Алгоритм решения линейного уравнения ax b 0 ворд
Презентация на тему: " Уравнение ax + b = 0, где а 0, называют линейным уравнением с одной переменной. Решением уравнение является значение Уравнение ax + by + c = 0, где а," — Транскрипт:
1 Уравнение ax + b = 0, где а 0, называют линейным уравнением с одной переменной. Решением уравнение является значение Уравнение ax + by + c = 0, где а, b, c – числа, причем а 0, b 0, называют линейным уравнением с двумя переменными x и y (или с двумя неизвестными x и y). Решением уравнения ax + by + c = 0 называют всякую пару чисел (х; у), которая удовлетворяет этому уравнению, т.е обращает равенство ax + by + c = 0 в верное числовое равенство. Таких решений бесконечно много.
2 Графиком любого линейного уравнения ax + by + c = 0 является прямая. Х У 0 ax + by + c = 0 1. Придать переменной Х конкретное значение Х = ; найти из уравнения соответствующее значение у: У =. а + by + c = 0 2. Придать переменной Х другое значение Х= ; найти из уравнения соответствующее значение У: У=. а + by + c = 0 3. Построить на координатной плоскости хОу две точки ( ; ) и ( ; ). 4. Провести через эти две точки прямую - она и будет графиком уравнения ax + by + c = 0. 3 У = Х + У= х + 1. =, 2. =, = Прямые У= Х + и У= Х + параллельны. 2. Прямые У = Х + и У= Х + совпадают. 3. Прямые У = Х + и У = Х + пересекаются
4 Графический метод Ме тод подстановки Метод алгебраического сложения
5 Графический метод решения систем линейных уравнений с двумя переменными. В одной координатной плоскости строим графики двух линейных уравнений: 1. Если прямые пересекаются (в одной точке), то система имеет единственное решение – координаты точки пересечения. 2. Если прямые параллельны – это значит, что система не имеет решения ( система несовместна). 3. Если прямые совпадают – это значит, что система имеет бесконечно много решений (система неопределенна).
6 АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ: 1. Выразить из какого-либо уравнения одну переменную через другую и подставить это выражение в другое уравнение. 2. Решить полученное уравнение относительно другой переменной. 3. Подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге. 4. Записать ответ в виде пары значений ( х; у ), которые были найдены на предыдущих шагах. Ответ: ( х; у).
7 АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ: 1.Привести уравнения системы к виду, чтобы у какой-либо переменной в обоих уравнениях коэффициенты стали противоположными (или равными). 2.Сложить уравнения - это значит по отдельности составит сумму левых частей, сумму правых частей уравнений и полученные суммы приравнять. 3.Решить полученное уравнение с одной переменной (вторая переменная временно исключена). 4. Подставить найденное значение переменной и в любое из двух уравнений и найти оставшуюся переменную. 5. Записать ответ в виде пары значений ( х; у ). Найти Х из любого уравнения системы.. ; ; ; ;
8 Решение. Выразим х из 1-го уравнения системы:. 5х= 4- 6у, х = Подставим во 2-е уравнение: 3 умножим обе части равенства на 5, получим 3 (4-6у) +25у =5, у + 25 у = 5, 7 у = - 7, у = у =1, Подставим в выражение х найденное значение у: х=, Ответ: (2; -1). х= 2.
9 На рисунке изображено графическое решение системы. Укажите системы уравнений, решение которой указано на рисунке. у у 0 1 х
11 АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ Что называется функциональной зависимостью? Какая переменная является зависимой, какая независимой? Что называют графиком функции? Как называется функция y= kx? Что является графиком этой функции? Сколько точек необходимо для построения графика этой функции? Какая функция называется линейной? Что является графиком линейной функции? Какой вид будет иметь линейная функция при b=0? Через какую точку в этом случае проходит график? Что показывает, в какой четверти лежит прямая y=kx+b? Каковы координаты точки пересечения графика функции y=kx+b с осью OY?
16 Найдите координаты точки пересечения графиков функций.
19 Актуализация знаний: - На какие классы можно разбить множество систем линейных уравнений по числу решений? - Проведите классификацию данных систем. Ответ: Определенная система (1 решение) А, Г, Ж Несовместная система (нет решений) Б, В, Д Неопределенная система (бесконечное множество решений) З, Е -По какому признаку определили? - (пропорциональность коэффициентов)
20 При каких значения параметра «а» система имеет бесконечное множество решений или не имеет решения:
21 1.Какое уравнение называется линейным уравнением с двумя неизвестными? 2.Что значит решить линейное уравнение с двумя неизвестными? 3.Что называется решением линейного уравнения с двумя неизвестными? Как записывается это решение? 4.Что является графиком линейного уравнения с двумя неизвестными? 5.Что называется системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными? 6.Что называется решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными? 7.Что значит решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными? 8.Какими методами можно решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными? Каков алгоритм решения каждым методом? 9.Как решается одно линейное уравнение с двумя неизвестными? 10.Сколько решений имеет линейное уравнение с двумя неизвестными? Как записывается общее решение линейного уравнения с двумя неизвестными?
22 Рассмотрим произвольное уравнение с двумя переменными x и y: Что является его решениями? Его решениями является какое-то множество пар (x; y), которые обращают его в верное равенство. Каждой такой паре соответствует точка на координатной плоскости. Множество этих точек мы будем называть графиком данного уравнения с двумя переменными. Множество точек (фигура) на координатной плоскости является графиком данного уравнения, если выполняются два условия: 1) Если (x; y) – решение уравнения, то М (x; y) принадлежит его графику; 2) Если М (x; y) принадлежит графику уравнения, то (x; y) – решение этого уравнения. ax + by =c
23 Рассмотрим линейное уравнение с двумя переменными. Как выглядит его уравнение? ( a x + by =c ) Какая фигура на координатной плоскости будет являться его графиком? [прямая] Выясним, так ли это. Преобразуем уравнение: by = c – ax. а) b 0, тогда, то есть данное уравнение задает линейную функцию, а ее графиком является прямая. б) b = 0, тогда, уравнение примет вид: ax + 0y = c ax = c. (y – любое число). 1. Если а 0, то то есть, графиком уравнения должны служить точки с этой абсциссой и произвольной ординатой. Какую фигуру они образуют? [прямую, параллельную оси y]; 2. Если а = 0, то уравнение примет вид: 0x = c, которое не имеет решений при с 0 и решением которого являются все числа при с = 0.
24 у= 0,5х + 1 ; - 1= х - у ; - 4х = 1 - у ; у -1 = 2х ;
25 Решение 438 а) рис.25 Точки А (0; 5) и В ( -3; 0) принадлежат прямой. Следовательно, их координаты удовлетворяют уравнению этой прямой у = kх + m. Подставив координаты точек в это уравнение, найдем k и m: -3 k = m, k =, k =. Уравнение прямой имеет вид : У = Х + 5.
Сначала мы решаем уравнения в школе в тетрадях, а потом в уме на совещаниях. В статье расскажем, как решать самые простые уравнения быстро и легко.
О чем эта статья:
Понятие уравнения
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.
Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.
Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.
Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Какие бывают виды уравнений
Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.
Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.
Линейное уравнение выглядят так: ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Вот, что поможет в решении:
если а ≠ 0 — уравнение имеет единственный корень: х = -b : а;
если а = 0 — уравнение корней не имеет;
если а и b равны нулю, то корнем уравнения является любое число.
Квадратное уравнение выглядит так: ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.
Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.
Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:
- кубические,
- уравнения четвертой степени,
- иррациональные и рациональные, и другие.
Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.
Как решать простые уравнения
Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.
1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.
Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5.
Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.
Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.
Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.
Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.
Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.
Приведем подобные и завершим решение.
2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.
Применим правило при решении примера: 4x=8.
При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.
Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.
Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:
Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:
Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: -4x = 12
-
Разделим обе части на -4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.
-4x = 12 | : (-4)
x = −3
Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.
Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.
Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.
- Раскрываем скобки, если они есть.
- Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую.
- Приводим подобные члены в каждой части уравнения.
- Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.
Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.
Примеры линейных уравнений
Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!
Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.
ЮПеренести 1 из левой части в правую со знаком минус.
Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.
Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3(х − 4) + 2х − 1.
5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1
Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.
5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2
Приведем подобные члены.
Ответ: х — любое число.
Пример 3. Решить: 4х = 1/8.
Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.
Виды алгоритмов
«Разветвляющийся алгоритм» - Различают два вида условий - простые и составные. Признаком разветвляющегося алгоритма является наличие операций проверки условия. Алгоритм с предусловием. Пример разветвляющегося алгоритма. Перечень повторяющихся действий называют телом цикла. Пример циклического алгоритма. Условный циклический алгоритм с известным числом повторений.
«Вспомогательные алгоритмы» - Изобразите с помощью графического исполнителя следующие фигуры: Такой метод называется сборочным программированием. Последовательная детализация, сборочный метод. Выучить конспект. Составить программу, по которой ГРИС напишет на экране число. Практическая работа: Использованный подход облегчает программирование сложных задач.
«Алгоритмические структуры» - Алгоритмическая структура «цикл». Основные типы алгоритмических структур. Цикл со счетчиком (известное число повторений). Фрагмент алгоритма изображен в виде блок-схемы. Тело цикла. Конец. Цикл со счетчиком (неизвестное число повторений). Линейный алгоритм (следование). Алгоритмическая структура «выбор».
«Алгоритмы и графика» - Практическая работа в парах. Алгоритмы. Информинутка. Объекты для рисования. Цели урока. Оборудование. Блиц опрос. Работа в большой группе. Работа на компьютере в парах. Демонстрация проделанной работы. Что можно считать алгоритмом. Знакомство с темой урока. Какой тип алгоритма представлен в вашем тексте.
«Способы записи алгоритмов» - Что такое алгоритм. Способы записи алгоритмов. Формы представления алгоритмов. Программный способ записи алгоритмов. Пример блок-схемы. Алгоритмы целесообразно представлять в табличной форме. Псевдокод. Пример алгоритма. Часто употребляемые символы и их назначения. Словесный способ записи алгоритмов.
«Линейный алгоритм» - Линейный алгоритм в жизни. Мы брали информацию из головы. И то в нас заложено. Линейный алгоритм в нашей жизни повсюду. Вывод: Не линейный алгоритм: 1.начало. 2.положить на тарелку 3.разбить яйцо над сковородкой. 4.снять готовое яйцо со сковородки. 5.ждать до готовности. 6.разогреть сковородку. 7.посолить 8.конец.
Линейное уравнение — это уравнение вида ax+b=0 ,
где a и b некоторые числа,
x – переменная стоящая в числителе, находящаяся в первой степени.
Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ
Что является решением уравнения?
Решением уравнения является нахождение всех его корней или доказательство их отсутствия.
Примеры линейных уравнений:
3x+5=0
x+1=5
2x=0
7x=7
3x+1=x
Нелинейные уравнения:
x^2+4x+4=0 | (полное квадратное уравнение оно решается по дискриминанту. Как решаются такие уравнение можно узнать здесь.) |
1/x+2=0 | (уравнение гиперболы) |
√(x-1)=1 | (иррациональное уравнение) |
Чем отличаются линейные уравнения от не линейных?
У линейных уравнений x всегда находится в первой степени в числители. Если одно из условий не выполняется то уравнение нелинейное.
Как решаются линейные уравнения?
Все что связано с переменной x переносим в одну сторону, а обычные числа в другую. Это называется: “Неизвестные в одну сторону известные в другую”. В итоге корень уравнения будет равен x=-b/a. Рассмотрим на примере:
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
2x+2=0 (здесь неизвестное это 2x его мы оставляем в левой стороне, а 2 переносим через равно в правую сторону, при переносе через равно знак с + меняется на -)
2x=-2 | : 2 (далее нам нужно получить просто x без коэффициента 2, поэтому мы все уравнение делим на 2, получим 2x:2=-2:2 )
x=-1 (получили корень уравнения)
2x+2=0 (здесь неизвестное это 2x его мы оставляем в левой стороне, а 2 переносим через равно в правую сторону, при переносе через равно знак с + меняется на -)
2x=-2 | : 2 (далее нам нужно получить просто x без коэффициента 2, поэтому мы все уравнение делим на 2, получим 2x:2=-2:2 )
x=-1
Сделаем проверку уравнения подставим вместо переменной x полученный корень:
2*(-1)+2=0
-2+2=0
0=0
Решено верно
2x-6=4x (здесь неизвестное это 2x и 4x. 4х нужно перенести в левую часть уравнения, а -6 переносим через равно в правую сторону, при переносе через равно знак у -6 меняется с – на +, а у 4х знак меняется с + на -)
2x-4x=6 (при вычитании 2x-4x=-2x)
-2x=6 | : (-2) (далее нам нужно получить просто x без коэффициента -2, поэтому мы все уравнение делим на -2, получим -2x:(-2)=6:(-2) )
x= -3
Сделаем проверку уравнения подставим вместо переменной x полученный корень:
2*(-3)-6=4*(-3)
-6-6=-12
-12=-12
Решено верно
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей
Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения
Столичный центр образовательных технологий г. Москва
Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца
от 3 170 руб. 1900 руб.
Количество часов 300 ч. / 600 ч.
Успеть записаться со скидкой
Форма обучения дистанционная
- Онлайн
формат - Диплом
гособразца - Помощь в трудоустройстве
Видеолекции для
профессионалов
- Свидетельства для портфолио
- Вечный доступ за 120 рублей
- 311 видеолекции для каждого
Тема: Линейное уравнение с одной переменной
1. Познакомить учащихся с тем, что такое линейное уравнение с одной переменной, что называется корнем уравнения, как решать уравнения с помощью алгоритма решения уравнений с одной переменной;
2.Способствовать развитию памяти, речи, логического мышления, внимания.
3. Способствовать воспитанию интереса к математике, достижению поставленной цели, трудолюбия, аккуратности.
Предметные: знать понятие линейного уравнения, равносильности уравнений, корней уравнения; уметь применять полученные знания при решении упражнений
Метапредметные: уметь устанавливать причинно – следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение. Умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.
Личностные: готовность к жизненному и личностному самоопределению, знания моральных норм, умения выделять нравственный аспект поведения и соотносить поступки и события с принятыми этическими нормами, ориентация в жизненных ролях и межличностных отношениях (формируются во время выполнения заданий, в которые школьники предлагается дать собственную оценку)
Регулятивные: уметь поставить учебную цель, задачу на основе того, что уже известно и усвоено; уметь планировать последовательность своих действий для достижения конечного результата.
Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками; постановка вопросов.
Оборудование: учебник алгебры 7 кл., конспект, документ-камера.
I Организационный момент.
II Актуализация знаний.
Проверка домашнего задания - через документ-камеру.
Раскрыть скобки, привести подобные слагаемые (устно):
Что такое уравнение, привести примеры
I V Изучение нового материала.
1.Привести примеры линейных уравнений с одной переменной.
2. Что значит решить уравнение?
3. Что такое корень уравнения.
4. Решить уравнения (на доске записаны,-устно)
5.Определение линейного уравнения с одной переменной (таблица): Линейным уравнением с одной переменной x называется уравнение вида ax+b=0, где a и b любые числа (коэффициенты). Если a=0, b=0, т.е. уравнение имеет вид 0x+0=0, то корнем уравнения является любое число (бесконечное множество). Если a=0, b=0, уравнение имеет вид 0x+b=0, то ни одно число этому уравнению не удовлетворяет, т.е. корней нет.
Рассмотрим наиболее распространённый вид уравнения, когда a не равно 0,
1) ax+b=0 = ax=-b (слагаемое перенесли вправо с противоположным знаком)
Алгоритм решения линейного уравнения ax+b=0 в случае, когда a не равно 0
1. Преобразовать уравнение к виду ax=-b.
2. Записать корень уравнения в виде x=( - b) : a , или , что тоже самое , x=-b/a.
А как же быть ,если уравнение имеет такой вид, например: 2x-2=10-x? (пробуют ответить уч-ся) . Рассуждаем так: Два выражения равны тогда и только тогда, когда их разность равна 0. т.е. ( 2x-2)- (10-x)=0. Что делам дальше? (ответ уч-ся: Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые) К доске идёт ученик, остальные записывают в тетрадях Нашли x=4.
Алгоритм решения уравнения ax+b=cx+d ( a не равно c)
1. Перенести все члены уравнения из правой части в левую с противоположными знаками.
2. Привести в левой части подобные слагаемые , в результате чего получится уравнение вида kx+m=0, где k не равно 0.
3. Преобразовать уравнение к виду kx=-m и записать его корень : x=-m/k.
Попробуем решить такое уравнение: (3x-4)/5=( 2x+1)/ 2. Давайте вспомним основное свойство пропорции После преобразований можем решить уравнение по алгоритму. К доске вызываю ученика. Остальные работают самостоятельно в тетрадях.
V Первичное закрепление.
Раздаточный материал. Решение уравнений разного вида по алгоритму. (фронтально)
VI Подведение итогов урока.
Итак, ребята, что на уроке вы узнали нового? Что называется коэффициентом? Что есть корень уравнения? Чему научились?. Оценки за урок
Читайте также: