξ.
Пример 1. Графически отделить корни уравнения
Решение. Уравнение (3) перепишем в виде равенства lg x=.
Отсюда ясно, что корни уравнения (3) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы y = . Построив эти кривые (см. рис. 1), приближенно найдем единственный корень уравнения (3) или определим его содержащий отрезок [2, 3].
Рис. 1 – Графическое отделение корней (пример 1)
Убедимся, что отрезок [2, 3] содержит один и только один корень уравнения (3).
Перепишем уравнение в виде F(x) = 0, где .
Тогда F(2) = 2 . lg(2) – 1 = 2 . 0.30103–1=0.60206 –1= –0.39794 0, т.е. на концах отрезка функция F(x) принимает значения разных знаков.
Найдем первую производную функции:
Следовательно, первая производная сохраняют свой знак на отрезке, а на концах отрезка функция F(x) принимает значения разных знаков, значит отрезок [2, 3] – отрезок изоляции искомого корня ξ.
После этого выполняется этап уточнения отделенных корней нелинейного уравнения. На каждом из найденных интервалов для поиска корня используются численные методы уточнения корня до заданной точности ε. К данным методам относятся: метод половинного деления (бисекций), метод хорд, метод касательных (Ньютона), метод последовательных приближений (итераций) и т.п.
4. Средства уточнения корней электронных таблиц Microsoft Excel
Электронные таблицы MS Excel входят в стандартный пакет формирования и обработки информации MS Office и установлены практически на каждом современном компьютере. Применение электронных таблиц упрощает работу с данными и позволяет получать результаты без проведения расчетов вручную или специального программирования. Наиболее широкое применение электронные таблицы нашли в экономических и бухгалтерских расчетах, но не все знают, что и в научно-технических задачах электронные таблицы можно использовать достаточно эффективно. Вычислительную мощь Excel обеспечивают встроенные функции, средства анализа и надстройки.
Надстройки – специальные средства, расширяющие возможности программы MS Excel. Именно надстройки делают ее удобной для использования в научно-технической работе. Хотя эти средства считаются внешними, дополнительными, доступ к ним осуществляется при помощи обычных команд командной строки (обычно через меню команд Сервис или Данные). При этом открываются специальные диалоговые окна, оформленные как стандартные диалоговые окна MS Excel.
Подключить или отключить установленные надстройки Excel можно с помощью Настройки панели быстрого доступа. Подключение надстроек увеличивает нагрузку на вычислительную систему, поэтому обычно рекомендуют подключать только те надстройки, которые реально используются.
Для уточнения корней с помощью ЭТ MS Excel можно использовать средство Подбор параметра (команда Данные → Анализ "что если") или надстройку Поиск решения.
Приведем лист MS Excel (см. рис. 2) с иллюстрацией применения средства Подбор параметра для уточнения корня уравнения (3), изолированного на отрезке [2, 3].
Рис. 2 – Графическое отделение корней уравнения двумя способами и подготовка к этапу уточнения
При подборе параметра Excel изменяет значение в одной конкретной ячейке, в нашем случае N32, до тех пор, пока вычисления по формуле в ячейке О32, ссылающейся на ячейку N32, не дадут нужного результата, а именно нуля функции (см. рис. 3).
Рис. 3 – Окно диалога средства Подбор параметра
После нажатия на кнопку OК MS Excel выведет окно диалога Результат подбора параметра (см. рис. 4). Если подобранное значение корня необходимо сохранить, то нажмите на ОК, и результат будет сохранен в ячейке, заданной ранее в поле Изменяя значения ячейки, в нашем случае – ячейка N32.
Рис. 4 – Окно диалога Результат подбора параметра
Таким образом, искомое значение корня, уточненное средством Подбор параметра, составит ξ = 2,50617208. При подборе параметра Excel использует итерационный (циклический) процесс, при этом количество итераций и точность может устанавливаться пользователем.
Рассмотрим теперь, как воспользоваться надстройкой Поиск решения на примере нахождения корней алгебраического уравнения х 3 – 10 . х + 2 = 0. На следующем листе MS Excel приведен этап графического отделения корней (см. рис. 5).
Рис. 5 – Этап графического отделения корней уравнения х 3 – 10 . х + 2 = 0
Анализ графика функции показывает, что решаемое уравнение имеет три действительных корня, определены отрезки изоляции искомых корней.
Для уточнения отделенных корней сформируем вторую таблицу, в которую занесем середины отрезков изоляции, которые будут взяты за начальные приближения к искомым корням. Кроме этого, таблица содержит столбец вычисленных значений функции F(x) = х 3 – 10 . х + 2. Далее из команды главного меню Данные следует вызвать надстройку Поиск решения. При этом откроется диалоговое окно, представленное на рис. 6.
Рис. 6 – Диалоговое окно надстройки Поиск решения
Для уточнения первого корня в поле Оптимизировать целевую функцию указываем адрес ячейки D23. Поскольку необходимо найти решение уравнения F(x) = 0, то в переключателе До: записываем значение правой части уравнения (т. е. 0). В поле Изменяя ячейки переменных: заносится абсолютный адрес ячейки С23. Для запуска процесса решения задачи следует щелкнуть по кнопке Найти решение. На экране появится диалоговое окно Результаты поиска решения с информацией о том, найдено или нет искомое решение (см. рис. 7). Если решение найдено, то далее следует выбрать один из следующих возможных вариантов:
• сохранить найденное решение, т. е. заменить исходные значения в изменяемых ячейках на значения, полученные в результате решения задачи;
• восстановить исходные значения в изменяемых ячейках.
Рис. 7 – Диалоговое окно Результаты поиска решения
Таким образом, искомое значение первого корня, уточненное надстройкой Поиск решения, составит ξ1 = -3,257896991. Аналогично находится второй корень ξ2 = 0,200809757. Третий корень найдем с помощью средства Подбор параметра. Результаты решения представлены на рис. 8.
Рис. 8 – Результаты уточнения третьего корня
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате выполнения данной научно-исследовательской работы достигнута цель исследования – я освоил приемы численного решения алгебраических и трансцендентных уравнений в среде электронных таблиц MS Excel. При этом я ознакомился с историей развития аналитических и численных методов решения уравнений и систем уравнений, изучил особенности, достоинства и недостатки аналитических и численных методов. Кроме этого, я ознакомился с вычислительными возможностями ЭТ MS Excel и изучил такие средства уточнения действительных корней нелинейных уравнений, как средство Подбор параметра и надстройка Поиск решения. Оба эти инструмента позволяют подобрать значение искомого корня, при котором функция F(ξ) обращается в ноль. На практике в среде ЭТ MS Excel были графически отделены и уточнены корни трансцендентного уравнения x. lg x – 1 = 0 и алгебраического х 3 – 10 . х + 2 = 0.
Надеюсь, что полученные знания и навыки помогут мне успешно сдать ОГЭ по дисциплинам математика и информатика и ИТК.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Боголюбов А.Н. Математики. Механики. Библиографический справочник. – Киев: Наукова думка, 1983. – 638 с.
2. Б.П. Демидович, И.А. Марон. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966. – 664 с.
3. Дж. Уокенбах. Microsoft Office Excel 2007. Библия пользователя. – М.: Диалектика, 2008. – 816 с.
4. П. Дж. Бернс, Дж. Р. Николсон. Секреты Excel для Windows 95. – К.: Диалектика, 1996. – 576 с.
Нынешнему поколению учащихся предстоит жить и работать в третьем тысячелетии, когда новые технологии на производстве и в обществе получат своё дальнейшее развитие, поэтому развитие логичного, системного, алгоритмического стиля мышления становится одним из основных направлений в обучении. Однако, при изучении отдельных тем на уроках математики в старших классах, при решении некоторых задач, громоздкие вычисления как, например, при решении уравнений методом деления отрезка пополам или методом последовательных приближений, затмевают существо математической задачи, не дают увидеть красоту, рациональность применяемого метода решения.
В данной статье я представила те задачи, решение которых с помощью MS EXCEL позволяет получить наглядное, доступное для понимания учащимися решение, показать его логику, рациональность. Попутно учащиеся получают устойчивые навыки работы с программой.
Вложение | Размер |
---|---|
statya.doc | 143.5 КБ |
prilozhenie1.ppt | 921 КБ |
prilozhenie2.ppt | 321.5 КБ |
prilozhenie3.ppt | 1.16 МБ |
Предварительный просмотр:
Одна из наиболее актуальных проблем компьютерного обучения – проблема отбора и использования педагогически целесообразных обучающих программ.
При изучении отдельных тем и решении некоторых задач на уроках математики в старших классах громоздкие вычисления как, например, при решении уравнений методом деления отрезка пополам или методом последовательных приближений, затмевают существо математической задачи, не дают увидеть красоту, рациональность применяемого метода решения.
В данной статье я представила те задачи, решение которых с помощью MS EXCEL позволяет получить наглядное, доступное для понимания учащимися решение, показать его логику, рациональность. Попутно учащиеся получают устойчивые навыки работы с программой.
- Нахождение корней уравнения с помощью подбора параметра
Пусть известно, что в штате больницы состоит 6 санитарок, 8 медсестер, 10 врачей, 3 заведующих отделениями, главный врач, заведующий аптекой, заведующая хозяйством и заведующий больницей. Общий месячный фонд зарплаты составляет 1000 000 условных единиц. Необходимо определить, какими должны быть оклады сотрудников больницы.
Решение такой задачи можно искать методом перебора. Однако в лучшем случае на это уходит много времени. Можно предложить другой способ решения. В EXCEL он реализован как поиск значения параметра формулы, удовлетворяющего ее конкретному значению.
Построим модель решения этой задачи. За основу возьмем оклад санитарки, а остальные оклады будем вычислять, исходя из него: во столько-то раз или на столько-то больше. Говоря математическим языком, каждый оклад является линейной функцией от оклада санитарки: A i *С+В i , где С - оклад санитарки; А i и В i - коэффициенты, которые для каждой должности определяют следующим образом:
- медсестра получает в 1,5 раза больше санитарки (А 2 =1,5; В 2 =0);
- врач - в 3 раза больше санитарки (А 3 =3; В 3 =0);
- заведующий отделением - на 30 y.e. больше, чем врач (А 4 =3; B4=30);
- заведующий аптекой - в 2 раза больше санитарки (А 5 =2; В 5 =0);
- заведующий хозяйством - на 40 y.e. больше медсестры (А 6 =1,5; В 6 =40);
- заведующий больницей - на 20 y.e. больше главного врача (А 8 =4; В 8 =20);
- главный врач - в 4 раза больше санитарки (А 7 =4; В 7 =0);
Зная количество человек на каждой должности, нашу модель можно
записать как уравнение: N 1 *(A 1 *C+B 1 )+N 2 *(A 2 *C+B 2 )+. +N 8 *(A 8 *C+B 8 ) = 1000000,
где N 1 - число санитарок, N 2 - число медсестер и т.д.
В этом уравнении нам известны A 1 . A 8 , B 1 . B 8 и N 1 . N 8 , а С неизвестно. Анализ уравнения показывает, что задача вычисления заработной платы свелась к решению линейного уравнения относительно С. Предположим, что зарплата у санитарки 150,00 y.e.
Введите исходные данные в рабочий лист электронной таблицы, как показано ниже.
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей
Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения
Столичный центр образовательных технологий г. Москва
Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца
от 3 170 руб. 1900 руб.
Количество часов 300 ч. / 600 ч.
Успеть записаться со скидкой
Форма обучения дистанционная
- Онлайн
формат - Диплом
гособразца - Помощь в трудоустройстве
311 лекций для учителей,
воспитателей и психологов
Получите свидетельство
о просмотре прямо сейчас!
«Как закрыть гештальт: практики и упражнения»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Приближенное решение уравнений c помощью электронных таблиц MS EXСEL
1 способ графического решения уравнений с одним неизвестным Пусть дано уравнение f(x)=g(x). Приведем это уравнение к виду f(x)-g(x)=0 Введем функцию у=f(x)-g(x). Построим график этой функции Количество точек пересечения графика с осью абсцисс дает число корней уравнения Абсциссы точек пересечения и есть решения данного уравнения
2 способ графического решения уравнений с одним неизвестным Пусть дано уравнение f(x)=g(x). Введем функции у= f(x) и у =g(x). Построим графики этих функций в одной системе координат. Количество точек пересечения дает число корней уравнения. Абсциссы точек пересечения и есть решения данного уравнения.
Алгоритм использования команды Подбор параметра: Решить нужную задачу с каким – либо начальным значение параметра; Выбрать команду Подбор параметра в меню Сервис; В появившемся окне диалога Подбор параметра в поле Установить в ячейке указывается адрес ячейки, значение в которой нужно изменить (такая ячейка называется целевой); В поле Значение – то числовое значение, которое должно появиться в целевой ячейке; В поле Изменяя значение ячейки ввести ссылку на ячейку с параметром
Использование надстройки Подбор параметра для 1 способа По графику видно, что ближайший аргумент к точке пересечения оси Х с графиком функции равен -1,1. По таблице значений функции можно определить, что этот аргумент функции хранится в ячейке А5 Выделить ячейку В5 со значением функции и выполним команду Сервис-Подбор параметра…. В диалоговом окне в поле Значение: ввести требуемое значение функции (0). В поле Изменяя значение ячейки: ввести адрес $A$5, в который будет производится подбор значения аргумента. Кнопка ОК В ячейке аргумента A5 появится подобранное значение – 1,296. Корень уравнения найден с заданной точностью.
Графическое решение систем уравнений с двумя неизвестными Пусть дана система уравнений f(x,y)=0 и y(x,y)=0 1. Рассмотрим каждое из них в виде y=f(x) и y=u(x); 2. Построим эти кривые на одном графике; 3. Определим координаты точек их пересечения, что будет являться решением исходной системы уравнений.
х1≈-0,5 у1≈5 х2≈1,5 у2≈5
Домашнее задание: 1. § 1.3.4 Н.Д.Угринович «Информатика и ИКТ» 11 класс – вопросы 1,2 2. Практическое задание: решить графически систему уравнений
Краткое описание документа:
1 способ графического решения уравнений с одним неизвестным
Пусть дано уравнение
Приведем это уравнение к виду f(x) - g(x) =0 Введем функцию у= f ( x )- g ( x ). Построим график этой функции Количество точек пересечения графика с осью абсцисс дает число корней уравнения
Абсциссы точек пересечения и есть решения данного уравнения 2 способ графического решения уравнений с одним неизвестным
Пусть дано уравнение f(x)=g(x) .
Введем функции у= f ( x ) и у = g ( x ). Построим графики этих функций в одной системе координат. Количество точек пересечения дает число корней уравнения. Абсциссы точек пересечения и есть решения данного уравнения.
Читайте также: